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函数的基础知识大全(完整)(包括函数在高考中所有考点知识)


函数基础知识大全 §1.2.1、函数的概念 1、 设 A、B 是非空的数集,如果按照某种确定的对应关系 f ,使对于集合 A 中的任意一个数 x ,在集合 B 中都有惟一确定的数 f ?x ? 和它对应,那么就称 f : A ? B 为集合 A 到集合 B 的一个函数,记作:

y ? f ?x ?, x ? A .
2、 一个函数的构成要素为:定义

域、对应关系、值域.如果两个函数的定义域相同,并且对应关系完全 一致,则称这两个函数相等. 3.两个函数的相等:函数的定义含有三个要素,即定义域 A、值域 C 和对应法则 f.当函数的定义域及从定 义域到值域的对应法则确定之后,函数的值域也就随之确定.因此,定义域和对应法则为函数的两个基本条 件,当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时,这两个函数才是同一个函数. §1.2.2、函数的表示法 1、 函数的三种表示方法:解析法、图象法、列表法. 1.函数的三种表示法 (1)解析法:就是把两个变量的函数关系,用一个等式来表示,这个等式叫做函数的解析表达式,简称 解析式. (2)列表法:就是列出表格来表示两个变量的函数关系. (3)图象法:就是用函数图象表示两个变量之间的关系. 2.求函数解析式的题型有: (1)已知函数类型,求函数的解析式:待定系数法; (2)已知 f ( x ) 求 f [ g ( x)] 或已知 f [ g ( x)] 求 f ( x ) :换元法、配凑法; (3)已知函数图像,求函数解析式; (4) f ( x ) 满足某个等式,这个等式除 f ( x ) 外还有其他未知量,需构造另个等式解方程组法; (5)应用题求函数解析式常用方法有待定系数法等. 求函数解析式的常用方法: 1、换元法( 注意新元的取值范围) 2、待定系数法(已知函数类型如:一次、二次函数、反比例函数等) 3、整体代换(配凑法) 4.赋值法: 3.映射的定义: 一般地,设 A、B 是两个集合,如果按照某种对应关系 f,对于集合 A 中的任何一个元素,在集合 B 中都 有唯一的元素和它对应,那么,这样的对应(包括集合 A、B,以及集合 A 到集合 B 的对应关系 f)叫做集 合 A 到集合 B 的映射,记作 f:A→B. 由映射和函数的定义可知,函数是一类特殊的映射,它要求 A、B 非空且皆为数集. 4.映射的概念中象、原象的理解:(1) A 中每一个元素都有象;(2)B 中每一个元素不一定都有原象,不一 定只一个原象;(3)A 中每一个元素的象唯一。 1.映射:注意: ①第一个集合中的元素必须有象;②一对一或多对一. 2 求函数定义域一般有三类问题: (1)给出函数解析式的:函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合; (2)实际问题:函数的定义域的求解除要考虑解析式有意义外,还应考虑使实际问题有意义;
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1

(3)已知 f ( x ) 的定义域求 f [ g ( x)] 的定义域或已知 f [ g ( x)] 的定义域求 f ( x ) 的定义域: 掌握基本初等函数(尤其是分式函数、无理函数、对数函数、三角函数)的定义域; (1)分式的分母不为 0; (2)偶次方根的被开方数不小于 0; (3)对数函数的真数大于 0; (4)指数 函数、对数函数的底数大于 0 且不等于 1; (5)零指数、负指数幂的底数不等于 0. ②① 若 f(x)的定义域为[a,b],则复合函数 f[g(x)]的定义域由不等式 a ≤ g(x) ≤ b 解出 ② 若 f[g(x)]的定义域为[a,b],求 f(x)的定义域,相当于 x∈[a,b]时,求 g(x)的值域. 2.函数值域的求法: ①直接法 ;②配方法 ;③判别式法 ;④利用函数单调性 ;⑤换元法 ; ⑥利用均值不等式
x

ab ?

