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常见不等式的解法


常见不等式的解法(教师版)
一、一元一次不等式 解下列关于 x 的不等式 1、2x+3>5 2、-2x+5<6 3、ax>1
4、不等式 3(x+1)≥5x-9 的正整数解是_________

x??
5、已知关于x的不等式(3a-2)x+2<3的解集是 二、一元二次不等式

1 4

,则a=______.

1、x ? 2
2

2、( x ? 1)

2

?2

3、 x +x-2≤4

2

1 1 4、 若 0<a<1, 则不等式(x-a)(x- a )<0 的解是______.a<x< a

? 1 1? ?x ? ? x ? ? 2 3 ? ,则 a ? b 的值为______.-14 5、已知不等式 ax ? bx ? 2 ? 0 的解集为 ?
2

6、不等式2x2-3|x|-35>0的解为______..x<-5或x>5

2 实数根, 7、方程 mx ? (2m ? 1) x ? m ? 0有两个不相等的 则实数m的取值范围是______.
2 8、不等式 x ? mx ? n ? 0 的解集是 ?x | ?2 ? x ? 3? ,则m=

1 m ? ? 且m ? 0 4

__,n=

__.-1;-6

9、函数 f ( x ) ?

x 2 ? x ? 2的定义域为 ______________ ?x x ? 2 或 x ? ?1

?

10、对于任意实数x ,一元二次不等式(2m-1)x 2+(m+1)x +(m-4)>0恒成立,则实数m的取值范围是______. m>5 11、函数 f ( x) ? ax 2 ? ax +2的定义域为R, 则a的取值范围是_________ 【0,8】

1

二、分式不等式的解法

1)标准化:移项通分化为

f ( x) f ( x) f ( x) f ( x) ? 0 (或 ? 0 ); ? 0 (或 ? 0 )的形式, g ( x) g ( x) g ( x) g ( x)

2)转化为整式不等式(组)

? f ( x) g ( x) ? 0 f ( x) f ( x) ? 0 ? f ( x) g ( x) ? 0; ?0?? g ( x) g ( x) ? g ( x) ? 0
3x ? 1 ? ?1 的解集是 3? x

2 x 2 ? 3x ? 1 ? 0 的解集是 1. 不等式 2 3x ? 7 x ? 2 2 x 2 ? 3x ? 7 ? 1的解集是 x2 ? x ? 2 29 ? x ? x 2 ? 1 的解集是 5x ? 2

2. 不等式

3. 不等式

4. 不等式

x ?1 x ?1 ? 的解集是 x ?1 x ?1

5. 不等式

6. 不等式

x 2 ? 3x ? 2 ? 0 的解集是 x 2 ? 7 x ? 12
2x ?1 ? 1 的解集是 ?x ? 2

7. 不等式

x2 ? x ? 1 的解集是 2x ?1
2x ? 3 ? 2 的解集是 3x ? 4

8. 不等式

9. 不等式

10. 不等式

x2 ?1 ? 2 的解集是 ( x 2 ? 1)( x ? 1)

答案

1.

2. (-2,3)3.

4.

5. 2)

6.

7.

8. (1,

9.

10.

2

三、无理不等式的解法 无理不等式一般是指在根号下含有未知数的不等式, 今天我们主要研究在二次根号下含有未知数的简单的无理不等式的解 法。
?( f ( x) ? 0)?

? ? 定义域 题型Ⅰ: f ( x) ? g ( x)型 ? ? ? g ( x) ? 0 ? ? f ( x) ? g ( x) ?

例一 解不等式 3x ? 4 ? x ? 3 ? 0
4 ? ?3x ? 4 ? 0 ?x ? 3 ? 解:移项: 3x ? 4 ? x ? 3 ? ? ? ? x ? 3 ∴ x ? 3 ∴不等式的解集是:{ x | x ? 3 } ?x ? 3 ? 0 ?3x ? 4 ? x ? 3 ?x ? 1 ? ? 2 ?

练习一:解不等式⑴ 1 ? x ? 3x ? 2 ? 0 解:⑴移项: 1 ? x ? 3x ? 2
? ? 1? x ? 0 ? x ?1 3 ?? x? ?3x ? 2 ? 1 ? x ? 4 ?

⑵ 5 ? 2x ? x ? 1

∴?



3 ? 3 ? ? x ? 1 ∴原不等式的解集为 ?x | ? x ? 1? 4 ? 4 ?

⑵?

