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《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学 人教B版必修2第二章 圆与圆的位置关系课件


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【学习要求】
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圆与圆的位置关系

1.理解圆与圆的五种位置关系,掌握它的位置关系的判定 方法. 2.会利用圆与圆的位置关系求解与圆有关的问题,了解圆 系的使用方法. 【学法指导】 通过观察图形,探究出两圆的位置关系与圆心距与两圆的 半径和与差的大小关系,归纳出判断两圆位置关系的方 法,培养数形结合的思想.

填一填· 知识要点、记下疑难点

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1.几何法判断圆与圆的位置关系:设两圆的圆心距为 d,两
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圆半径分别为 r1,r2. (1)当 d>r1+r2 时,圆 C1 与圆 C2 外离 ; (2)当 d=r1+r2 时,圆 C1 与圆 C2 外切 ; (3)当|r1-r2|<d<r1+r2 时,圆 C1 与圆 C2 相交 ; (4)当 d=|r1-r2|时,圆 C1 与圆 C2 内切 ; (5)当 d<|r1-r2|时,圆 C1 与圆 C2 内含 .

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2.代数法判断圆与圆的位置关系:将两个圆方程联立,消去
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其中的一个未知数 y 或 x, 得关于 x 或 y 的一元二次方程. 若方程中Δ>0 ,则两圆相交;若方程中Δ=0 ,则两圆相 切;若方程中 Δ<0 ,两圆外离或内含.

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[问题情境]
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同学们一定观看过“日食”现象,那么月亮与太阳的圆形 轮廓有哪几种位置关系?又如何判断它们的位置关系呢? 本节就来探讨这个问题.

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探究点一

圆与圆的位置关系

问题 1 圆与圆的位置关系有几类? 答 有内含、内切、相交、外切、外离五种.
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问题 2 如何根据圆的方程,判断它们之间的位置关系? 答 根据两圆的方程, 求出两圆心的坐标及两圆的半径
R,r,利用两点间的距离公式求出两圆的圆心距 d,然 后利用若 d<|R-r|,则两圆内含;

若 d=|R-r|,则两圆内切;
若|R-r|<d<R+r,则两圆相交;

若 d=R+r,则两圆外切;
若 d>R+r,则两圆外离.

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问题 3 已知两圆 C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0 和 C2:x2+y2 +D2x+E2y+F2=0,判断两个圆位置关系的步骤如何?
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答 (1)将两圆的方程化为标准方程;

(2)求两圆的圆心坐标和半径 R、r; (3)求两圆的圆心距 d;
(4)比较 d 与|R-r|,R+r 的大小关系作出结论.

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例 1 判断下列两圆的位置关系: (1)C1:x2+y2-2x-3=0,C2:x2+y2-4x+2y+3=0; (2)C1:x2+y2-2y=0,C2:x2+y2-2 3x-6=0.
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解 (1)两圆的方程分别变形为

(x-1)2+y2=4,(x-2)2+(y+1)2=2. 所以两个圆心的坐标分别为(1,0)和(2,-1), 半径分别为 r1=2,r2= 2, 两圆的圆心距 d=|C1C2|= ?2-1?2+?-1?2= 2, r1+r2=2+ 2, 所以 r1-r2<d<r1+r2.因此这两个圆相交.

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(2)两圆的方程分别变形为
x2+(y-1)2=12,(x- 3)2+y2=32. 所以两个圆心的坐标分别为(0,1)和( 3,0),
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半径分别为 r1=1,r2=3, 则两圆的圆心距 d= ? 3?2+12=2,所以 d=r2-r1.因此这两 个圆内切.
小结 跟判断直线与圆的位置关系一样,判断两圆的位置关 系也可以用代数法求方程组解的组数,但由于解两个二元二 次方程组通常计算量较大,较为麻烦,而且当无解或是一解 时往往还得重新用几何法来讨论, 不如直接运用几何法简便.

