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第三章 指数函数和对数函数(含解析)单元目标检测(北师大版必修一)


第三章

指数函数和对数函数(含解析)单元目标检测

(时间:120 分钟,满分:150 分) 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 1.给定函数① y ? x 2 ,② y ? log 1 ( x ? 1) ,③y=|x-1|,④y=2x 1,其中在区间(0,1)


1

2

上单调递减的函数序号是( ). A.①② B.②③ C.③④ 2.若 0<x<y<1,则( ). A.3y<3x B.logx3<logy3 C.log4x<log4y
1 2 2

D.①④

D. ? ? ? ? ? ).
1 2 2

?1? ? 4?

x

?1? ? 4?

y

3.下列各组函数,在同一直角坐标中,f(x)与 g(x)有相同图像的一组是( A.f(x)= ( x ) ,g(x)= ( x ) B.f(x)=

x2 ? 9 ,g(x)=x-3 x?3
1

C.f(x)= ( x 2 ) 2 ,g(x)=2log2x D.f(x)=x,g(x)=lg 10x 4.若 xlog23=1,则 3x+9x 的值为( A.3 B.

). D.

5 2

C.6

1 2

5.若 a<0,则函数 y=(1-a)x-1 的图像必过点( ). A.(0,1) B.(0,0) C.(0,-1) D.(1,-1) 6.f(x)=lg(10x+1)+ax 是偶函数,g(x)= A.1 B.-1 C. ?

7.若函数 f(x)=loga(x+b)(其中 a,b 为常数)的图像如下图所示,则函数 g(x)=ax+b 的大致图像是( ).

1 2

4x ? b 是奇函数,那么 a+b 的值为( 2x 1 D. 2

).

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?? 1? 1 ?? a ? ? ? x ? , x ? 2, 8.已知函数 f(x)= ?? 在 R 上为减函数,则 a 的取值范围为( 4? 2 ?a x , x ? 2 ?
A.(0,1) C. ? ??,

).

? ?

1? ? 4?

? 1? ? 4? ?1 ? D. ? ,1? ?4 ?
B. ? 0, ?

9.设函数 f(x)=logax(a>0 且 a≠1),若 f(x1x2?x2 010)=8,则 f(x12)+f(x22)+?+f(x20102) 的值等于( ). A.4 B.8 C.16 D.2loga8 10. 如果一个点是一个指数函数的图像与一个对数函数的图像的公共点, 那么称这个点 为“好点”,在下面的五个点 M(1,1),N(1,2),P(2,1),Q(2,2),G ? 2,

? ?

1? ? 中,“好点”的个 2?

数为( ). A.0 B.1 C.2 D.3 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在题中的横线上) 11.已知函数 f(x)= ?

?log 2 x, x ? 0, 1 若 f(a)= ,则 a=________. x 2 ?2 , x ? 0,

12.若函数 f(x)=logax 在区间[2,+∞)上恒有 f(x)>1,则 a 的取值的集合为________. 13.在同一平面直角坐标系中,函数 y=g(x)的图像与 y=ex 的图像关于直线 y=x 对称, 而函数 y=f(x)的图像与 y=g(x)的图像关于 y 轴对称,若 f(m)=-1,则 m 的值为________. 14.已知函数 f(x)= a ?

1 ,若 f(x)为奇函数,则 a=________. 2 ?1
x

15.已知定义在实数集 R 上的偶函数 f(x)在区间[0,+∞)上是单调增函数,则不等式 f(2)<f(log2x)的解集为________. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16.(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)=2x 的定义域是[0,3],设 g(x)=f(2x)-f(x+2). (1)求 g(x)的解析式及定义域; (2)求函数 g(x)的最大值和最小值. 17.(本小题满分 12 分)计算下列各式的值:
第 2 页 共 7 页

? 3? (1) ? 3 ? ? 8?

?

2 3

? (0.002)

?

