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湖北省部分高中2015届高三元月调考理科数学试题+答案


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2015 届高三元月调考 数学(理科)试卷
命题学校:仙桃中学 审题学校:潜江中学 命题教师:胡生淼 审题教师:杨金锁 试卷满分:150 分

考试时间:2015 年 1 月 6 日下午 15:00—17:00
注意事项:

1.答卷前,考生务必将自己的学校、考号、班级、姓名等填写在答题卡上. 2.选择题的作答:每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑,如需改 动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,答在试题卷、草稿纸上无效. 3.填空题和解答题的作答:用 0.5 毫米黑色签字笔直接在答题卡上对应的答题区域内。答在试题卷、 草稿纸上无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后,将试卷和答题卡一并交回.

第Ⅰ卷(选择题,共 50 分)
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1.设复数 z 满足 A. ? 2 ? i

1 ? 2i ? i ,则 z =( z B. ? 2 ? i
x

) C. 2 ? i D. 2 ? i )

2 2.设集合 P={x| ?0 (3t ? 10t ? 6)dt ? 0, x ? 0 },则集合 P 的非空子集个数是(

A.2 3.下列结论正确的是(

B.3 )

C.7

D.8

A.若向量 a // b ,则存在唯一的实数 λ 使得 a ? λb B.已知向量 a, b 为非零向量,则“ a, b 的夹角为钝角”的充要条件是“ a, b <0” C.命题:若 x 2 ? 1 ,则 x ? 1 或 x ? ?1 的逆否命题为:若 x ? 1 且 x ? ?1 ,则 x D.若命题 P : ?x ? R, x 2 ? x ? 1 ? 0 ,则 ? P : ?x ? R,x 2 ? x ? 1 ? 0 4.一个几何体的三视图如图所示, 其中俯视图是一个腰长为 2 的等腰直角三角形, 则该几何 体外接球的体积是( ) A. 36? B. 9? C. 9 ?
2
2

?1

D. 27 ?
8

(共 4 页) 第 1 页

5.等比数列 a n 的前 n 项和为 S n , S2n ? 4(a1 ? a3 ? ... ? a2n ?1 ), a1a2a3 ? 27 ,则 a 6 =( A.27 B.81 C.243 D.729

? ?



6.设函数 f ( x) ? 3 sin(?x ? ? )(? ? 0,? 期是 ? ,则( )

?
2

?? ?

?
2

) 的图像关于直线 x ?

2? 对称,它的周 3

A. f ( x) 的图象过点 ( 0, ) B. f ( x) 的一个对称中心是 ( C. f ( x) 在 [

1 2

? 2?
12 , 3

5? ,0) 12

] 上是减函数

D.将 f ( x) 的图象向右平移 | ? | 个单位得到函数 y ? 3sin ?x 的图象

? x ? y ? 1, ? 7.已知函数若 x,y 满足约束条件 ? x ? y ? ?1, 目标函数 z=ax+2y 仅在点(1,0)处取得最 ? 2 x ? y ? 2, ?
小值,则实数 a 的取值范围是( A. (?4, 2) B. ( ?4,1) ) C. (??, ?4)

(2, ??)

D. (??, ?4)

(1, ??)
2 , 2

8.如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1,线段 B1D1 上有两个动点 E,F,且 EF= 则下列结论中错误 的个数是 ( .. (1) AC⊥BE; )

(2) 若 P 为 AA1 上的一点,则 P 到平面 BEF 的距离为

2 ; 2

(3) 三棱锥 A-BEF 的体积为定值; (4) 在空间与 DD1,AC,B1C1 都相交的直线有无数条; (5) 过 CC1 的中点与直线 AC1 所成角为 40°并且与平面 BEF 所成角为 50°的直线有 2 条. A.0 B.1 C.2 D.3 9.已知椭圆 C1 :

x2 a12

?

y2 b12

? 1(a1 ? b1 ? 0) 与双曲线 C2 :

x2 a2 2

?

y2 b2 2

? 1(a2 ? 0, b2 ? 0) 有相同的焦

点 F1,F2,点 P 是两曲线的一个公共点,e1,e2 又分别是两曲线的离心率,若 PF1 ? PF2, 则 4e1 ? e2 的最小值为( A.
2 2

) C.