a?b a2 ? b2 ; ⑦几何意义(斜率、距离、绝对值的意义等) ;⑧利用 ? 2 2

函数有界性( a 、 sin x 、 cos x 等) ;⑨平方法;⑩ 导数法(11)分离常数法; (12)反函数法; (13) 数形结合法。 3 求函数值域的各种方法 函数的值域是由其对应法则和定义域共同决定的 其类型依解析式的特点分可分三类:(1)求常见函数值域; (2)求由常见函数复合而成的函数的值域;(3)求由常见函数作某些“运算”而得函数的值域
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①直接法:利用常见函数的值域来求 一次函数 y=ax+b(a ? 0)的定义域为 R,值域为 R; 反比例函数 y ?

k (k ? 0) 的定义域为{x|x ? 0},值域为{y|y ? 0}; x

二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) 的定义域为 R,
2 当 a>0 时,值域为{ y | y ? (4ac ? b ) }; 4a

2 当 a<0 时,值域为{ y | y ? (4ac ? b ) } 4a

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②配方法: 转化为二次函数, 利用二次函数的特征来求值; 常转化为型如: f ( x) ? ax2 ? bx ? c, x ? (m, n) 的形式; ③分式转化法(或改为“分离常数法” ) ④换元法:通过变量代换转化为能求值域的函数,化归思想; ⑤三角有界法:转化为只含正弦、余弦的函数,运用三角函数有界性来求值域; ⑥基本不等式法:转化成型如: y ? x ?

k (k ? 0) ,利用平均值不等式公式来求值域; x
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⑦单调性法:函数为单调函数,可根据函数的单调性求值域 ⑧数形结合:根据函数的几何图形,利用数型结合的方法来求值域 ⑨逆求法(反求法) :通过反解,用 y 来表示 x ,再由 x 的取值范围,通过解不等式,得出 y 的取值范围;
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常用来解,型如: y ?

ax ? b , x ? (m, n) cx ? d

⑩判别式法 ⑾.导数法: 6.复合函数:若 y=f(u),u=g(x),x?(a,b),u?(m,n),那么 y=f[g(x)]称为复合函数,u 称为中间变量,它的取值范
2

围是 g(x)的值域。 (2)复合函数单调性的判定: ①首先将原函数 y ? f [ g ( x)] 分解为基本函数:内函数 u ? g ( x) 与外函数 y ? f (u ) ②分别研究内、外函数在各自定义域内的单调性 ③根据“同性则增,异性则减”来判断原函数在其定义域内的单调性. 4.分段函数: 在函数定义域内, 对于自变量 x 的不同取值区间, 有着不同的对应关系, 这样的函数通常叫分段函数。 值域(最值) 、单调性、图象等问题,先分段解决,再下结论。 5.函数的奇偶性 1. (1)判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式:

f ( x) ? f ( ? x) ? 0 ,

f ( x) ? ?1 f (? x)

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讨论函数的奇偶性的前提条件是函数的定义域关于原点对称,要重视这一点; (2)奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于 y 轴对称,因此根据图象的对称性可以判断函数的 奇偶性 2.奇偶函数的性质: (1)函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件 ....
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(2)偶函数的图象关于 y 轴对称,奇函数的图象关于原点对称; (3) f ( x ) 为偶函数 ? f ( x) ? f (| x |)
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(4)若奇函数 f ( x) 在 0 处有定义, ,则 f(0)=0,因此, “f(x)为奇函数”是"f(0)=0"的非充分非必要条件; (5)设 f ( x ) , g ( x) 的定义域分别是 D1 , D2 ,那么在它们的公共定义域上: (6)定义在 R 上的任意函数 f(x)均可表示为一个偶函数与一个奇函数之和。 (7)在定义域内的公共部分内,两个奇函数之积(商)为偶函数;两个偶函数之积(商)为偶函数; 一奇一偶函数之积(商)为奇函数;两个奇(偶)函数之和、差为奇(偶)函数。 即奇+奇=奇,奇 ? 奇=偶,偶+偶=偶,偶 ? 偶=偶,奇 ? 偶=奇 (8)偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反;奇函数在关于原点对称的区间上单调性一致. (9)f(x)既是奇函数又是偶函数的充要条件是 f(x)=0. 3.奇、偶性的推广:
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(1)函数 y ? f ?x ?与函数 y ? f ?? x ?的图像关于直线 x ? 0 ( y 轴)对称. 推广一: 函数 y=f(x)对于定义域内任一 x 都有 为偶函数; 即 y=f(a+x) f ? a ? x ? ? f ?a ? x ? ,则 y=f(x)的图象关于 x=a 对称,