1 2

? 10( 5 ? 2) ?1 ? ( 2 ? 3) 0 ;

(2) log 2.5 6.25 ? lg

1 ? ln e ? 21? log 2 3 . 100

18.(本小题满分 12 分)已知定义域为 R 的函数 f(x)=

?2 x ? b 是奇函数. 2 x ?1 ? 2

(1)求 b 的值; (2)判断函数 f(x)的单调性; (3)若对任意的 t∈R,不等式 f(t2-2t)+f(2t2-k)<0 恒立,求 k 的取值范围. 19.(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)= log 1 ( x 2-2ax+3) ,
2

(1)若函数 f(x)的值域为(-∞,-1],求实数 a 的值; (2)若函数 f(x)在(-∞,1]内为增函数,求实数 a 的取值范围. 20.(本小题满分 13 分)已知函数 f(x)=log2(2x+1). (1)求证:函数 f(x)在(-∞,+∞)内单调递增; (2)若关于 x 的方程 log2(2x-1)=m+f(x)在[1,2]上有解,求 m 的取值范围. 21.(本小题满分 14 分)有一个湖泊受污染,其湖水的容量为 V 立方米,每天流入湖的 水量等于流出湖的水量.现假设降雨量和蒸发量平衡,且污染物和湖水均匀混合. 用 g (t ) ?

P ? P? t ? ? g (0) ? ? eV (P≥0),表示某一时刻一立方米湖水中所含污染物的克数 r ? r?
P 时,湖水的污染程度如何. r

(我们称其为湖水污染质量分数),g(0)表示湖水污染初始质量分数. (1)当湖水污染质量分数为常数时,求湖水污染初始质量分数; (2)分析 g(0)<

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参考答案
1.B 点拨: y ? log 1 ( x ? 1) 和 y=|x-1|在区间(0,1)上单调递减, y ? x 2 和 y=2x
2

1

+1



区间(0,1)上单调递增. 2.C 点拨:∵y=3x 在 R 上是增函数,且 0<x<y<1, ∴3x<3y,故 A 错误. ∵y=log3x 在(0,+∞)上是增函数,且 0<x<y<1, ∴log3x<log3y<log31=0. ∴0 ?

1 1 ,即 logx3>logy3,故 B 错误. ? log3 x log3 y

∵y=log4x 在(0,+∞)上是增函数,且 0<x<y<1, ∴log4x<log4y,故 C 正确.

?1? ∵ y ? ? ? 在 R 上是减函数,且 0<x<y<1, ?4?
?1? ?1? ∴ ? ? ? ? ? ,故 D 错误. ? 4? ? 4?
3.D 点拨:选项 A 中,f(x)的定义域为 R,g(x)的定义域为[0,+∞);选项 B 中,f(x)
1
x y

x

的定义域为(-∞,-3)∪(-3,+∞),g(x)的定义域为 R;选项 C 中,f(x)= ( x 2 ) =x,x ∈[0, +∞), g(x)=2log2x, x∈(0, +∞), 定义域和对应关系都不同; 选项 D 中, g(x)=lg 10x =xlg 10=x,故选 D. 4.C 点拨:∵x· log23=1,
[]

2

1 ∴x= =log32. log 2 3
∴3x+9x=3x+ (3x)2= 3
log3 2

? 3log3 2

?

?

2

=2+22=6.

5.B 点拨:根据指数函数 y=ax 恒过定点(0,1)知,函数 y=(1-a)x-1 恒过定点(0,0). - 6. D 点拨: f(x)=lg(10x+1)+ax 是偶函数, 则 lg(10x+1)+ax=lg(10 x+1)-ax ? 2ax

? 1 x ? -lg(10 +1),∴2ax= lg x =-x ? (2a+1)x= 10 ? x 0 4 ?b 4 ?b 1 1 0,∴ a ? ? .∵g(x)= 是奇函数,故 g(0)= =0 ? b=1.于是 a+b= . x 0 2 2 2 2 ?0 ? a ? 1, 7.D 点拨:由题意知 ? ?0 ? f (0) ? log ab ? 1, ?0 ? a ? 1, ∴? 则选 D. ?a ? b ? 1, ?0 ? a ? 1, ? 8.B 点拨:由 ? , 1 a ? <0, ? ? 4 1 得 0<a< . 4
=lg(10 x+1)-lg(10x+1)= lg ?