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跟踪训练 1 a 为何值时,两圆 x2+y2-2ax+4y+a2-5=0 和 x2+y2+2x-2ay+a2-3=0: (1)外切;(2)内切. 解 将两圆方程写成标准方程,
得(x-a)2+(y+2)2=9,(x+1)2+(y-a)2=4. 设两圆的圆心距为 d, 则 d2=(a+1)2+(-2-a)2=2a2+6a+5. (1)当 d=3+2=5,即 2a2+6a+5=25 时,
两圆外切,此时 a=-5 或 2. (2)当 d=3-2=1,即 2a2+6a+5=1 时, 两圆内切,解得 a=-1 或 a=-2.

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探究点二

两圆公共弦问题

例2 已知圆C1:x2+y2+2x-6y+1=0,圆C2:x2+y2-4x+ 2y-11=0,求两圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长.
解 设两圆交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),
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则 A、B 两点坐标是方程组 ?x2+y2+2x-6y+1=0 ? ? 2 ?x +y2-4x+2y-11=0 ?

① 的解, ②

①-②得3x-4y+6=0,∵A、B两点坐标都满足此方程, ∴3x-4y+6=0即为两圆公共弦所在的直线方程.

易知圆C1的圆心(-1,3),半径r=3. |-1×3-4×3+6| 9 d= =5. 2 2 3 +4

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∴|AB|=2 r -d =2

2

2

3

2

?9? 24 ? ?2= . -5 5 ? ?

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24 即两圆的公共弦长为 . 5 小结 求两相交圆的公共弦的方程及公共弦长时,一般不用 求交点的方法,常用两方程相减法消去二次项,得到公共弦 的方程,再由勾股定理求弦长.

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跟踪训练2 判断两圆C1:x2+y2-2x=0与C2:x2+y2-4y= 0的位置关系.若相交,求其公共弦长.
解 ∵C1(1,0),C2(0,2),
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r1=1,r2=2, ∴d=|C1C2|= 5<r1+r2=3, 5>r2-r1=1,故两圆相交.
如图所示:设两圆的公共弦OA与连心线C1C2交于M点,则 C1M⊥OA,|OA|=2|AM|.∵C1(1,0),|AC1|=1. 由两圆的方程,得直线OA的方程为x-2y=0. |1-2×0| 1 从而|C1M|= 2 = . 5 1 +?-2?2

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于是|OA|=2|AM|=2 |AC1|2-|C1M|2
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=2

1

2

? -? ? ?

1 ?2 4 ? = 5. 5? 5 ?

综上所述,圆C1、圆C2相交, 4 公共弦长为 5. 5

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探究点三

求过直线与圆或圆与圆交点的圆的方程

问题1 若两圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0和C2:x2+y2 +D2x+E2y+F2=0相交,M(x0,y0)为一个交点,则点 M(x0,y0)在直线(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0上吗?
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为什么? 答 M(x0,y0)在直线(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0上. 因为M(x0,y0)为两圆的交点, 所以M(x0,y0)既适合圆C1的方程也适合圆C2的方程, ?x2+y2+D x +E y +F =0, ① ? 0 0 1 0 1 0 1 ? 2 所以有 ?x0+y2+D2x0+E2y0+F2=0. ② ? 0
由①-②,得(D1-D2)x0+(E1-E2)y0+F1-F2=0,

这个方程说明了M(x0,y0)在直线(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1 -F2=0上.

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问题2 若两圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0和C2:x2+y2+ D2x+E2y+F2=0相交,它们的交点弦所在的直线方程是 什么?为什么? 答 它们的交点弦所在的直线方程为:(D1-D2)x+(E1-E2)y
+F1-F2=0.
设两圆的两个交点为A(x1,y1),B(x2,y2).
由问题1知点A(x1,y1),B(x2,y2)都在直线(D1-D2)x+(E1- E2)y+F1-F2=0上,而两点确定一条直线,
所以过A(x1,y1),B(x2,y2)的直线方程即为(D1-D2)x+(E1- E2)y+F1-F2=0,也即两圆的公共弦所在的直线方程.

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例3 求过直线x+y+4=0与圆x2+y2+4x-2y-4=0的交点 且与y=x相切的圆的方程.
解 设所求的圆的方程为
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x2+y2+4x-2y-4+λ(x+y+4)=0. ?y=x ? 联立方程组? 2 2 , ?x +y +4x-2y-4+λ?x+y+4?=0 ?
得x2+(1+λ)x+2(λ-1)=0. 因为圆与y=x相切,所以Δ=0. 即(1+λ)2-8(λ-1)=0,则λ=3. 故所求圆的方程为x2+y2+7x+y+8=0.

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小结
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过直线Ax+By+C=0与圆x2+y2+Dx+Ey+F=0交

点的圆的方程可设为:x2+y2+Dx+Ey+F+λ (Ax+By+C) =0;过两圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0和C2:x2+y2+ D2x+E2y+F2=0交点的圆的方程,可设为:x2+y2+D1x+ E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0.

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跟踪训练3 求过两圆x2+y2+6x-4=0与x2+y2+6y-28=0 的交点,且圆心在直线x-y-4=0上的圆的方程.
解 方法一 依题意所求的圆的圆心在已知两圆的圆心的连
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心线上,又已知两圆的圆心分别为(-3,0)和(0,-3). 则连心线的方程是x+y+3=0. ? 1 ?x+y+3=0 ?x=2 ? 由? 解得? . ?x-y-4=0 ? ?y=-7 2 ? ?1 7? 所以所求圆的圆心坐标是?2,-2?. ? ?
设所求圆的方程是x2+y2-x+7y+m=0, 由三个圆有同一条公共弦,

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x2+y2+6x-4-(x2+y2+6y-28)=0, 得x-y+4=0,x2+y2+6x-4-(x2+y2-x+7y+m)=0, 4+m 4+m 得x-y- =0,所以- =4,即m=-32. 7 7 故所求方程是x2+y2-x+7y-32=0.
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方法二 28)=0,

设所求圆的方程为 x2+y2+6x-4+λ(x2+y2+6y-
2 2

4+28λ 6x 6λy 整理得:x +y + + - =0,圆心坐标为 1+λ 1+λ 1+λ ? 3 3λ ? ? ? - ,- ? 1+λ 1+λ?, ? ? 3 3λ 因圆心在直线x-y-4=0上,所以有- + -4=0, 1+λ 1+λ
解得λ=-7.
所以所求圆的方程为x2+y2-x+7y-32=0.

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1.两圆x2+y2=9和x2+y2-8x+6y+9=0的位置关系是( B )
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A.相离 C.内切
解析

B.相交 D.外切

圆x2+y2-8x+6y+9=0的圆心为(4,-3),半径为4.

两圆心之间的距离为5, ∵|3-4|<5<3+4,∴两圆相交.

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2.若圆x2+y2=4与圆x2+y2-2ax+a2-1=0相内切,则a= ________. ±1
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解析 两圆的圆心和半径分别为O1(0,0),r1=2,O2(a,0), r2=1,

由两圆内切可得d(O1,O2)=r1-r2,即|a|=1, 所以a=± 1.

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3.圆x2+y2=1与圆(x-1)2+y2=1的公共弦所在的直线方程 1 x=2 为________.
解析 设两圆相交于A、B两点,
?x2+y2=1, ? 则A、B两点满足 ? ??x-1?2+y2=1. ?

两式相减得-2x+1=0,

1 即x=2.

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1.判断两圆的位置关系的方法: (1)由两圆的方程组成的方程组有几个实数解确定,这种
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方法计算量比较大,一般不用. (2)依据连心线的长与两圆半径长的和或两半径的差的绝 对值的大小关系. 2.若两圆相交时,把两圆的方程作差消去x2和y2就得到两 圆的公共弦所在的直线方程. 3.求弦长时,常利用圆心到弦所在的直线的距离求弦心 距,再结合勾股定理求弦长.


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