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2013届闸北区高三一模数学理


闸北区 2013 学年度第一学期高三数学期末练习卷
考生注意: 1. 本次测试有试题纸和答题纸,解答必须在答题纸上,写在试题纸上的解答无效. 2. 答卷前,考生务必在答题纸上将姓名、学校、考试号,以及试卷类型等填写清楚, 并在规定区域内贴上条形码. 3. 本试卷共有 18 道试题,满分 150 分.考试时间 120 分钟. 一、填空题(60 分)本大题共有 10 题,要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果,每 个空格填对得 6 分,否则一律得零分. 1.已知 (a ? i)2 ? 2i ,其中 i 是虚数单位,那么实数 a ? 2.已知 (1 ? px ) 的展开式中, x 的系数为 80 ,则 p ?
2 5
6

. . .

3.设 ?an ? 是公比为 4.设双曲线

1 的等比数列,且 lim(a1 ? a 3 ? a 5 ? ? ? ? ? a 2 n ?1 ) ? 4 ,则 a1 ? n ?? 2

x2 y 2 ? ? 1 的右顶点为 A ,右焦点为 F .过点 F 且与双曲线的一条渐近线平 9 16 行的直线与另一条渐近线交于点 B ,则 ?AFB 的面积为 .

?

?21? x ,  x ? 0, 5.函数 f ( x) ? ? 则 f (3.5)的值为 ? f ( x ? 1), x ? 0.
?

6.一人在海面某处测得某山顶 C 的仰角为 ? (0 ? ? ? 45 ) ,在海面上向山顶的方向行进

m 米后,测得山顶 C 的仰角为 90? ? ? ,则该山的高度为

米. (结果化简)

? 7.已知点 P 在抛物线 y 2 ? 4 x 上,那么点 P 到点 Q(2, 1) 的距离与点 P 到抛物线焦点距离 之和取得最小值时,点 P 的坐标为 .
8.甲、乙、丙 3 人安排在周一至周五的 5 天中参加某项志愿者活动,要求每人参加一天且 每天至多安排一人,并要求甲安排在另外两位前面.不同的安排方法共有 种.

1 . x ? x ? 2 x ,  x ? 0, 2 10.设函数 f ( x ) ? ? 则方程 f ( x) ? x ? 1 的实数解的个数为 ?? 2 sin 2 x, x ? 0.
9.设不等式 log a (1 ? ) ? 1 的解集为 D ,若 ?1 ? D ,则 D ?



二、选择题(15 分)本大题共有 3 题,每题都给出四个结论,其中有且只有一个结论是正确 的,必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑,选对得 5 分,否则一律得零分.
2 2 11.曲线 x ? y ? 6x ? 0( y ? 0) 与直线 y ? k ( x ? 2) 有公共点的充要条件是【



A. k ? ??

? 3 ? ,0 ? ? 4 ?

B. k ? ? 0, ? 3

? ?

4? ?

C. k ? ? 0, ? 4

? ?

3? ?

D. k ? ??

? 3 3? , ? 4 4? ?
【 】

12.已知向量 a , b 满足: | a |?| b |? 1,且 | k a ? b |? 3 | a ? k b | ( k ? 0 ) .则向量 a 与 向量 b 的夹角的最大值为

? A. 6

? B. 3

5? C. 6

2? D. 3
【 】

13.以下四个命题中,真命题的个数为 ①集合 ?a1 , a2 , a3 , a4 ?的真子集的个数为 15 ;

②平面内两条直线的夹角等于它们的方向向量的夹角;
2 2 ③设 z1 , z 2 ? C ,若 z1 ? z 2 ? 0 ,则 z1 ? 0 且 z 2 ? 0 ;

④设无穷数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,若 ?S n ? 是等差数列,则 ?an ? 一定是常数列. A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 三、解答题(本题满分 75 分)本大题共有 5 题, 解答下列各题必须在答题纸的规定区域(对 应的题号)内写出必要的步骤. 14. (本题满分 12 分,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 6 分) 已知函数 f ( x) ? cos x(sin x ? cos x) , x ? R . (1)请指出函数 f (x) 的奇偶性,并给予证明; (2)当 x ? ?0,

? ?? ? 时,求 f (x) 的取值范围. ? 2?

