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新课标高一数学期末考试试卷


西南师范大学数学与统计学院

高一数学上期期末考试试卷 整理:西南大学 吴帝春

(6)已知函数 f ( x) ? (A)b

e x ? e? x ,若 f (a) ? b ,则 f (?a) ? ( e x ? e? x
(B)-b (C)



1 b

(D)- )

1 b

(7)一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为(

第 I 卷(选择题,共 60 分)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. (1)设集合 U={1,2,3,4,5},A={1,2,3},B={2,5},则 A ? (CU B ) =( (A){2} (B){2,3} (2)下列不等式成立的是( ) (A) log3 2 ? log 2 3 ? log 2 5 (C) log 2 3 ? log3 2 ? log 2 5 (C){3} (B) log3 2 ? log 2 5 ? log 2 3 (D) log 2 3 ? log 2 5 ? log3 2 ) (D) {1,3} )

(A) 2? ? 2 3 (C) 2? ?

(B) 4? ? 2 3 (D) 4? ?

2 3 3

2 3 3


2 2 (8)圆 x ? y ? 4 x ? 0 在点 P(1, 3 )处的切线方程为(

(A) x ? 3 y ? 2=0 (C) x ? 3 y ? 4=0 (9)函数 y ?

(B) x ? 3 y ? 4=0 (D) x ? 3 y ? 2=0 ) (A)[1, ??) (B) ( , ??) (C)[ ,1] (D) ( ,1]

(3)已知点 A(1,2) 、B(3,1) ,则线段 AB 的垂直平分线的方程是( (A) 4 x ? 2 y ? 5 (B) 4 x ? 2 y ? 5 (C) x ? 2 y ? 5

log 1 (3 x ? 2) 的定义域是(
2

(D) x ? 2 y ? 5

2 3

2 3

2 3

(10)设 m、n 是两条不同的直线, ? , ? , ? 是三个不同的平面,给出下列四个命题: ①若 m?? , n ? ? ,则 m?n ③若 l ? ? , ? ? ? ,则 l // ? 其中正确命题的序号是(
2

(4)给出以下四个命题: ①如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行. ②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面. ③如果两条直线都平行于一个平面,那么这两条直线互相平行. ④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直. 其中真命题的个数是( ) (A)4 (B)3 (C)2 (D)1 (5)过点 A(1,-1),B(-1,1)且圆心在直线 x ? y ? 2 ? 0 上的圆的方程是( )

②若 ? ? ? , ? ? ? , m?? ,则 m?? ④若 ? ? ? , ? ? ? ,则 ? ? ?

) (A)①和② (B) ②和③ (C)③和④ (D)①和④
2

(11)已知圆 C 与圆 ( x ? 1) ? y ? 1 关于直线 y ? ?x 对称,则圆 C 的方程为( (A) ( x ? 1) ? y ? 1
2 2 2


2 2

(B) x ? y ? 1
2 2

(C) x ? ( y ? 1) ? 1
2 2

(D) x ? ( y ? 1) ? 1 )

(A) ( x ? 3) ? ( y ? 1) ? 4
2 2

(B) ( x ? 3) ? ( y ? 1) ? 4
2 2

(12)若 f ( x) ? ? x ? 2ax 与 g ( x) ? (A) (?1,0) ? (0,1)

a 在区间[1,2]上都是减函数,则 a 的取值范围是( x ?1 (B) (?1,0) ? (0,1] (C) (0,1) (D) (0,1]

(C) ( x ? 1) ? ( y ? 1) ? 4
2 2

(D) ( x ? 1) ? ( y ? 1) ? 4
2 2

第Ⅱ卷 (非选择题,共 90 分)
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在题中横线上.
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(13)若直线 l : y ? kx ? 3 与直线 2 x ? 3 y ? 6 ? 0 的交点在第一象限,则直线 l 的倾斜角的取值范围 是 .

请你把上面的定理补充完整,并证之.

(14)已知圆 C 的半径为 2,圆心在 x 轴的正半轴上,直线 3x ? 4 y ? 4 ? 0 与圆 C 相切,则圆 C 的方程 为 .

