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黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2017届高三上学期9月月考数学(理)试题


哈师大附中2014级高三上学期第一次月考考试

数学理科试题
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是 符合题目要求的. 1.设全集 I ? R ,集合 A ? { y | y ? x2 ? 2} , B ? {x | y ? log2 (3 ? x)} ,则 (CI A) ? B 等于(

A. {x | ?2 ? x ? 3}
3

) )

B. {x | x ? ?2}
2

C. {x | x ? 3}

D. {x | x ? ?2} C. [? 3, 3] D. (? 3, 3)

2.已知函数 f ( x) ? ? x ? ax ? x ?1 在 (??, ??) 是单调函数,则实数 a 的取值范围是( A. (??, ? 3] ? [ 3, ??) B. (??, ? 3) ? ( 3, ??) ) 3.函数 f ( x) ? ln | x ? 1| 的图像大致是(

3 ? ,则 tan(? ? ) 等于( 2 5 4 1 1 A. B.7 C. ? D. ?7 7 7 ? 5.已知 ? ABC 中, a ? 4, b ? 4 3, A ? 30 ,则 B 等于(
4.已知 ? ? (

?

, ? ),sin ? ?

)

)
?

A. 30

?

B. 30 或 150

?

?

6.要得到函数 f ( x ) ? sin(2 x ? A.向右平移 B.向左平移 C.向右平移 D.向左平移

?
3

C. 60

?

D. 60 或 120

?

) 的导函数 f ?( x ) 的图像,只需将 f ( x) 的图像( 1 (横坐标不变) 2

)

? ? ? ?
2 2 4 4

个单位,再把各点的纵坐标伸长到原来的

个单位,再把各点的纵坐标伸长到原来的 2 倍(横坐标不变) 个单位,再把各点的纵坐标伸长到原来的

1 (横坐标不变) 2

个单位,再把各点的纵坐标伸长到原来的 2 倍(横坐标不变)

AD ? b ,那么向量 MN 7.已知在平行四边形 ABCD 中,点 M、N 分别是 BC、CD 的中点,如果 AB=a, 等于( )
A.

??? ? ? ????

?

???? ?

1? 1? a? b 2 2
0.5

B. ?

1? 1? a? b 2 2

C. a ?

?

8.若 a ? 2 , b ? log? 3, c ? log 2 sin

A. a ? b ? c B. b ? a ? c C. c ? a ? b D. a ? c ? b 9. 如果 tan A+ tan B + tan C ? 0 ,那么以 A,B,C 为内角的 ? ABC 是( A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.任意三角形

2? ,则( 5

1? b 2
)

D. ?

1? 1? a? b 2 2

)

·1·

10.在钝角 ? ABC 中, 角 A,B,C 所对的边分别为 a, b, c , 且满足 b ? c ? a ? bc ,a ?
2 2 2

3 , 则b ? c 2

的取值范围是( A. (1, )

) B. ( , )

1 3 1 3 3 3 , ) C. ( D. ( , ] 2 2 2 2 2 2 11.已知函数 y ? f ( x) 的周期为 2,当 x ?[?1,1] 时 f ( x) ? x2 ,那么函数 y ? f ( x) 与函数 y ?| lg x |

3 2

的图像的交点共有( ) A.10 个 B.9 个 C.8 个 D.1 个 12. 已 知 f ( x) ? ln(1 ? x) ? ln(1 ? x), x ? (?1,1) . 现 有 下 列 命 题 :

① f ( ? x) ? ? f ( x) ; ② )

2x f( ) ? 2 f ( x) ;③ | f ( x) |? 2 | x | . 1 ? x2
A.①②③ B.②③ C.①③

其中的所有正确命题的序号是( D.①②

二、填空题 :本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13 若

?

a

1

1 (2 x ? )dx ? 3 ? ln 2(a ? 1) ,则 a 的值是 x



14. 如图,为了测量 A,C 两点间的距离,选取同一平面上 B,D 两 点,测出四边形 ABCD 各边的长度(单位:km) :AB=5,BC=8,CD=3, DA=5,且 ? B 和 ?D 互补,则 AC 的长为 km。 15.规定运算: a ? b ? ? 为 。

?a, a ? b ,例如: 1 ? 2 ? 1,3 ? 2 ? 2 ,则函数 f ( x) ? sin x ? cos x 的值域 ?b, a ? b

16.关于函数 f ( x ) ? 4sin(2 x ?

