当前位置:首页 >> 数学 >>

山东省济南市2017届高三上学期期末数学试卷(理科) Word版含答案


2016-2017 学年山东省济南市高三(上)期末数学试卷(理科)
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1.若集合 A={x|x2+5x+4<0},集合 B={x|x<﹣2},则 A∩(?RB)等于( A. (﹣2,﹣1) 2.复数 z= B.[﹣2,4) C.[﹣2,﹣1) 的实部为( ) D.? )

A.﹣2 B.﹣1 C.1、 D.0 3. 从高一某班学号为 1~50 的 50 名学生中随机选取 5 名同学参加数学测试, 采 用系统抽样的方法,则所选 5 名学生的学号可能是( A.2,11,23,34,45 B.5,16,27,38,49 C.3,13,25,37,47 D.4,13,22,31,40 4.已知 f(x)是奇函数,当 x>0 时,f(x)=x?2x+a﹣1,若 ( ) ,则 a 等于 )

A.﹣3 B.﹣2 C.﹣1 D.0 5.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是( )

A.

B.

C.

D. )的图象向右平移 个单位后经过点

6.若函数 f(x)=2sin(2x+φ) (|φ|< ( ,﹣ ) ,则 φ 等于( B.﹣ C.0 ) D.

A.﹣

7. 2) 已知命题 p: ? x∈ (﹣2, , |x﹣1|+|x+2|≥6, 则下列叙述正确的是 (
1



A.¬p 为:? x∈(﹣2,2) ,|x﹣1|+|x+2|<6 B.¬p 为:? x∈(﹣2,2) ,|x﹣1|+|x+2|≥6 C.¬p 为:? x∈(﹣∞,﹣2]∪[2,+∞) ,|x﹣1|+|x+2|<6 D.¬p 为真命题 8.若实数 x,y 满足不等式组 则 a 等于( ) D.1 且 3(x﹣a)+2(y+1)的最大值为 5,

A.﹣2 B.﹣1 C.2

9.从焦点为 F 的抛物线 y2=2px(p>0)上取一点 A(x0,y0) (x0> )作其准线 的垂线,垂足为 B.若|AF|=4,B 到直线 AF 的距离为 ( ) B.y2=3x C.y2=4x D.y2=6x 对任意的 x∈[1,m](m ) +ln2) ,则此抛物线的方程为

A.y2=2x

10.已知函数 f(x)=e|x|,函数 g(x)= >1) ,都有 f(x﹣2)≤g(x) ,则 m 的取值范围是( A. (1,2+ln2] B. (1, +ln2] C.[ln2,2)

D. (2,

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 11.已知向量 =(3,m) , =(1,﹣2) ,若 ? = 2,则 m= 12. (x+3) (1﹣ )5 的展开式中常数项为 . . .

13.如图是一个程序框图,则输出的 n 的值是

2

14.已知双曲线 C:



=1(a>0,b>0)的右焦点为 F(c,0) ,圆 F: (x

﹣c)2+y2=c2,直线 l 与双曲线 C 的一条渐近线垂直且在 x 轴上的截距为 a,若 圆 F 被直线 l 所截得的弦长为 c,则双曲线的离心率为 .

15.若函数 f(x)=(x﹣b)lnx(b∈R)在区间[1,e]上单调递增,则实数 b 的 取值范围是 .

三、解答题(本大题共 6 个小题,共 75 分) 16.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 (1)若 c=2,求 sinC; (2)求△ABC 面积的最大值. 17.如图,在梯形 ABCD 中,AB∥CD,AD=DC=CB=a,∠ABC=60°,平面 ACFE⊥ 平面 ABCD,四边形 ACFE 是矩形. (1)求证:BC⊥平面 ACFE; (2)若 AD=AE,求平面 BDF 与平面 ACFE 所成角的正弦值. .

