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2013届高考数学(理)一轮复习单元测试第十章统计与概率


统计与概率
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.)
1、 (2012 山东理)采用系统抽样方法从 960 人中抽取 32 人做问卷调查,为此将他们随机编号为

1,2,,960,分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为 9.抽到的 32 人中,编号 落入区间 ?1, 4 5 0 ? 的人做问卷 A ,编号

落入区间 ? 451, 750 ? 的人做问卷 B ,其余的人做问 卷 C .则抽到的人中,做问卷 B 的人数为 ( ) A.7 B.9 C.10 D.15 2 . (2012 陕西理)从甲乙两个城市分别随机抽取 16 台自动售货机,对其销售额进行统计,统计 数据用茎叶图表示(如图所示),设甲乙两组数据的平均数分别为 x 甲 , x 乙 ,中位数分别为
m甲 , m乙 ,则

( A. x甲 ? x 乙 , m甲 ? m乙 B. x甲 ? x 乙 , m甲 ? m乙 C. x甲 ? x 乙 , m甲 ? m乙 D. x甲 ? x 乙 , m甲 ? m乙



3、 【2012 武昌区高三年级元月调研】通过随机询问 110 名性别不同的行人,对过马路是愿意 走斑马线还是愿意走人行天桥进行抽样调查,得到如下的列联表:

由K

2

?

n ( ad ? bc )

2

( a ? b )( c ? d )( a ? c )( b ? d )

,算得

附表:

参照附表,得到的正确结论是( ) A.有 99%以上的把握认为“选择过马路的方式与性别有关” B.有 99%以上的把握认为“选择过马路的方式与性别无关” C.在犯错误的概率不超过 0.1%的前提下,认为“选择过马路的方式与性别有关” D.在犯错误的概率不超过 0.1%的前提下,认为“选择过马路的方式与性别无关”
4、 (2012 江西理)样本(x1,x2,xn)的平均数为 x,样本(y1,y2,,yn)的平均数为 y ( x ? y ) .若样本

(x1,x2,xn,y1,y2,,yn)的平均数 z ? a x ? (1 ? a ) y ,其中 0<α <

1 2

,则 n,m 的大小关系为

第1页

( ) A.n<m B.n>m C.n=m D.不能确定 5.在第 29 届北京奥运会上,中国健儿取得了 51 金、21 银、28 铜的好成绩,稳居金牌榜榜 首,由此许多人认为中国进入了世界体育强国之列,也有许多人持反对意见,有网友为此进 行了调查,在参加调查的 2548 名男性中有 1560 名持反对意见,2452 名女性中有 1200 名持反 对意见,在运用这些数据说明性别对判断“中国进入了世界体育强国之列”是否有关系时, 用什么方法最有说服力( ) A.平均数与方差 B.回归直线方程 C.独立性检验 D.概率 6、 【2012 浙江宁波市期末】200 辆汽车经过某一雷达地区,时速频率分布直方图如图所示,

则时速超过 60km/h 的汽车数量为(



(A)65 辆 (B)76 辆(C)88 辆 (D)辆 95 7、 (2012 辽宁理)在长为 12cm 的线段 AB 上任取一点 2 别等于线段 AC,CB 的长,则该矩形面积小于 32cm 的概率为 A. C.
1 6 2 3

C.现作一矩形,领边长分 ( )

B. D.

1 3 4 5

8、 (2012 湖北理)如图,在圆心角为直角的扇形 OAB 中,分别以

OA,OB 为直径作两个半圆. 在扇形 OAB 内随机取一点,则此
点取自阴影部分的概率是 ( )

9、 【2012 广州一模理】在△ ABC 中, ? ABC ? 60 ? , AB ? 2 , BC ? 6 ,在 BC 上任取一 点 D ,使△ A B D 为钝角三角形的概率为 A.
1 6

B.

1 3

C.

1 2

D.

2 3

10.在 2012 年 3 月 15 日,某市物价部门对本市的 5 家商场的某商品的一天销售量及其价格 进行调查,5 家商场的售价 x 元和销售量 y 件之间的一组数据如下表所示: 9 9.5 10 10.5 11 价格 x 11 10 8 6 5 销售量 y 由散点图可知,销售量 y 与价格 x 之间有较好的线性相关关系,其线性回归直线方程是:
^ ^

y=-3.2 x+a(参考公式:回归方程y=bx+a,a= y -b x ),则 a=(

)

第2页

A.-24 C.40.5

B.35.6 D.40 D. 在区域 D 内随机取一个 ( )