[]

? 1 ? 10 x x ? 10

第 4 页 共 7 页

又 f(x)在 R 上为减函数,需满足 ? a ? a≤2.综上,知 0<a<

? ?

1? 1 2 2 ? ? 2 ? ? a ,即 a -2a≤0,a(a-2)≤0.∴0≤ 4? 2

9.C 点拨:f(x12)+f(x22))+?+f(x20102) =logax12+logax22+?+logax20102 =loga(12· x22· ?· x20102) =loga(x1x2?x2 010)2 =2loga(x1x2?x2 010) =2f(x1x2?x2 010)=2×8=16. 10.C 点拨:∵指数函数过定点(0,1),对数函数过定点(1,0), ∴指数函数不过(1,1),(2,1)点,对数函数不过点(1,2). ∴点 M,N,P 一定不是好点.
[]

1 . 4

? 2? ? 1? 可验证:? 2, ? 过指数函数 y ? ? ,且过对数函数 y=log4x.Q(2,2)在 y ? ( 2) x 和 ? ? ? ? 2? ? 2 ? y ? log 2 x 的图像上.
11. 2 或-1 点拨:当 a>0 时,若 f(a)= 当 a≤0 时,若 f(a)=

x

1 1 ,则 log2a= ,∴ a ? 2 2 ? 2 ; 2 2

1

1 1 ,则 2a= ,∴a=-1. 2 2

综上可知, a ? 2 或 a=-1. 12 . {a|1 < a < 2} 点拨: 若函数 f(x) = logax 在区间 [2 ,+∞ ) 上恒有 f(x) > 1 ,则

? a ? 1, ?a ? 1, ,即 ? .∴1<a<2. ? ?loga 2>1, ?log a 2>log a a. 1 13. ? 点拨:由题意知 y=g(x)应为 y=ex 的反函数,即 y=g(x)=ln x,而 y=f(x)与 e
y=g(x)=ln x 的图像关于 y 轴对称,故可得 y=f(x)=ln(-x),又 f(m)=-1,所以 ln(-m)= -1,得-m=e 1,即 m ? ?


1 . e

14. ∴a ?

1 2

点拨:函数 f(x)的定义域为 R,若 f(x)为奇函数,则 f(0)=0,即 a ?

1 ?0, 2 ?1
0

1 . 2 ? 1? 15. ? 0, ? ∪(4,+∞) 点拨:因为函数 f(x)在区间[0,+∞)上是单调增函数,且 f(2) ? 4?

<f(log2x),所以 2<log2x,解得 x>4;因为函数 f(x)为偶函数,所以 log2x<-2,解得 0<x <

1 ? 1? ,所以不等式 f(2)<f(log2x)的解集为 ? 0, ? ∪(4,+∞). 4 ? 4?
16.解:(1)∵f(x)=2x,∴g(x)=f(2x)-f(x+2)=22x-2x 2. ∵f(x)的定义域是[0,3],


∴?

?0 ? 2x ? 3, 解得 0≤x≤1. ?0 ? x ? 2 ? 3,

∴g(x)的定义域是[0,1]. (2)g(x)=(2x)2-4×2x
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=(2x-2)2-4. ∵x∈[0,1], ∴2x∈[1,2]. ∴当 2x=1,即 x=0 时,g(x)取得最大值-3; 当 2x=2,即 x=1 时,g(x)取得最小值-4.

? 3? 17.解:(1)原式= ? 3 ? ? 8?

?

2 3

? 1 ? ?? ? ? 500 ?

?

1 2

?

10 ?1 5 ?2

? 27 ? =? ? ? 8 ?