18.已知等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 2n+1,Sn,a 成等差数列(n∈N*) . (1)求 a 的值及数列{an}的通项公式; (2)若 bn=(1﹣an)log2(anan+1) ,求数列{
3

}的前 n 项和 Tn.

19. 某公司为招聘新员工设计了一个面试方案: 应聘者从 6 道备选题中一次性随 机抽取 3 道题,按照题目要求独立完成.规定:至少正确完成其中 2 道题的便可 通过.已知 6 道备选题中应聘者甲有 4 道题能正确完成,2 道题不能完成;应聘 者乙每题正确完成的概率都是 ,且每题正确完成与否互不影响. (Ⅰ)分别求甲、乙两人正确完成面试题数的分布列,并计算其数学期望; (Ⅱ)请分析比较甲、乙两人谁的面试通过的可能性大? 20.已知函数 f(x)=ax﹣lnx,函数 g(x)= bx3﹣bx,a∈R 且 b≠0. (1)讨论函数 f(x)的单调性; (2)若 a=1,且对任意的 x1∈(1,2) ,总存在 x2∈(1,2) ,使 f(x1)+g(x2) =0 成立,求实数 b 的取值范围. 21.已知 F1(﹣c,0) 、F2(c、0)分别是椭圆 G: + =1(a>0)的左、右 .

焦点,点 P 是椭圆上一点,且 PF2⊥F1F2,|PF1|﹣|PF2|= (1)求椭圆 G 的方程; (2)直线 l 与椭圆 G 交于两个不同的点 M,N.

(i)若直线 l 的斜率为 1,且不经过椭圆 G 上的点 C(4,n) ,其中 n>0,求证: 直线 CM 与 CN 关于直线 x=4 对称. (ii)若直线 l 过 F2,点 B 是椭圆 G 的上顶点,是否存在直线 l,使得△BF2M 与 △BF2N 的面积的比值为 2?如果存在,求出直线 l 的方程;如果不存在,说明理 由.

2016-2017 学年山东省济南市高三 (上) 期末数学试卷 (理 科)
参考答案与试题解+析

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1.若集合 A={x|x2+5x+4<0},集合 B={x|x<﹣2},则 A∩(?RB)等于(
4



A. (﹣2,﹣1)

B.[﹣2,4) C.[﹣2,﹣1)

D.?

【考点】交、并、补集的混合运算. 【分析】求出 A 中不等式的解集确定出 A,找出 A 与 B 补集的交集即可. 【解答】解:由 A 中不等式变形得: (x+1) (x+4)<0, 解得:﹣4<x<﹣1,即 A=(﹣4,﹣1) , ∵B=(﹣∞,﹣2) , ∴?RB=[﹣2,+∞) , 则 A∩(?RB)=[﹣2,﹣1) , 故选:C.

2.复数 z=

的实部为(



A.﹣2 B.﹣1 C.1、 D.0 【考点】复数代数形式的乘除运算. 【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案. 【解答】解:∵z= ∴复数 z= 故选:D. = 的实部为 0. ,

3. 从高一某班学号为 1~50 的 50 名学生中随机选取 5 名同学参加数学测试, 采 用系统抽样的方法,则所选 5 名学生的学号可能是( A.2,11,23,34,45 B.5,16,27,38,49 C.3,13,25,37,47 D.4,13,22,31,40 【考点】系统抽样方法. 【分析】求出系统抽样间隔,即可得出结论. 【解答】解:从学号为 1~50 的高一某班 50 名学生中随机选取 5 名同学参加数 学测试,采用系统抽样,间隔相同, 故选 D. )

5

4.已知 f(x)是奇函数,当 x>0 时,f(x)=x?2x+a﹣1,若 ( )

,则 a 等于

A.﹣3 B.﹣2 C.﹣1 D.0 【考点】函数奇偶性的性质. 【分析】由于 f(x)是奇函数,可得 f(﹣x)=﹣f(x) ,据此可求出 f(﹣1) , 可得结论. 【解答】解:∵当 x>0 时,f(x)=x?2x+a﹣1,∴f(1)=21+a﹣1, 又∵函数 f(x)是奇函数,∴f(﹣1)=﹣f(1)=﹣21+a+1= , ∴a=﹣3. 故选:A.