?0 ? x ? 2 11、 (2012 北京理)设不等式组 ? 表示的平面区域为 ?0 ? y ? 2

点,则此点到坐标原点的距离大于 2 的概率是

12、 (2012 上海理)设 10 ? x1 ? x 2 ? x 3 ? x 4 ? 10 , x 5 ? 10 . 随机变量 ? 1 取值 x1 、 x 2 、 x 3 、
4 5

x 4 、 x 5 的概率均为 0.2,随机变量 ? 2 取值

x1 ? x 2 2



x2 ? x3 2



x3 ? x4 2



x4 ? x5 2



x 5 ? x1 2

的概率也

为 0.2. 若记 D ? 1 、 D ? 2 分别为 ? 1 、 ? 2 的方差,则 ( A. D ? 1 > D ? 2 . B. D ? 1 = D ? 2 . C. D ? 1 < D ? 2 .



D. D ? 1 与 D ? 2 的大小关系与 x1 、 x 2 、 x 3 、 x 4 的取值有关.

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在题中横线上)
13 . (2012 天津理)某地区有小学 150 所,中学 75 所,大学 25 所.现采用分层抽样的方法从这

些学校中抽取 30 所学校对学生进行视力调査,应从小学中抽取_______所学校,中学中抽 取_____所学校. 14 . 【2012 韶关第一次调研理】某班 50 名学生在一次百 米测试中,成绩全部介于 13 秒与 18 秒之间,将测试结果 分成五组:每一组

?13,14) ;第二组 ?14,15) ,…,第五组

?17,18 ? . 右图是按上述分组方法得到的频率分布直方图若
成绩大于或等于 14 秒且小于 16 秒认为良好,则该班在这 次百米测试中成绩良好的人数是__________. 15 . 【广东东莞市 2012 届高三理科数学模拟 二】将一颗 骰子掷两次,观察出现的点数,并记第一次出现的点数为 m,第二次出现的点数为 n.向量 p =(m,n), q = (3,6),则向量 p 与 q 共线的概率为
[



]

2 16、 【2012 深圳中学期末理】 如果随机变量ξ ~N ( ? 1, ? ),且 P ? 3 ? ? ? ? 1 ) ( =0.4, P ? ? 1 ) 则 (

=

.

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤)
17.(本小题满分 10 分) (2012 广东理)某班 50 位学生期 中考试数学成绩的频率分布直方图如图 4 所示,其中 成 绩 分 组 区 间 是 : ? 40, 50 ? 、 ? 50, 60 ? 、 ? 60, 70 ? 、

第3页

? 70, 80 ? 、 ? 80, 90 ? 、 ? 90,100 ? .
(Ⅰ)求图中 x 的值; (Ⅱ)从成绩不低于 80 分的学生中随机选取 2 人,该 2 人中成绩在 90 分以上(含 90 分)的 人数记为 ? ,求 ? 的数学期望.

19.(本小题满分 12 分) (2012 北京文)近年来,某市为了促进生活垃圾的分类处理,将生活 垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类,并分别设置了相应的垃圾箱,为调查居民 生活垃圾分类投放情况,现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计 1000 吨生活垃圾,数据统计 如下(单位:吨): “厨余垃圾”箱 “可回收物”箱 “其他垃圾”箱 厨余垃圾 400 100 100 可回收物 30 240 30 其他垃圾 20 20 60 (1)试估计厨余垃圾投放正确的概率; (2)试估计生活垃圾投放错误的概率; (3)假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为
a , b , c ,其中 a ? 0 , a ? b ? c ? 600 .当数据 a , b , c 的方差 S 最大时,写出 a , b , c 的值(结
2

论不要求证明),并求此时 S 2 的值. (注:方差 s 2 ?
1 n [( x1 ? x ) ? ( x 2 ? x ) ? ? ? ( x n ? x ) ] ,其中 x 为 x1 , x 2 , ? x n 的平均数)
2 2 2

20.(本小题满分 12 分) 【广东省佛山市 2012 届高三第二次模拟理科二】 空气质量指数 PM 2.5 (单位: ? g / m )表示每立方米空气中可入肺颗粒物的含量,这个
3

值越高,就代表空气污染越严重:
PM 2.5 日均 0 ? 35 35 ? 75 75 ? 115 115 ? 150 150 ? 250 ? 250

浓度

第4页

空气质量级别 空气质量类别

一级 优

二级 良

三级 轻度污染

四级 中度污染

五级 重度污染

六级 严重污 染

某市 2012 年 3 月 8 日— 4 月 7 日( 30 天)对空气质量指数 PM 2.5 进行监测,获得数据后 得到如下条形图: (Ⅰ)估计该城市一个月内空气质量类别为良的概率; (Ⅱ)在上述 30 个监测数据中任取 2 个,设 X 为空气质量类别为优的天数,求 X 的分布 列.

