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排列组合综合应用3,4(其他问题)


宜春中学数学学科 2-3 册笫一章排列组合的综合应用 3、4 导学案 编写:丁红平 学习目标: 审核:高二数学理科备课组

编号:59-60

1.进一步理解和应用分步计数原理和分类计数原理; 2.掌握解决排列组合问题的常用策略;能运用解题策略解决简单的综合应用题。提高学生解决问题分析 问题的能力 ; 3.学会应用数学思想和方法解决排列组合问题。. 学习重点:排列组合在其他一些方面的应用 学习难点:排列组合在其他一些方面的应用 学习过程: 一、预习导航,要点指津(约 3 分钟) 引例 1 :交叉问题集合法:某些排列组合问题几部分之间有交集,可用集合中求元素个数公式

间的关系转化为集合与集合之间的运算关系,通过计算集合的元素个数来计算排列或组合的个数,这 有助于将带有多个附加条件的排列或组合问题分解为只有 1 个或简单几个附加条件的排列或组合问题 来处理,这可大大简化复杂的分类过程,从而降低了问题的难度. 例 2、 (1)以正方体的顶点为顶点的四面体共有( ) A、70 种 B、64 种 C、58 种 D、52 种
4 解析:正方体 8 个顶点从中每次取四点,理论上可构成 C8 四面体,但 6 个表面和 6 个对角面的四个顶

4 点共面都不能构成四面体,所以四面体实际共有 C8 ?12 ? 58 个.

(2)四面体的顶点和各棱中点共 10 点,在其中取 4 个不共面的点,不同的取法共有( A、150 种 B、147 种 C、144 种 D、141 种
4



解析:10 个点中任取 4 个点共有 C10 种,其中四点共面的有三种情况:①在四面体的四个面上,每面 内四点共面的情况为 C6 ,四个面共有 4C6 个;②过空间四边形各边中点的平行四边形共 3 个;③过棱
4 4 上三点与对棱中点的三角形共 6 个.所以四点不共面的情况的种数是 C10 ? 4C6 ? 3 ? 6 ? 141 种.
4
4

n( A ? B) ? n( A) ? n( B) ? n( A ? B) .
1.从 6 名运动员中选出 4 人参加 4×100 米接力赛,如果甲不跑第一棒,乙不跑第四棒,共有多少种不 同的参赛方案? 解析:设全集={6 人中任取 4 人参赛的排列} ,A={甲跑第一棒的排列} ,B={乙跑第四棒的排列} ,根 据求集合元素个数的公式得参赛方法共有:
4 3 3 2 n( I ) ? n( A) ? n( B) ? n( A ? B) ? A6 ? A5 ? A5 ? A4 ? 252 种.

(3)正方体 8 个顶点可连成多少队异面直线? 解析:因为四面体中仅有 3 对异面直线,可将问题分解成正方体的 8 个顶点可构成多少个不同的四面
4 体,从正方体 8 个顶点中任取四个顶点构成的四面体有 C8 ?12 ? 58 个,所以 8 个顶点可连成的异面

直线有 3×58=174 对. 二、自主探索,独立思考(约 10 分钟) 例 1、小明家住二层,他每次回家上楼梯时都是一步迈两级或三级台阶。已知相邻楼层之间有 16 级台 阶,那么小明从一层到二层共有多少种不同的走法? 【解析】 :插空法解题:考虑走 3 级台阶的次数: 1)有 0 次走 3 级台阶(即全走 2 级) ,那么有 1 种走法; 2)有 1 次走三级台阶。 (不可能完成任务) ; 3)有两次走 3 级台阶,则有 5 次走 2 级台阶:
1 (a)两次三级台阶挨着时:相当于把这两个挨着的三级台阶放到 5 个两级台阶形成的空中,有 C6 ?6种

2.男运动员 6 名,女运动员 4 名,其中男女队长各 1 人,选派 5 人外出比赛,在下列情形下各有多少 种选派方法? (1)队长至少有 1 人参加;(2)既要有队长,又要有女运动员. 解:(1)设 A={选派 5 人有男队长参加的},B={选派 5 人有女队长参加的},则原题即求 n(A∪B), 而 n(A∪B)=n(A)+n(B)-n(A∩B).
4 3 4 3 n(A)= C9 =n(B), n(A∩B)= C8 , 故 n(A∩B)= 2C9 ? C8 ? 196.