推广二:如果函数 y ? f ?x ? 对于一切 x ? R ,都有 f ? a ? x ? ? f ?b ? x ? 成立,那么 y ? f ?x ? 的图像关于直 线x?

a?b (a ? x) ? (b ? x) (由“ x 和的一半 x ? 确定” )对称. 2 2

推广三:函数 y ? f ?a ? x ? , y ? f ?b ? x ? 的图像关于直线 x ?

b?a (由 a ? x ? b ? x 确定)对称. 2

推 广 四 : 函 数 y ? f ?x ? 与 函 数 y ? A ? f ? x ? 的 图 像 关 于 直 线 y ? A 对 称 ( 由 “ y 和 的 一 半

2

3

y?

[ f ( x)] ? [ A ? f ( x)] 确定” ). 2 (2) 函数 y ? f ?x ? 与函数 y ? ? f ?x ? 的图像关于直线 y ? 0 ( x 轴)对称.

推广一:函数 y=f(x)对定义域内任一 x 都有 f ? a ? x ? ? ? f ? a ? x ? ,则 y=f(x)的图象关于点(a,0)成中心对称, 即 y=f(a+x)为奇函数。 推广二:函数 y=f(x)对定义域内任一 x 都有 f ? a ? x ? ? f ?a ? x ? ? 2b ,则 y=f(x)的图象关于点 ? a, b ? 成中心对 称。 推广三:函数 y ? f ?x ? 与函数 y ? m ? f ? n ? x ? 的图像关于点 ( n , m ) 中心对称.

2 2

4.对于复合函数 F(x)=f[g(x)]满足同奇则奇,有偶则偶。 6.函数的单调性: ?单调性的定义: ① f ( x) 在区间 M 上是增函数 ? ?x1 , x2 ? M , 当 x1 ? x 2 时有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ; ② f ( x) 在区间 M 上是减函数 ? ?x1 , x2 ? M , 当 x1 ? x 2 时有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ; ?单调性的判定: ①定义法:一般要将式子 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 化为几个因式作积或作商的形式,以利于判断符号; 设 x1 , x2 ? A且x1 ? x2 ;作差 f ( x1 ) ? f ( x2 ) (一般结果要分解为若干个因式的乘积,且每一个因式的 正或负号能清楚地判断出) ;判断正负号。 ②导数法(见导数部分) ;

(x ? A) ? f ( x) 在 A 内 为 增 函 数 ; 若 f ( x) 在 某 个 区 间 A 内 有 导 数 , 则 f ’ ( x) ? 0,

f’ ( x) ? 0,(x ? A) ? f ( x) 在 A 内为减函数。
③复合函数法; 复合函数 y ? f ?g ( x)? 在公共定义域上的单调性: ①若 f 与 g 的单调性相同,则 f ?g ( x)? 为增函数; “同则增” ②若 f 与 g 的单调性相反,则 f ?g ( x)? 为减函数。 “异则减” 注意:先求定义域,单调区间是定义域的子集。 ④图像法 注:证明单调性主要用定义法和导数法。 (3)性质 ①奇函数在其对称区间上的单调性相同; ②偶函数在其对称区间上的单调性相反; ③在公共定义域内: 增函数 f ( x) ? 增函数 g ( x) 是增函数;减函数 f ( x) ? 减函数 g ( x) 是减函数; 增函数 f ( x) ? 减函数 g ( x) 是增函数;减函数 f ( x) ? 增函数 g ( x) 是减函数。
4

④函数 y ? ax ? 单调递减。

? ? ? b ? ? b b? ? b b? (a ? 0, b ? 0) 在 ? ?? , ? 或 , ?? , 0 或 0 , 上单调递增;在 ? ? ? ? ? ? ? ? 上是 ? ? ? ? x a a a a ? ? ? ? ? ? ? ?