21.(本小题满分 12 分) (2012 年朝阳区高三期末考试理 16) 如图,一个圆形游戏转盘被分 成 6 个均匀的扇形区域.用力旋转转盘,转盘停止转动时,箭头 A 所指区域的数字就是每次游戏所得的分数(箭头指向两个区域 5 A 的边界时重新转动) ,且箭头 A 指向每个区域的可能性都是相等 3 2 的.在一次家庭抽奖的活动中,要求每个家庭派一位儿童和一位 成人先后分别转动一次游戏转盘,得分情况记为 ( a , b ) (假设儿童 3 2 和成人的得分互不影响,且每个家庭只能参加一次活动) . 5 (Ⅰ)求某个家庭得分为 (5, 3) 的概率? (Ⅱ)若游戏规定:一个家庭的得分为参与游戏的两人得分之和,且得分大于等于 8 的家庭 可以获得一份奖品.请问某个家庭获奖的概率为多少? (Ⅲ)若共有 5 个家庭参加家庭抽奖活动.在(Ⅱ)的条件下,记获奖的家庭数为 X ,求 X 的分布列及数学期望.

22.(本小题满分 12 分)(2012 北京理)近年来,某市为促进生活垃圾的分类处理,将生活垃圾
分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类,并分别设置了相应的垃圾箱,为调查居民生活垃圾 分类投放情况,现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计 1000 吨生活垃圾,数据统计如下(单位: 吨): “厨余垃圾”箱 厨余垃圾 可回收物 400 30 “可回收物”箱 100 240 “其他垃圾”箱 100 30

第5页

其他垃圾

20

20

60

(1)试估计厨余垃圾投放正确的概率; (2)试估计生活垃圾投放错误的概率; (3)假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为
a , b , c ,其中 a ? 0 , a ? b ? c ? 600 .

当数据 a , b , c 的方差 S 2 最大时,写出 a , b , c 的值(结论不要求证明),并求此时 S 2 的值. (注:方差 s 2 ?
1 n [( x1 ? x ) ? ( x 2 ? x ) ? ? ? ( x n ? x ) ] ,其中 x 为 x1 , x 2 , ? x n 的平均数)
2 2 2

详细答案
一、选择题 1、答案:C

【解析】从 960 中用系统抽样抽取 32 人,则每 30 人抽取一人,因为第一组号码为 9,则第二组 为 39,公差为 30.所以通项为 a n ? 9 ? 30 ( n ? 1) ? 30 n ? 21 ,由 451 ? 30 n ? 21 ? 750 , 即 15
22 30 ? n ? 25 21 30

,所以 n ? 16 ,17 , ? 25 ,共有 25 ? 16 ? 1 ? 10 人,选 C

第6页

2、答案:B

解析:直接根据茎叶图判断,选 B 3、 【答案】A 【解析】 P ( K ? 6.635) ? 0.01 ? 1 ? 99%
2

∴有 99%以上的把握认为“选择过马路的方式与性别有关” ,选 A。 4、 [答案]A 【解析】由统计学知识,可得 x1 ? x 2 ? ? ? x n ? n x , y1 ? y 2 ? ? ? y m ? m y ,
x1 ? x 2 ? ? ? x n ? y1 ? y 2 ? ? ? y m ? ? m ? n ? z ? ? m ? n ? ?? x ? ?1 ? ? ? y ? . ? ?
? ? m ? n ? ? x ? ? m ? n ? ?1 ? ? ? y ,

所以 n x ? m y ? ? m ? n ? ? x ? ? m ? n ? ? 1 ? ? ? y . 所以 ?
?n ? ? m ? n ?? , ? ? m ? ? m ? n ? ?1 ? ? ? . ?

故 n ? m ? ( m ? n )[? ? (1 ? ? )] ? ( m ? n )(2? ? 1) . 因为 0 ? ? ?
1 2

,所以 2? ? 1 ? 0 .所以 n ? m ? 0 .即 n ? m .