15. (本题满分 14 分) 如图,某农业研究所要在一个矩形试验田 ABCD 内 种植三种农作物,三种农作物分别种植在并排排列的三个 形状相同、大小相等的矩形中.试验田四周和三个种植区 域之间设有 1 米宽的非种植区.已知种植区的占地面积为 800 平方米,问:应怎样设计试验田 ABCD 的长与宽, 才能使其占地面积最小?最小占地面积是多少? 16. (本题满分 15 分,第 1 小题满分 7 分,第 2 小题满分 8 分) 假设你已经学习过指数函数的基本性质和反函数的概念, 但还没有学习过对数的相关概 念 . 由 指 数 函 数 f ( x) ? a (a ? 0且a ? 1) 在 实 数 集 R 上 是 单 调 函 数 , 可 知 指 数 函 数
x

请你依据上述假设和已知, f ( x) ? a x (a ? 0且a ? 1) 存在反函数 y ? f ?1 ( x) ,x ? ?0,??? . (1)对于任意的正实数 x1 , x2 ,都有 f (2)函数 y ? f
?1 ?1

在不涉及对数的定义和表达形式的前提下,证明下列命题:

( x1 x2 ) ? f ?1 ( x1 ) ? f ?1 ( x2 ) ;

( x) 是单调函数.
x2 ? y 2 ? 1(a ? 1) 的左、 右焦点,P 为椭圆 C 2 a

17. (本题满分 16 分,第 1 小题满分 7 分,第 2 小题满分 9 分) 设点 F1 (?c,0) ,F2 (c,0) 分别是椭圆 C :

上任意一点,且 PF ? PF2 最小值为 0 . 1 (1)求椭圆 C 的方程; (2)设定点 D(m,0) ,已知过点 F2 且与坐标轴不垂直的直线 l 与椭圆 交于 A 、 B 两点, 满足 AD ? BD ,求 m 的取值范围. 18. (本题满分 18 分,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 8 分,第 3 小题满分 6 分)
?

若数列 ?bn ? 满足:对于 n ? N ,都有 bn?2 ? bn ? d (常数) ,则称数列 ?bn ? 是公差为 d

的准等差数列.如:若 c n ? ?

?4n ? 1,当n为奇数时;

. ?4n ? 9,当n为偶数时 (1)求上述准等差数列 ?cn ? 的前 9 项的和 T9 ;
?

则 ?cn ? 是公差为 8 的准等差数列.

(2)设数列 ?an ? 满足: a1 ? a ,对于 n ? N ,都有 an ? an?1 ? 2n .求证: ?an ? 为准

等差数列,并求其通项公式; (3)设(2)中的数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,试研究:是否存在实数 a ,使得数列 ?S n ? 有连续的两项都等于 50 .若存在,请求出 a 的值;若不存在,请说明理由.

上海市闸北区 2013 届高三一模数学试题(理科) 参考答案
一、1. ? 1 ; 2.2; 3.3;

7. ? , 1? ; ? 二、11.C.

?1 ?4

? ?

8.20;

1 10 ; 5. 2 2 ; 6. m tan 2? ; 3 2 ? 1 ? 9. ? (理) 3 ; (文)2. ,0 ? ; 10. ?1? a ?
4. (3 分)

12.B.

13.B.

三、14.解: f ( x) ? (1)? f ? ?

2 ? ?? 1 sin ? 2 x ? ? ? 2 4? 2 ?

2 ?1 ? ?? 1 ?? ? (3 分) ? ? f ? ? ,? f (x) 是非奇非偶函数. ?? ?? 2 ? 8? 2 ?8? 注:本题可分别证明非奇或非偶函数,如? f (0) ? 1 ? 0 ,? f (x) 不是奇函数.

? ? 5? 2 ?? ? ?? ? (4 分) ? ,得 4 ? 2 x ? 4 ? 4 , ? 2 ? sin? 2 x ? 4 ? ? 1 . ? 2? ? ? ? 2 ? 1? 2 ? ?? 1 2 ?1 所以 0 ? .即 f (x) ? ?0, (2 分) sin? 2 x ? ? ? ? ?. 2 ? 2 4? 2 2 ? ? 15.解:设 ABCD 的长与宽分别为 x 和 y ,则 ( x ? 4)( y ? 2) ? 800 (3 分) 792 ? 2 x y? (2 分) x?4 (792 ? 2 x ) x 试验田 ABCD 的面积 S ? xy ? (2 分) x?4 3200 ? 808 ? 968 , 令 x ? 4 ? t , t ? 0 ,则 S ? 2t ? (4 分) t 3200 当且仅当 2t ? 时, t ? 40 ,即 x ? 44 ,此时, y ? 22 . (2 分) t 答: 试验田 ABCD 的长与宽分别为 44 米、22 米时,占地面积最小为 968 米 2. (1 分) y y 16. (理)证明: (1)设 y1 ? f ?1 ( x1 ) , y2 ? f ?1 ( x2 ) ,由题意,有 x1 ? a 1 , x2 ? a 2 , 分) (2 y1 y2 y1 ? y2 所以 x1 x2 ? a ? a ? a , (3 分)
(2)由 x ? ?0, (2 分) ( x1 x2 ) ,即 f ?1 ( x1 x2 ) ? f ?1 ( x1 ) ? f ?1 ( x2 ) . ?1 (2)当 a ? 1 时, y ? f ( x) 是增函数. y y x 证明:设 x1 ? x2 ? 0 ,即 a 1 ?a 2 ? 0 ,又由指数函数 y ? a (a ? 1) 是增函数,得 (4 分) y1 ? y2 ,即 f ?1 ( x1 ) ? f ?1 ( x2 ) . ?1 所以,当 a ? 1 时, y ? f ( x) 是增函数. (2 分) 同理,当 0 ? a ? 1 时, y ? loga x 是减函数. (2 分) 16. (文)解(1)任取 x1 , x2 ? (0,??) , x1 ? x 2 ,则由 0 ? ? x1 ? ? x2 (2 分) 由 y ? f (x) 在区间 (??,0) 上是单调递减函数,有 f (? x1 ) ? f (? x2 ) , (3 分) 又由 y ? f (x) 是奇函数,有 ? f ( x1 ) ? ? f ( x2 ) ,即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) . (3 分) 所以,函数 y ? f (x) 在区间 (0,??) 上是单调递减函数. (1 分) 所以, y1 ? y2 ? f
?1

