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【优化方案】2012高中数学 第2章2.3.3知能优化训练 新人教B版必修4


1.已知 a=(2,-1),b=(-1,1),则 a·b+b 等于( ) A.3 B.5 C.1 D.-1 2 2 2 解析:选 D.a·b+b =2×(-1)+(-1)×1+(-1) +1 =-2-1+1+1=-1. 2.已知平面向量 a=(3,1),b=(x,-3),且 a⊥b,则 x 为( ) A.-3 B.-1 C.1 D.3 解析:选 C.a⊥b?a·b=0?3x+1×(-3)=0, ∴x=1,故选 C. 3.已和 A(1,2),B(2,3),C(-2,5),则△ABC 为( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.无法判断 → → → 解析:选 B.由AB=(1,1),BC=(-4,2),AC=(-3,3), →2 →2 →2 得AB =2,BC =20,CA =18. →2 →2 →2 ∴AB +CA =BC , 2 2 2 即 AB +AC =BC .∴△ABC 为直角三角形. 4.已知平面向量 a=(2,4),b=(-1,2).若 c=2a+b,则|c|=________. 解析:c=2a+b=(4-1,8+2)=(3,10), ∴|c|= 109. 答案: 109 一、选择题 1.已知向量 a=(1,n),b=(-1,n),若 2a-b 与 b 垂直,则|a|=( ) A.1 B. 2 C.2 D.4 解析:选 C.∵(2a-b)⊥b, ∴(3,n)·(-1,n)=0, 2 ∴n =3. 2 2 ∴|a|= 1 +n =2. 2.(2010 年高考广东卷)若向量 a=(1,1),b=(2,5),c=(3,x),满足条件(8a-b)·c =30,则 x=( ) A.6 B.5 C.4 D.3 解析:选 C.∵(8a-b)·c=30, ∴8a·c-b·c=30, ∴8(1×3+x)-(2×3+5x)=30, 解得 x=4. 3. 已知向量 a=(1,2), =(2, b -3). 若向量 c 满足(c+a)∥b, ⊥(a+b), c=( c 则 ) 7 7 7 7 A.( , ) B.(- ,- ) 9 3 3 9 7 7 7 7 C.( , ) D.(- ,- ) 3 9 9 3 解析:选 D.不妨设 c=(m,n),则 a+c=(1+m,2+n),a+b=(3,-1),对于(c+a) ∥b,则有-3(1+m)=2(2+n);又 c⊥(a+b),根据数量积为零,则有 3m-n=0,解得 m=
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7 7 - ,n=- . 9 3 → → 4.在△ABC 中,∠C=90°,AB=(k,1),A C =(2,3),则 k 的值是( ) A.5 B.-5 3 3 C. D.- 2 2 → → 解析:选 A.因为AB=(k,1),AC=(2,3), → → → 所以BC=AC-AB=(2-k,2). → → 又在△ABC 中,∠C=90°,即AC⊥BC, → → 所以AC·BC=0, 则(2,3)·(2-k,2)=0 所以 2(2-k)+3×2=0, 解得 k=5. 5.已知 a=(-3,2),b=(-1,0),向量 λ a+b 与 a-2b 垂直,则实数 λ 的值为( ) 1 1 A.- B. 7 7 1 1 C.- D. 6 6 解析:选 A.向量 λ a+b=(-3λ -1,2λ ),a-2b =(-1,2), 因为两个向量垂直,故有(-3λ -1,2λ )·(-1,2)=0,即 3λ +1+4λ =0,解得 λ = 1 - . 7 6.已知点 O 为原点,点 A、B 的坐标分别为(a,0)和(0,a),其中 a∈(0,+∞),点 P 在 → → → → AB 上且AP=tAB(0≤t≤1),则OA·OP的最大值为( ) A.a B.2a 2 C.3a D.a → → 解析:选 D.根据向量的运算求出向量OP和OA的坐标,再根据向量数量积的公式,列出关 于 t 的函数. → → ∵A(a,0),B(0,a),∴OA=(a,0),AB=(-a,a). → → → → → 又∵AP=tAB,∴OP=OA+AP=(a,0)+t(-a,a) → → 2 =(a-ta,ta),∴OP·OA=a(a-ta)=a (1-t). → → 2 ∵0≤t≤1,∴0≤1-t≤1,即OA·OP的最大值为 a . 二、填空题 7.