5.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是(



A.

B.

C.

D.

【考点】由三视图求面积、体积. 【分析】几何体为半球与半圆柱的组合体. 【解答】解:由三视图可知几何体半球与半圆柱的组合体,半球的半径为 1,半 圆柱的底面半径为 1,高为 2, ∴几何体的体积 V= 故选 B. + = .

6

6.若函数 f(x)=2sin(2x+φ) (|φ|< ( ,﹣ ) ,则 φ 等于( B.﹣ C.0 ) D.

)的图象向右平移

个单位后经过点

A.﹣

【考点】函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 【分析】利用函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,正弦函数的图象和性质即 可得出结论. 【解答】解:∵函数 f(x)=2sin(2x+φ) (|φ|< 后, 得到的函数解+析式为 y=2sin(2x﹣ 又∵所得图象经过点( +φ)=﹣ , ,k∈Z,或 φ=2kπ+ ,k∈Z, ,﹣ +φ) , =2sin( ﹣ +φ) ,可得:sin(﹣ )的图象向右平移 个单位

) ,即:﹣

∴解得:φ=2kπ﹣ ∵|φ|< ∴φ=﹣ , .

故选:A.

7. 2) 已知命题 p: ? x∈ (﹣2, , |x﹣1|+|x+2|≥6, 则下列叙述正确的是 ( A.¬p 为:? x∈(﹣2,2) ,|x﹣1|+|x+2|<6 B.¬p 为:? x∈(﹣2,2) ,|x﹣1|+|x+2|≥6 C.¬p 为:? x∈(﹣∞,﹣2]∪[2,+∞) ,|x﹣1|+|x+2|<6 D.¬p 为真命题 【考点】命题的真假判断与应用;命题的否定.



【分析】由已知中的原命题,结合特称命题否定的定义,可得¬p.再由绝对值 三角不等式,可得答案. 【解答】解:∵命题 p:? x∈(﹣2,2) ,|x﹣1|+|x+2|≥6, ∴¬p 为:? x∈(﹣2,2) ,|x﹣1|+|x+2|<6,
7

故 A,B,C 全错误; 根据|x﹣1|+|x+2|≥|(x﹣1)+(﹣x﹣2)|=3, 故¬p 为真命题, 故 D 正确; 故选:D

8.若实数 x,y 满足不等式组 则 a 等于( ) D.1

且 3(x﹣a)+2(y+1)的最大值为 5,

A.﹣2 B.﹣1 C.2

【考点】简单线性规划. 【分析】画出约束条件的可行域,利用目标函数的几何意义,在可行域中找出最 优点,然后求解即可.

【解答】解:实数 x,y 满足不等式组

,不是的可行域如图:

3(x﹣a)+2(y+1)=3x+2y+2﹣3a 的最大值为:5,由可行域可知 z=3x+2y+2﹣3a, 经过 A 时,z 取得最大值, 由 解得 a=2. 故选:C. ,可得 A(1,3)可得 3+6+2﹣3a=5,

8

9.从焦点为 F 的抛物线 y2=2px(p>0)上取一点 A(x0,y0) (x0> )作其准线 的垂线,垂足为 B.若|AF|=4,B 到直线 AF 的距离为 ( ) B.y2=3x C.y2=4x D.y2=6x ,则此抛物线的方程为

A.y2=2x

【考点】抛物线的简单性质. 【分析】设 B 到直线 AF 的距离为 BC= ,求出 cos∠BAF= ,设 F 到 AB 的距离

为 AD,则|AD|=|AF|cos∠BAF=3,即可得出结论. 【解答】解:设 B 到直线 AF 的距离为 BC= 由|AF|=|AB|=4,可得 sin∠BAF= ∴cos∠BAF= , 设 F 到 AB 的距离为 AD,则|AD|=|AF|cos∠BAF=3,∴p+|AD|=4, ∴p=1, ∴此抛物线的方程为 y2=2x. 故选 A. , ,