另解:设 A={选派 5 人有 1 个队长参加的},B={选派 5 人有 2 个队长参加的},则原题即求 n(A∪B),
1 4 2 3 n(A)= C2 C8 , n(B)= C2 C8 , n(A∩B)=n( 1 4 2 3 )=0. 因此 n(A∪B)=n(A)+n(B)= C2 C8 + C2 C8 =196.

说明:A∩B 即选派 5 人既要有 1 个队长参加又要有 2 个队长参加这件事,这是不可能事件. (2)设 A={选派 5 人有队长参加的},B={选派 5 人有女运动员参加的},则原题即求 n(A∩B), 又 n( A ? B) ? n( I ) ? n( A ? B) ? n( I ) ? n( A ? B)
5 5 5 5 ? C8 ? C6 ? C5 ? 191 ? n( I ) ? n( A) ? n( B) ? n( A ? B) ? C10

(b)两次三级不挨着时:相当于把这两个不挨着的三级台阶放到 5 个两级台阶形成的空中,有

2 C6 ? 15 种走法。

4)有 3 次(不可能) 5)有 4 次走 3 级台阶,则有 2 次走两级台阶,互换角色,想成把两个 2 级台阶放到 3 级台阶形成得空 中,同(3)考虑挨着和不挨着两种情况有种 6)有 5 次(不可能) 故总共有:1+6+15+15=37 种。 例 2.如果从数 1, 2, ?, 14 中, 按从小到大的顺序取出 a1 , a2 , a3 , 使同时满足 a2 ? a1 ? 3 与 a3 ? a2 ? 3 ,
1
1 2 C5 ? C5 ? 15 走法;

即有 191 种选派方法. 说明:

即选派 5 人,既无队长又无女运动员参加.

从以上例题我们可以看出,用集合与对应思想分析处理排列组合问题,实质上就是将同一问题中满足 不同限制条件的元素的排列或组合的全体与不同的集合之间建立相应的对应关系,而将各限制条件之

那么所有符合上述要求的不同取法共有多少种? 解:设 S={1,2,??,14},T={1,2,??,10};

(1)这 11 个点中有无三点或三个以上的点共线?若有共线,情形怎样? (2)这 11 个点构成多少个三角形? 解: (1)设若有 x 条三点共线,y 条四点共线,z 条五点共线,??,于是有:

P={(a1,a2,a3)|a1,a2,a3∈S, a2-a1≥3, a3-a2≥3} Q={(b1,b2,b3)|b1,b2,b3∈T, b1<b2<b3}, f: (a1, a2,a3)→(b1,b2,b3),其中 b1=a1,b2=a2-2, b3=a3-4.
易证 f 是 P 和 Q 之间的一个一一对应,所以题目所求的取法种数恰好等于从 T 中任意取出三个不同数 的取法种数,共 =120 种.

C112-x(C32-1)-y(C42-1)-z(C52-1)-?=43
即 23-2x-5y-9z-?=0 这方程的解只可能是:x=6,y=z=?=0 或 x=1,y=2,z=?=0. 由此可知,这 11 个点中有 6 条三点共线或一条三点共和二条四点共线的情形。
3 3 3 (2)由上可知这 11 个点构成三角形个数的情形有 C11 -6C3 =159 或 C11 ? C3 ? 2C4 ? 156
3 3

例 3.甲、乙两队各出 7 名队员按事先排好的顺序出场参加围棋擂台赛,双方先由 1 号队员比赛,负者 被淘汰,胜者再与负方 2 号队员比赛,??直到有一方队员全被淘汰为止,另一方获胜,形成—种比

