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数学选修1-1试题(文科)


数学选修 1-1 试题(文科)
一、选择题: 1. 已知命题甲: f ?( x0 ) ? 0 , 命题乙: x0 是可导函数 f (x) 的极值点, 点 则甲是乙的 ( A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分而不必要条件 2、 已知椭圆的焦点为 F1 ? ?1,0 ? 和 F2 ?1,0? , P 在椭圆上的一点, F1 F2 是 PF

和 PF2 点 且 1 的等差中项,则该椭圆的方程为( ) )

x2 y 2 ? ?1 A、 16 9
值和最小值分别是 A. 5 、3 (

x2 y 2 ? ?1 B、 16 12
)

x2 y 2 ? ?1 C、 4 3

x2 y 2 ? ?1 D、 3 4

3、已知 | AB |? 4 ,点 P 在 A、B 所在的平面内运动且保持 | PA | ? | PB |? 6 ,则 | PA | 的最大

B.10、2

C.5、1

D.6、4 )

4、椭圆的一焦点与短轴两顶点组成一个等边三角形,则椭圆的离心率为( A、

3 2
2 2

B、

3 4

C、

2 2

D、

1 2
( )

5.双曲线 x -ay =1 的焦点坐标是 A.( 1 ? a , 0) , (-

1 ? a , 0)
a ?1 , 0) a

B.( 1 ? a , 0), (-

1? a ,
(

0)

C. (-

a ?1 , a

0),(

D.(-

a ?1 , a

0),

a ?1 , a

0)

6、若双曲线

x2 y 2 x2 y 2 ? 2 ? 1 与 2 ? 2 ? ?1? a ? b ? 0 ? 的离心率分别为 e1 , e2 ,则当 a , b 变化 a b a2 b
) C. 2 2 D. 3

时, e12 ? e22 的最小值是( A. 4 2
3 2

B. 4

7. 方程 2 x ? 6 x ? 7 ? 0 在(0,+∞)内的根的个数为 A.0 B.1 C.2 D.3 8. 给出四个命题:①未位数是偶数的整数能被 2 整除;②有的菱形是正方形;③ ?x ? R , x ? 0 ;④ ?x ? R , 2 x ? 1 是奇数. 下列说法正确的是 A. 四个命题都是真命题 B. ①②是全称命题 C. ②③是特称命题 D.四个命题中有两个假命题 3 2 9、方程 x -6x +9x-10=0 的实根个数是 A、3 B、2 C、1 D、0

1

10.已知函数 f(x)的导函数 ( )

f ' ( x) 的图像如左图所示,那么函数 f(x)的图像最有可能的是

11. 抛物线 y ? x 2 上一点到直线 2 x ? y ? 4 ? 0 的距离最短的点的坐标是 A. (1,1) B. (





1 1 3 9 , ) C. ( , ) D. (2,4) 2 4 2 4 1 2 12. 、 动圆的圆心在抛物线 y ? x 上, 且动圆恒与直线 y +2=0 相切, 则动圆必过点 ( 8
A、 (4,0) B、 (2,0) C、 (0,2) D、 (0,-2)



二、填空题(本大题共 4 小题;每小题 4 分,共 16 分。把答案填在题中横线上) 13.命题 ?x ? R, x
2

? x ? 3 ? 0 的否定为
2

. .

命题“ ?x0 ? R, x0 ? 1 ? 0.”的否定为:

14.已知 p 是 r 的充分不必要条件,s 是 r 的必要条件,q 是 s 的必要条件,那么 p 是 q 成 立的 条件。 “充分不必要” (填 “必要不充分” 、 “充要” “既不充分也不必要” ) 或 15.已知顶点在原点,焦点在 x 轴上的抛物线被直线 y ? 2 x ? 1 截得的弦长为 15 , 则抛物线的方程为 16. 有下列命题: ①双曲线 。

