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【成才之路】2014-2015学年高中数学(人教B版)必修二强化练习:2.3.3 直线与圆的位置关系]


第二章

2.3

2.3.3

一、选择题 1.若直线 3x+y+a=0 过圆 x2+y2+2x-4y=0 的圆心,则 a 的值为( A.-1 C.3 [答案] B [解析] 该题考查圆的标准方程和一般方程的互化,以及圆与直线的关系,属简单题. 圆的圆心为(-1,2)代入直线 3x+y+a=0, ∴-3+2+a=0, ∴a=1. 1 2.如果 a2+b2= c2,那么直线 ax+by+c=0 与圆 x2+y2=1 的位置关系是( 2 A.相交 C.相离 [答案] C [解析] 圆的半径 r=1,圆心(0,0)到直线 ax+by+c=0 的距离 d= |c| |c| 2=1 =4>1. a +b |c| 4
2

)

B.1 D.-3

)

B.相切 D.相交或相切

故选 C. 3. (2014· 广东揭阳一中阶段测试)直线 ax-y+2a=0 与圆 x2+y2=9 的位置关系是( A.相离 C.相切 [答案] B [解析] 直线 ax-y+2a=0 可化为 a(x+2)-y=0,即直线过定点(-2,0),又∵定点(- 2,0)在圆 x2+y2=9 的内部,∴直线 ax-y+2a=0 与圆 x2+y2=9 相交. 4.(2014· 甘肃高台一中月考)圆 x2+y2-4y+3=0 与直线 2 2x+y+b=0 相切,正实数 b 的值为( 1 A. 2 C.2 2-1 [答案] B |0+2+b| [解析] 圆 x2+y2-4y+3=0 的圆心坐标为(0,2),半径为 1,由题意得 =1, 8+1 ∴|2+b|=3,又∵b>0,∴b=1. ) B.1 D.3 B.相交 D.不确定 )

5.圆 x2+2x+y2+4y-3=0 上到直线 x+y+1=0 的距离为 2的点共有( A.1 个 C.3 个 [答案] C B.2 个 D.4 个

)

[解析] 圆 x2+2x+y2+4y-3=0 的圆心 C 的坐标为(-1,-2),半径 r=2 2,如图所 示,

圆心 C 到直线 x+y+1=0 的距离为 2,故过圆心 C 与直线 x+y+1=0 平行的直线 l 与圆的两个交点 A、B 到直线 x+y+1=0 的距离为 2.又圆的半径 r=2 2,故过圆心 C 作 直线 x+y+1=0 的垂线,并延长与圆的交点 C′到直线 x+y+1=0 的距离为 2,故选 C. 6.圆 x2+y2-4x=0,在点 P(1, 3)处的切线方程为( A.x+ 3y-2=0 C.x- 3y+4=0 [答案] D [解析] 点(1, 3)在圆 x2+y2-4x=0 上, ∴点 P 为切点,从而圆心与 P 的连线应与切线垂直, 0- 3 又∵圆心为(2,0),∴ · k=-1, 2-1 解得 k= 3 , 3 )

B.x+ 3y-4=0 D.x- 3y+2=0

即切线方程为 x- 3y+2=0. 二、填空题 7.圆 x2+y2=16 上的点到直线 x-y=3 的距离的最大值为________. 3 2 [答案] 4+ 2 [解析] 圆心到直线 x-y=3 的距离为 3 3 2 = , 2 2

3 2 ∴圆心 x2+y2=16 上的点到直线 x-y=3 的距离的最大值为 4+ . 2

8.(2014· 重庆文,14)已知直线 x-y+a=0 与圆心为 C 的圆 x2+y2+2x-4y-4=0 相交 于 A、B 两点,且 AC⊥BC,则实数 a 的值为________. [答案] 0 或 6 [解析] 本题考查直线与圆的位置关系. 圆 C(x+1)2+(y-2)2=9, 如图.

∵AC⊥BC,∴AB=3 2. 3 2 又 C(-1,2),∴点 C 到 AB 的距离 d= , 2 即 3 2 |-1-2+a| = ,∴a=0 或 6. 2 2

三、解答题 9.(2014· 辽宁大连第二中学高一期末测试)已知圆 C 和 y 轴相切,圆心在直线 x-3y=0 上,且被直线 y=x 截得的弦长为 2 7,求圆 C 的方程. a |a- | 3 2 a [解析] 由题意可设圆心坐标为(a, ),圆的半径 R=|a|,由题意得( ) +( 7)2=a2, 3 2 ∴a2=9,a=± 3. 故所求圆的方程为(x-3)2+(y-1)2=9 或(x+3)2+(y+1)2=9.

一、选择题 1.与圆 x2+(y-2)2=2 相切,且在两坐标轴上截距相等的直线有( A.6 条 C.3 条 [答案] C [解析] 在两轴上截距相等,分两种情形: ①过原点,截距都是 0,设为 y=kx,由(0,2)到 y=kx 距离为 2, ∴ 2 = 2,∴k=± 1. 1+k2 B.4 条 D.2 条 )

②不过原点设截距均为 a,则方程为 x+y=a. |2-a| 同样可得: = 2,∴a=4,共有 3 条. 2

2.圆 x2+y2-4x+4y+6=0 截直线 x-y-5=0 所得弦长是( A. 6 C.1 [答案] A [解析] 圆心 C(2,-2),半径 r= 2, |2+2-5| 2 弦心距 = , 2 2 ∴弦长为 2 ? 2?2-? 2?2 = 6. ?2? 5 2 B. 2 D. 2

