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湖北省高中六校2015届高三元月调考数学文试卷


湖北省 大冶一中 广水一中 天门中学 六校
仙桃中学 浠水一中 潜江中学

2015 届高三元月调考 数学(文科)试卷
命题学校:广水一中 审题学校:潜江中学 命题教师:王道金 罗秋平 审题教师:李尚武 试卷满分:150 分

考试时间:2015 年 1 月 6 日下午 15:00—17:00
注意事项:

1.答卷前,考生务必将自己的学校、考号、班级、姓名等填写在答题卡上. 2.选择题的作答:每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑,如需改动,用橡 皮擦干净后,再选涂其他答案标号,答在试题卷、草稿纸上无效. 3.填空题和解答题的作答: 用 0.5 毫米黑色签字笔直接在答题卡上对应的答题区域内.答在试题卷、 草稿纸上无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后,将试卷和答题卡一并交回.

第Ⅰ卷(选择题,共 50 分)
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的) 1. 设集合 M ? {1, 2,3, 4} , 集合 N ? {3, 4,6} , 全集U ? {1, 2,3, 4,5,6} , 则集合 M ? (CU N ) ? ( A. {1} 2.复数 z ? A. 2 B. {1,2} C. {3, 4} ) C. 2i D. ?2i ) D. {1,2,4,5} )

5?i 的虚部为 ( 1? i
B. ?2

3.要得到函数 y ? cos(2 x ? A.向右平移

?
3

) 的图象,只需将函数 y ? cos 2 x 的图象(
B.向右平移

?
6

个单位长度

?
3

个单位长度

·1 ·

C.向左平移

?
6

个单位长度

D.向左平移

?
3

个单位长度

?0 ? x ? 2 ? 4.若 x, y 满足约束条件 ?0 ? y ? 2 ,则 z ? 2 x ? y 的最小值为( ?x ? 3y ? 2 ?
A.2 B. 4 C.



?2

D. ? 4 则该棱

5.已知某三棱锥的三视图均为腰长为 2 的等腰直角三角形(如图) , 锥的表面积为( A. 6 ? 2 3 C. 12 ? 4 3 6.命题“ ?x 0 ? R , 2 A. ?x 0 ? R , 2
x x0 x0

) B. 6 ? 4 3 D. 8 ? 4 2

? 0 ”的否定为(


x0

?0

B. ?x 0 ? R , 2

?0

C. ?x0 ? R, 2 0 ? 0

D. ?x0 ? R, 2 0 ? 0
x

1 1 7.阅读右边的程序框图,如果输出的函数值在区间 [ , ] 内,那么 4 2 实数 x 的取值范围是( )
A. ( ??, 2] C. [?1,2] B. [ ?2, ?1] D. [2, ??)

输 入

8.椭圆以 x 轴和 y 轴为对称轴,经过点 ? 2, 0 ? ,长轴长是短轴长的 2 倍,则椭圆的方程为(



A.

x2 ? y2 ? 1 4

B.

y 2 x2 ? ?1 16 4

x2 y 2 x2 2 ? y ? 1或 ? ? 1 C. 4 16 4

x2 y2 2 ? y ? 1或 ? x 2 ? 1 D. 4 4


9.若数列{an}的前 n 项和为 Sn , 对任意正整数 n 都有 Sn ? 2an ?1 ,则 S6 ? ( A.32 B.31 C.64 D.63

10 . 设 函 数 f ? x ? ? ln x ?

1 x ? a (a ? R ) , 若 存 在 b ??1, e? ( e 为 自 然 对 数 的 底 数 ) , 使 得 2

·2 ·

f ( f (b)) ? b ,则实数 a 的取值范围是(

A. ? ? ,1 ? ? 2 2

? 1 ?

e? ?

B. ?1 ?

? ?

e ? , ln 2 ? 1? 2 ?

C. ? ? , ln 2 ? 1?

? 1 ? 2

? ?

D. ? ?

? 1 ? ,0 ? 2 ? ?

第Ⅱ卷(非选择题,共 100 分)
二、填空题(本大题共 7 小题,每小题 5 分,共 35 分.把答案填在答题卡中相应的横线上) 11.函数 y ?

1 的定义域为 log 2 ? 4 x ? 3?
4 的最小值为 2x ?1

.

12.已知 x ? 1 ,则函数 y ? 2 x ?

.

13 .已知圆 C1 : x 2 ? y 2 ? 1 与圆 C 2 : (x ?1)2 ? ( y ? 1)2 ? 1 交于 A , B 两点,则直线 AB 的方程 为 .

14.已知 ? ? (? , 2? ), cos ? ?

3 ? , 则 tan(? ? ) 等于 5 4

.