2 (15)设 a ? 1 ,函数 f ( x) ? log a x 在区间 ? a,a ? 上的最大值与最小值之差为
(16)右图是正方体的平面展开图.在这个正方体中, ... ①BM 与 ED 平行; ②CN 与 BE 是异面直线; ③CN 与 BM 成 60°角; ④DM 与 BN 垂直. 以上四个命题中,正确命题的序号是________. 三、解答题: (17)(本小题满分 10 分) 设函数 f ( x) 是 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? x ? 4 x .
2

1 ,则 a ? 2



(20)(本小题满分 12 分) 某服装批发市场,销售季节性流行服装A.当季节即将来临时,价格呈上升趋势,开始时定价为 10 元, 并且每周(7 天)涨价 2 元,5 周后开始保持 20 元的平稳销售;10 周后当季节即将过去时,平均 每周降价 2 元,直到 16 周末,该服装已不再销售. (Ⅰ)试建立价格P与周次t之间的函数关系; (Ⅱ)若此服装每件进价Q与周次t之间的关系式为 Q ? ? (t ? 8) ? 12 , t ?[0,16] , t ? N ,问该服
2

1 8

装第几周每件销售利润最大?

(Ⅰ)求 f ( x) 的表达式; (Ⅱ)证明 f ( x) 在区间 (0, ??) 上是增函数. (21)(本小题满分 12 分) 如图,在侧棱垂直于底面的三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, AC ? 3 , AB ? 5 , BC ? 4 , AA1 ? 4 ,点 D 是 (18)(本小题满分 12 分) 已知圆 C 同时满足下列三个条件:①与 y 轴相切;②在直线 y ? x 上截得弦长为 2 7 ; ③圆心在直线 x ? 3 y ? 0 上.求圆 C 的方程. (Ⅰ)求证: AC ? BC1 ; (II)求证: AC1 // 平面 CDB1 ; AB 的中点. (III)求三棱锥 A1 ? B1CD 的体积.

(22)(本小题满分 12 分) (19)(本小题满分 12 分) 观察墙脚,或直立于桌面上的课本,你会发现一个立体几何问题,由此概括出来一个 定理:如果两个相交平面同垂直于第三个平面,那么___________________________.
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2 2 2 2 在平面直角坐标系 xoy 中,已知圆 C1 : ( x ? 3) ? ( y ? 1) ? 4 和圆 C2 : ( x ? 3) ? ( y ? 4) ? 1 .直线 l 过

点 A(?2,3) ,且被圆 C1 截得的弦长为 2 3 .

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(Ⅰ)求直线 l 的方程; (Ⅱ)试探究直线 l 上是否存在点 P,使得 P 到圆 C1 的切线 PM,到圆 C2 的切线 PN, 满足 PM ? PN .若点 P 存在,试求所有满足条件的点 P 的坐标.

l ? l1 , l1 ? ? ? l1 ? a ? ? ? ∵ ? ? l1 ? ? ,∵ l ? ? ,∴ l ? l1 ,同理, l ? l2 . ∵ l ? l2 , l2 ? ? ? ? l ? ? . ? ? ? ? a? l1 ? l2 ? P ? ? ? l1 ? ? ? ?10 ? 2t ? (20)解: (Ⅰ)依题意: P ? ? 20 ? 40 ? 2t ?

? ?? ?

( 0? t ? 5 t, ? N ) ( 5? t ? 1 0t , ? N ) (Ⅱ)? L ? P ? Q , . ( 1 1 t ? 1 6 ,? N ) ? t

高一数学上期期末调研考试答案
一.选择题:
(1)D (2)A (3)B (4)B (5)C (6)B (7)C (8)D (9)D (10)A (11)C (12)D
2 2 二.填空题:(13)(30° ,90° , (14) x ? y ? 4 x ? 0 , (15) 4, )

? 0.125t 2 ? 6 ? ? L ? ? 0.125t 2 ? 2t ? 16 ?0.125t 2 ? 4t ? 36 ?
当 5 ? t ? 10 时, L ?

73 ( 5? t ? 1 0t , ? N ) .当 0 ? t ? 5 时, t ? 5 时 Lmax ? ; 8 ( 1 1 t ? 1 6 ,? N ) ? t

( 0? t ? 5 t, ? N )

(16) ③④.

73 57 73 ;当 11 ? t ? 16 时, t ? 11 时 Lmax ? ;综上,当 t ? 5 时 Lmax ? . 8 8 8

三.解答题:
? x 2 ? 4 x, x ? 0 f ( x) ? ? 2 (17) (Ⅰ) (Ⅱ)略 ? ? x ? 4 x, x ? 0
(18)解: ∵圆心 C 在直线 x ? 3 y ? 0 上,∴可设圆心 C (3a, a) .又圆与 y 轴相切,∴ R ? 3 a . 设圆 C 与直线 y ? x 交于 AB,CD⊥AB 于 D,则 | CD |?