10.已知函数 f(x)=e|x|,函数 g(x)= >1) ,都有 f(x﹣2)≤g(x) ,则 m 的取值范围是( A. (1,2+ln2] B. (1, +ln2] C.[ln2,2)

对任意的 x∈[1,m](m ) +ln2)

D. (2,

【考点】函数的图象;指数函数的图象与性质. 【分析】在同一坐标系中作出函数 f(x)和函数 g(x)的图象,数形结合可得 满足条件的 m 的取值范围. 【解答】解:∵f(x)=e|x|, ∴f(x﹣2)=e|x﹣2|, 在同一坐标系中作出函数 f(x)和函数 g(x)的图象如下图所示:

由图可得:当 x=1 时,f(x﹣2)=g(x)=e,
9

当 x=4 时,f(x﹣2)=e2<g(x)=4e, 当 x>4 时,由 f(x﹣2)=ex﹣2≤g(x)=4e5﹣x 得:e2x﹣7≤4, 解得:x≤ln2+ , 对任意的 x∈[1,m](m>1) ,都有 f(x﹣2)≤g(x) , 则 m∈(1, 故选:B +ln2],

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 11.已知向量 =(3,m) , =(1,﹣2) ,若 ? = 2,则 m= 【考点】平面向量数量积的运算. 【分析】利用两个向量的数量积公式,两个向量坐标形式的运算法则,求得 m 的值. 【解答】解:∵向量 =(3,m) , =(1,﹣2) ,若 ? = 2,则 3﹣2m=5, ∴m=﹣1, 故答案为:﹣1. ﹣1 .

12. (x+3) (1﹣

)5 的展开式中常数项为

43 .

【考点】二项式系数的性质. 【分析】 (1﹣ )5 的展开式中通项公式 Tk+1= =(﹣2)k ,令

﹣ =0,或﹣1,解得 k 即可得出. 【解答】解: (1 ﹣ )5 的展开式中通项公式 Tk+1= =(﹣2)k ,

令﹣ =0,或﹣1,解得 k=0,或 2. ∴(x+3) (1﹣ 故答案为:43. )5 的展开式中常数项=3+ =43.

13.如图是一个程序框图,则输出的 n 的值是

5



10

【考点】程序框图. 【分析】模拟程序框图的运行过程,即可得出程序运行后输出的结果. 【解答】解:模拟程序框图的运行过程知, S=1 时,n=1; S=2 时,n=2; S= S= 时,n=4; >10,n=5;

终止循环,输出 n=5. 故答案为:5.

14.已知双曲线 C:



=1(a>0,b>0)的右焦点为 F(c,0) ,圆 F: (x

﹣c)2+y2=c2,直线 l 与双曲线 C 的一条渐近线垂直且在 x 轴上的截距为 a,若 圆 F 被直线 l 所截得的弦长为 【考点】双曲线的简单性质. 【分析】 设直线 l 的方程为 y= (x﹣ a) , 利用圆 F 被直线 l 所截得的弦长为 可得圆心 F 到直线 l 的距离为 c, c,则双曲线的离心率为 2 .

= ,即可求出双曲线的离心率. =0.

【解答】解:设直线 l 的方程为 y= (x﹣ a) ,即 ax﹣by﹣ ∵圆 F 被直线 l 所截得的弦长为 c,

11

∴圆心 F 到直线 l 的距离为 ∴

= ,

= ,∴(c﹣a) (c﹣2a)=0,

∴c=2a,∴e=2, 故答案为 2.

15.若函数 f(x)=(x﹣b)lnx(b∈R)在区间[1,e]上单调递增,则实数 b 的 取值范围是 (﹣∞,1] .