15.若双曲线 C: mx 2 ? y 2 ? 1( m 为常数)的一条渐近线与直线 l : y ? ?3x ? 1 垂直,则双曲线 C 的焦 距为 . 16.已知 m ? R ,向量 a=(m,1) ,b=(-12,4) ,c=(2,-4)且 a∥b,则向量 c 在向量 a 方向 上的投影为 . 17.设 A 为曲线 M 上任意一点,B 为曲线 N 上任意一点,若 AB 的最小值存在且为 d ,则称 d 为曲 线 M,N 之间的距离. ( 1 )若曲线 M: y ? e x 为
2

( e 为自然对数的底数) ,曲线 N : y ? x ,则曲线 M , N 之间的距离

2

(2) 若曲线 M:y ? 1 ? x , 曲线 N:x ? 1 ? y ? 0 , 则曲线 M, N 之间的距离为 三、解答题(本大题共 5 小题,共 65 分.答题时应写出文字说明,证明过程或演算步骤)



18. (12 分)已知函数 f ? x ? ? 2 3 sin x cos x ? 2cos 2 x ,△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c, a ? 2 3 . (1)求 f ? x ? 的最大值及取得最大值时相应 x 值的集合; (2)若 f ? A? ? 2 , b ? c ? 6 ,求△ABC 的面积.
·3 ·

19 . ( 13 分 ) 已 知 数 列 ?an ? 为 等 差 数 列 , a1 ? 1 , 公 差 d ? 0 , 数 列 ?bn ? 为 等 比 数 列 , 且

a2 ? b1 , a6 ? b2 , a18 ? b3 .
(1)求数列 ?an ? 和数列 ?bn ? 的通项公式; (2)设数列 ?cn ? 满足对任意正整数 n 均有 式 102 ? c1 ? c2 ? L ? cm ? 103 的 m 的值.

c c1 c2 1 ? ? L ? n ? an 2 , m 为正整数,求所有满足不等 b1 b2 bn 2

20. (13 分)如图,已知在三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, AC ? 4 , BC ? 3 , BC1 ? 5 ,点 D 在线段 AB 上,

AD ? 3, BD ? 2 ,四边形 ACC1 A1 为正方形.
(1)求证: BC ? AC1 ; (2)请判断 AC1 是否平行于平面 B1CD (不用证明) ; (3)求三棱锥 C1 ? CDB1 的体积.

21. (14 分) 已知点 F 是抛物线

y 2 ? 2 px 的焦点,其中 p 是正常数,AB, CD 都是抛物线经过点 F

的弦,且 AB ? CD , AB 的斜率为 k ,且 k ? 0 , C , A 两点在 x 轴上方. (1) 求 1 ? 1 ; AB CD (2)①当 AF ? BF ?

4 2 p 时,求 k ; 3

②设△AFC 与△BFD 的面积之和为 S ,求当 k 变化时 S 的最小值.

·4 ·

22. (13 分)已知函数 f ( x) ? (1) 求 f ( x ) 的极值;

1 ? a ln x ,其中 a 为实常数. x

(2) 若对任意 x1 , x2 ?[1,3] ,且 x1 ? x2 ,恒有

1 1 ? ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) 成立,求 a 的取值范围. x1 x2

2015 届高三元月调考文科参考答案
一.选择题:BBACA 二.填空题:11. ? DBCDC

?3 ? ,1? ? ?1, ?? ? ;12.5;13. x ? y ? 1 ? 0 ; ?4 ?

14. ?

1 2 3 , 2 ;15. 2 10 ;16. ? 10 ;17. 7 2 4

18、 (1) f ( x) ? 3sin2 x ? cos2 x ? 1

? 2(

3 1 ? sin 2 x ? cos 2 x ) ? 1 ? 2 sin(2 x ? ) ? 1 2 2 6

???????(3 分)

? f ( x)max ? 3, 此时2x ?

?
6

? 2k? ?

?
2

, k ??

? f ( x)max ? 3, x的取值集合为?x x ? k? ?

?
6

, k ??? ???????(6 分)

? 1 (2) f ( A) ? 2,即sin(2 A ? ) ? 6 2


?
6

? 2A ?

?
6

?

13? 6

?2 A ?
2

?
6

?
2

5? ? ,即 A ? ???????(8 分) 6 3
2

a ? b ? c ? bc 在 ?ABC中,由余弦定理
又 b ? c ? 6, a ? 2 3

???????(10 分)
, bc ? 8

?12 ? (b ? c)2 ? 3bc ? 36 ? 3bc

1 所以 S?ABC ? bc sin A ? 2 3 2

???????(12 分)
·5 ·

19、 (1)由已知 a2 , a6 , a18 成等比数列,

?a62 ? a2a18 ,(a1 ? 5d )2 ? (a1 ? d )(a1 ? 17d ) , 8d 2 ? 8a1d ? 0 ?????(2 分)
由 d ? 0, a1 ? 1,?a n ? 为等差数列? a1 ? d ? 1, an ? n 又 b1 ? 2, b2 ? 6, b3 ? 18 , ?bn ? 为等比数列?bn ? 2 ? 3n?1 (2) Q ????(4 分) ????(7 分)

c1 c2 c 1 ? ? L ? n ? n2 b1 b2 bn 2

c 1 ?当n ? 1时, 1 ? b1 2

c1 ? 1

???????(8 分)

cn ?1 cn 1 2 ? c1 ?b ?L ? b ? b ? 2 n ? 1 n ?1 n 当 n ? 2时,? 相减得 cn ? (2n ? 1) ? 3n?1 c c 1 ? 1 ? L ? n ?1 ? ( n ? 1)2 ? bn ?1 2 ? b1
综合得 cn ? (2n ? 1) ? 3n?1 ???????(10 分)

cn ? (2n ? 1) ? 3n?1 ? 0,c1 ? 1, c1 ? c2 ? 10 , c1 ? c2 ? c3 ? 55, c1 ? c2 ? c3 ? c4 ? 244
c1 ? c2 ? c3 ? c4 ? c5 ? 973, c1 ? c2 ? c3 ? c4 ? c5 ? c6 ? 3646
? m ? 4,5