⑤复合函数 y ? f ?g ( x)? 在公共定义域上的单调性: ①若 f 与 g 的单调性相同,则 f ?g ( x)? 为增函数; ②若 f 与 g 的单调性相反,则 f ?g ( x)? 为减函数。 注意:先求定义域,单调区间是定义域的子集。 7.函数的周期性: (1)周期性的定义:对定义域内的任意 x ,若有 f ( x ? T ) ? f ( x) (其中 T 为非零常数) ,则称函数

f ( x) 为周期函数,T 为它的一个周期。所有正周期中最小的称为函数的最小正周期。如没有特别
说明,遇到的周期都指最小正周期。 (2)三角函数的周期:① y ? sin x : T ? 2? ;② y ? cos x : T ? 2? ;③ y ? tan x : T ? ? ; ④ y ? A sin(?x ? ? ), y ? A cos(?x ? ? ) : T ? (3)与周期有关的结论:

? 2? ;⑤ y ? tan?x : T ? |? | |? |

f ( x ? a) ? f ( x ? a) 或 f ( x ? 2a) ? f ( x)(a ? 0) ? f ( x) 的周期为 2 a
2.性质: (1).对于一个周期函数来说,如果在所有的周期中存在一个最小正数,就把这个最小正数叫 最小正周期。 (2)并不是任何周期函数都有最小正周期,如常数函数。 (3)若 T 是函数 y=f(x)的周期,则 nT ? n ? Z且n ? 0? (4)若 f ? a ? x ? ? f ? ?a ? x ? 则 T ? 2 a 。 (5)若① f ? x ? T ? ? ? f ? x ? 、② f ? x ? T ? ? 都是这个函数的周期

1 1 、③ f ? x ? T ? ? ? 、 f ? x? f ? x?

④ f ? x ? ? f ? x ? T ? ? a ,⑤ f ? x ? ? f ? x ? T ? ? a ,⑥ f ?T ? x ? ? f ? ?T ? x ? , ⑦ f ( x ? 2T ) ? f ( x)(T ? 0) ,则 f ? x ? 的周期为 2T。 (6)若 T 是函数 y=f(x)的周期,则 f

??x??? ? 0? 也是周期函数,且周期为

T

?



(7)若 f ? x ? a ? ? f ? x ? ? f ? x ? a ? ,则 f ? x ? 的周期为 6 a 。

5

(8)若 f ? x ? 关于直线 x ? a 和直线 x ? b 对称,则 2 ? a ? b ? 是它的一个周期 ? a ? b ? 。 若 f ? x ? 关于点 ? a, 0 ? 和点 ? b, 0 ? 对称,则 2 ? a ? b ? 是它的一个周期 ? a ? b ? 。 若 f ? x ? 关于点 ? a, 0 ? 和直线 x ? b 对称,则 4 ? a ? b ? 是它的一个周期 ? a ? b ? 。 8.基本初等函数的图像与性质:

1.指数与对数运算
(1)根式的概念: ①定义: 若一个数的 n 次方等于 a(n ? 1, 且n ? N ? ) , 则这个数称 a 的 n 次方根。 即若 x ? a , 则x称a的
n

n 次方根 n ? 1且n ? N ? ) ,
1)当 n 为奇数时, a的n 次方根记作 n a ; 2)当 n 为偶数时,负数 a 没有 n 次方根,而正数 a 有两个 n 次方根且互为相反数,记作 ? n a (a ? 0) 。 ②性质:1) (n a ) n ? a ;2)当 n 为奇数时, n a n ? a ; 3)当 n 为偶数时, n a ?| a |? ?