【考点】利用导数研究函数的单调性. 【分析】令 f′(x)≥0 在[1,e]上恒成立,对 b 进行讨论得出 b 的范围. 【解答】解:f′(x)=lnx+ =lnx﹣ +1,

∵f(x)在[1,e]上单调递增,∴f′(x)≥0 在[1,e]上恒成立, 若 b≤0,显然 f′(x)>0 恒成立,符合题意, 若 b>0,则 f′′(x)= + >0,

∴f′(x)=lnx﹣ +1 在[1,e]上是增函数, ∴f′(x)≥f′(1)≥0,即﹣b+1≥0,解得 0<b≤1, 综上,b 的范围是(﹣∞,1]. 故答案为(﹣∞,1].

三、解答题(本大题共 6 个小题,共 75 分) 16.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 (1)若 c=2,求 sinC; (2)求△ABC 面积的最大值. 【考点】正弦定理. 【分析】 (1)由已知及正弦定理可求 2sinB= cosB,利用同角三角函数基本关系 .

式可求 tanB,进而可求 sinB,由正弦定理即可求得 sinC 的值. (2)由(1)利用同角三角函数基本关系式可求 cosB,利用余弦定理,基本不 等式可求 ac≤ ,进而利用三角形面积公式即可计算得解.
12

【解答】解: (1)∵2sinA=acosB, ∴2sinB= 即 tanB= ∴sinB= ∵c=2, ∴sinC= = . cosB, , ,

,b=



(2)由(1)得 cosB= , ∴5=a2+c2﹣ ac≥2ac﹣ ac= ac, 即有 ac≤ , = .

可得:△ABC 面积的最大值为:

17.如图,在梯形 ABCD 中,AB∥CD,AD=DC=CB=a,∠ABC=60°,平面 ACFE⊥ 平面 ABCD,四边形 ACFE 是矩形. (1)求证:BC⊥平面 ACFE; (2)若 AD=AE,求平面 BDF 与平面 ACFE 所成角的正弦值.

【考点】二面角的平面角及求法;直线与平面垂直的判定. 【分析】 (1)推导出 AC⊥BC,由此能证明 BC⊥平面 ACFE. (2)设 AC 与 BD 交点为 O,连结 FO,过 C 作 CG⊥FO,G 为垂足,连结 BG,则 ∠BGC 为所求二面角的平面角,则平面 BDF 与平面 ACFE 所成角的正弦值. 【解答】证明: (1)在梯形 ABCD 中,∵AD=DC=CB=a,∠ABC=60°, ∴四边形 ABCD 是等腰梯形, 且∠DCA=∠DAC=30°,∠DCB=120 ∴∠ACB=90,∴AC⊥BC

13

又∵平面 ACF⊥平面 ABCD,交线为 AC, ∴BC⊥平面 ACFE. 解: (2)设 AC 与 BD 交点为 O,连结 FO, 过 C 作 CG⊥FO,G 为垂足,连结 BG, 由(1)得 BC⊥平面 ACEF,则∠BGC 为所求二面角的平面角, 在 Rt△ABC 中,BC=a,∠ABC=60°,则 AB=2a,AC= ∵AB∥DC,CD=a,∴ ∵AE=CF=a,∴FO= ∴tan∠BGC= ,则 AO=2CO= ,则 CG= = , . . a, ,

=2,∴sin∠BGC=

∴平面 BDF 与平面 ACFE 所成角的正弦值为

18.已知等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 2n+1,Sn,a 成等差数列(n∈N*) . (1)求 a 的值及数列{an}的通项公式; (2)若 bn=(1﹣an)log2(anan+1) ,求数列{ }的前 n 项和 Tn.

