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高中数学第四章三角函数章节知识点与04年高考试题


一、知识结构: 三角函数的定义,包括任意角的三角函数的符号,同角三角函数的关系式,诱导公式,两角和与差 的三角函数公式,以及它们的变形公式等等.然后,我们又共同学习了三角函数(主要是:正弦函数、余 弦函数、正切函数)的图象和性质.接下来,我们又共同探讨了它们的应用.运用上述公式和性质主要是 进行三角函数式的化简、求值、证明以及它们的综合运用 二、基本知识点: 概念:(1)角的概念

推广,正角、负角、零角,终边相同的角;(2)弧度制:一弧度角的定义(长度 等于半径长的弧所对的圆心角) ;弧长公式为: l =| ? |r(其中 l 为弧长,r 为半径,? 为圆弧所对圆
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心角的弧度数);角度制与弧度制的换算( 180 ? ? 弧度) ;(3)任意角的正弦、余弦、正切、余切、正
0

割、余割六个三角函数的定义,定义域,三角函数线,三角函数值在各个象限的符号;(4)同角三角函 数间的基本关系式、平方关系、商数关系、倒数关系;(5)诱导公式,主要包括π ± ? ,2π ± ? ,

?,

3? ± ? 与 ? 角三角函数间的关系;(6)两角和、差的正弦,余弦、正切公式及其变形;(7)二倍角、 2

? ± 2

半角的正弦、余弦、正切公式;升降幂公式;万能公式;(8)三角函数的图象和性质(定义域,值域(包 括最值), 奇偶性, 周期性, 单调性, 函数的图象, 对称点, 对称轴) ; (9) 用 arcsin x ,arccosx ,arctan x 表示角 方法:1.已知一个角的一个三角函数值,求这个角的其他三角函数值的方法;2.利用诱导公式求任 意角三角函数值的方法;3.已知一个角的一个三角函数值,求符合条件的角的方法;4.利用三角公式进 行恒等变形的方法(变角、变次数、变函数名称、变运算关系等);5.证明角相等的方法和证明三角恒等 式的方法;6.作三角函数图象的方法-五点法;7.三角函数图象变换的方法;8.求三角函数单调区间的 方法.(9)化归思想:把未知化归为已知,例如用诱导公式把求任意角的三角函数值逐步化归为求锐角 三角函数值; 把特殊化归为一般, 例如把正弦函数的图象逐步化归为函数 y=Asin(ω x+ ? ), x∈R, (其
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中 A>0,ω >0)的简图;把已知三角函数值求角化归为[0,2π ]上适合条件的角的集合等;等价化 归,例如进行三角函数式的化简、恒等变形和证明三角恒等式 三、巩固训练(2004 年高考试题)
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广东卷 9.当 0 ? x ?

?
4

时,函数 f ( x ) ?

cos2 x 的最小值是 ( cos x sin x ? sin 2 x


)A. 4
y 1

B.

1 2

C.2 D.

1 4

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辽宁卷 1.若 cos? ? 0, 且 sin 2? ? 0, 则角? 的终边所在象限是( A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
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? 3

O

2? 3

x

辽宁卷 11.若函数 f ( x) ? sin(?x ? ? ) 的图象(部分)如图所示,则 ?和? 的取值是 A. ? ? 1, ? ?

?
3

B. ? ? 1, ? ? ?

?
3

C. ? ?

1 ? ,? ? 2 6

D. ? ?

全国卷三理⒁ 函数 y ? sin x ? 3 cos x 在区间[ 0, 全国卷三理⒄文(18) 已知 ? 为锐角,且 tg ? =

?

1 ? ,? ? ? 2 6

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1 sin 2? cos ? ? sin ? ,求 的值 2 sin 2? cos 2?

2

]的最小值为______(1)

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解:∵ tg? ?

1 2 sin 2? cos ? ? sin ? sin ? (2cos2 ? ?1) 1 5 , ? 为锐角 ∴ cos ? ? ∴ ? ? ? 2 sin 2? cos2? 2sin ? cos ? cos2? 2cos ? 4 5

全国卷三文(2)函数 y ? sin

x 的最小正周期是( 2

)A.

? 2

B.

? C. 2?


D.

4?

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全国卷四理 15.函数 f ( x) ? cos x ?

1 cos 2 x( x ? R) 的最大值等于 2

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sin(? ? ) 15 4 全国卷四文理 17. 已知α 为第二象限角,且 sinα = 的值 ,求 4 sin 2? ? cos 2? ? 1
sin( ??

?