?? x ? 2, x ? 0, ?1 ? ? , x ? 0, (2)如 f ( x) ? ?0,   x ? 0, 或 f ( x) ? ? x 等 ?? x ? 2, x ? 0. ?0, x ? 0. ? ?
17. (理)解: (1)设 P( x, y) ,则有 F1 P ? ( x ? c, y) , F2 P ? ( x ? c, y)

(6 分)

(1 分) (3 分) (2 分) (1 分) (1 分) (2 分)

a2 ?1 2 x ? 1 ? c 2 , x ? ?? a, a? 2 a 2 2 由题意, 1 ? c ? 0 ? c ? 1 ? a ? 2 , x2 ? y2 ? 1. 所以,椭圆 C 的方程为 2 (2)由(1)得 F (1, 0) ,设 l 的方程为 y ? k ( x ? 1) , PF1 ? PF2 ? x 2 ? y 2 ? c 2 ?
代入

x ? y 2 ? 1,得 (2k 2 ? 1) x2 ? 4k 2 x ? 2k 2 ? 2 ? 0 2 4k 2 2k 2 ? 2 , x1 x2 ? 2 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ? , 2k 2 ? 1 2k ? 1

2

?2k 2k 2 ? 1 2k 2 k ,? 2 ) , 设 AB 的中点为 M ,则 M ( 2 2k ? 1 2k ? 1 ? AD ? BD ,? DM ? AB ,即 kCM ? k AB ? ?1 ? y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ? 2) ?

(2 分)

4k 2 ?2k ? 2 ? 2m ? 2 k ? 0 ? (1 ? 2m)k 2 ? m 2k ? 1 2k ? 1 m 2 . 因为直线 l 不与坐标轴垂直的,所以 k ? 1 ? 2m m 1 ?0?0?m? . ? 1 ? 2m 2 17. (文)解: (1)由题意,可求得 F1 (?1,0) , F2 (1,0) .
设 P( x, y) ,则有 F1 P ? ( x ? 1, y) , F2 P ? ( x ? 1, y)

(2 分)

(2 分) (1 分) (3 分) (2 分) (1 分) (1 分) (2 分)

PF1 ? PF2 ? x 2 ? y 2 ? 1 ?
所以, PF ? PF2 ? 0,1 . 1

? ?

1 2 x , x ? ? 2, 2 2

?

?

(2)设直线 AB 的方程为 y ? k ( x ? 1)(k ? 0) ,

x ? y 2 ? 1 ,整理得 (1 ? 2k 2 ) x 2 ? 4k 2 x ? 2k 2 ? 2 ? 0 , (*) 2 因为直线 AB 过椭圆的左焦点 F1 ,所以方程*有两个不相等的实根. 设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y 2 ) , AB 中点为 M ( x0 , y 0 ) ,则
代入

2

k 4k 2 2k 2 x1 ? x 2 ? ? 2 , x0 ? ? , y0 ? . 2 2 2k ? 1 2k ? 1 2k ? 1 1 线段 AB 的垂直平分线 NG 的方程为 y ? y 0 ? ? ( x ? x 0 ) . k

(2 分) (1 分)

2k 2 k2 k2 1 1 ? 2 ?? 2 ?? ? 2 . 分) (2 2 2 4k ? 2 2k ? 1 2k ? 1 2k ? 1 1 ? 1 ? 因为 k ? 0 ,所以 ? ? xG ? 0 .即点 G 横坐标的取值范围为 ? ? ,0 ? . (1 分) 2 ? 2 ? (3 ? 35) ? 5 (17 ? 41) ? 4 ? ? 211 . 18. (理)解: (1) T9 ? (4 分) 2 2 ? (2)? an ? an?1 ? 2n ( n ? N )①
令 y ? 0 ,则 xG ? x0 ? ky 0 ? ?

an?1 ? an?2 ? 2(n ? 1)


?