【考点】数列的求和;等差数列与等比数列的综合. 【分析】 (1)利用数列递推公式、等比数列的通项公式即可得出. ( 2 ) 由 ( 1 ) 得 bn= ( 1 ﹣ an ) log2 ( anan+1 ) = ( 2n+1 ) ( 2n ﹣ 1 ) ,可得 = = ,利用“裂项求和”方法即可得出.

【解答】解: (1)∵2n+1,Sn,a 成等差数列(n∈N*) .∴2Sn=2n+1+a, 当 n=1 时,2a1=4+a, 当 n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1=2n﹣1. ∵数列{an}是等比数列, ∴a1=1,则 4+a=2,解得 a=﹣2, ∴数列{an}的通项公式为 an=2n﹣1.
14

(2)由(1)得 bn=(1﹣an)log2(anan+1)=(2n+1) (2n﹣1) , ∴ = = }的前 n 项和 Tn= , +…+

∴数列{ = = .

19. 某公司为招聘新员工设计了一个面试方案: 应聘者从 6 道备选题中一次性随 机抽取 3 道题,按照题目要求独立完成.规定:至少正确完成其中 2 道题的便可 通过.已知 6 道备选题中应聘者甲有 4 道题能正确完成,2 道题不能完成;应聘 者乙每题正确完成的概率都是 ,且每题正确完成与否互不影响. (Ⅰ)分别求甲、乙两人正确完成面试题数的分布列,并计算其数学期望; (Ⅱ)请分析比较甲、乙两人谁的面试通过的可能性大? 【考点】离散型随机变量的期望与方差;等可能事件的概率. 【分析】 (Ⅰ)确定甲、乙两人正确完成面试题数的取值,求出相应的概率,即 可得到分布列,并计算其数学期望; (Ⅱ)确定 Dξ<Dη,即可比较甲、乙两人谁的面试通过的可能性大. 【解答】解: (Ⅰ)设甲正确完成面试的题数为 ξ,则 ξ 的取值分别为 1,2,3.… P ( ξ=1 ) = = ; P ( ξ=2 ) = = ; P ( ξ=3 )

=

= ;



考生甲正确完成题数 ξ 的分布列为 ξ P Eξ=1× +2× +3× =2.… 设乙正确完成面试的题数为 η,则 η 取值分别为 0,1,2,3.… P(η=0)= ;P(η=1)=
15

1

2

3

=

,P(η=2)=

=

,P

(η=3)=

=

.…

考生乙正确完成题数 η 的分布列为: η P Eη=0× +1× +2× +3× =2.… = ,… 0 1 2 3

(Ⅱ)因为 Dξ= Dη=npq= .… 所以 Dξ<Dη.

综上所述, 从做对题数的数学期望考查, 两人水平相当; 从做对题数的方差考查, 甲较稳定;从至少完成 2 道题的概率考查,甲获得面试通过的可能性大.…

20.已知函数 f(x)=ax﹣lnx,函数 g(x)= bx3﹣bx,a∈R 且 b≠0. (1)讨论函数 f(x)的单调性; (2)若 a=1,且对任意的 x1∈(1,2) ,总存在 x2∈(1,2) ,使 f(x1)+g(x2) =0 成立,求实数 b 的取值范围. 【考点】利用导数研究函数的单调性. 【分析】 (1)求出函数的导数,通过讨论 a 的范围,求出函数的单调区间即可; (2)设 h(x)=﹣f(x)在(1,2)上的值域是 A,函数 g(x)在(1,2)上的 值域是 B,则 A? B,根据函数的单调性分别求出集合 A、B,从而求出 b 的范围 即可. 【解答】解: (1)f′(x)=a﹣ = , (x>0) ,

当 a≤0 时,f′(x)<0,则 f(x)在(0,+∞)递减, a>0 时,由 f′(x)>0,得:x> ,由 f′(x)<0 得 0<x< , ∴f(x)在(0, )递减,在( ,+∞)递增; (2)∵对任意的 x1∈(1,2) ,总存在 x2∈(1,2) , 使得 f(x1)+g(x2)=0,