?a(a ? 0) 。 ?? a(a ? 0)

2.幂的有关概念
①规定:1) a n ? a ? a ? ?? a(n ? N*;2) a 0 ? 1(a ? 0) ; n个 3) a
?p

?

1 ( p ?Q,4) a n ? n a m (a ? 0, m 、 n ?N* 且 n ? 1) 。 ap

m

②性质:1) a r ? a s ? a r ?s (a ? 0, r 、 s ?Q) ; 2) (a r ) s ? a r?s (a ? 0, r 、 s ? Q) ; 3) (a ? b) r ? a r ? b r (a ? 0, b ? 0, r ? Q) 。 (注)上述性质对 r、 s ?R 均适用。

幂函数性质
(1)所有的幂函数在(0,+∞)都有定义,并且图象都过点(1,1) ; (2)? ? 0 时,幂函数的图象通过原点,并且在区间 [0,??) 上是增函数.特别地,当 ? ? 1 时,幂函数的 图象下凸;当 0 ? ? ? 1时,幂函数的图象上凸; (3) ? ? 0 时,幂函数的图象在区间 (0,??) 上是减函数.在第一象限内,当 x 从右边趋向原点时,图象 在 y 轴右方无限地逼近 y 轴正半轴,当 x 趋于 ? ? 时,图象在 x 轴上方无限地逼近 x 轴正半轴
6

y ? x (p,q 互为质数)的图像
p ?1 q p ?1 q

p q

y?x

p q

0?

p ?0 q

q 为奇数 P 为奇数

q 为奇数 P 偶数

q 为偶数 P 为奇数

3.对数的概念
①定义:如果 a(a ? 0, 且a ? 1) 的 b 次幂等于 N,就是 a ? N ,那么数 b 称以 a 为底 N 的对数,记
b

作 loga N ? b, 其中 a 称对数的底,N 称真数。 1)以 10 为底的对数称常用对数, log10 N 记作 lg N ;

?) 为底的对数称自然对数, loge N ,记作 ln N ; 2)以无理数 e(e ? 2.71828
②基本性质: 1)真数 N 为正数(负数和零无对数) ;2) loga 1 ? 0 ; 3) loga a ? 1 ;4)对数恒等式: a
loga N

?N。

③运算性质:如果 a ? 0, a ? 0, M ? 0, N ? 0, 则 1) loga (MN ) ? loga M ? loga N ; 2) log a

M ? log a M ? log a N ; N

3) loga M n ? n loga M (n ?R) 。

7

④换底公式: loga N ?

logm N (a ? 0, a ? 0, m ? 0, m ? 1, N ? 0), logm a
n

1) loga b ? logb a ? 1 ;2) log a m b ? 2.指数函数与对数函数 (1)指数函数:

n log a b 。 m

①定义:函数 y ? a x (a ? 0, 且a ? 1) 称指数函数, 1)函数的定义域为 R;2)函数的值域为 (0,??) ; 3)当 0 ? a ? 1 时函数为减函数,当 a ? 1 时函数为增函数。 ②函数图像:

1)指数函数的图象都经过点(0,1) ,且图象都在第一、二象限; 2)指数函数都以 x 轴为渐近线(当 0 ? a ? 1 时,图象向左无限接近 x 轴,当 a ? 1 时,图象向右无限 接近 x 轴) ; 3)对于相同的 a(a ? 0, 且a ? 1) ,函数 y ? a x 与y ? a ? x 的图象关于 y 轴对称。 ③函数值的变化特征:

