当前位置:首页 >> 数学 >>

北京四中2011-2012学年高二下学期期中测试数学试卷(文)


北京市第四中学 2011-2012 学年下学期高二年级期中测试数学试卷(文科)

(试卷满分 150 分,考试时间为 120 分钟) 试卷分为两卷,卷(Ⅰ)100 分,卷(Ⅱ)50 分 卷(Ⅰ) 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分 1. 复数

2 等于 1? i
B. 1-i C. -1+i D. -

1-i

A. 1+i

2. 在复平面内,复数 z ? A. 第一象限

1? i (i 是虚数单位)对应的点位于 i
C. 第三象限 D. 第四象限

B. 第二象限

3. 下列推理所得结论正确的是 A. 由 a(b ? c) ? ab ? ac 类比得到 loga ( x ? y) ? loga x ? loga y B. 由 a(b ? c) ? ab ? ac 类比得到 sin(x ? y) ? sin x ? sin y C. 由 (a ? b) ? c ? a ? (b ? c) 类比得到 ( xy) z ? x( yz) D. 由 (ab) ? a b 类比得到 ( x ? y) ? x ? y
n n n n n n

4. 若 f ( x) ?

1 ? x2 ,则 f (x) 的导数是 sin x
B.

A.

? 2 x sin x ? (1 ? x 2 ) cos x sin 2 x ? 2 x sin x ? (1 ? x 2 ) sin x

? 2 x sin x ? (1 ? x 2 ) cos x sin 2 x ? 2 x sin x ? (1 ? x 2 ) sin x

C.

D.

5. 复数 z ? 1 ? i , z 为 z 的共轭复数,则 zz ? z ? 1 ? A. -2i B. –i C. i D. 2i

6. 已知函数 y ? f (x) ,其导函数 y ? f ' ( x) 的图象如下图,则对于函数 y ? f (x) 的描述 正确的是

A. 在 (??,0) 上为减函数 B. 在 x ? 0 处取得最大值 C. 在 (4,??) 上为减函数 D. 在 x ? 2 处取得最小值 7. 函数 f ( x) ? 3 ? x ln x 的单调递减区间为 A. ? 0, ? 8. 函数 y ? A. 3

? 1? ? e?

B. ? ? ?, ?

? ?

1? e?

C. ? ,?? ?

?1 ?e

? ?

D. ? , e ?

?1 ?e

? ?

6x 的极大值为 1 ? x2
B. 4
3

C. 2

D. 5

9. 函数 f ( x) ? ax ? x ? 1有极值的充要条件是 A. a ? 0 B. a ? 0 C. a ? 0 D. a ? 0

10. 当 a ? 0 时,函数 y ? 范围是 A. ?? 3,0? 11. 给出四个命题:

1 3 x ? ax 2 ? 3a 2 x ? 4 在 ?3,??? 上是增函数,则实数 a 的取值 3
C. ?? 3,1? D. ?? 3,1?

B. ?? 3,0?

(1)函数在闭区间 [ a, b] 上的极大值一定比极小值大; (2)函数在闭区间 [ a, b] 上的最大值一定是极大值;
3 2 (3)对于 f ( x) ? x ? px ? 2 x ? 1 ,若 p ? 6 ,则 f (x) 无极值;

(4)函数 f (x) 在区间 ( a, b) 上一定不存在最值。 其中正确命题的个数是 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

12. 函数 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx 的图象如图所示,且 f (x) 在 x ? x0 与 x ? 2 处取得极值, 则 f (1) ? f (?1) 的值一定

A. 等于 0

B. 大于 0

C. 小于 0

D. 小于或等于 0

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分 13. 在曲线 y ? x3 ? 3x ? 1 的所有切线中,斜率最小的切线所对应的方程为 14. 设 i 是虚数单位,复数 。

1 ? ai 为纯虚数,则实数 a 的值为 2?i




x2 15. 当 x ?[?1,1] 时,函数 f ( x) ? x 的值域是 e
16. 已知函数 f ( x) ? sin x ? 题的序号是

1 1 x, x ? [0, ? ], cos x0 ? , x0 ? [0, ? ] ,那么下面命题中真命 3 3

。 (写出所有真命题的序号)

① f (x) 的最大值为 f ( x0 ) ;② f (x) 的最小值为 f ( x0 ) ; ③ f (x) 在 [0, x0 ] 上是减函数;④ f (x) 在 [ x0 , ? ] 上是减函数。

三、解答题:本大题共 2 小题,共 20 分
* 17. 已知 n ? N ,且 n ? 2 ,求证:

1 n

? n ? n ?1 。

18. 已知函数 f ( x) ? x ? 6ax ,其中 a ? 0 。
3 2

(1)当 a ? 1 时,求曲线 y ? f (x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程; (2)讨论函数 f (x) 的单调性。

卷(Ⅱ) 一、选择题:本大题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分 1. i 为虚数单位,则 ? A. –i B. i

?1? i ? ? ?1? i ?