1 x2 x2 y2 ? y 2 ? 1 有相同的焦点; (ln x) ? ? ? ? 1 与椭圆 ② ; 35 25 9 x lg e

u uv ? ? vu ? 1 2 ;④ ( ) ? ? ;⑤ ?x ? R , x ? 3x ? 3 ? 0 . 2 2 cos x v v 其中是真命题的有:__ _____. (把你认为正确命题的序号都填上)
③ (tan x)? ? 三、解答题: 17. 命题甲: “方程 x +mx+1=0 有两个相异负根” ,命题乙: “方程 4x +4(m-2)x+1=0 无实根” , 这两个命题有且只有一个成立,试求实数 m 的取值范围。
2 2

2

y2 18. (12 分)设椭圆方程为 x ? 4
2

=1,过点 M(0,1)的直线 l 交椭圆于点 A、B,O 为

坐标原点,点 P 满足 OP ?

?

? 1 ? (OA ? OB ) ,当 l 绕点 M 旋转时,求动点 P 的轨迹方程. 2

19. (已知函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? bx ? c , x ? ?1 , f ( x ) 有极大值 7; x ? 3 时, f ( x ) 当 当 有极小值. (Ⅰ) 、求 a , b , c 的值. (Ⅱ) 、设 g ( x) ? f ( x) ? ax2 ,求 g ( x) 的单调区间.

20. 抛物线

y 2 ? 4x 上有两个定点 A、B 分别在对称轴的上、下两侧,F 为抛物线的焦

点,并且|FA|=2,|FB|=5,在抛物线 AOB 这段曲线上求一点 P,使△PAB 的面积最大,并求 这个最大面积.

3

21.要制作一个容积为 96? m 的圆柱形水池,已知池底的造价为 30元 / m ,池子侧面造价
3

2

为 20元 / m .如果不计其他费用,问如何设计,才能使建造水池的成本最低?最低成本是
2

多少?

22.已知圆 A 的圆心为( 2 ,0),半径为 1,双曲线 C 的两条渐近线都过原点,且与圆 A 相切,双曲线 C 的一个顶点 A / 与点 A 关于直线 y=x 对称. ⑴ 求双曲线 C 的方程; ⑵ 设直线 l 过点 A,斜率为 k,当 0<k<1 时,双曲线 C 的上支上有且仅有一点 B 到直线 l 的距离为 2 ,试求 k 的值及此时点 B 的坐标.

4

答案: 一、选择题 BCDAC,BCCCA A

二、13

?x ? R, x 2 ? x ? 3 ? 0

?x ? R, x 2 ? 1 ? 0
16 ①③⑤

14 充分不必要 15? y 2 ? ?4 x,或y 2 ? 12 x 三.17. 命题甲:m>2,命题乙:1<m<3.

故 1<m ? 2,或 m ? 3

18.解:设 P(x,y)是所求轨迹上的任一点, ①当斜率存在时,直线 l 的方程为 y=kx+1,A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,
2 2 由 ?4 x ? y ? 4 ? 0

? ? y ? kx ? 1

2 2 得: (4+k )x +2kx-3=0, x1+x2=- 2k , y1+y2= 2

4?k

8 , 4? k2

? ? ? 由 OP ? 1 (OA ? OB )

得: x,y)= 1 (x1+x2,y1+y2) ( ,即: ? ?
2

2

x1 ? x 2 k ?? 2 4? k2 ? ? y ? y1 ? y 2 ? 4 ? 2 4? k2 ? ? x?