0 ? a ?1
① x ? 0时0 ? y ? 1 , ② x ? 0时y ? 1 ,

a ?1
① x ? 0时y ? 1 , ② x ? 0时y ? 1 ,

(2)对数函数: ③ x ? 0时y ? 1 ③ x ? 0时0 ? y ? 1 , ①定义:函数 y ? loga x(a ? 0, 且a ? 1) 称对数函数, 1)函数的定义域为 (0,??) ;2)函数的值域为 R; 3)当 0 ? a ? 1 时函数为减函数,当 a ? 1 时函数为增函数; 4)对数函数 y ? loga x 与指数函数 y ? a (a ? 0, 且a ? 1) 互为反函数。
x

②函数图像:

8

1)对数函数的图象都经过点(0,1) ,且图象都在第一、四象限; 2)对数函数都以 y 轴为渐近线(当 0 ? a ? 1 时,图象向上无限接近 y 轴;当 a ? 1 时,图象向下无 限接近 y 轴) ; 4)对于相同的 a(a ? 0, 且a ? 1) ,函数 y ? loga x与y ? log 1 x 的图象关于 x 轴对称。
a

③函数值的变化特征:

0 ? a ?1
① x ? 1时y ? 0 , ② x ?1 时y ? 0 , ③0 ? x ?1 时y ? 0 .

a ?1
① x ?1 时y ? 0 , ② x ?1 时y ? 0 , ③ x ? 0时0 ? y ? 1 .

9.二次函数: ?解析式:①一般式: f ( x) ? ax2 ? bx ? c ;②顶点式: f ( x) ? a( x ? h) 2 ? k , ( h, k ) 为顶点; ③零点式: f ( x) ? a( x ? x1 )(x ? x2 ) (a≠0). ?二次函数问题解决需考虑的因素: ①开口方向;②对称轴;③端点值;④与坐标轴交点;⑤判别式;⑥两根符号。 二次函数 y ? ax2 ? bx ? c 的图象的对称轴方程是 x ? ?

? b 4ac ? b 2 b ,顶点坐标是 ? ? ? 2a , 4a 2a ?

? ? ?。 ?

10.函数图象: 1.作图方法:描点法和利用基本函数图象变换作图;作函数图象的步骤:①确定函数的定义域;②化简 函数的解析式;③讨论函数的性质即单调性、奇偶性、周期性、最值(甚至变化趋势) ;④描点连线,画 出函数的图象。 2.三种图象变换:平移变换、对称变换和伸缩变换等等; 3.识图:分布范围、变化趋势、对称性、周期性等等方面. 4. 平移变换: (1) 水平平移: 函数 y ? f ( x ? a) 的图像可以把函数 y ? f ( x) 的图像沿 x 轴方向向左 (a ? 0) 或向右 (a ? 0) 平移 | a | 个单位即可得到; ( 2 )竖直平移:函数 y ? f ( x) ? a 的图像可以把函数 y ? f ( x) 的图像沿 x 轴方向向上 (a ? 0) 或向下
9

(a ? 0) 平移 | a | 个单位即可得到.
① y=f(x) ? y=f(x+h); ② y=f(x) ? y=f(x?h); ③y=f(x) ? y=f(x)+h; ④y=f(x) ? y=f(x)?h. 5.对称变换: (1)函数 y ? f (? x) 的图像可以将函数 y ? f ( x) 的图像关于 y 轴对称即可得到; (2)函数 y ? ? f ( x) 的图像可以将函数 y ? f ( x) 的图像关于 x 轴对称即可得到; (3)函数 y ? ? f (? x) 的图像可以将函数 y ? f ( x) 的图像关于原点对称即可得到; (4)函数 y ? f ?1 ( x) 的图像可以将函数 y ? f ( x) 的图像关于直线 y ? x 对称得到. ①y=f(x) ? y= ?f(x);
直线 x ? a x轴 上移 h 下移 h 左移 h 右移 h

②y=f(x) ? y=f(?x);
直线 y ? x

y轴

③y=f(x)

? y=f(2a?x);

④y=f(x)

? y=f?1(x);