??????(13 分)

20、 (1) ?ABC 中, AC ? 4, BC ? 3, AB ? 5

? ?ACB ? 90 ,即 BC ? A C
?BCC1 中, BC ? 3,CC1 ? 4, BC1 ? 5

???????(2 分)

? BC ? CC 1 而 CC1 ? AC ? C ? BC ? 平面 AAC 1 1C, BC ? AC1
(2) AC 1 与平面 B1CD 不平行 ??????(4 分) ????(7 分)

(3)由已知易知 AC ? 平面 BCC1 , AB : DB ? 5 : 2 ????(9 分)

2 1 1 16 2 ??(13 分) ? VC1 ? B1DC ? VD ? B1C1C ? VA? B1C1C ? ? ? ? 3 ? 4 ? 4 ? 5 5 3 2 5
p 21、 (1)设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), AB : y ? k ( x ? ) 2
·6 ·

? y 2 ? 2 px 1 2 2 ? 2 2 2 由? p 得 k x ? p (k ? 2) x ? k p ? 0 4 y ? k(x ? ) ? ? 2
x1 ? x2 ? k2 ? 2 p2 p, x1 ? x2 ? 2 k 4
??????(2 分)

k 2 ?1 2p 由抛物线定义得 AB ? AF ? BF ? x1 ? x2 ? p ? k2
同理用 ?

1 换k,得 CD ? (k 2 ? 1)2 p k
???????(5 分)

1 1 1 ? ? AB CD 2 p

p p p p2 (2)① AF ? BF ? (x1 ? )(x 2 ? ) ? x1x 2 ? ( x1 ? x2 ) ? 2 2 2 4 p2 k 2 ? 2 p2 k 2 ? 1 2 ? ? ? ?p 2 k2 2 k2 4 2 k2 ?1 4 当 AF ? BF ? p 时 2 ? p 2 ? p 2 , k 3 3 ?
又 k ? 0 ,解得 k ? 3 ②由①同理知 CF ? DF ? (k 2 ? 1) p2 , AF ? BF ? ???????(8 分)

?????(9 分)

k 2 ?1 2 ?p k2

由变形得 BF ?

k 2 ? 1 p2 (k 2 ? 1) ? p 2 , CF ? , ???????(10 分) k 2 AF DF

又 AB ? CD ? S ?

1 1 AF ? CF ? BF ? DF 2 2
???????(12 分)

DF k 2 ? 1? 2 1 ? AF 2 ? ? (k ? 1) ? ?p 2? |AF| k 2 ? ? DF ?
? (k 2 ? 1)(1 ? 1 2 2 ) p ? 2k p 2 ? 2 p 2 2 k k

AF 2 DF 1 1 “?” ? k ? 1, ? 1, (k ? 1) ? (1 ? 2 ) ? k ? 1 k DF AF k
2 即当 k ? 1 时 S 有最小值 2 p

???????(14 分)

·7 ·

22、 (1)由已知 f ( x ) 的定义域为 (0, ??) ???????(1 分)

f '(x ) ?

ax ? 1 x2

???????(2 分)

1 1 a ? 0 时, f (x ) 在 (0, ) 上单调递减,在 ( , ??) 上单调递增 a a 1 当 x ? 时 f ? x ? 有极小值 a ? a ln a ,无极大值 ????(4 分) a
a ? 0 时, f (x ) 在 (0, ??) 递减, f ? x ? 无极值
(2)由 | f (x 1 ) ? f (x 2 ) |? ????(6 分)

1 1 ? , ?x 1 , x 2 ?[1,3], x 1 ? x 2 恒成立,得 x1 x 2

? ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ? ? ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ? ? ? ? f ( x1 ) ? ? 即? ? f ( x1 ) ? ? ?

1 1 ? x1 x2 1 1 ? x2 x1

对 ?x 1 , x 2 ?[1,3], x 1 ? x 2 恒成立???(8 分)

1 1 ? f ( x2 ) ? x1 x2 1 1 ? f ( x2 ) ? x1 x2

对 ?x 1 , x 2 ?[1,3], x 1 ? x 2 恒成立??(10 分)

? 有 g (x ) ? f (x ) ?

1 ? a ln x 在[1,3]递增 x 1 1 2 h( x ) ? f ( x ) ? ? a ln x ? 在[1,3]递减 x x x

a?0 ? ? 从而有 ? 对 x ? [1,3]恒成立 a 2 ax ? 2 h '( x) ? ? 2 ? ?0 ? 2 x x x ?

? 0?a ?

2 3

???????(13 分)

·8 ·


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