), ( x ? R ) ,有下列命题: 3 ①若 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,则 x1 ? x2 必是 ? 的整数倍;
② y ? f ( x) 的表达式可改写为 y ? 4 cos(2 x ? ③ y ? f ( x) 的图象关于点 ( ?

?

?

?
6

6

);

, 0) 对称;

④ y ? f ( x) 的图象关于直线 x ? ?

? 对称.其中正确的是 6



三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 10 分) 已知函数 f ( x) ?

x ?1 2 2 的定义域集合是 A,函数 g ( x) ? lg[ x ? (2a ? 1) x ? a ? a] 的定义域集合是 x?2

B. (I)求集合 A、B; (II)若 AB=B,求实数 a 的取值范围.

·2·

18.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ( x2 ? ax ? a) 1 ? 2x .

(I)当 a ?

17 时,求 f ( x ) 的极值; 3

(II)若 f ( x ) 在区间 (0, ) 上单调递增,求 a 的取值范围.

1 4

19.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? cos(2 x ?

? ? ? ) ? 2 sin( x ? ) sin( x ? ) . 3 4 4

(I)求函数 f ( x) 的最小正周期和图象的对称轴方程; (II)画出函数 f ( x) 在区间 [?

? ,? ] 上的图象. 12

20.(本小题满分 12 分) 已知 a , b, c 分别是 ?ABC 的角 A, B, C 所对的边,且 c ? 2 , C ? (I) 若 ?ABC 的面积等于 3 ,求 a , b ; (II)若 sin C ? sin( B ? A) ? 2sin 2 A ,求 A 的值.

?
3



·3·

21.(本小题满分 12 分) 已知函数

? f ? x ? ? 2cos2 x ? 2 3sin x cos x ? a ,且当 x ? [0, ] 时, f ? x ? 的最小值为 2 .
2

(I)求 a 的值,并求 f ( x ) 的单调区间; (II)先将函数 y ? f ( x) 的图象上的点的纵坐标不变,横坐标缩小到原来的 右平移

?
12

个单位,得到函数 y ? g ( x) 的图象,求方程 g ( x) ? 4 在区间 [0,

?

1 ,再将所得到的图象向 2 2 ] 上所有根之和.

22.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) ? sin x ? (I)求证: f ( x) ? 0 ; (II)若 m ?

x , x ? [0, ] . ? 2

2

?

sin x ? ? n 对一切 x ? (0, ) 恒成立,求 m 和 n 的取值范围. x 2

·4·

哈师大附中2014级高三上学期第一次月考考试

数学理科答案
一、 题号 答案 二、 13. 2 选择题 1 D 填空题 14. 7 15. ? ?1, 2 C 3 B 4 A 5 D 6 D 7 B 8 A 9 A 10 C 11 A 12 A

? ?

2? ? 2 ?

16.② ③

三、解答题、 17. (本题满分 10 分) (1)

( x ? a)( x ? a ?1) ? 0 ? x ? a或x ? a ?1 ? B ? ? ??, a ? ? ? a ?1, ??? 5 分
(2)AB=B ? A ? B ? ?

x ?1 ? 0 ? x ? ?1或x ? 2 ? A ? ? ??, ?1? ? ? 2, ?? ? x?2

?a ? ?1 ? ?1 ? a ? 1 ?a ? 1 ? 2
1 2

10 分

18. (本小题满分 12 分)

(-?, ] ,导函数 f ?( x) ? (1) f ( x) ? ( x2 ? ax ? a) 1 ? 2x 定义域为
当a ?