3 ) 4

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2 (sin? ? cos? ) 2 (sin? ? cos? ) 4 2 ? 解: ? . 当 ? 为第二象限角,且 2 sin 2? ? cos2? ? 1 2 sin ? cos? ? 2 cos ? 4 cos? (sin? ? cos? ) )

?

sin(? ? ) 1 15 2 4 时, sin ? ? cos ? ? 0, cos ? ? ? ,所以 = sin ? ? ? ? 2. 4 4 sin 2? ? cos 2? ? 1 4 cos? 1 x ?? 3 ( A ? 0) 的最小正周期为 3 ? ,则 A= 全国卷四文 14.已知函数 y ? sin ( ) 2 A 2 ? 天津卷理 9 文 10. 函数 y ? 2 sin( ? 2 x)( x ? [0, ? ]) 为增函数的区间是 6 ? ? 7? ? 5? 5? ] ] ] , ?] A. [0, B. [ , C. [ , D. [ 3 12 12 3 6 6
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?

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1 sin 2a ? cos2 ? 天津卷文理 17. 已知 tan( ? ? ) ? , (1)求 tan ? 的值; (2)求 的值 4 2 1 ? cos 2?

?

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解(1) :由 tan( ? ? ) ?

?

tan

?
4

? tan?

4

1 ? tan tan? 4

?

?

1 1 ? tan? 1 ? ,解得 tan ? ? ? 3 1 ? tan? 2

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(2)解:

1 1 1 5 sin 2? ? cos2 ? 2 sin ? cos? ? cos2 ? 2 sin ? ? cos ? ? ? tan ? ? ? ? ? ? ? ? 2 2 cos ? 2 3 2 6 1 ? cos 2? 1 ? 2 cos ? ? 1

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天津卷文 12. 定义在 R 上的函数 f ( x) 既是偶函数又是周期函数。若 f ( x) 的最小正周期是 ? ,且当

x ? [0 ,

?
2

] 时, f ( x) ? sin x ,则 f (

5? ) 的值为( 3

)A. ?

1 1 3 B. C. ? D. 2 2 2
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3 2

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北京卷理(9)函数 f ( x) ? cos 2 x ? 2 3 sin x cos x 的最小正周期是_____ ( ? )
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北京卷文(9)函数 f ( x) ? sin x cos x 的最小正周期是_____ ( ? )
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福建卷文理 11.定义在 R 上的偶函数 f(x)满足 f(x)=f(x+2),当 x∈[3,5]时,f(x)=2-|x-4|,则( A.f(sin



? ? 2? 2? )<f(cos ) B.f(sin1)>f(cos1) C.f(cos )<f(sin ) D.f(cos2)>f(sin2) 6 6 3 3
) A.2 B.2+ 3 C.4 D.

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福建卷文 2. tan 15 ? ? cot 15 ? 的值是(

4 3 3

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湖北卷文理 12.设 y ? f (t ) 是某港口水的深度 y(米)关于时间 t(时)的函数,其中 0 ? t ? 24 .下表 是该港口某一天从 0 时至 24 时记录的时间 t 与水深 y 的关系: t y 0 12 3 15.1 6 12.1 9 9.1 12 11.9 15 14.9 18 11.9 21 8.9 24 12.1

经长期观察,函数 y ? f (t ) 的图象可以近似地看成函数 y ? k ? A sin(?t ? ? ) 的图象.下面的函数 中,最能近似表示表中数据间对应关系的函数是( t ? [0,24] ) ( A y ? 12 ? 3 sin )

?

t B y ? 12 ? 3 sin( t ? ? ) C y ? 12 ? 3 sin t D y ? 12 ? 3 sin( t ? ) 6 6 12 12 2
2 2

?

?

?

?

湖北卷文理 17.已知 6 sin ? ? sin ? cos ? ? 2 cos ? ? 0, ? ? [

?

2

, ? ], 求 sin( 2? ?

?

3

) 的值

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解:由已知得: (3 sin ? ? 2 cos? )(2 sin ? ? cos? ) ? 0 ? 3 sin ? ? 2 cos ? ? 0或2 sin ? ? cos ? ? 0 由已知条件可知 cos ? ? 0, 所以 ? ?

?

? 2 ,即? ? ( , ? ). 于是 tan ? ? 0,? tan ? ? ? . 2 2 3

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sin( 2? ?

?
3

) ? sin 2? cos

?
3

? cos 2? sin

?
3

? sin ? cos? ?

3 (cos2 ? ? sin 2 ? ) 2

?

sin ? cos? 3 cos2 ? ? sin 2 ? tan? 3 1 ? tan2 ? ? ? ? ? ? . 2 cos2 ? ? sin 2 ? 1 ? tan2 ? 2 1 ? tan2 ? cos2 ? ? sin 2 ?