5 2

B.4

9 2

D.9

10.已知 f ( x) ?

1 ? ln x k , g ( x) ? (k ? N *) ,对任意的 c>1,存在实数 a , b 满足 x ?1 x
) D.5

0 ? a ? b ? c ,使得 f (c) ? f (a) ? g (b) ,则 k 的最大值为(
A.2 B.3 C.4

(共 4 页) 第 2 页

第Ⅱ卷(非选择题,共 100 分)
二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分)
?
?

11.平面向量 a 与 b 的夹角为 60°, a =(2,0),| a |=1,则| a +2 b |= 4 5 12.已知 tan β= ,sin(α+β)= ,且 α,β∈(0,π ),则 sin α 的值为 3 13

?

?

?

?

. .

1 4 9 36 2b ? 3c ? ? ? ? a , b , c 13.设正数 满足 a b c a ? b ? c ,则 a ? b ? c

.

14.已知两个正数 a , b ,可按规则 c ? ab ? a ? b 扩充为一个新数 c,在 a , b, c 三个数中取两 个较大的数,按上述规则扩充得到一个新数,依次下去,将每扩充一次得到一个新数称为一 次操作. 若 p ? q ? 0, 经过 6 次操作后扩充所得的数为 (q ? 1) ( p ? 1) ?1 (m, n 为正整数) , 则 m ? n 的值为 . (15,16 为选做题,二选一即可) C为圆周上一点, BC=4, 15. 如右图, 圆O的直径AB=8, 过C作圆的切线 l , 过 A 作直线 l 的垂线 AD , D 为垂足, AD 与圆 O 交于点 E ,则线段 AE 的长 为 .
m n

? 2 t ?x ? 16.直线 l 的参数方程是 ? (其中 t 为参数),圆 c 的极坐标方程为 2 ? 2 ? y? t?4 2 ? 2 ?

? ? 2 cos(? ?

?
4

) ,过直线上的点向圆引切线,则切线长的最小值是

.

三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分)

17.(12 分)在△ABC 中,角 A、B、C 对应边分别是 a、b、c,c=2,

sin 2 A ? sin 2 B ? sin 2 C ? sin A sin B .
(1)若 sin C ? sin( B ? A) ? 2sin 2 A ,求△ABC 面积; (2)求 AB 边上的中线长的取值范围.

18.(12 分)已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,常数 ? ? 0 ,且 ?a1an ? S1 ? Sn 对一切正整数 n 都成立. (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)设 a1 ? 0 , ? ? 100 ,当 n 为何值时,数列 {lg

1 } 的前 n 项和最大? an

19.(12 分)已知 x∈[0,1],函数 f ?x ? ? x 2 ? ln? x ?

? ?

1? 3 2 ? ,g ?x ? ? x ? 3a x ? 4a . 2?

(1)求函数 f(x)的单调区间和值域; 1? ,总存在 x0 ? ?0, (2)设 a ≤-1,若 ?x1 ? ?0, 1? ,使得 g(x0)=f(x1)成立,求 a 的取 值范围. (共 4 页) 第 3 页

20.(12 分)如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为直角梯形,AD//BC,∠ADC=90°, 平面 PAD⊥底面 ABCD,Q 为 AD 的中点,M 是棱 PC 上的点,PA=PD=2, BC=

1 AD=1,CD= 3 . 2
=t ,试确定 t 的值.

(1)求证:平面 PQB⊥平面 PAD; (2)若二面角 M-BQ-C 为 30°,设

21.(13 分)如图,已知点 A ? ?2,0? 和圆 O : x 2 ? y 2 ? 4, AB 是圆 O 的直经,从左到右 M、O 和 N 依次是 AB 的四等分点,P(异于 A、B)是圆 O 上的动点, PD ? AB, 交 AB 于 D,

PE ? ? ED ,直线 PA 与 BE 交于 C,|CM|+|CN| 为定值.
(1)求 ? 的值及点 C 的轨迹曲线 E 的方程; (2)一直线 L 过定点 S(4,0)与点 C 的轨迹相交于 Q,R 两点, 点 Q 关于 x 轴的对称点为 Q1, 连接 Q1 与 R 两点连线交 x 轴于 T 点, 试问△TRQ 的面积是否存在最大值?若存在,求出这个最大值;若 不存在,请说明理由.