?

2 3

? 500 ? 10( 5 ? 2) ? 1
? 2

1 2

?? 3 ?3 ? 3 = ?? ? ? ? 500 ? 10 5 ? 20 ? 1 ?? 2 ? ? ? ? 4 167 = ? 10 5 ? 10 5 ? 20 ? 1 ? . 9 9
(2)原式=log2.52.52+lg 10 2+ ln e 2 +2 ? 2


1

log 2 3

? 2?2?

1 13 ? 2?3 ? . 2 2

18.解:(1)∵f(x)在定义域 R 上是奇函数,∴f(0)=0,即 (2)由(1)知 f(x)=

b ?1 =0 ,∴b=1. 2?2

1 ? 2x 1 1 ?? ? x , x ?1 1? 2 2 2 ?1 1 1 2 x2 ? 2 x1 设 x1<x2,则 f(x1)-f(x2)= x . ? ? 2 1 ? 1 2 x2 ? 1 (2 x1 ? 1)(2 x2 ? 1)
∵函数 y=2x 在 R 上是增函数且 x1<x2, x x ∴2 2 ?2 1 ? 0. 又 (2 1 ? 1)(2 2 ? 1)>0 ,∴f(x1)-f(x2)>0,即 f(x1)>f(x2), ∴f(x)在(-∞,+∞)上为减函数. (3)因 f(x)是奇函数,从而不等式 f(t2-2t)+f(2t2-k)<0, 等价于 f(t2-2t)<-f(2t2-k)=f(k-2t2), 因 f(x)为减函数,由上式推得 t2-2t>k-2t2. 即对一切 t∈R 有 3t2-2t-k>0,
x x

从而判别式 Δ=4+12k<0 ? k< ?

19.解:(1)设 g(x)=x2-2ax+3=(x-a)2+3-a2. ∵f(x)的值域为(-∞,-1], ∴ log 1 g ( x) ? ?1,即 log 1 g ( x) ? log 1 2 ,
2 2 2

1 . 3

∴g(x)≥2. 由 3-a2=2,得 a=1 或 a=-1. (2)要使 f(x)在(-∞, 1]内是增函数, 需 g(x)在(-∞, 1]上为减函数且 g(x)>0 对于 x∈(- ∞,1]恒成立, ∴?

? ?a ? 1, ? a ? 1, ,即 ? . ? ?1 ? 2a ? 3 ? 0. ? g ?1? ? 0,

∴1≤a<2.
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故实数 a 的取值范围是[1,2). 20.(1)证明:任取 x1<x2,则 f(x1)-f(x2)= log2 (2x1 ? 1) ? log2 (2x1 ? 1)

2 x1 ? 1 , 2 x2 ? 1 x x ∵x1<x2,∴ 0 ? 2 1 +1<2 2 +1 . 2 x1 ? 1 2 x1 ? 1 <1 ?0. ∴ 0< x , log 2 x 2 2 ?1 2 2 ?1
= log 2 ∴f(x1)<f(x2),即函数 f(x)在(-∞,+∞)内单调递增. (2)∵m=log2(2x-1)-log2(2x+1)

2x ? 1 2 ? ? log 2 x ? log 2 ?1 ? x ? , 2 ?1 ? 2 ?1 ? 2 2 2 ? , 当 1≤x≤2 时, ? x 5 2 ?1 3 1 2 3 ? . ∴ ? 1? x 3 2 ?1 5 1 3? ? ∴m 的取值范围是 ?log 2 , log 2 ? . 3 5? ?
21.解:(1)当湖水污染质量分数 g(t)为常数时,g(t)的值与 t 无关,故有 g(0)-

P =0, r

P P ,即湖水污染初始质量分数为 . r r P P (2)当 g(0)< 时,g(0)- <0. r r
∴g(0)=
t

又∵ eV 随 t 的增大逐渐增大,∴g(t)为减函数.故湖水的污染程度越来越轻.

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