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2 2 (? ) 1 ? (? ) 2 3 3 3 ?? 6 ?5 3 ? ? 2 2 2 13 26 1 ? (? ) 2 1 ? (? ) 2 3 3 ? ? 1 ? ? 2 湖南卷理 17. 已知 sin( ? 2? ) ? sin( ? 2? ) ? ,? ? ( , ), 求2 sin ? ? tan ? ? cot ? ? 1 的值 4 4 4 4 2 ? ? ? ? 1 ? 1 1 解:由 sin( ? 2? ) ? sin( ? 2? ) ? sin( ? 2? ) ? cos( ? 2? ) ? sin( ? 4? ) ? cos 4? ? , 4 4 4 4 2 2 2 4 1 ? ? 5? 4? ? . 又 ? ? ( , ), 所以 ? ? . 得 cos 2 4 2 12
2 ? 将 tan ? ? ? 代入上式得 sin(2? ? ) ? ? 3 3
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于是

2 2s i n ? ?t an ? ? c o? t ?1? ?c o s 2? ?

2 sin ? ?co2 s? ? 2c o s 2? ? ?c o s 2? ? sin ?co? s sin 2?

5? 5? 3 5 ? ?( c o2 s ? ? 2c o 2 t ? ) ? ?( c o s ? 2 c o t ) ? ?(? ? 2 3) ? 3. 6 6 2 2 ? 1 湖南卷文 17. 已知 tan( ? ? ) ? 2, 求 的值. 4 2 sin ? cos ? ? cos 2 ?
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解:由 tan(

?

4

??) ?

1 ? tan ? ? 2, 1 ? tan ?

1 得 tan ? ? . 3
2 2 2
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1 ( )2 ?1 1 sin ? ? cos ? tan ? ? 1 2 于是 ? ? ? 3 ? . 2 2 1 3 2 sin ? cos? ? cos ? 2 sin ? cos? ? cos? ? 2 tan? ? 1 2? ?1 3
上海卷文理 14、三角方程 2sin(

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? -x)=1 的解集为( ) 2 ? 5? ? A{x│x=2kπ+ ,k∈ Z}. B {x│x=2kπ+ ,k∈ Z}.C{x│x=2kπ± ,k∈ Z}. D{x│x=kπ+(-1)K,k∈ Z}. 3 3 3 ? 全国卷一文理 9.为了得到函数 y ? sin( 2 x ? ) 的图象,可以将函数 y ? cos 2 x 的图象( )A.向右
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? ? ? ? 平移 个单位长度 B.向右平移 个单位长度 C.向左平移 个单位长度 D.向左平移 个单位长度 6 3 6 3
全国卷一理 17 文 18. 求函数 f ( x) ?

6

sin 4 x ? cos4 x ? sin 2 x cos2 x 的最小正周期、 最大值和最小值 . 2 ? sin 2 x
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1 1 (sin 2 x ? cos2 x) 2 ? sin 2 x cos2 x 1 ? sin 2 x cos2 x 1 ? (1 ? sin x cos x) ? sin 2 x ? 解:f ( x) ? ? 4 2 2 ? 2 sin x cos x 2(1 ? sin x cos x) 2
所以函数 f(x)的最小正周期是π ,最大值是 全国卷一文 6.设 ? ? (0,

?

3 ? ) 若 sin ? ? , 则 2 cos(? ? ) =( 2 5 4
) (A)

3 1 ,最小值是 4 4

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)A.

全国卷二文 11 函数 y=sin4x+cos2x 的最小正周期为(

? 4

7 5

B.

(B)

? (C) ? (D)2 ? 2

1 5

C.

7 2

D.4

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重庆卷文理 17. 求函数 y ? sin 4 x ? 2 3 sin x cos x ? cos4 x 的取小正周期和取小值;并写出该函数 在 [0, ? ] 上的单调递增区间
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解: y ? sin 4 x ? 2 3 sin x cos x ? cos4 x
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? ? (sin 2 x ? cos2 x)(sin2 x ? cos2 x) ? 3 sin 2x ? 3 sin 2x ? cos2x ? 2 sin( 2 x ? ) 6 1 5 故该函数的最小正周期是 ? ;最小值是-2;单增区间是[ 0, ? ], [ ? , ? ] 3 6 1 1 3 重庆卷文 5. sin163 sin 223 ? sin 253 sin 313 ? ( ) A? B C ? D 2 2 2
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3 2

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