16

∴对任意的 x1∈(1,2) , 总存在 x2∈(1,2) ,使得 g(x2)=﹣f(x1) , 设 h(x)=﹣f(x)在(1,2)上的值域是 A, 函数 g(x)在(1,2)上的值域是 B,则 A? B, 当 x∈(1,2)时,h′(x)= <0,

即函数 h(x)在(1,2)上递减, ∴h(x)∈(ln2﹣2,﹣1) , g′(x)=bx2﹣b=b(x+1) (x﹣1) , ①当 b<0 时,g(x)在(1,2)是减函数, 此时,g(x)的值域是 B=( b,﹣ b) , ∵A? B,又﹣ b≥0>﹣1, ∴ b≤ln2﹣2, 即 b≤ ln2﹣3, ②当 b>0 时,g(x)在(1,2)上是指数, 此时,g(x)的值域是 B=(﹣ b, ∵A? B, ∴﹣ b≤ln2﹣2, ∴b≥﹣ (ln2﹣2)=3﹣ ln2, 综上可得 b 的范围是(﹣∞, ln2﹣3]∪[3﹣ ln2,+∞) . b) ,

21.已知 F1(﹣c,0) 、F2(c、0)分别是椭圆 G:

+

=1(a>0)的左、右 .

焦点,点 P 是椭圆上一点,且 PF2⊥F1F2,|PF1|﹣|PF2|= (1)求椭圆 G 的方程; (2)直线 l 与椭圆 G 交于两个不同的点 M,N.

(i)若直线 l 的斜率为 1,且不经过椭圆 G 上的点 C(4,n) ,其中 n>0,求证:
17

直线 CM 与 CN 关于直线 x=4 对称. (ii)若直线 l 过 F2,点 B 是椭圆 G 的上顶点,是否存在直线 l,使得△BF2M 与 △BF2N 的面积的比值为 2?如果存在,求出直线 l 的方程;如果不存在,说明理 由. 【考点】椭圆的简单性质. 【分析】 (1) 设|PF1|=m, |PF2|=n. 由 PF2⊥F1F2, |PF1|﹣|PF2|= m﹣n= ,m+n=2a,又 a2=5+c2,解出即可得出. =1,解得 y,可得 C(4,1) .设直 , 可得 m2=n2+4c2,

(2) (i)把 x=4 代入椭圆方程可得:

线 l 的方程为:y=x+m,kCM=k1,kCN=k2,M(x1,y1) ,N(x2,y2) .直线方程与 椭 圆 方 程 联 立 化 为 : 5x2+8mx+4m2 ﹣ 20=0 , △ > 0 , k1+k2= + = ,把根与系数的关系代入分

子=0.即可证明. (ii)△BF2M 与△BF2N 的面积的比值为 2,可得:|F1M|=2|F2M|,即 y1=﹣2y2, ①, 当直线 l 为 x 轴时, 不和题意, 舍去. 当直线 l 的斜率存在时, 设方程为 x=k+ y2+2 代入椭圆方程化为: (k2=4) ③由①②③联立解出即可得出. 【解答】解: (1)设|PF1|=m,|PF2|=n. ∵PF2⊥F1F2,|PF1|﹣|PF2|= ∴m2=n2+4c2,m﹣n= 解得:a2=20,c2=15. ∴椭圆 G 的方程为 =1. , ky﹣5=0, 可得 y1+y2= , ②y1?y2= , ,

,m+n=2a,a2=5+c2,

(2) (i)把 x=4 代入椭圆方程可得:

=1,解得 y=±1,则 C(4,1) .