三、小组合作探究,议疑解惑(约 5 分钟) 赛过程,那么所有可能出现的比赛过程共有多少种? 解:设甲队队员为 al,a2,?a7,乙队队员为 b1,b2,??,b7,下标表示事先安排好的出场顺序, 若以依次被淘汰的队员为顺序,比赛过程可类比为这 14 个字母互相穿插的一个排列,最后是胜队中获 胜队员和可能未参赛的队员.如 a1a2b1b2a3b3b4b5a4b6b7a5a6a7. 所表示为 14 个位置中取 7 个位置 安排甲队队员,其余位置安排乙队队员,故比赛过程的总数为 =3432. 各学习小组将上面自主探索的结论、解题方法、知识技巧进行讨论,交流,议疑解惑。 四、展示你的收获(约 8 分钟) 由各学习小组派出代表利用多媒体或演板或口头叙述等形式展示个人或小组合作探究的结论、解题方 法、知识技巧。 (即学习成果) 五、重、难、疑点评析(约 5 分钟) 由教师归纳总结点评 六、达标检测(约 8 分钟) 1.某城市的街区由 12 个全等的矩形区组成其中实线表示马路,从 A 走到 B 的最短路 径有多少种? C7
3

例 4.(1)圆周上有 10 点,以这些点为端点的弦相交于圆内的交点有多少个? 解析:因为圆的一个内接四边形的两条对角线相交于圆内一点,一个圆的内接四边形就对应着两条弦 相交于圆内的一个交点, 于是问题就转化为圆周上的 10 个点可以确定多少个不同的四边形, 显然有 C10 个,所以圆周上有 10 点,以这些点为端点的弦相交于圆内的交点有 C10 个. (2)某城市的街区有 12 个全等的矩形组成,其中实线表示马路,从 A 到 B 的最短路径有多少种? B
4 4

2.四面体的一个顶点是 A,从其它顶点和各棱中点中取 3 个点,使他们和点 A 在同一个平面上,则共有 多少种不同的取法? 3C5 ? 3
3

A 解析:可将图中矩形的一边叫一小段,从 A 到 B 最短路线必须走 7 小段,其中:向东 4 段,向北 3 段;而且前一段的尾接后一段的首,所以只要确定向东走过 4 段的走法,便能确定路径,因此不同走 法有 C7 种. 例 5. 平面上有相异的 11 个点,每两点连成一条直线,共得 43 条不同的直线。
4

3.空间十个点 A1,A2,A3, · · · · · · · · · · ·A10,其中 A1,A2· · · · · ·A5 在同一平面内,此外再无三点共 · · · 线四点共面,以这些点为顶点,一共可以构成几个四面体? · · · AA A A A 小结:在排列或组合问题中“含”与“不含”的问题,经常先 A A A 1 2 6 8 1 把所有元素进行排列或组合,然后再去掉含有不能含的元 4 3 5 ·· 0 4 4 素的取法数,这种方法叫排除法。 C10 ? C5 4.平面上 4 条平行直线与另外 5 条平行直线互相垂直,则它们构成的矩形共有________个. 简析:按构成矩形的过程可分为如下两步:第一步.先在 4 条平行线中任取两条,有
2

种取法;第二

步再在 5 条平行线中任取两条,有 的矩形共有 · =60 个.

种取法.这样取出的四条直线构成一个矩形,据乘法原理,构成

3 3 3 法共有 C9 ? C4 ? C5 ? 70 种,选. C

解析 2:至少要甲型和乙 型电视机各一台可分两种情况:甲型 1 台乙型 2 台;甲型 2 台乙型 1 台;故 5.在正方体的 8 个顶点,12 条棱的中点,6 个面的中心及正方体的中心共 27 个点中,共线的三点组的 个数是多少? 解:依题意,共线的三点组可分为三类:两端点皆为顶点的共线三点组共有 8 ? 7 ? 28 (个);两端点皆 2 为面的中心的共线三点组共有 6 ? 1 ? 3 (个);两端点皆为各棱中点的共线三点组共有 2 所以总共有 28+3+18=49 个. 6.25 人排成 5×5 方队,现从中选 3 人,要求 3 人不在同一行也不在同一列,不同的选法有多少种? 解:将这个问题退化成 9 人排成 3×3 方队,现从中选 3 人,要求 3 人不在同一行也不在同一列,有多少 选法.这样每行必有 1 人从其中的一行中选取 1 人后,把这人所在的行列都划掉, 如此继续下去.从 3×3
1 1 1 方队中选 3 人的方法有______ C3 C2C1 _____种。再从 5×5 方队选出 3×3 方队便可解决问题从 5×5
2 1 1 2 不同的取法有 C5 C4 ? C5 C4 ? 70 台,选 C .