2012

的值是 D. -1

C. 1

2. 下列函数中, x ? 0 是极值点的函数是 A. y ? ? x3 B. y ? cos2 x C. y ? sin x ? x D. y ?

1 x

3. 设函数 f (x) , g (x) 在 [ a, b] 上均可导,且 f ' ( x) ? g ' ( x) ,则当 a ? x ? b 时,有 A. f ( x) ? g ( x) C. f ( x) ? g (a) ? g ( x) ? f (a) B. f ( x) ? g ( x) D. f ( x) ? g (b) ? g ( x) ? f (b)

二、填空题:本大题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分 4. 如 图 , 函 数 y ? f (x) 的 图 象 在 点 P(4, f (4)) 处 的 切 线 方 程 是 y ? ?2 x ? 9 , 则

f (4) ? f ' (4) 的值为



2 5. 若函数 f ( x) ? x ? 2xf ' (2) ,则 f ' (2) ?



6. 若数列 {an } 的通项公式 an ?

1 (n ? N ? ) ,记 f (n) ? (1 ? a1 )(1 ? a2 )? (1 ? an ) , (n ? 1) 2


试通过计算 f (1), f (2), f (3) 的值,推测出 f (n) ?

三、解答题:本大题共 2 小题,每小题 10 分,共 20 分

7. 已知: 函数 f ( x) ? ax2 ln x ? bx2 ? c( x ? 0) 在 x ? 1 处取得极值 ? 3 ? c , 其中 a, b, c 为 常数。 (1)试确定 a, b 的值; (2)讨论函数 f (x) 的单调区间; (3)若对任意 x ? 0 ,不等式 f ( x) ? ?2c 2 恒成立,求 c 的取值范围。 8. 已知函数 f ( x) ? ? x2 ? 8x, g ?x? ? 6 ln x ? m 。 (1)求 f (x) 在区间 [t , t ? 1] 上的最大值 h(t ) ; (2)若 y ? f (x) 的图象与 y ? g (x) 的图象有且仅有三个不同的交点,求实数 m 的取 值范围。

【试题答案】
卷(Ⅰ) 1—5 ACCAB 13. y ? ?3x ? 1 17. 略 18. 解: (Ⅰ)当 a ? 1 时, f ( x) ? x3 ? 6 x2 , f ' ( x) ? 3x 2 ? 12x 。 所以曲线 y ? f (x) 在点 (1, f (1)) 处的切线斜率是 f ' (1) ? ?9 因为 f (1) ? ?5 所以曲线 y ? f (x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程是 y ? 5 ? ?9( x ? 1) , 9 x ? y ? 4 ? 0 。 即 5分 (Ⅱ)令 f ' ( x) ? 3x2 ? 12ax ? 3x( x ? 4a) ? 0 ,得 x1 ? 0, x2 ? 4a 。 ①当 a ? 0 时, f ' ( x) ? 3x 2 ? 0 ,故 f (x) 在 R 上为增函数。 ②当 4a ? 0 ,即 a ? 0 时,列表分析如下: 7分 9分 2分 3分 6—10 CAACB 14. 2 11—12 BB 15. [0, e] 16. ①④

x
f ' ( x)

(??,0)


0 0

(0,4a)


4a
0

(4a,??)
+ 13 分

所以函数 f (x) 在 (??,0) 和 (4a,??) 内单调递增,在 (0,4a) 内单调递减。

综上,当 a ? 0 时, f (x) 在 R 上单调递增;当 a ? 0 时, f (x) 在 (??,0) 和 (4a,??) 内 单调递增,在 (0,4a) 内单调递减。

卷(Ⅱ) 1—3 CBC 4. -1 5. ? 4 6.

n?2 2n ? 2

7. 解: (Ⅰ)由题意知 f (1) ? ?3 ? c ,因此 b ? c ? ?3 ? c ,从而 b ? ?3 。

又对 f (x) 求导得 f ' ( x) ? 2axln x ? ax ? 6 x 由题意 f ' (1) ? 0 ,因此 a ? 2b ? 0 ,解得 a ? 6 (Ⅱ)由(Ⅰ)知 f ( x) ? 12x ln x 。令 f ' ( x) ? 0 ,解得 x ? 1 。

x
f ' ( x) f (x)

(0,1)
- ↘

1 0 极小值 f (1)

(1,??)
+ ↗

因此 f (x) 的单调递减区间为 (0,1) ,而 f (x) 的单调递增区间为 (1,??) 。 (Ⅲ)由(Ⅱ)知, f (x) 在 x ? 1 处取得极小值 f (1) ? ?3 ? c ,此极小值也是最小值。 要使 f ( x) ? ?2c2 ( x ? 0) 恒成立,只需 ? 3 ? c ? ?2c 。
2

即 2c ? c ? 3 ? 0 ,从而 (2c ? 3)(c ? 1) ? 0 。
2

解得 c ?