? x(5 x ? 3a ? 2) 1 ? 2x

17 ?5 x( x ? 3) , f ?( x) ? , 3 1 ? 2x ?5 (??, ?5) (?5, 0) x
递减

0 0 极大值

f ?( x ) y

1 (0, ) 2
递减

0
极小值

+ 递增

17 7 11 ,极小值为 f (?5) ? 3 3 1 (2) y? ? 0 ,即 5 x ? 3a ? 2 ? 0 ,解得 a ? 4
函数的极大值为 f (0) ? 19. (本小题满分 12 分) (1) f ( x) ? cos(2 x ?

? ? ? ? ) ? 2sin( x ? )sin( x ? ) ? sin(2 x ? ) 3 4 4 6 ? k? ? ? , (k ? Z ) T ? ? ,令 2 x ? ? ? k? ,解得 x ? ? 3 2 6 2

(2)

x

?

? 12

? 12

? 3

7? 12

5? 6
·5·

?

2x ?
y

?
6

?

?
3

0
0

? 2
1

?
0

3? 2
-1

?

3 2

11? 6 1 ? 2
9分

20. (1) S?ABC ? ab sin C ? ab sin

12 分 (本小题满分 12 分)

1 2

1 2

?
3

? 3 ? ab ? 4



cos C ?

a 2 ? b2 ? c 2 1 ? ? ? 2ab 2? ? a ? b ? 4 ② ? ab ? 4 ? a ? b ? 2 由①②得

(2) sin C ? sin( B ? A) ? 2sin 2 A ? sin( B ? A) ? sin( B ? A) ? 4sin A cos A

? sin B cos A ? 2sin A cos A ? 若 cos A ? 0 ,则 A ? ; 2 若 cos A ? 0 ,则 sin B ? 2sin A ? 2? 3 3 3 ? ? A? . 已知 C ? ,上式化为 sin( ? A) ? 2sin A ? cos A ? sin A ? tan A ? 6 3 3 2 2 3 ? ? 综上 A ? 或 A ? . 2 6
21. (本小题满分 12 分) (1) f ( x) ? 2sin(2 x ?

?

? ? 7? ? ) ? a ? 1 ,因为 x ? [0, ] ,所以 2 x ? ? [ , ] 6 6 6 6 2
?

所以 f ( x) min ? 2 ? ( ? ) ? a ? 1 ? 2 ,解得 a ? 2 ,此时 x ?

2 ? ? ? 2? 单调增区间为 ( k? ? , ? k? ) ,单调减区间为 (k? ? , ? k? ) 3 6 6 3 ? 5? ? 1 ? ? (2) sin(2 x ? ) ? ,所以 4 x ? ? 2k? ? 或 4 x ? ? 2k? ? 6 6 6 2 6 6 ? ? ? ? , x2 ? ,所以 x1 ? x2 ? 因为 x ? [0, ] ,所以解得 x1 ? 12 4 3 2
22. (本小题满分 12 分)
·6·

1 2

(1) f ( x ) ? sin x ?

x , x ? [0, ] ? 2

2

?

f ?( x) ? cos x ?
x
y

2

?

,令 f ?( x) ? 0 ,解得 x ? x0

(0, x0 )
递增

x0
极大值

( x0 , ) 2
递减

?

所以 f ( x) min ? min{ f (0), f ( )} 又因为 f (0) ? f ( ) ? 0 所以 f ( x) ? 0 得证 (2) 由(1)得,

?

?

2

2

2 sin x 2 ? ,所以 m ? , ? x ? 设 h( x) ? sin x ? nx ,则 h?( x) ? cos x ? n , ① n ? 1 时, h?( x) ? 0 , h( x) 单调递减,且 h( x) ? 0 ,所以 h( x) ? 0 成立 sin x ? n 矛盾 ② n ? 0 时, h?( x) ? 0 , h( x) 单调递增,与 x sin x ? n 矛盾, ③ 0 ? n ? 1 时,与 x
综上, n ? 1

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·7·


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