)

3.过点(2,1)的直线中,被圆 x2+y2-2x+4y=0 截得的弦为最短的直线的方程为( A.3x-y-5=0 C.3x-y-1=0 [答案] B B.x+3y-5=0 D.x+3y-1=0

)

[解析] 经过点(2,1)的直线中, 被圆 x2+y2-2x+4y=0 截得的最短的弦是与过该点的直 径垂直的直线, 1-?-2? 已知圆心(1,-2),故过(2,1)的直径的斜率为 k= =3,因此与这条直径垂直的 2-1 1 1 直线的斜率为- ,其方程为 y-1=- (x-2),即为 x+3y-5=0. 3 3 5 4.过坐标原点且与圆 x2+y2-4x+2y+ =0 相切的直线方程为( 2 1 A.y=-3x 或 y= x 3 1 C.y=-3x 或 y=- x 3 [答案] A 5 [解析] 设所求直线方程为 y=kx,圆的方程可化为(x-2)2+(y+1)2= ,∴圆心为(2, 2 -1),半径 r= 二、填空题 5.自点 A(-1,4)作圆(x-2)2+(y-3)2=1 的切线,则切线长等于________. [答案] 3 [解析] 设切线长为 l,圆心 C(2,3),|AC|= 10, 圆的半径 r=1,∴l2=|AC|2-r2=9,∴l=3. 6.过点(-1,-2)的直线 l 被圆 x2+y2-2x-2y+1=0 截得的弦长为 2,则直线 l 的斜 |2k+1| 5 10 10 1 = ,由题意,得 2 = ,解得 k=-3 或 . 2 2 2 3 k +1 1 B.y=3x 或 y=- x 3 1 D.y=3x 或 y= x 3 )

率为________. [答案] 17 或1 7

[解析] 本题考查直线与圆的综合知识,转化与化归的数学思想,“充分利用直角三角 形”是关键. 设直线斜率为 k,则直线方程为 y+2=k(x+1)即 kx-y+k-2=0, 圆的方程可化为(x-1)2+(y-1)2=1,圆心(1,1),半径 r=1,由弦长为 2,圆心到直线 |k-1+k-2| |2k-3| ?2k-3?2 1 22 2 2 距离为 d= = ,则 r = d + ( ) ,即: = ,7k2-24k+17=0, 2 2 1+k2 k2+1 1+k2 17 所以 k= 或 k=1. 7 三、解答题 7.求满足下列条件的圆 x2+y2=4 的切线方程: (1)经过点 P( 3,1); (2)经过点 Q(3,0); (3)斜率为-1. [解析] (1)∵( 3)2+12=4,∴点 P( 3,1)在圆上, 故所求切线方程为 3x+y=4. (2)∵32+02>4,∴点 Q 在圆外. 设切线方程为 y=k(x-3),即 kx-y-3k=0. ∵直线与圆相切,∴圆心到直线的距离等于半径, ∴ |-3k| 1+k
2=2,k=± 5

2

5,

2 ∴所求切线方程为 y=± 5(x-3), 5 即 2x± 5y-6=0. (3)设圆的切线方程为 y=-x+b,代入圆的方程,整理得 2x2-2by+b2-4=0,∵直线与圆相切, ∴Δ=(-2b)2-4×2(b2-4)=0.解得 b=± 2 2. ∴所求切线方程为 x+y± 2 2=0. 8.当 m 为何值时,直线 mx-y-m-1=0 与圆 x2+y2-4x-2y+1=0 相交、相切、相 离? [解析] 解法一:(代数法)
? ?y=mx-m-1 由? 2 2 ,得 ?x +y -4x-2y+1=0 ?

(1+m2)x2-2(m2+2m+2)x+m2+4m+4=0, Δ=4m(3m+4), 4 当 Δ=0,即 m=0 或- 时,直线与圆相切, 3 4 当 Δ>0 时,即 m>0 或 m<- 时,直线与圆相交, 3 4 当 Δ<0,即- <m<0 时,直线与圆相离. 3 解法二:(几何法) 由已知得圆心坐标为 (2,1) ,半径 r = 2 ,圆心到直线 mx - y - m - 1 = 0 的距离 d = |2m-1-m-1| |m-2| = , 1+m2 1+m2 4 当 d=2,即 m=0 或- 时,直线与圆相切; 3 4 当 d>2,即- <m<0 时,直线与圆相离; 3 4 当 d<2,即 m>0 或 m<- 时,直线与圆相交. 3 9.求证:不论 k 为何值,直线 l:kx-y-4k+3=0 与曲线 C:x2+y2-6x-8y+21=0 恒有两个交点. [解析] 解法一:将直线 l 与曲线 C 的方程联立,得
? ?kx-y-4k+3=0, ? 2 2 ?x +y -6x-8y+21=0, ?

① ② ③

消去 y,得(1+k2)x2-2(4k2+k+3)x+2(8k2+4k+3)=0.

1?2 8? ∵Δ=4(4k2+k+3)2-8(1+k2)(8k2+4k+3)=12k2-8k+12=12?? ?k-3? +9 >0,

?

?

∴方程③有两相异实数根, 因而方程组有两个解,即说明直线 l 与曲线 C 恒有两交点. 解法二:当 k 变化时,由 l:k(x-4)+3-y=0 可知,直 线 l 恒过定点 A(4,3),曲线 C 是半径 r=2, 圆心为 C(3,4)的圆. ∵|AC|= ?4-3?2+?3-4?2= 2<r, ∴直线 l 与曲线 C 恒有两个交点.


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