2.9 名乒乓球运动员,其中男 5 名,女 4 名,现在要进行混合双打训练,有多少种不同的分组方法?
2 2 2 解析:先取男女运动员各 2 名,有 C5 中排法,故共有 C4 种,这四名运动员混和双打练习有 A2

12 ? 3 ? 18 (个). 2

2 2 2 C5 C4 A2 ? 120 种.

3.某种产品有 4 只次品和 6 只正品(每只产品均可区分).每次取一只测试,直到 4 只次品全部测出为 止.求第 4 只次品在第五次被发现的不同情形有多少种? 解:先考虑第五次测试的产品有 4 种情况,在前四次测试中包含其余的 3 只次品和 1 只正品,它们排 列的方法数是 6 。依据乘法原理得所求的不同情形有 4×6 =576 种.

有些排列组合问题元素多,取出的情况也有多种,对于这类问题常用的处理方法是:可按结果要 求,分成不相容的几类情况分别计算,最后计算总和. 4.6 人带 10 瓶汽水参加春游,每人至少带 1 瓶汽水,有多少种不同的带法? 解:将问题转化成把 10 个相同的球放到 6 个不同的盒子里,每个盒子里至少放 1 个球,有多少种 不同的放法? =126 种. 即原问题中有 126 种不同带法. 5.在 100 名选手之间进行单循环淘汰赛(即一场比赛失败要退出比赛),最后产生一名冠军,问要举行 几场?分析:要产生一名冠军,需淘汰掉冠军以外的所有其它选手,即要淘汰 99 名选手,要淘汰一名 选手,必须进行一场比赛;反之,每比赛一场恰淘汰一名选手,两者之间一一对应,故立即可得比赛 场次 99 次。 6.5 对姐妹站成一圈,要求每对姐妹相邻,有多少种不同站法? 解析:首先可让 5 位姐姐站成一圈,属圆排列有 A4 种,然后在让插入其间,每位均可插入其姐姐 的左边和右边,有 2 种方式,故不同的安排方式 24 ? 2 ? 768 种不同站法.
5

方队中选取 3 行 3 列有__ C C

3 5

3 5 ___ 选法 . 所以从

5× 5 方队选不在同一行也不在同一列的 3 人有

3 3 1 1 1 _____ C5 C5 C3C2C1 ? 600____选法。

即把排成一行的 10 个 0 分成 6 份的方法数, 这样用 5 块闸板插在 9 个间隔中, 共有

7. 已知直线

x y ? ? 1 ( a, b 是非零常数)与圆 x 2 ? y 2 ? 100有公共点,且公共点的横坐标和纵坐 a b
共 12 个。

标均为整数,那么这样的直线共有________ 条 【解析】 : 圆上的整点有: ( ? 6, ? 8) ,( ? 8, ? 6),( ? 10,0),(0 ? 10)

2 C12 =66 其中关于原点对称的有 4 条 不满则条件 切线有 C1 12 =12 ,其中平行于坐标轴

的有 14 条 不满则条件 66-4+12-14=60 答案:60 8.欲登上第 10 级楼梯,如果规定每步只能跨上一级或两级,则不同的走法共有( ) (A)34 种 (B)55 种 (C)89 种 (D)144 种 答案: (C) 9.小于 50000 且含有两个 5,而其它数字不重复的五位数有( B )个。 A. A4 A4 A8
1 2 2

4

B. C4C4 A8

1

2

2

C. C4C4 A8

1

2

2

D. C4C8 A4

1

2

4

七、课后练习 1.从 4 台甲型和 5 台乙型电视机中任取 3 台,其中至少要甲型和乙 型电视机各一台,则不同的取法共 有 ( ) A、140 种 B、80 种 C、70 种 D、35 种 解析 1:逆向思考,至少各一台的反面就是分别只取一种型号,不取另一种型号的电视机,故不同的取
3