3 3 或 c ? ?1 。所以 c 的取值范围为 (?? ,?1] ? [ ,?? ) 2 2
2

8.(1) f ( x) ? ??x ? 4? ? 16 , 当 t ? 1 ? 4 即 t ? 3 时, f (x) 在 ?t , t ? 1? 上单调递减,

h(t ) ? f (t ? 1) ? ?t 2 ? 6t ? 7 ;
当 t ? 4 ? t ? 1 即 3 ? t ? 4 时, h(t ) ? f (4) ? 16;
2 当 t ? 4 时, f (x) 在 ?t , t ? 1? 上单调递减, h(t ) ? f (t ) ? ?t ? 8t ,

?? t 2 ? 6t ? 7, t ? 3 ? 综上, h(t ) ? ?16,3 ? t ? 4 ?? t 2 ? 8t , t ? 4 ?
(2)函数 y ? f (x) 与 y ? g (x) 的图象有且仅有三个不同的交点,即函数

? ( x) ? g ( x) ? f ( x) 的图象与 x 的正半轴有且仅有三个不同的交点,
?? ( x) ? x 2 ? 8 x ? 6 ln x ? m, 6 2( x ? 1)(x ? 3) ? ' ( x) ? 2 x ? 8 ? ? ( x ? 0) x x

当 x ? ?0,1? 时, ? ' ( x) ? 0,? ( x) 是增函数; 当 x ? ?1,3? 时, ?' ( x) ? 0, ?( x) 是减函数; 当 x ? ?3,??? 时, ? ' ( x) ? 0,? ( x) 是增函数; 当 x ? 1, x ? 3 时, ? ' ( x) ? 0

??( x) 极大值 ? ?(1) ? m ? 7, ?( x) 极小值 ? ?(3) ? m2 ? 6 ln 3 ? 15,

? 当 x 充分接近 0 时, ? ( x) ? 0 ,当 x 充分大时, ? ( x) ? 0 , ? 要使 ? (x) 的图象与 x 的正半轴有三个不同的交点,
必须且只需 ?

??( x) 极大值 ? m ? 7 ? 0 ? ? 7 ? m ? 15 ? 6 ln 3, ??( x) 极小值 ? m ? 6 ln 3 ? 15 ? 0 ?

则 m ? (7,15 ? 6 ln 3) 。


相关文章:
北京四中2011-2012学年高二下学期期中测试语文试题
北京四中2011-2012学年高二下学期期中测试语文试题_理化...二、课内文言文(每题 2 分。共 16 分) 8. ...衡水中学文科学霸高中数学笔记 清华附中文科学霸高中政治...
北京四中2011-2012学年高二下学期期中测试数学试卷(文)
北京四中2011-2012学年高二下学期期中测试数学试卷(文)_数学_高中教育_教育专区。北京四中2011-2012学年高二下学期期中测试数学试卷(文)北京...
北京市四中2011-2012学年高二下学期期中测试数学(理)试题
北京市四中2011-2012学年高二下学期期中测试数学(理)试题_高二数学_数学_高中教育_教育专区。北京市第四中学 2011-2012 学年下学期高二年级期中测试数学试卷(理科)...
2011-2012学年高二期中考试数学试卷(文)
2011-2012学年高二期中考试数学试卷(文)_数学_高中教育_教育专区。吴川三中 2011-2012 学年高二第二学期期中考试数学试卷(文)参考公式: P (K2 ? k) 0.50 k...
北京四中2011-2012学年高一下学期期中考试数学试卷
北京四中2011-2012学年高一下学期期中考试数学试卷_数学_高中教育_教育专区。北京四中 2011-2012 学年度第二学期期中考试 高一数学满分 150 分,考试时间 120 分钟 ...
北京四中2011-2012学年高二上学期末测验试卷(数学理)扫描版
北京四中2011-2012学年高二上学期末测验试卷(数学理)扫描版_从业资格考试_资格考试/认证_教育专区。北京四中 2011-2012 学年高二上学期末测验试卷(数学理)扫描版 ...
北京四中2011-2012学年高一下学期期中考试数学试卷
北京四中2011-2012学年高一下学期期中考试数学试卷_数学_高中教育_教育专区。北京四中 2011-2012 学年度第二学期期中考试 高一数学满分 150 分,考试时间 120 分钟 ...
北京四中2014年下学期高二期中考试 数学试卷(文) 有答案
北京四中 2014 年下学期高二期中考试 数学试卷(文) 有答案 试卷分为两卷,卷(Ⅰ)100 分,卷(Ⅱ)50 分,共计 150 分,考试时间 120 分钟 卷(Ⅰ)《选修 1-...
北京四中2014-2015学年高二下学期期中考试数学(理)试卷
北京四中 2014-2015 学年下学期高二年级期中考试数学试卷(理科)试卷分为两卷,卷(Ⅰ)100 分,卷(Ⅱ)50 分,满分共计 150 分。 卷(Ⅰ)一、选择题:本大题共...
更多相关标签:
一年级下学期期中试卷 | 高二语文期中试卷 | 高二物理期中考试试卷 | 高二英语期中考试试卷 | 高二生物期中考试试卷 | 高二地理期中考试试卷 | 高二数学期中考试试卷 | 高二语文期中考试试卷 |