5、答案 C 解析 由于参加调查的公民按性别被分成了两组,而且每一组又被分成了两种情况,认为 有关与无关,符合 2×2 列联表的要求,故用独立性检验最有说服力. 6、 【答案】B 【解析】由频率分布直方图可知时速超过 60km/h 的概率为 0.28+0.10=0.38,故估计汽车数量 为 200 ? 0.38= 76 ,选 B。
7、 【答案】C

【解析】设线段 AC 的长为 x cm,则线段 CB 的长为( 12 ? x )cm,那么矩形的面积为
x (12 ? x ) cm ,
2

由 x (12 ? x ) ? 32 ,解得 x ? 4 或 x ? 8 .又 0 ? x ? 12 ,所以该矩形面积小于 32cm 的概率为
2

2 3

,故选 C

8、 【答案】A

第7页

9、 【答案】C 10、答案 D 解析 价格的平均数是 x = 9+9.5+10+10.5+11 = 10 , 销 售 量 的 平 均 数 是 y = 5

^ 11+10+8+6+5 =8,由y=-3.2x+a 知 b=-3.2,所以 a= y -b x =8+3.2×10=40,故 5 选 D. 11、 【答案】D

【解析】 题目中 ?

?0 ? x ? 2 ? ?0 ? y ? 2 ?

表示的区域表示正方形区域,而动点 D 可以存在的位置为正方
1

2?2 ?

? ?2

2

形面积减去四分之一的圆的面积部分,因此 p ? 12、 【答案】A [解析] E ? 1 ? 0 . 2 ( x1 ? x 2 ? x 3 ? x 4 ? x 5 ) =t, E ? 2 ? 0 . 2 (
2 2
2

4 2?2

?

4?? 4

,故选 D

x1 ? x 2 2

+

x2 ? x3 2

+

x3 ? x4 2

+

x4 ? x5 2

+

x 5 ? x1 2

)=t,

D ? 1 ? 0 . 2[( x1 ? t ) + ( x 2 ? t ) + ( x 3 ? t ) + ( x 4 ? t ) + ( x 5 ? t ) ]
2
2

? 0 . 2[( x1 ? x 2 ? x 3 ? x 4 ? x 5 ) ? 2 ( x1 ? x 2 ? x 3 ? x 4 ? x 5 ) t ? 5 t ] ;
2 2 2 2 2 2



x1 ? x 2 2

? ? x1 ,

x2 ? x3 2

? ? x 2 ,,
2 2

x 5 ? x1 2

? ? x 5 ,同理得
2 2 2

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? D ? 2 ? 0 . 2[( x1 ? x 2 ? x 3 ? x 4 ? x 5 ) ? 2 ( x1 ? x 2 ? x 3 ? x 4 ? x 5 ) t ? 5 t ] ,
2

? ? ? ? 只要比较 x1? ? x 2 ? x 3 ? x 4 ? x 5 与 x1 ? x 2 ? x 3 ? x 4 ? x 5 有大小,
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

?2 ?2 ?2 ?2 ?2 x1 ? x 2 ? x 3 ? x 4 ? x 5 ? ?
1 4 2 2 2 2

1 4

[( x1 ? x 2 ) ? ( x 2 ? x 3 ) ? ? ? ( x1 ? x 2 ) ]
2 2 2

[ 2 ( x1 ? x 2 ? x 3 ? x 4 ? x 5 ) ? ( 2 x1 x 2 ? 2 x 2 x 3 ? 2 x 3 x 4 ? 2 x 4 x 5 ? 2 x 5 x1 )]
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

? 1 [ 2 ( x1 ? x 2 ? x 3 ? x 4 ? x 5 ) ? ( x1 ? x 2 ) ? ( x 2 ? x 3 ) ? ( x 3 ? x 4 ) ? ( x 4 ? x 5 ) ? ( x 5 ? x1 )] 4 ? x1 ? x 2 ? x 3 ? x 4 ? x 5 ,所以 D ? 2 ? D ? 1 ,选 A.
2 2 2 2 2

第8页

二、填空题 13、 【答案】18,9 【解析】∵分层抽样也叫按比例抽样,由题知学校总数为 250 所, 所以应从小学中抽取
14、 【答案】 27 ,

150 250

? 30 =18 ,中学中抽取

75 250

? 30 = 9 .

【解析】成绩大于或等于 14 秒且小于 16 秒的频率为 0.54,所以良好人数=0.54 ? 50=27
15、 【答案】
1 12

16、 【答案】0.1
2 【解析】解析:如果随机变量ξ ~N ( ? 1, ? ),且 P( ? 3 ? ? ? ? 1 )=0.4,

? P(
?( 2

?3 ? ? ? ?1

)=

?(

? 1 ? ( ? 1)

?

) ? ?(

? 3 ? ( ? 1)

?
?

) ? 0 .5 ? ? ( ? 2

2

?

) ? ?(

2

?

) ? 0 .5



∴ ? , ∴P( 三、解答题

) ? 0 .9

? ?1

)=

1? ?(

1 ? ( ? 1)

) ? 1? ?(

?

) ? 0 .1



17、解析:(Ⅰ)由 ? 0.006 ? 3 ? 0.01 ? 0.054 ? x ? ? 10 ? 1 ,解得 x ? 0.018 .