? x ?1 ? 0 ?x ?1 ?? 5 ? 2 x ? x ? 1 ? ?x ? 2
5 ? 2x ? x ? 1

∴ 1 ? x ? 2 ∴原不等式的解集为{ x | 1 ? x ? 2 }

例二 解不等式

解:原不等式的解集等价于下面两个不等式组解集的并集: Ⅰ: ? ?x ? 1 ? 0
?5 ? 2 x ? 0 ?5 ? 2 x ? ( x ? 1) 2 ?

或 Ⅱ: ?

?5 ? 2 x ? 0 ? x ?1 ? 0

5 ? ?x ? 2 解Ⅰ: ? ?x ? 1 ?? 2 ? x ? 2 ? ?

x? 解Ⅱ: ? ? 2 ? ? x ?1

?

5

即: 1 ? x ? 2



x ?1
? f ( x) ? 0

∴ x ? 2 ∴原不等式的解集为{ x | x ? 2 }

? 题型Ⅱ: f ( x) ? g ( x)型 ? ? g ( x) ? 0

? f ( x) ? 0 或? ? f ( x) ? [ g ( x)]2 ? g ( x) ? 0 ?

练习二:解不等式 2 x ? 3x ? 1 ? 1 ? 2 x
2

解:原不等式的解集等价于下面两个不等式组解集的并集:
?2 x 2 ? 3x ? 1 ? 0 Ⅰ: ? ?1 ? 2 x ? 0 ?2 x 2 ? 3x ? 1 ? (1 ? 2 x)2 ?
1 ? ? x ? 1或x ? 2 ? 1 解Ⅰ: ? ?x ? ? 2 ? ?? 7 ? x ? 0 ? ? 2

或 Ⅱ: ?

?2 x 2 ? 3 x ? 1 ? 0 ?1 ? 2 x ? 0

1 ? ? x ? 1或x ? 2 解Ⅱ: ? 1 ?x ? ? ? 2 ?

即: ?

1 ?x?0 2



x??

1 2

∴ x?0

∴原不等式的解集为{ x | x ? 0 }

3

四、含绝对值的不等式的解法 (一)、公式法:即利用

x ? a 与 x ? a 的解集求解。

x ? a 与 x ? a 型的不等式的解法。
当 a ? 0 时, 不等式 不等式

x ? 的解集是__________________

当 a ? 0 时, 不等式 不等式

x ? a 的解集是________________ x ? a 的解集是________________

x ? a 的解集是________________
答案为

例 1 解不等式

x ?2 ?3

?x ? 1 ? x ? 5?。

? a ( a ? 0), ? (二)、定义法:即利用 a ? ?0( a ? 0), 去掉绝对值再解。 ? ? a ( a ? 0). ?

例 2.解不等式

x x 。 ? x?2 x?2
x <0 ? x(x+2)<0 ? -2<x<0。 x?2

解:原不等式等价于

(三)、平方法:解 f ( x) ? g ( x) 型不等式。 例 3、解不等式 x ?1 ? 2x ? 3 。 解:原不等式 ? ( x ?1) ? (2 x ? 3) ? (2x ? 3) ? ( x ?1) ? 0 ? (2x-3+x-1)(2x-3-x+1)<0 ? (3x-4)(x-2)<0 ?
2 2 2 2

4 ? x ? 2。 3

(四)、零点分段法:即通过合理分类去绝对值后再求解。 例 4 .解不等式 x ?1 ? x ? 2 ? 5 。

解:当 x<-2 时,得 ?

? x ? ?2 ??( x ? 1) ? ( x ? 2) ? 5

解得: ? 3 ?

x ? ?2

当-2≤x≤1 时,得 ?

??2 ? x ? 1, 解得: ? 2 ? x ? 1 ??( x ? 1) ? ( x ? 2) ? 5
解得:1 ?

当x

? 1 时,得 ?

? x ? 1, ?( x ? 1) ? ( x ? 2) ? 5.

x?2

综上,原不等式的解集为

?x ? 3 ? x ? 2?。

(五)、几何法:即转化为几何知识求解。 例 5 对任何实数 x ,若不等式 x ? 1 ? x ? 2 ? k 恒成立,则实数 k 的取值范围为 ( )
4

(A)k<3

(B)k<-3

(C)k≤3

(D) k≤-3

分析:设 y ? x ? 1 ? x ? 2 ,则原式对任意实数 x 恒成立的充要条件是 k ? ymin ,于是题转化为求 y 的最小值。
x -1 0 2

解: x ? 1 、x ? 2 的几何意义分别为数轴上点 x 到-1 和 2 的距离 x ? 1 - x ? 2 的几何意义为数轴上点 x 到-1 与 2 的距 离之差,如图可得其最小值为-3,故选(B) 。 (六) 、巩固练习 1、设函数

f ( x) ? 2 x ? 1 ? x ? 3, 则f (?2) =
x ?1 ? 1 的实数解为 x?2

;若

f ( x) ? 2 ,则 x 的取值范围是

.