22.(14 分)已知函数 f(x)=ax+

a ?1 +(1-2a)(a>0) x

(1)若 f(x)≥㏑ x 在[1,∞)上恒成立,求 a 的取值范围; (2)证明:1+

n 1 1 1 + +?+ >㏑(n+1)+ (n≥1) ; 2 3 n 2 ? n ? 1?
1 1 1 ln 2015 ? 7.6084 ) , 求 S 的整数部分. ( ln 2014 ? 7.6079 , ? ? ??? ? 2 3 2014

(3) 已知 S= 1 ?

(共 4 页) 第 4 页

理科参考答案
题号 答案 11. 1 C 2 B 12.
63 65

3 C

2 3

4 C 13 13. 6

5 C 14. 21

6 B

7 A 15. 4

8 A 16. 2 6

9 C

10 B

17. 解:①由题意知 a 2 ? b 2 ? c 2 ? ab????cos C ? ?????C ? 由 sinC+sin(B-A)=2sin(2A) (1)若 cosA=0 (2)若 cosA≠0
A?

1 2

?
3

=>

sinBcosA=2sinAcosA

?
2

?????S ?ABC ? S ?ABC

b=2a

2 3 3 2 ? 3 3

????????(6 分)

uur uur uuu r CA ? CB ② CD ? 2
故??| CD |2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cos 4

?

2 2 3 ? a ? b ? ab 4

1 又 Q??cos C ? ?????a 2 ? b 2 ? ab ? 4 2 2 a ? b 2 ? ab 4 ? 2ab 故?| CD |2 ? ? ?1 4 4 4 ? 2ab ?????| CD |2 ? ?3 4 故????| CD |???(1, 3]
????????(12 分) 18. 解:(1)令 n=1,得 ?a12 ? 2S1 ? 2a1 , a1 (?a1 ? 2) ? 0

?a n ? ( 0 n ?1 ) 若 a1 ? 0则S n ? 0,当n ? 2时,a n ? S n ? S n-1 ? 0,
若 a 1 ? 0,则 a1 ?
2

?

,当 n ? 2时 2a n ?

2

?

? S n , 2a n -1 ?

2

?

? S n -1

? a n ? 2a n( ) 两式相减得 2a n - 2a n-1 ? a n, 从而数列 ?a n ?为等比数列 -1 n ? 2
所以 a n ? a 1 ? 2 n -1 ?
2n

?
2n

综上:当 a 1 ? 0时,a n ? 0 ,当 a1 ? 0时,a n ?

?

????????(6 分)

(共 4 页) 第 5 页

(2)当 a 1 ? 0,? ? 100 时,令b n ? lg

100 1 ,由( 1 )知 b n ? lg n ? 2 - nlg 2 2 an

所以数列 ?b n ? 是单调递减的等差数列(公差为-lg2) 所以 b1 ? b2 ? ? ? ? ?b 6 ? lg 当 n ? 7时b n ? b 7 ? lg
100 100 ? lg ? lg1 ? 0 6 64 2

100 ? lg 1 ? 0 27

? 1? 所以数列 ?lg ? 的前 6 项和最大。????????(12 分) ? an ?
19. 解:(Ⅰ)f'(x)=2x-

1 1 x? 2



令 f'(x)=0, 解得: x ? 列表: x f '(x) f(x) ln2 0 (0, ↘
1 ) 2 1 2 1 ,x=-1(舍去)????????2 分 2



1 ,1) 2

1

0
1 4

+ ↗ 1-ln
3 2

可知 f(x)的单调减区间是(0, 因为

1 1 ),增区间是( ,1);??4 分 2 2

1 3 <1-ln =ln2-(ln3-1)<ln2, 4 2

所以当 x ? [0,1]时,f(x)的值域为[ (Ⅱ)g'(x)=3(x -a )
2 2

1 ,ln2]???????6 分 4

因为 a≤-1,x ? [0,1]所以 g'(x)<0,??????????8 分

g(x)为[0,1]上的减函数,g(1)≤g(x)≤g(0),
所以 g(x) ? [1-4a-3a2,-4a]????????????????10 分 因为当 x ? [0,1]时,f(x)的值域为[
1 ,ln2] 4

(共 4 页) 第 6 页

由题意知:[

1 2 ,ln2] ? [1-4a-3a ,-4a] 4

1 ? 2 ?1 ? 4a ? 3a ? , 所以 ? 4 ? ? 4 a ? ln 2 , ?

又 a≤-1,得 a≤-

3 。????????????????????12 分 2

20. 解:(Ⅰ)∵AD // BC,BC=

1 AD,Q 为 AD 的中点, 2

∴四边形 BCDQ 为平行四边形,∴CD // BQ . ∵∠ADC=90° ∴∠AQB=90° 即 QB⊥AD.

又∵平面 PAD⊥平面 ABCD ∴BQ⊥平面 PAD.

且平面 PAD∩平面 ABCD=AD,

∵BQ ? 平面 PQB,∴平面 PQB⊥平面 PAD. ??????????6 分 另证:AD // BC,BC=

1 AD,Q 为 AD 的中点, 2

∴ 四边形 BCDQ 为平行四边形,∴CD // BQ . ∵ ∠ADC=90° ∵ PQ∩BQ=Q, ∴∠AQB=90°. ∴AD⊥平面 PBQ. ∵ PA=PD, ∴PQ⊥AD.

∵ AD ? 平面 PAD,∴平面 PQB⊥平面 PAD.?????????6 分 (Ⅱ)∵PA=PD,Q 为 AD 的中点, ∴PQ⊥AD.
z

∵平面 PAD⊥平面 ABCD, 且平面 PAD∩平面 ABCD=AD, P ∴PQ⊥平面 ABCD. 如图,以 Q 为原点建立空间直角坐标系. 则平面 BQC 的法向量为 n ? (0,0,1) ;
Q(0,0,0) , P(0,0, 3) , B(0, 3,0) , C(?1, 3,0) .
A Q N B x y M D C

设 M ( x, y, z ) ,则 PM ? ( x, y, z ? 3) ,
MC ? (?1 ? x, 3 ? y, ?z) ,

∵ PM ? tMC ,

(共 4 页) 第 7 页

? x ? t (?1 ? x) ? ∴ ? y ? t ( 3 ? y) , ? ? z ? 3 ? t (? z)

t ? ?x ? ? 1? t ? 3t ? ∴ ?y ? 1? t ? ? 3 ?z ? ? 1? t

???????9 分

在平面 MBQ 中, QB ? (0, 3,0) , QM ? (? ∴ 平面 MBQ 法向量为 m ? ( 3,0, t ) . ∵二面角 M-BQ-C 为 30°, ∴ cos 30? ?

t 3t 3 , , ), 1? t 1? t 1? t

n?m n m

?

t 3 ? 0 ? t2

?

3 , 2

∴ t ? 3 .????????????????????12 分
y ? ? 21、 解: (1)易得 B ? 2,0? , 设 P ? x0 , y0 ? , C ? x, y ? , 则 E ? x0 , 0 ? , M ? ?1,0? ,N ?1,0 ? , ? 1? ? ?

直线 PA 与 BE 交于 C, 故 x ? ?2 ,
y0 y ? ,① x ? 2 x0 ? 2

y0 y ? 1 ? ? ,② 且 x ? 2 x0 ? 2

??????2 分

2 y0 y2 ? 12? ? , 又 因 为 点 P( 异 于 A , B) 是 圆 O 上 的 动 点 , 故 ①② 相 乘 得 2 x ? 4 x0 ?4

y2 1 ?? , 2 x ?4 1? ?



x2 y2 1 4 ? ? 1 , 要 使 CM ? CN 为 定 值 , 则 4 ? ? 1, 解 得 ? ? 此时 4 3 1? ? 4 1? ?

x2 y 2 ? ? 1? x ? ?2 ? , 4 3
x2 y 2 1 ? 1? x ? 2 ? . ??????6 分 即 ? ? 时,点 C 的轨迹曲线 E 的方程为 ? 3 4 3
(共 4 页) 第 8 页

? x ? my ? 4 ? (2)联立 ? x 2 y 2 消 x 得 (3m2 ? 4) y 2 ? 24my ? 36 ? 0 ?1 ? ? 3 ?4

? ? (24m)2 ? 4 ? 36(3m2 ? 4) ? 144(m2 ? 4) ? 0 ,即 m2 ? 4 ????(8 分)
设 Q( x1 , y1 ), R( x2 , y2 ) ,则 Q '( x1 , ? y1 )
24m ? y ? y ? ? , (1) 1 2 ? ? 3m 2 ? 4 由韦达定理有 ? ? y y ? 36 , (2) 1 2 ? 3m 2 ? 4 ?

直线 RQ 的方程为 y ?

y2 ? y1 ( x ? x1 ) ? y1 x2 ? x1

令 y = 0 ,得 x ?

x1 y2 ? x2 y1 (my1 ? 4) y2 ? y1 (my2 ? 4) 2my1 y2 ? 4( y1 ? y2 ) ? ? y1 ? y2 y1 ? y2 y1 ? y2

将(1),(2)代人上式得 x = 1 ,????????(10 分) 又 S?TRQ ?
1 3 | ST || y1 ? y2 |? ( y1 ? y2 ) 2 ? 4 y1 y2 2 2

=

3 ?24m 2 4 ? 36 ( 2 ) ? 2 2 3m ? 4 3m ? 4 m2 ? 4 3m2 ? 4

= 18 ?

m2 ? 4 =18 3(m2 ? 4) ? 16
=18
1 3 m2 ? 4 ? 16 m2 ? 4

?

3 3 4

当 m2 =

28 时取得。????????(13 分) 3
a ?1 ? 1 ? 2a ? ln x, x ? ?1, ?? ? , x

22、解: (Ⅰ)令

g ( x) ? f ( x) ? ln x ? ax ?

(共 4 页) 第 9 页



g (1) ? 0, g ' ( x) ? a ?

a ? 1 1 ax ? x ? (a ? 1) ? ? ? x x2 x2
2

a( x ? 1)(x ? x2

1? a ) a ,

1 1? a 0 ? a ? 时, ? 1. 2 a (i)当 1? x ? 1? a , 则g ' ( x) ? 0, g ( x) a 是减函数,所以 g ( x) ? g (1) ? 0,



即 f ( x) ? ln x, 故f ( x) ? ln x在?1,??? 上不恒成立.
1 1? a a ? 时, ? 1. 2 a (ii)当

若 x ? 1, 则g ' ( x) ? 0, g ( x) 是增函数,所以 g ( x) ? g (1) ? 0, 即 f ( x) ? ln x, 故当x ? 1 时, f ( x) ? ln x.
?1 ? ,?? ?. ? ? 综上所述,所求 a 的取值范围为 ? 2

????(4 分)

1 时,有 f ( x) ? ln x( x ? 1) 2 1 1 1 1 1 (x ? ) ? ln x 令 a ? , 有 f ( x) ? ( x ? ) ? ln x( x ? 1) 且当 x ? 1时, 2 2 x 2 x

(II)由(I)可知:当 a ?

令x?

k ?1 k ?1 1 ?k ?1 k ? 1? 1 1 ? , 有ln ? ? ? ? ?(1 ? ) ? (1 ? ) , ? k k 2? k k ? 1? 2 ? k k ?1 ? ?
1 1 1 ( ? ), k ? 1,2,3,...n 2 k k ?1

即 ln(k ? 1) ? ln k ?

将上述 n 个不等式依次相加得 ln(n ? 1) ? 整理得
1?

1 1 1 1 1 ? ( ? ????? ) ? 2 2 3 n 2(n ? 1)

1 1 1 n ? ? ? ? ? ln(n ? 1) ? . 2 3 n 2(n ? 1) ?????(9 分)

x 1 1 ? ln(1 ? x) x? ? ln n ? ln(n ? 1) n ? 1 ,得 n (Ⅲ)由重要不等式 1 ? x ,令 , 1 1 1 通过累加可得 1+ 2 + 3 +?+ n ? ln n ? 1 ,
(共 4 页) 第 10 页

n 1 1 1 2 n ? 1? 所以 ln n ? 1 >1+ 2 + 3 +?+ n >㏑(n+1)+ ?
1007 令 n=2014,得 8.6079 ? ln2014+1>S>ln2015+ 2015 ? 8.1

所以 S 的整数部分为 8 ??

??

(14 分)

(共 4 页) 第 11 页


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