说明:从 n 个不同元素中取出 m 个元素作圆形排列共有

1 m An 种不同排法 m

7. 某外商计划在四个候选城市投资 3 个不同的项目,且在同一个城市投资的项目不超过 2 个,则该外 商不同的投资方案有( )种 A.16 种 B.36 种 C.42 种 D.60 种

2 2 2 3 3 【解析】 :按条件项目可分配为 2,1, 0, 0 与 1,1,1, 0 的结构,∴ C4 C3 A2 ? C4 A3 ? 36 ? 24 ? 60

故选 D;

14.(2013·高考北京卷)将序号分别为 1,2,3,4,5 的 5 张参观券全部分给 4 人,每人至 少 1 张,如果分给同一人的 2 张参观券连号,那么不同的分法种数是________. 13.解析:先分组后用分配法求解,5 张参观券分为 4 组,其中有 2 个连号的有 4 种分法,每一种 分法中的排列方法有 A4种,因此共有不同的分法 4A4=4×24=96(种).
4 4

8.12 名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查, 若每个路口 4 人, 则不同的分配方案有多少种?

C CC 3 A3 A 答案:
9. 有甲乙丙三项任务,甲需 2 人承担,乙丙各需一人承担,从 10 人中选出 4 人承担 这三项任务,不同的选法种数是( ) A、1260 种 B、2025 种 C、2520 种 D、5040 种 【解析】 :先从 10 人中选出 2 人承担甲项任务,再从剩下的 8 人中选 1 人承担乙项任务,第 三步从另外的 7 人中选 1 人承担丙项任务,不同的选法共有
2 1 1 C10 C8C7 ? 2520 种,选 C .

4 12

4 8 3 3

4 4

10.设有编号为 1,2,3,4,5 的五个球和编号为 1,2,3,4,5 的盒子现将这 5 个球投入 5 个盒子要 求每个盒子放一个球,并且恰好有两个球的号码与盒子号码相同,问有多少种不同的方法? 解析:从 5 个球中取出 2 个与盒子对号有 C5 种,还剩下 3 个球与 3 个盒子序号不能对应,利用枚举法 分析,如果剩下 3,4,5 号球与 3,4,5 号盒子时,3 号球不能装入 3 号盒子,当 3 号球装入 4 号盒子 时,4,5 号球只有 1 种装法,3 号球装入 5 号盒子时,4,5 号球也只有 1 种装法,所以剩下三球只有 2 种装法,因此总共装法数为 2C5 ? 20 种.
2
2

11. 某班有 23 男 37 女共 60 名学生,拟派出 2 个辩论队,每队 3 人,各 1 男 2 女,共有多少种不同的
2 4 1 2 搭配方法。 C23 C37 A2 A4

12.从 1 到 100 的自然数中,每次取出不同的两个数,使它们的和大于 100 则不同的取法有 ( A.50 种 B.100 种 C.1275 种 D.2500 种



分折:此题数字较多,情况也不一样,需要分拆摸索其规律.为了方便,两个加数中以较小的数为被 加数,因为 1+100=101>100,1 为被加数的有 1 种;同理,2 为被加数的 2 种;?;49 为被加数有 49 种;50 为被加数的有 50 种,但 51 为被加数只有 49 种;52 为被加数只有 48 种;?;99 为被加数的只 有 1 种.故不同的取法共有:(1+2+?+50)+(49+48+?+1)=2500 种,选 D。 13.把五个标号为 1 到 5 的小球全部放入标号为 1 到 4 的四个盒子中,不许有空盒且任意一 个小球都不能放入标有相同标号的盒子中,则不同的放法有( A.36 种 C.54 种 B.45 种 D.96 种 )

解析: 选 A.先把 5 号球放入任意一个盒子中有 4 种放法, 再把剩下的四个球放入盒子中, 根据 4 的 “错 位数”是 9,得不同的放法有 4×9=36 种.
4


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