若两个平面向量 a=(1,2)与 b 的夹角是 180°,且|b|=3 5,则 b 的坐标形式是 ________. 解析:∵b 与 a 的夹角为 180°,a=(1,2), ∴b=λ a=(λ ,2λ )(λ <0), 2 2 ∴|b|= λ +2λ = 5|λ |=- 5λ =3 5,∴λ =-3, ∴b=(-3,-6). 答案:(-3,-6) 8.(2010 年高考陕西卷)已知向量 a=(2,-1),b=(-1,m),c=(-1,2),若(a+b) ∥c,则 m=________. 解析:∵a=(2,-1),b=(-1,m),∴a+b=(1,m-1). ∵(a+b)∥c,c=(-1,2),∴2-(-1)·(m-1)=0. ∴m=-1.
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答案:-1 → 1→ → → 9. (2011 年济宁高一检测)若 M(2,0),(0,2), N 且点 P 满足MP= MN, 为坐标原点, OM·OP O 则 2 =________. → 1→ 1 解析:MP= MN= (-2,2)=(-1,1),∴P(1,1), 2 2 → → → ∴OP=(1,1),∴OM·OP=(2,0)·(1,1)=2. 答案:2 三、解答题 10.设平面向量 a=(3,5),b=(-2,1), (1)求 a-2b 的坐标表示和模的大小; (2)若 c=a-(a·b)b,求|c|. 解:(1)∵a=(3,5),b=(-2,1), ∴a-2b=(3,5)-2(-2,1)=(3+4,5-2)=(7,3), 2 2 |a-2b|= 7 +3 = 58. (2)a·b=x1x2+y1y2=-6+5=-1, 所以 c=a+b=(1,6), 2 2 ∴|c|= 1 +6 = 37. → 11.已知在△ABC 中,A(2,-1)、B(3,2)、C(-3,-1),AD 为 BC 边上的高,求|AD|与 点 D 的坐标. 解:设 D 点坐标为(x,y), → → 则AD=(x-2,y+1),BC=(-6,-3), → BD=(x-3,y-2), → → ∵D 在直线 BC 上,即BD与BC共线, → → ∴存在实数 λ (λ >0),使BD=λ BC, 即(x-3,y-2)=λ (-6,-3). ?x-3=-6λ ? ∴? , ? ?y-2=-3λ ∴x-3=2(y-2),即 x-2y+1=0. ① → → 又∵AD⊥BC,∴AD·BC=0, 即(x-2,y+1)·(-6,-3)=0, ∴-6(x-2)-3(y+1)=0. 即 2x+y-3=0. ② ? ?x=1 由①②可得? , ?y=1 ? → 2 2 ∴|AD|= ? -1? +2 = 5, → 即|AD|= 5,D(1,1). → 12.以原点 O 和点 A(5,2)为顶点做等腰直角三角形 OAB,试求点 B 和AB的坐标. 解:设 B 点坐标为(x,y), → → 则有OB=(x,y),AB=(x-5,y-2). 当点 B 为等腰直角三角形 OAB 的直角顶点时, → → → → → → ①则有OB⊥AB?OB·AB=0 且|OB|=|AB|.

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∴?

? ?x?
2 2

x-5? +y? y-2? =0
2 2

? ?x +y =?

x-5?

2

+?

y-2?


2

?x +y -5x-2y=0 ? ?? ? ?10x+4y=29

?x =7 ? 2 解得? 3 ?y =-2 ?
1 1

?x =3 ? 2 或? 7 ?y =2 ?
2 2

.

7 3 3 7 ∴B 点坐标为( ,- )或( , ); 2 2 2 2 3 7 → 7 3 → AB=(- ,- )或AB=(- , ). 2 2 2 2 ②当点 O 为等腰直角三角形 OAB 的直角顶点时, → → → → → → 则有OB⊥OA?OB·OA=0 且|OB|=|OA|,
?5x+2y=0 ? ∴? 2 2 2 2 ? ?x +y =5 +2 =29

,解得:?

?x1=-2 ? ? ?y1=5

或?

?x2=2 ? ? ?y2=-5

.

∴B 点坐标为(-2,5)或(2,-5); → → AB=(-7,3)或AB=(-3,-7). ③当点 A 为等腰直角三角形 OAB 的直角顶点时,同理可以计算(过程略). 得到:点 B 坐标为(3,7)或(7,-3); → → AB=(-2,5)或AB=(2,-5).

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