消去 k 得:4x +y -y=0 斜率不存在时,AB 的中点为坐标原点,也适合方程所以动点 P 的轨迹方程为:4x +y -y= 0。 19. 解: (Ⅰ) f ?( x) ? 3x ? 2ax ? b 、
2
2 2

2

2

? f ( ?1) ? 7 ? ?1 ? a ? b ? c ? 7 ? ? 由题意得,? f ?( ?1) ? 0 ? ?3 ? 2a ? b ? 0 , 解得 a ? ?3 ,b ? ?9 ,c ? 2 ?27 ? 6a ? b ? 0 ? f ?(3) ? 0 ? ?
(Ⅱ) 、由(Ⅰ)得 g ( x) ? f ( x) ? ax ? x ? 3x ? 9x ? 2 ? 3x ? x ? 9x ? 2
2 3 2 2 3

于是 g ?( x) ? 3x2 ? 9

当 g ?( x) ? 0 时,有 3x ? 9 ? 0 ? x ? ? 3 或 x ?
2

3,

所以函数 g ( x) 的单调递增区间是 (??, ? 3) 和 ( 3, ??) 20. 解:由已知得 F (1,0) ,点 A 在 x 轴上方,设 A ( x1 , y1 ), y1 ? 0 , 由 FA ? 2 得 x1 ? 1 ? 2, x1 ? 1,所以 A(1,2),??2 分;同理 B(4,-4), ?3 分

所以直线 AB 的方程为 2 x ? y ? 4 ? 0 .?????????????????4 分 设在抛物线 AOB 这段曲线上任一点 P( x0 , y0 ) ,且 1 ? x0 ? 4,?4 ? y0 ? 2 .

5

则点 P 到直线 AB 的距离 d=

2 x0 ? y0 ? 4 1? 4

2? ?

2 y0 ? y0 ? 4 4

5

1 9 ( y0 ? 1) 2 ? 2 2 ? ?6 分 5

所以当 y0 ? ?1 时,d 取最大值

9 5 ,???7 分;又 AB ? 3 5 ?????8 分 10

所以△PAB 的面积最大值为 S ?

1 1 9 5 ?3 5 ? ? 27, 此时 P 点坐标为 ( ,?1) 4 2 10

21. 解:设池底半径为 r ,池高为 h ,成本为 y ,则:

96? ? ? r 2h ? h ?

96 r2

?????????????????????????2 分

y ? 30?r 2 ? 20 ? 2?rh ? 10?r (3r ? 4h) ? 30? (r 2 ?

128 ) ???????4 分 r

128 ) ?????????????????5 分 r2 128 令 y ? ? 30? (2r ? 2 ) ? 0 ,得 r ? 4,h ? 6 ????????????????6 分 r 128 2 ) 是减函数; ???????????7 分 又 r ? 4 时, y ? ? 0 , y ? 30? ( r ? r 128 r ? 4 时, y ? ? 0 , y ? 30? (r 2 ? ) 是增函数; ???????????8 分 r 128 2 ) 的值最小,最小值为 1440 ? ????????9 分 所以 r ? 4 时, y ? 30? ( r ? r y ? ? 30? ( 2r ?
答:当池底半径为 4 米,桶高为 6 米时,成本最低,最低成本为 1440 ? 元.???10 分 22.解:⑴ 设双曲线的渐近线为 y=kx,则 即渐近线为 y=±x.
| 2k | k 2 ?1 ? 1 ,解得 k=±1.

????3 分

又点 A 关于 y=x 的对称点 A'的坐标为(0, 2 ),所以,a=b= 2 , ????5 分

y2 x2 ? ?1. ????6 分 2 2 ⑵ 直线 l:y=k(x- 2 ),(0<k<1). 依题意设 B 点在与 l 平行的直线 l'上,且 l 与 l'间的距离为 2 ,设直线 l':y=kx+m, 则:
双曲线的方程为
| 2k ? m | k2 ?1
2 = 2 ,即m +2 2 km=2 2 2


2

????8分

把 l'代入双曲线方程得:(k -1)x +2mkx+m -2=0 2 2 2 2 2 ∵ 0<k<1,∴ k -1≠0. ∴ △=4(m +2k -2)=0,即m +2k =2

②??10分

10 2 5 ,k= . 5 5 此时,x=2 2 ,y= 10 ,所以B(2 2 , 10 ).
解①②,得m=

??12分 ????14分

6


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