2、不等式



3、若不等式

ax ? 2 ? 6 的解集为 ? ?1, 2? ,则实数 a 等于
B. 2 C. ? 4 D.





A. 8

?8
; ; ;

4、 ?1? 对任意实数 x , | x ? 1| ? | x ? 2 |? a 恒成立,则 a 的取值范围是

? 2 ? 对任意实数 x , | x ?1| ? | x ? 3|? a 恒成立,则 a 的取值范围是 ? 3? 若关于 x 的不等式 | x ? 4 | ? | x ? 3 |? a 的解集不是空集,则 a 的取值范围是
5、不等式

x 2 ? 10 ? 3x 的解集为(
10



A.

?x | 2 ? x ?

?

B.

?x | ?2 ? x ? 5?

C.

?x | 2 ? x ? 5?

D.

?x |

10 ? x ? 5

?

6、解不等式: x ? 1 ? 2 ? x ? 2

7、方程

x?2 x?2 ? 的解集为 x 2 ? 3x x 2 ? 3x

,不等式

x x ? 的解集是 2?x 2?x



8、不等式

x (1 ? 2x) ? 0 的解集是(



1 1 B. (??,0) ? (0, ) (??, ) 2 2 9、不等式 1 ?| x ? 1|? 3 的解集为( ). ( 2C , . 4(? ) 4,0) A. (0, 2) B. (? 2 , 0 )
A.

C. (

1 ,??) 2

D.

1 (0, ) 2

D.

(?4, ?2)

(0, 2)

(参考答案) 1、 6 ;

?
; ⑵



2、 (??,?2) ? (?2,?

3 ) 2
6、 ? x x ? 9、D

3、C

4、⑴ 7、

a?3

a?4

; ⑶

a?7



5、C 8、C

? ?

1 5? a或x ? ? 2 2?

?x ? 3 ? x ? 2或x ? 0?; ?x x ? 2或x ? 0?
5

常见不等式的解法(学生版)
一、一元一次不等式 解下列关于 x 的不等式 1、2x+3>5 2、-2x+5<6 3、ax>1
4、不等式 3(x+1)≥5x-9 的正整数解是_________

x??
5、已知关于x的不等式(3a-2)x+2<3的解集是

1 4 ,则a=______.

二、一元二次不等式

1、 x ? 2
2

2、 ( x ? 1)

2

?2

3、x +x-2≤4

2

1 4、若 0<a<1,则不等式(x-a)(x- a )<0 的解是______.

? 1 1? ?x ? ? x ? ? 2 3 ? ,则 a ? b 的值为______. 5、已知不等式 ax ? bx ? 2 ? 0 的解集为 ?
2

6、不等式2x2-3|x|-35>0的解为______.

2 实数根, 7、方程 mx ? (2m ? 1) x ? m ? 0有两个不相等的 则实数m的取值范围是______.

2 8、不等式 x ? mx ? n ? 0 的解集是 ?x | ?2 ? x ? 3? ,则m=

__,n=

__.

6

9、函数 f ( x ) ?

x 2 ? x ? 2的定义域为 ______________

10、对于任意实数x ,一元二次不等式(2m-1)x 2+(m+1)x +(m-4)>0恒成立,则实数m的取值范围是______.

11、函数 f ( x) ?

ax2 ? ax+2的定义域为R, 则a的取值范围是_________

7

二、分式不等式的解法

1. 不等式

2 x 2 ? 3x ? 1 ? 0 的解集是 3x 2 ? 7 x ? 2

2. 不等式

3x ? 1 ? ?1 的解集是 3? x

3. 不等式

2 x 2 ? 3x ? 7 ? 1的解集是 x2 ? x ? 2

4. 不等式

x ?1 x ?1 ? 的解集是 x ?1 x ?1

5. 不等式

29 ? x ? x 2 ? 1 的解集是 5x ? 2

6. 不等式

x 2 ? 3x ? 2 ? 0 的解集是 x 2 ? 7 x ? 12

1.

2. (-2,3)3.

4.

5.

6.

8

三、无理不等式的解法 无理不等式一般是指在根号下含有未知数的不等式, 今天我们主要研究在二次根号下含有未知数的简单的无理不等式的解 法。
?( f ( x) ? 0)?

? ? 定义域 题型Ⅰ: f ( x) ? g ( x)型 ? ? ? g ( x) ? 0 ? ? f ( x) ? g ( x) ?

例一 解不等式 3x ? 4 ? x ? 3 ? 0

练习一:解不等式⑴ 1 ? x ? 3x ? 2 ? 0

⑵ 5 ? 2x ? x ? 1

? 题型Ⅱ: f ( x) ? g ( x)型 ? ? g ( x) ? 0

? f ( x) ? 0

? f ( x) ? 0 或? ? f ( x) ? [ g ( x)]2 ? g ( x) ? 0 ?

例二 解不等式

5 ? 2x ? x ? 1

练习二:解不等式 2 x ? 3x ? 1 ? 1 ? 2 x
2

题型Ⅰ练习一(1) ? ?x |
?

3 ? ? x ? 1? (2) x | 1 ? x ? 2 4 ?

题型Ⅱ x | x ? 0

9

四、含绝对值的不等式的解法 (一)、公式法:即利用

x ? a 与 x ? a 的解集求解。

x ? a 与 x ? a 型的不等式的解法。
当 a ? 0 时, 不等式 不等式

x ? 的解集是__________________

当 a ? 0 时, 不等式 不等式

x ? a 的解集是________________ x ? a 的解集是________________

x ? a 的解集是________________

例 1 解不等式

x ?2 ?3

? a ( a ? 0), ? (二)、定义法:即利用 a ? ?0( a ? 0), 去掉绝对值再解。 ? ? a ( a ? 0). ?

例 2.解不等式

x x 。 ? x?2 x?2

(三)、平方法:解 f ( x) ? g ( x) 型不等式。 例 3、解不等式 x ?1 ? 2x ? 3 。

(四)、零点分段法:即通过合理分类去绝对值后再求解。 例 4 .解不等式 x ?1 ? x ? 2 ? 5 。

(五)、几何法:即转化为几何知识求解。 例 5 对任何实数 x ,若不等式 x ? 1 ? x ? 2 ? k 恒成立,则实数 k 的取值范围为 ( ) (A)k<3 (B)k<-3 (C)k≤3 (D) k≤-3

10

(六) 、巩固练习 1、设函数

f ( x) ? 2 x ? 1 ? x ? 3, 则f (?2) =
x ?1 ? 1 的实数解为 x?2

;若

f ( x) ? 2 ,则 x 的取值范围是

.

2、不等式



3、若不等式

ax ? 2 ? 6 的解集为 ? ?1, 2? ,则实数 a 等于
B. 2 C. ? 4 D.





A. 8

?8
; ; ;

4、 ?1? 对任意实数 x , | x ? 1| ? | x ? 2 |? a 恒成立,则 a 的取值范围是

? 2 ? 对任意实数 x , | x ?1| ? | x ? 3|? a 恒成立,则 a 的取值范围是 ? 3? 若关于 x 的不等式 | x ? 4 | ? | x ? 3 |? a 的解集不是空集,则 a 的取值范围是
5、不等式

x 2 ? 10 ? 3x 的解集为(
10



A.

?x | 2 ? x ?

?

B.

?x | ?2 ? x ? 5?

C.

?x | 2 ? x ? 5?

D.

?x |

10 ? x ? 5

?

6、解不等式: x ? 1 ? 2 ? x ? 2

7、方程

x?2 x?2 ? 2 的解集为 2 x ? 3x x ? 3x

,不等式

x x ? 的解集是 2?x 2?x



8、不等式

x (1 ? 2x) ? 0 的解集是(



1 1 B. (??,0) ? (0, ) (??, ) 2 2 9、不等式 1 ?| x ? 1|? 3 的解集为( ). ( 2C , . 4(? ) 4,0) A. (0, 2) B. (? 2 , 0 )
A.

C. (

1 ,??) 2

D.

1 (0, ) 2

D.

(?4, ?2)

(0, 2)

(参考答案)

1、

6



?
; ⑵



2、 (??,?2) ? (?2,?

3 ) 2
6、 ? x x ? 9、D

3、C

4、⑴ 7、

a?3

a?4

; ⑶

a?7



5、C 8、C

? ?

1 5? a或x ? ? 2 2?

?x ? 3 ? x ? 2或x ? 0?; ?x x ? 2或x ? 0?

11


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