⑤y=f(x) ? y= ?f(?x). 6.翻折变换: (1)函数 y ?| f ( x) | 的图像可以将函数 y ? f ( x) 的图像的 x 轴下方部分沿 x 轴翻折到 x 轴 上方,去掉原 x 轴下方部分,并保留 y ? f ( x) 的 x 轴上方部分即可得到; (2) 函数 y ? f (| x |) 的图像可以将函数 y ? f ( x) 的图像右边沿 y 轴翻折到 y 轴左边替代原 y 轴左边部分 并保留 y ? f ( x) 在 y 轴右边部分即可得到.
y

原点

y=f(x)

y

y=|f(x)|

y

y=f(|x|)

a

o

b

c

x

a

o

b

c

x

a

o

b

c

x

7.伸缩变换: (1)函数 y ? af ( x) (a ? 0) 的图像可以将函数 y ? f ( x) 的图像中的每一点横坐标不变纵坐 标伸长 (a ? 1) 或压缩( 0 ? a ? 1 )为原来的 a 倍得到; (2)函数 y ? f (ax) (a ? 0) 的图像可以将函数 y ? f ( x) 的图像中的每一点纵坐标不变横坐标伸长

1 (a ? 1) 或压缩( 0 ? a ? 1 )为原来的 倍得到. a

①y=f(x) ? y=f(

x??

x

?

);② y=f(x) ? y=ωf(x).

y ??

10

以解析式表示的函数作图象的方法有两种,即列表描点法和图象变换法,掌握这两种方法是本节的重 点. 运用描点法作图象应避免描点前的盲目性,也应避免盲目地连点成线.要把表列在关键处,要把线连 在恰当处.这就要求对所要画图象的存在范围、大致特征、变化趋势等作一个大概的研究.而这个研究要 借助于函数性质、方程、不等式等理论和手段,是一个难点.用图象变换法作函数图象要确定以哪一种函 数的图象为基础进行变换,以及确定怎样的变换.这也是个难点.

?图象作法 :①描点法 (特别注意三角函数的五点作图)②图象变换法 ③导数法 ?图象变换: ① 平移变换:ⅰ) y ? f ( x) ? y ? f ( x ? a) , (a ? 0) ———左“+”右“-”; ⅱ) y ? f ( x) ? y ? f ( x) ? k , (k ? 0) ———上“+”下“-”;

?? y ? ? f (? x) ;ⅱ) y ? f ( x) ??? y ? ? f ( x) ; ② 对称变换:ⅰ) y ? f ( x) ??
( 0, 0 )

y ?0

? x ? f ( y) ; ⅲ) y ? f ( x) ??? y ? f (? x) ; ⅳ) y ? f ( x) ???
③ 翻折变换: ⅰ) y ? f ( x) ? y ? f (| x |) ———(去左翻右)y 轴右不动,右向左翻( f ( x) 在 y 左侧图象去掉) ; ⅱ) y ? f ( x) ? y ?| f ( x) | ———(留上翻下)x 轴上不动,下向上翻(| f ( x) |在 x 下面无图象) ; 11.函数图象(曲线)对称性的证明: (1)证明函数 y ? f ( x) 图像的对称性,即证明图像上任意点关于对称中心(对称轴)的对称点仍在图 像上; (2) 证明函数 y ? f ( x) 与 y ? g ( x) 图象的对称性, 即证明 y ? f ( x) 图象上任意点关于对称中心 (对 称轴)的对称点在 y ? g ( x) 的图象上,反之亦然。 注:①曲线 C1:f(x,y)=0 关于原点(0,0)的对称曲线 C2 方程为:f(-x,-y)=0; 曲线 C1:f(x,y)=0 关于直线 x=0 的对称曲线 C2 方程为:f(-x, y)=0; 曲线 C1:f(x,y)=0 关于直线 y=0 的对称曲线 C2 方程为:f(x, -y)=0; 曲线 C1:f(x,y)=0 关于直线 y=x 的对称曲线 C2 方程为:f(y, x)=0 ②f(a+x)=f(b-x) (x∈R) ? y=f(x)图像关于直线 x=

x ?0

y?x

③ y ? f ( x) 的图象关于点 ( a, b) 对称 ? f ?a ? x ? ? f ?a ? x ? ? 2b .