答:该服装第五周销售利润 L 最大. (21)证明: (Ⅰ) 在△ABC 中, AC ? 3 , AB ? 5 ,BC ? 4 , ∵ ∴△ABC 为直角三角形, AC ? BC , ∴ 又∵ CC1 ? 平面 ABC,∴ CC1 ? AC , CC1 ? BC ? C ,∴ AC ? 平面 BCC1 ,∴ AC ? BC1 . (II)设 B1C 与 BC1 交于点 E,则 E 为 BC1 的中点,连结 DE,则在△ ABC1 中, DE // AC1 ,又

| 3a ? a | ? 2 | a | . ∵ | AB |? 2 7 , 2

DE ? 面 CDB ,∴ AC1 // 平面 B1CD . 1
(III) 在△ABC 中, C 作 CF ? AB , 为垂足, 过 F ∵平面 ABB1 A1 ? 平面 ABC, CF ? 平面 ABB1 A1 , ∴

2 2 ∴在 Rt△CBD 中, R ? | CD | ? ( 7) ,∴ 9a ? 2a ? 7 , ∴ a ? ?1 . ∴圆心的坐标 C 分别为(3,
2 2 2

1)和(-3,-1) ,半径为 3. 故所求圆的方程为 ( x ? 3) ? ( y ? 1) ? 9 或 ( x ? 3) ? ( y ? 1) ? 9 .
2 2 2 2

(19)定理:如果两个相交平面同垂直于第三个平面,那么它们的交线也垂直于第三个平面. 已知: ? ? ? , ? ? ? , ? ? ? ? l , ? ? ? ? a , ? ? ? ? b ,如图.求证: l ? ? . 证明:在平面 ? 内取一点 P(如图) ,经过 P 作直线 l1 ? a ,直线 l2 ? b .

AC ? BC 3 ? 4 12 1 1 ? ? ,∵ VA1 ? B1CD ? VC ? A1DB1 ,而 S? DA1B1 ? A1B1 ?AA1 ? 5 ? 4 ? ? 10 , AB 5 5 2 2 1 12 ∴ VA1 ? B1CD ? ?10 ? ? 8. 3 5
而 CF ? (22)解: (Ⅰ)当直线 l 的斜率存在时,可设直线 l 的方程为: y ? k ( x ? 2) ? 3 ,∵圆心 C1 (?3,1) 到直 线 l 的距离 d ?

R2 ? (

?k ? 2 2 3 2 3 ) ? 4 ? 3 ? 1 ,∴ ? 1 ,∴ k ? , 2 4 1? k 2

∴直线 l 的方程为 3x ? 4 y ? 18 ? 0 .当直线 l 的斜率不存在时,直线 l 的方程为: x ? ?2 , 将 x ? ?2 代入圆 C1 的方程得 ( y ? 1) ? 3 ,∴ y ? 1 ? 3 ,直线 l 与 C1 的交点为 (?2,1 ? 3) 和
2

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(?2,1 ? 3) ,这时,直线 l 被圆 C1 截得的弦长为 2 3 .
综上,直线 l 的方程为 x ? ?2 或 3x ? 4 y ? 18 ? 0 . ( Ⅱ ) 设 P( x, y ) 是 满 足 题 中 要 求 的 点 . ∵ PM ? PN , ∴
2 2

PC1 ? R12 ?
2

2 PC2 ? R2 , ∴ 2

PC1 ? 4 ? PC2 ? 1 ,∴ ( x ? 3)2 ? ( y ? 1)2 ? 4 ? ( x ? 3) 2 ? ( y ? 4) 2 ? 1 ,∴ 2 x ? y ? 3 ? 0 .
∴满足题中要求的点 P 就是直线 2 x ? y ? 3 ? 0 与直线 l 的交点.

6 ? ? x ? ? 11 ? x ? ?2 ? x ? ?2 ?3 x ? 4 y ? 18 ? 0 ? ∴由 ? 解得 ? ,由 ? 解得 ? , ?2 x ? y ? 3 ? 0 ? y?7 ? 2x ? y ? 3 ? 0 ? y ? 45 ? ? 11
综上,当 P(?2, 7) 或 P(?

6 45 , ) 时满足题设要求. 11 11

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