(Ⅱ)分数在 ? 80, 90 ? 、 ? 90,100 ? 的人数分别是 50 ? 0.018 ? 10 ? 9 人、 50 ? 0.006 ? 10 ? 3 人. 所以 ? 的取值为 0、1、2.
P ?? ? 0 ? ? C3 C9 C
2 12 0 2

?

36 66

?

6 11

, P ? ? ? 1? ?
6 11 9 22

C 3C 9 C
2 12

1

1

?

27 66

?

9 22

, P ?? ? 2 ? ?

C3 C9 C
2 12

2

0

?

3 66

?

1 22

,所

以 ? 的数学期望是 E ? ? 0 ?

? 1?

? 2?

1 22

?

11 22

?

1 2

.

X P
1 36

0
1 36 1 12
1 9

1
1 12
1 3 1 9

2
1 9 1 3

3
1 3 5

4
1 9

5
1 3

EX=0×

+1×

+2×

+3×

+4×

+5×

=

41 12

?3

.

12

19、(1)厨余垃圾投放正确的概率约为

第9页

“ 厨余垃圾” 箱里厨余垃圾量 厨余垃圾总量

=

400 400+ 100+ 100

=

2 3

(2)设生活垃圾投放错误为事件 A,则事件 A 表示生活垃圾投放正确. 事件 A 的概率约为“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量、“可回收物”箱里可回收物量与“其 他垃圾”箱里其他垃圾量的总和除以生活垃圾总量,即 P( A ),约为 所以 P(A)约为 1-0.7=0,3. (3)当 a ? 6 0 0 , b ? c ? 0 时, S 2 取得最大值.因为 x ? 所以 S 2 ?
1 3
2 2 2

400+ 240+ 60 1000

=0.7 .

1 3

( a ? b ? c ) ? 200 ,

[(600 ? 200) ? (0 ? 200) ? (0 ? 200) ] ? 8000 .

20、 【答案】 (Ⅰ)由条形统计图可知,空气质量类别为良的天数为 16 天,

所以此次监测结果中空气质量类别为良的概率为 (Ⅱ)随机变量 X 的可能取值为 0,1, 2 ,则
P ? X ? 0? ? C 22 C
2 30 2

16 30

?

8 15

.

?

231 435

, P ? X ? 1? ?

C 8 C 22 C
2 30

1

1

?

176 435

, P ? X ? 2? ?

C8 C

2

2 30

?

28 435

所以 X 的分布列为:
X
P

0
231 435

1

2

176 435

28 435

21、解: (Ⅰ)记事件 A:某个家庭得分情况为 (5, 3) .
P ( A) ? 1 3 ? 1 3 ? 1 9


1 9

所以某个家庭得分情况为 (5, 3) 的概率为 . (Ⅱ) 记事件 B: 某个家庭在游戏中获奖, 则符合获奖条件的得分包括 (5, 3), (5, 5), (3, 5) 共 3 类情况. 所以 P ( B ) ?
1 3 ? 1 3 ? 1 3 ? 1 3 ? 1 3 ? 1 3 ? 1 3



所以某个家庭获奖的概率为 .
3 1 (Ⅲ)由(Ⅱ)可知,每个家庭获奖的概率都是 ,所以 X ~ B (5, ) . 3

1

1

3

第 10 页

2 5 32 0 1 0 P ( X ? 0) ? C 5 ( ) ? ( ) ? , 3 3 243 2 4 80 1 1 1 P ( X ? 1) ? C 5 ( ) ? ( ) ? , 3 3 243 2 3 80 2 1 2 P ( X ? 2) ? C 5 ( ) ? ( ) ? , 3 3 243 2 2 40 3 1 3 P ( X ? 3) ? C 5 ( ) ? ( ) ? , 3 3 243 2 1 10 4 1 4 P ( X ? 4) ? C 5 ( ) ? ( ) ? , 3 3 243 2 0 1 5 1 5 P ( X ? 5) ? C 5 ( ) ? ( ) ? . 3 3 243

所以 X 分布列为:
X

0
32

1
80 243
1 3 ? 5 3

2
80 243

3
40 243

4
10 243

5
1 243

P

243

所以 E X ? np ? 5 ? 所以 X 的数学期望为
5 3





22、(1)由题意可知: (2)由题意可知:

400 600

=

2 3
= 3 10
2 2 2

200+60+ 40 1000

(3)由题意可知: s 2 有 s 2 ? 80000 .

?

1 3

(a ? b ? c ? 120000)

,因此有当 a ? 6 0 0 , b ? 0 , c ? 0 时,

第 11 页


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