特别地:f(a+x)=f(a-x) (x∈R) ? y=f(x)图像关于直线 x=a 对称. 特别地: y ? f ( x) 的图象关于点 ( a, 0) 对称 ? f ?a ? x ? ? ? f ?a ? x ? . 函数 y ? f (a ? x) 与函数 y ? f (a ? x) 的图象关于直线 x ? 0 对称。

a?b 对称; 2

④函数 y ? f ( x ? a) 与函数 y ? f (a ? x) 的图象关于直线 x ? a 对称;

11

§3.1.1、方程的根与函数的零点 1.函数零点的概念: 对于函数 y ? f ( x)(x ? D) ,把使 f ( x) ? 0 成立的实数 x 叫做函数 y ? f ( x)(x ? D) 的零点. 2.函数零点的意义: 函数 y ? f ( x) 的零点就是方程 f ( x) ? 0 实数根,亦即函数 y ? f ( x) 的图象与 x 轴交点的横坐标. 即:方程 f ( x) ? 0 有实数根 ? 函数 y ? f ( x) 的图象与 x 轴有交点 ? 函数 y ? f ( x) 有零点. 3.零点定理:若 y=f(x)在[a,b]上满足 f(a)·f(b)<0 , 则 y=f(x)在(a,b)内至少有一个零点。 如果函数 y ? f ?x ? 在区间 ?a, b? 上的图象是连续不断的一条曲线,并且有 f ?a ? ? f ?b? ? 0 ,那么,函数

y ? f ?x ?在区间 ?a, b ? 内有零点,即存在 c ? ?a, b ? ,使得 f ?c ? ? 0 ,这个 c 也就是方程 f ?x ? ? 0 的根.
4.函数零点的求法:?直接法(求 f ( x) ? 0 的根) ;?图象法;?二分法.

求函数 y ? f ( x) 的零点: 1.(代数法)求方程 f ( x) ? 0 的实数根; 2.(几何法)对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数 y ? f ( x) 的图象联系起来,并利用函数的性质 找出零点. 二次函数的零点: 二次函数 y ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) . 1)△>0,方程 ax ? bx ? c ? 0 有两不等实根,二次函数的图象与 x 轴有两个交点,二次函数有两个
2

零点. 2)△=0,方程 ax ? bx ? c ? 0 有两相等实根(二重根) ,二次函数的图象与 x 轴有一个交点,二次函
2

数有一个二重零点或二阶零点. 3)△<0,方程 ax ? bx ? c ? 0 无实根,二次函数的图象与 x 轴无交点,二次函数无零点.
2

5.二分法及步骤: 对于在区间 [a ,b] 上连续不断,且满足 f ( a ) · f (b) ? 0 的函数 y ? f ( x) ,通过不断地把函数 f ( x) 的零 点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法. 给定精度 ? ,用二分法求函数 f ( x) 的零点近似值的步骤如下: 1.确定区间 [a , b] ,验证 f ( a ) · f (b) ? 0 ,给定精度 ? ; 2.求区间 (a , b) 的中点 x1 ;

12

1 若 f ( x ) = 0 ,则 x 就是函数的零点; 3.计算 f ( x1 ) :○ 1 1 2 若 f ( a ) · f ( x ) < 0 ,则令 b = x (此时零点 x ? (a, x ) ) ○ ; 1 1 0 1 3 若 f ( x ) · f (b) < 0 ,则令 a = x (此时零点 x ? ( x , b) ) ○ ; 1 1 0 1

4.判断是否达到精度 ? ; 即若 | a ? b |? ? ,则得到零点零点值 a (或 b ) ;否则重复步骤 2~4.

13


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