设直线 l 的方程为:y=x+m,kCM=k1,kCN=k2,M(x1,y1) ,N(x2,y2) .
18

联立

,化为:5x2+8mx+4m2﹣20=0,△=64m2﹣20(4m2﹣20)>0,

解得﹣5<m<5. x1+x2=﹣ k1+k2= ,x1?x2= + = . ,

分子=(x1+m﹣1) (x2﹣4)+(x2+m﹣1) (x1﹣4)=2x1?x2+(m﹣5) (x1+x2)+8 (1﹣m) =2× ∴k1+k2=0, ∴直线 CM 与 CN 关于直线 x=4 对称. (ii)△BF2M 与△BF2N 的面积的比值为 2,可得: ∴|F1M|=2|F2M|,即 y1=﹣2y2,①,当直线 l 为 x 轴时,不和题意,舍去. 当直线 l 的斜率存在时, 设方程为 x=k+ ﹣5=0, ∴y1+y2= ,②y1?y2= ,③由①②③联立解得 k2= y+ ,即 k=± . y2+2 , 代入椭圆方程化为: (k2=4) ky +(m﹣5)× +8(1﹣m)=0.

x± ∴存在直线 l 的方程为: 为 2.

=0, 使得△BF2M 与△BF2N 的面积的比值

2017 年 3 月 11 日

19


赞助商链接
相关文章:
山东省济南市2017届高三上学期期末考试数学(理)试题(C...
山东省济南市2017届高三上学期期末考试数学(理)试题(C卷) Word版含答案 - 高三期末测试数学试卷(理科) 第Ⅰ卷一、选择题(本大题共 10 个小题,每小题 5 ...
山东省济南第一中学2017届高三上学期期末考试数学(理)...
山东省济南第一中学2017届高三上学期期末考试数学(理)试题 Word版含答案_数学_高中教育_教育专区。济南一中 2016—2017 学年度第一学期期末考试 高三数学试题(理科...
山东省济南市2017届高三上学期期末考试数学(理)试题(C...
山东省济南市2017届高三上学期期末考试数学(理)试题(C卷) Word版含答案 - 高三期末测试数学试卷(理科) 第Ⅰ卷一、选择题(本大题共 10 个小题,每小题 5 ...
山东省济南市2017届高三上学期期末考试数学(理)试题(C...
山东省济南市2017届高三上学期期末考试数学(理)试题(C卷) 扫描版含答案_高三数学_数学_高中教育_教育专区。山东省济南市2017届高三上学期期末考试数学(理)试题(C...
2017届高三上学期期末联考试题(数学理)(含答案)word版
2017届高三上学期期末联考试题(数学理)(含答案)word版 - 2016—2017 学年度上学期期末考试 高三年级理科数学试卷 第 I 卷(选择题共 60 分) 一、选择题:本大...
2017届山东省济南市高三上学期期末考试理科数学试题 及...
2017届山东省济南市高三上学期期末考试理科数学试题答案_数学_高中教育_教育专区。山东省济南市 2017 届高三上学期期末考试数学(理)试题 锥体侧面积公式 S ? ...
山东省威海市2017届高三上学期期末考试数学理试题 Word...
山东省威海市2017届高三上学期期末考试数学理试题 Word版含答案 - 绝密★启用并使用完毕前 高三理科数学 本试卷分第Ⅰ卷 (选择题) 和第Ⅱ卷 (非选择题) 两...
2017届高三上学期期末考试数学(理)试题 Word版含答案
2017届高三上学期期末考试数学(理)试题 Word版含答案 - 2016—2017 学年度第一学期期末练习 高三数学(理科) 第一部分 (选择题 共 40 分) 一、选择题共 8 ...
2017届高三上学期期末考试数学(理科)试题 Word版含答案
2017届高三上学期期末考试数学(理科)试题 Word版含答案_高三数学_数学_高中教育_教育专区。2017届高三上学期期末考试数学(理科)试题 Word版含答案 ...
2017届高三上学期期末教学质量测试题(含答案)word版
2017届高三上学期期末教学质量测试题(含答案)word版 - 吉安高三上学期期末教学质量评价 数学试卷(理科) 本试卷分第 I 卷(选择题)和第 n 卷(非选择题)两...
更多相关标签: