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2013年4月上海市普陀区高三数学二模试卷理科含答案


普陀区 2012 学年第二学期高三理科数学质量调研
考生注意: 2013.4 1.答卷前,考生务必在答题纸上将姓名、考试号填写清楚,并在规定的区域贴上条形码. 2.本试卷共有 23 道题,满分 150 分,考试时间 120 分钟. 一.填空题 (本大题满分 56 分) 本大题共有 14 题, 考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果, 每个空格填对得 4 分,否则一律得零分. 1. 函数 y ?

log 2 ( x ? 1) 的定义域为

.

2. 若 z1 ? a ? 2i , z 2 ? 1 ? i ( i 表示虚数单位) ,且 3. 若 sin? ?

z1 为纯虚数,则实数 a ? z2

.

3 ? 且 sin 2? ? 0 ,则 tan ? 5 2

.
?1

4. 若点 (4,2) 在幂函数 f (x) 的图像上,则函数 f (x) 的反函数 f
11 2 11

( x) =
2

.
2

5. 若 (2 x ? 1) ? a0 ? a1 x ? a2 x ? ? ? a11x , (a0 ? a2 ? ? ? a10 ) ? (a1 ? a3 ? ? ? a11 ) = 则 6. 若函数 f ( x) ? x ? ax ? 1 是偶函数,则函数 y ?
2

.

f ( x) 的最小值为 | x|

.

7. 若双曲线 C :

x2 y2 ? ? 1 的焦距为 10 ,点 P(2,1) 在 C 的渐近线上,则 C 的方程为 a 2 b2

.

8. 某班从 4 名男生、2 名女生中选出 3 人参加志愿者服务,若选出的男生人数为 ? ,则 ? 的方差

D? =
9. 若曲线 ? : ?

.

? x ? 1 ? 3 cos? ? 2? ( ? 为参数且 ? ? ? ) ,则 ? 的长度为 3 3 ? y ? 2 ? 3 sin?

.

a
10. 若三条直线 ax ? y ? 3 ? 0 , x ? y ? 2 ? 0 和 2 x ? y ? 1 ? 0 相交于一点,则行列式 1

1 1

3 2

2 ?1 1
的值为 .

11. △ ABC 中,角 A 、 B 、 C 所对的边为 a 、 b 、 c ,若 A ?

?
3

, b ? 2c ,则 C =

.

-1-

12. 若圆 C 的半径为 3,单位向量 e 所在的直线与圆相切于定点 A ,点 B 是圆上的动点,则 e ? AB 的最大值为
2

?

? ??? ?

.

13. 函数 y ? s i n x? 2 c oxs 的定义域为 ? ?

1 ? 2? ? 值域为 [? ,2] , ? 的取值范围是 则 ,? ? , 4 ? 3 ?

.

?1 1 1 1 ? ?2 3 14. 若 ai , j 表示 n ? n 阶矩阵 ? 3 ? ?? ?n ? ? ? ?

? ? ? ? ?

1 ? ? ? ? 中第 i 行、第 j 列的元素,其中第1 行的元 ? ? ? an , n ? ?

素均为 1 ,第 1 列的元素为 1,2,3, ,n ,且 ai ?1, j ?1 ? ai ?1, j ? ai , j ( i 、 j ? 1,2,?, n ? 1 ),则 ?

a3, n =

.

二.选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的 相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得 5 分,否则一律得零分. 15. 若集合 A ? {x | y ? 4 x, y ? R} ,B ? {x |
2

1? x 则 ( ? 0} , A ? B ? ????????? 2? x



A . [0,1] .

B . (?2,1] .

C . (?2, ??) .

D . [1, ??) .

16. 若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等,圆柱、球的表面积分别记为 S 1 、 S 2 ,则 S 1 : S 2 = ?????????????????????????????????????? ( )

A . 1:1.

B . 2:1.
2

C . 3:2.

D . 4:1.

17. 若 a ? R ,则“关于 x 的方程 x ? ax ? 1 ? 0 无实根”是“ z ? (2a ? 1) ? (a ? 1)i (其中 i 表示 虚数单位) 在复平面上对应的点位于第四象限” 的????????????????? ( )

A .充分非必要条件.
C .充要条件.

B .必要非充分条件. D .既非充分又非必要条件.
2 2

18.如图,△ ABC 是边长为 1 的正三角形,点 P 在△ ABC 所在的平面内,且 | PA | ? | PB | ?

| PC | 2 ? a( a 为常数) .下列结论中, 正确的是?????????????????? (



A .当 0 ? a ? 1 时,满足条件的点 P 有且只有一个. B .当 a ? 1 时,满足条件的点 P 有三个.
C .当 a ? 1 时,满足条件的点 P 有无数个.
-2-

A
P

B

第 18 题

C

D .当 a 为任意正实数时,满足条件的点 P 总是有限个.

三.解答题(本大题满分 74 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域 内写出必要的步骤. 19. (本题满分 12 分)本大题共有 2 小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 6 分. 已知函数 f ( x) ? A cos( x ? ? ) ( A ? 0 , ? ? 0 , ? ?

?
2

? ? ? 0 )的图像与 y 轴的交点

为 (0, 1) ,它在 y 轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为 ( x0 ,2) 和 ( x0 ? 2? ,?2) (1)求函数 f (x) 的解析式; (2)若锐角 ? 满足 cos ? ?
1 ,求 f (2? ) 的值. 3

第 19 题

-3-

20. (本题满分 14 分)本大题共有 2 小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分. 已知 a ? 0 且 a ? 1 ,函数 f ( x) ? log a ( x ? 1) , g ( x) ? log a (1)求函数 F (x) 的定义域 D 及其零点; (2)若关于 x 的方程 F ( x) ? m ? 0 在区间 [0, 1) 内仅有一解,求实数 m 的取值范围.

1 ,记 F ( x) ? 2 f ( x) ? g ( x) 1? x

21.(本题满分 14 分) 本大题共有 2 小题,第 1 小题 6 分,第 2 小题 8 分. 如图,正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的棱长为 1 (1)求直线 DB 与平面 A1BCD1 所成角的大小; (2)求四棱锥 D ? BCD1 A1 的体积.

D1

A1

B1

C1

D A
第 21 题

C

B

-4-

22. (本题满分 16 分) 本大题共有 3 小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分 ,第 3 小题满 分 6 分. 在平面直角坐标系 xOy 中,方向向量为 d ? (1, k ) 的直线 l 经过椭圆

x2 y2 ? ? 1 的右焦点 18 9

F ,与椭圆相交于 A 、 B 两点
(1)若点 A 在 x 轴的上方,且 | OA |?| OF | ,求直线 l 的方程; (2)若 k ? 0 , P(6,0) 且△ PAB 的面积为 6 ,求 k 的值;

(3)当 k ( k ? 0 )变化时,是否存在一点 C ( x0 ,0) ,使得直线 AC 和 BC 的斜率之和为 0 ,若存在,

y
求出 x 0 的值;若不存在,请说明理由.

O

F

x

第 22 题

-5-

23.(本题满分 18 分) 本大题共有 3 小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分 ,第 3 小题满 分 8 分. 对于任意的 n ? N ,若数列 {a n } 同时满足下列两个条件,则称数列 {a n } 具有“性质 m ” :
*



an ? an ? 2 ? an ?1 ; 2

②存在实数 M ,使得 an ? M 成立.

(1)数列 {a n } 、 {bn } 中, an ? n 、 bn ? 2 sin 有“性质 m ” ;

n? ( n ? 1,2,3,4,5 ) ,判断 {a n } 、 {bn } 是否具 6 1 7 , S3 ? ,证明:数列 {S n } 具有 4 4

(2)若各项为正数的等比数列 {cn } 的前 n 项和为 S n ,且 c3 ? “性质 m ” ,并指出 M 的取值范围; (3)若数列 {d n } 的通项公式 d n ?

t (3 ? 2 n ? n) ? 1 * * ( n ? N ).对于任意的 n ? 3 ( n ? N ) ,数 2n

列 {d n } 具有“性质 m ” ,且对满足条件的 M 的最小值 M 0 ? 9 ,求整数 t 的值.

-6-

普陀区 2012 学年第二学期高三理科数学质量调研试题答案
一.填空题 1. {x | x ? 2} 8. 0.4 9. ? 2. ? 2 10. 0 3. 3 11. 4. f
?1

( x) ? x 2 ( x ? 0 ) 5. ? 311
13. [0,

6. 2

7.

x2 y2 ? ?1 20 5

? 12. 3 6

2? ] 3

14.

1 2 1 n ? n?2 2 2
18 C

二.选择题 题 号 答 案 15 A 16 C 17 B

三.解答题 19.解: (1)由题意可得 A ? 2 ???????????????????????1 分

T 1 ? 2? 即 T ? 4? , ? ? ?????????????????? 3 分 2 2 1 f ( x) ? 2 c o s ( x ? ? ) , f (0) ? 1 2 1 ? ? 由 cos? ? 且 ? ? ? ? 0 ,得 ? ? ? ???????????????5 分 2 3 2 1 ? 函数 f ( x) ? 2 cos( x ? ) ?? ??????????????????6 分 2 3
由于 cos ? ?

2 2 1 且 ? 为锐角,所以 sin? ? ?? ????????????8 分 3 3

f (2? ) ? 2 cos( ? ) ? 2(cos? cos ? sin ? sin ) ?????????????10 分 ? 3 3 3
1 1 2 2 3 1? 2 6 ? 2?( ? ? ? )? ????????12 分 3 2 3 2 3
20. 解: (1) F ( x) ? 2 f ( x) ? g ( x) ? 2 log a ( x ? 1) ? log a

?

?

?

1 ( a ? 0 且 a ? 1) 1? x

?x ? 1 ? 0 ,解得 ? 1 ? x ? 1 ,所以函数 F (x) 的定义域为 (?1, 1) ??2 分 ? ?1 ? x ? 0
令 F (x) ? 0 ,则 2 log a ( x ? 1) ? log a

1 ? 0 ??(*)方程变为 1? x

log a ( x ? 1) 2 ? log a (1 ? x) , ( x ? 1) 2 ? 1 ? x ,即 x 2 ? 3x ? 0 ??3 分
解得 x1 ? 0 , x2 ? ?3 ??4 分 经检验 x ? ?3 是(*)的增根,所以方程(*)的解为 x ? 0 ??5 分 所以函数 F (x) 的零点为 0 .??6 分

-7-

(2) m ? 2 log a ( x ? 1) ? log a

1 ( 0 ? x ? 1) 1? x

m ? log a

x 2 ? 2x ? 1 4 ? log a (1 ? x ? ? 4) ??8 分 1? x 1? x

am ? 1? x ?

4 ? 4 ??9 分 1? x 4 在区间 (0, 1] 上是减函数?11 分 t
m

设 1 ? x ? t ? (0, 1] ,则函数 y ? t ?

当 t ? 1 时,此时 x ? 1, y min ? 5 ,所以 a

? 1 ??????12 分

①若 a ? 1 ,则 m ? 0 ,方程有解;??????13 分 ②若 0 ? a ? 1 ,则 m ? 0 ,方程有解.??14 分 21.解: (1)以 D 为坐标原点,分别以射线 DA 、 DC 、 DD1 为 x 、 y 、 z 轴,建立空间直角坐标系,如图所示。则

z
D1

C1

A1

B1

D(0,0,0) , B(1,1,0) , C (0,1,0) , D1 (0,0,1) ??1 分
DB ? (1,1,0) , BC ? (?1,0,0) , CD1 ? (0,?1,1) ??2 分

D
C

y

A

B

x
设 n ? ( x, y, z ) 是平面 A1BCD1 的法向量,则

?n ? BC ? 0 ?x ? 0 ? ,即 ? 令 z ? 1 ,则 n ? (0,1,1) ?3 分 ? ?n ? CD1 ? 0 ?z ? y ? 0 ?
设直线 DB 与平面 A1BCD1 所成角为 ? ,则 sin ? ? 由于 0 ? ? ?

| n ? DB | 1 ? ??4 分 | n || DB | 2

?
2

,所以 ? ?

?
6

??5 分

即直线 DB 与平面 A1BCD1 所成角的大小为 (2)由(1)得 n0 ?

? ;??6 分 6

n 1 1 ? (0, , ) ??8 分 2 2 |n|

所以点 D 到平面 A1BCD1 的距离 d ?| n0 ? DB |? 因为四边形 A1BCD1 是矩形,所以面积 S ?

2 ??10 分 2

2 ??12 分

1 1 2 1 VD?BCD1A1 ? sh ? ? ? 2 ? ??14 分 3 3 2 3
-8-

22.【解】 (1)由题意 a ? 18 , b ? 9 得 c ? 3 ,所以 F (3,0) ????????????1 分
2 2

| OA |?| OF | 且点 A 在 x 轴的上方,得 A(0,3) ????????????2 分

k ? ?1, d ? (1,?1) ??????????????3 分
直线 l :

x ?3 y ?0 ,即直线 l 的方程为 x ? y ? 3 ? 0 ??????????4 分 ? 1 ?1

(2)设 A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y 2 ) ,直线 l : y ? k ( x ? 3) ????5 分

? x2 y2 ?1 ? ? 2 2 2 将直线与椭圆方程联立 ?18 ,?6 分消去 x 得, (1 ? 2k ) y ? 6ky ? 9k ? 0 ??7 分 9 ? y ? k ( x ? 3) ?

6k ? ? y1 ? y2 ? ? 1 ? 2k 2 ? ?????8 分 ? ? 0 恒成立, ? 9k 2 ?y ? y ? ? ? 1 2 1 ? 2k 2 ?
| y1 ? y2 |? 6 | k | 2(1 ? k 2 ) 6k 2(1 ? k 2 ) ? ?????9 分 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 6k 2(1 ? k 2 ) 1 1 ? | PF | ? | y1 ? y2 |? ? 3 ? ?6 2 2 1 ? 2k 2
2

所以 S ?PAB ?
4

化简得 k ? k ? 2 ? 0 ,由于 k ? 0 ,解得 k ? 1 ??10 分 (3)假设存在这样的点 C ( x 0 ,0) ,使得直线 AC 和 BC 的斜率之和为 0,由题意得,直线 l :

? x2 y2 ?1 ? ? 2 2 2 2 消去 y 得 (1 ? 2k ) x ? 12 k x ? 18(k ? 1) ? 0 ??12 分 y ? k ( x ? 3) ( k ? 0 ) ? 18 9 ? y ? k ( x ? 3) ?
? 12 k 2 x1 ? x 2 ? ? ? 1 ? 2k 2 ??13 分 ? ? 0 恒成立,? 18( k 2 ? 1) ?x ? x ? ? 1 2 1 ? 2k 2 ?
14 分

k AD ?

y1 y2 ,k BD ? ,?? x1 ? x 0 x 2 ? x0

k AD ? k BD ?

y1 y2 ? x1 ? x0 x 2 ? x 0

-9-

?

k ( x1 ? 3) k ( x 2 ? 3) k ( x1 ? 3)( x 2 ? x0 ) ? k ( x 2 ? 3)( x1 ? x0 ) ? ? ?0 x1 ? x0 x 2 ? x0 ( x1 ? x0 )( x 2 ? x0 )

所以 2kx1 x2 ? k ( x0 ? 3)( x1 ? x2 ) ? 6kx0 ? 0 ,??15 分

36 k (k 2 ? 1) 12 k 3 ( x0 ? 3) ? ? 6kx0 ? 0 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2
解得 x0 ? 6 ,所以存在一点 (6,0) ,使得直线 AC 和 BC 的斜率之和为 0.??16 分 23.解: (1)在数列 {a n } 中,取 n ? 1,则 “ m 性质” ;??2 分 在数列 {bn } 中,b1 ? 1 ,b2 ?

a1 ? a3 ? 2 ? a 2 ,不满足条件①,所以数列 {a n } 不具有 2

3 ,b3 ? 2 ,b4 ? 3 ,b5 ? 1 ,则 b1 ? b3 ? 3 ? 2 3 ? 2b2 ,

b2 ? b4 ? 2 3 ? 4 ? 2b3 , b3 ? b5 ? 3 ? 2 3 ? 2b4 , 所 以 满 足 条 件 ① ; bn ? 2 sin
( n ? 1,2,3,4,5 )满足条件②,所以数列 {bn } 具有“性质 m ” 。??4 分 (2)因为数列 {c n } 是各项为正数的等比数列,则公比 q ? 0 , 将 c3 ?

n? ?2 6

c c 7 1 2 代入 S 3 ? 3 ? 3 ? c3 ? 得, 6q ? q ? 1 ? 0 , 2 q 4 4 q

1 1 或 q ? ? (舍去) ,??6 分 2 3 1 1 所以 c1 ? 1 , c n ? n ?1 , S n ? 2 ? n ?1 ??7 分 2 2
解得 q ? 对于任意的 n ? N ,
*

S n ? S n? 2 1 1 1 ? 2 ? n ? n ? 2 ? 2 ? n ? S n ?1 ,且 S n ? 2 ??8 分 2 2 2 2

所以数列数列 {S n } 具有“ m 性质”??9 分

M ? 2 .??10 分 tn ? 1 t (n ? 1) ? 1 t (n ? 2) ? 1 (3)由于 d n ? 3t ? ,则 d n ?1 ? 3t ? , d n ? 2 ? 3t ? n n ?1 2 2 2 n?2
* 由于任意 n ? [3, ? ?] 且 n ? N ,数列 {d n } 具有“性质 m ” ,所以 d n ? d n ? 2 ? 2d n ?1

tn ? 1 t (n ? 2) ? 1 t (n ? 1) ? 1 ,化简得, t (n ? 2) ? 1 ??12 分 ? ? 2? n n?2 2 2 2 n?1 1 * 即t ? 对于任意 n ? [3, ? ?) 且 n ? N 恒成立,所以 t ? 1 ??①??14 分 n?2 tn ? 1 t (n ? 1) ? 1 t (n ? 1) ? 1 = 由于 n ? 3 及①,所以 d n ?1 ? d n d n?1 ? d n ? n ? 2 2 n?1 2 n ?1

- 10 -

即 n ? 3 时,数列 {d n } 是单调递增数列,且 lim d n ? lim (3t ?
n?? n??

tn ? 1 ) ? 3t ??16 分 2n

只需 3t ? 9 ,解得 t ? 3 ??②??17 分 由① ②得 1 ? t ? 3 ,所以满足条件的整数 t 的值为 2 和 3. 经检验 t ? 2 不合题意,舍去,满足条件的整数只有 t ? 3 ??18 分

- 11 -


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