②-①得 an?2 ? an ? 2 ( n ? N ) .

(2 分) (1 分) (2 分) (2 分)

所以, ?an ? 为公差为 2 的准等差数列.

?n ? ? 1? ? 2 ? n ? a , ?2 ? ? n ?1 ? 当 n 为奇数时,解法一: a n ? a ? ? ? 1? ? 2 ? n ? a ? 1 ; ? 2 ? 解法二: an ? 2(n ? 1) ? an?1 ? 2(n ? 1) ? ??n ? 1? ? a? ? n ? a ? 1 ; 解法三:先求 n 为奇数时的 an ,再用①求 n 为偶数时的 an 同样给分.
当 n 为偶数时, a n ? 2 ? a ? ?

( ?n ? a ? 1, n为奇数) ? an ? ? ?n ? a,  (n为偶数)
(3)解一:

(1 分)

n?n ? n?n ? ? ? 1? ? ? 1? n 2?2 ? n 2?2 ? 1 当 n 为偶数时, S n ? a ? ? (1 分) ? 2 ? ?2 ? a ? ? ? ? 2 ? n2 ; 2 2 2 2 2 n ?1? n ?1 ? n ?1? n ?1 ? ? 1? ? 1? ? ? n ?1 2 ? 2 ? ? 2 ? ?2 ? a ? ? n ? 1 ? 2 ? 2 ??2 当 n 为奇数时, S n ? a ? ? 2 2 2 2

1 2 1 n ?a? . 2 2 1 2 当 k 为偶数时, S k ? k ? 50 ,得 k ? 10 . 2 1 2 1 由题意,有 S 9 ? ? 9 ? a ? ? 50 ? a ? 10 ; 2 2 1 1 2 或 S11 ? ? 11 ? a ? ? 50 ? a ? ?10 . 2 2 所以, a ? ?10 . ?
解二:当 n 为偶数时,? an ? an?1 ? 2n , ? S n ? 2 ? ?1 ? 3 ? ? ? ? ? n ? 1? ? 当 n 为奇数时, S n ? S n ?1 ? a n ?

(1 分) (1 分) (1 分) (1 分) (1 分)

1 2 n 2

(1 分) (1 分)

1 1 1 ? (n ? 1) 2 ? n ? a ? 1 ? n 2 ? a ? . 2 2 2

以下与解法一相同. 18. (文)解: (1) c8 ? 41, c9 ? 35

(2 分) (4 分)

(3 ? 35) ? 5 (17 ? 41) ? 4 ? ? 211 . 2 2 (2)? an ? an?1 ? 2n ① T9 ?

② an?1 ? an?2 ? 2(n ? 1) ②-①得 an?2 ? an ? 2 . 所以, ?an ? 为公差为 2 的准等差数列.

(2 分) (2 分) (2 分)

? n ?1 ? ? 1? ? 2 ? n ? a ? 1 ; ? 2 ? ?n ? 当 n 为偶数时, a n ? 2 ? a ? ? ? 1? ? 2 ? n ? a , ?2 ?
当 n 为奇数时, a n ? a ? ?

( ?n ? a ? 1, n为奇数) ? an ? ? ?n ? a,  (n为偶数)
(3)解一:在 S 63 ? a1 ? a2 ? ? ? ? ? a63 中,有 32 各奇数项,31 各偶数项, 所以, S 63 ? 32 a ?

? S 63

32 ? 31 31 ? 30 ? 2 ? 31(2 ? a) ? ? 2 ? a ? 1984 . 2 2 ? 2012,? a ? 1984 ? 2012 . ? a ? 28 .
1 2 n . 2

(4 分) (2 分)

解二:当 n 为偶数时, a1 ? a2 ? 2 ? 1 , a3 ? a4 ? 2 ? 3,… … an?1 ? an ? 2 ? (n ? 1) 将上面各式相加,得 S n ?

1 ? S 63 ? S 62 ? a63 ? ? 62 2 ? 63 ? a ? 1 ? a ? 1984 2 ? S 63 ? 2012,? a ? 1984 ? 2012 . ? a ? 28 .

(4 分) (2 分)


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