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2016-2017学年苏教版必修四 第1章 三角函数 单元测试1


第1章

三角函数(B)

(时间:120 分钟 满分:160 分) 一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分) 1 1.已知 cosα= ,α∈(370° ,520° ),则 α=________. 2 2.若 sinx· cosx<0,则角 x 的终边位于第________象限. 4 π 3.已知 tan(-

α- π)=-5,则 tan( +α)的值为________. 3 3 1 π 4.如果 cosα= ,且 α 是第四象限的角,那么 cos(α+ )=________. 5 2 5.函数 f(x)=cos(3x+φ)的图象关于原点成中心对称,则 φ=________. sinθ+cosθ 6.若 =2,则 sinθcosθ 的值是________. sinθ-cosθ

7.已知函数 y=2sin (ωx+φ))(ω>0)在区间[0,2π]的图象如图,那么 ω=________. 8.设 θ 是第二象限角,则点 P(sinθ,cosθ)落在第________象限. π 9.将函数 y=sin(x-θ)的图象 F 向右平移 个单位长度得到图象 F′,若 F′的一条对称 3 π 轴是直线 x= ,则 θ 的所有可能取值的集合是________. 4 x 3π? 1 10.在同一平面直角坐标系中,函数 y=cos? ?2+ 2 ?(x∈[0,2π])的图象和直线 y=2的交点 个数是______. 5π 2π 2π 11.设 a=sin ,b=cos ,c=tan ,则 a,b,c 按从小到大的顺序是________. 7 7 7 12.

函数 y=Asin(ωx+φ)(A、ω、φ 为常数,A>0,ω>0)在闭区间[-π,0]上的图象如图所示, 则 ω=________. π 13.设定义在区间(0, )上的函数 y=6cosx 的图象与 y=5tanx 的图象交于点 P,过点 P 2 作 x 轴的垂线,垂足为 P1,直线 PP1 与函数 y=sinx 的图象交于点 P2,则线段 P1P2 的长 为________. 14.给出下列命题: (1)函数 y=sin|x|不是周期函数; (2)函数 y=tanx 在定义域内为增函数; 1 π (3)函数 y=|cos2x+ |的最小正周期为 ; 2 2 π π (4)函数 y=4sin(2x+ ),x∈R 的一个对称中心为(- ,0). 3 6 其中正确命题的序号是________. 二、解答题(本大题共 6 小题,共 90 分)

π 3π sin?α- ?cos? +α?tan?π-α? 2 2 15.(14 分)已知 α 是第三象限角,f(α)= . tan?-α-π?sin?-π-α? (1)化简 f(α); 3 1 (2)若 cos(α- π)= ,求 f(α)的值. 2 5

4sinθ-2cosθ 6 16.(14 分)已知 = ,求下列各式的值. 3sinθ+5cosθ 11 5cos2θ (1) 2 ; sin θ+2sin θcos θ-3cos2θ 2 (2)1-4sin θcos θ+2cos θ.

1 17.(14 分)已知 sin α+cos α= , 5 3 求:(1)sin α-cos α;(2)sin α+cos3α.

π 18.(16 分)已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|< )的部分图象如图所示. 2 (1)求函数 f(x)的解析式; (2)如何由函数 y=2sinx 的图象通过适当的变换得到函数 f(x)的图象,写出变换过程.

π 19.(16 分)函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0≤φ≤ )在 x∈(0,7π)内只取到一个最大值和 2 一个最小值,且当 x=π 时,ymax=3;当 x=6π,ymin=-3. (1)求出此函数的解析式; (2)求该函数的单调递增区间; (3)是否存在实数 m, 满足不等式 Asin(ω -m2+2m+3+φ)>Asin(ω -m2+4+φ)?若存 在,求出 m 的范围(或值),若不存在,请说明理由.

20.(16 分)已知某海滨浴场海浪的高度 y(米)是时间 t(0≤t≤24,单位:小时)的函数,记 作:y=f(t),下表是某日各时的浪高数据: 0 3 6 9 12 15 18 21 24 t(时) 1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1.0 0.5 0.99 1.5 y(米) 经长期观测,y=f(t)的曲线,可近似地看成是函数 y=Acosωt+b.

(1)根据以上数据,求函数 y=Acosωt+b 的最小正周期 T,振幅 A 及函数表达式; (2)依据规定,当海浪高度高于 1 米时才对冲浪爱好者开放,请依据(1)的结论,判断一天 内的上午 8∶00 时至晚上 20∶00 时之间,有多少时间可供冲浪者进行运动?

第1章
1.420° 2.二或四 3.5 2 6 4. 5

三角函数(B)

1 解析 ∵α 是第四象限的角且 cosα= . 5 2 6 ∴sinα=- 1-cos2α=- , 5 π 2 6 ∴cos(α+ )=-sinα= . 2 5 π 5.kπ+ (k∈Z) 2 解析 若函数 f(x)=cos(3x+φ)的图象关于原点成中心对称,则 f(0)=cosφ=0,∴φ=kπ π + ,(k∈Z). 2 3 6. 10 sinθ+cosθ tanθ+1 解析 ∵ = =2, sinθ-cosθ tanθ-1 ∴tanθ=3. sinθcosθ tanθ 3 ∴sinθcosθ= 2 = . 2 = 2 10 sin θ+cos θ tan θ+1 7.2 2π 解析 由图象知 2T=2π,T=π,∴ =π,ω=2. ω 8.四 解析 由已知 θ 是第二象限角,∴sinθ>0, cosθ<0,则点 P(sinθ,cosθ)落在第四象限. 7π 9.{θ|θ=kπ- ,k∈Z} 12 π ? π? ? 解析 将 y=sin(x-θ)向右平移 个单位长度得到的解析式为 y=sin? ??x-3?-θ?=sin(x- 3 π π π π π -θ).其对称轴是 x= ,则 - -θ=kπ+ (k∈Z). 3 4 4 3 2

7π 7 ∴θ=-kπ- (k∈Z).即 θ=kπ- π,k∈Z. 12 12 10.2 x 3π? x 1 解析 函数 y=cos? ?2+ 2 ?=sin2,x∈[0,2π],图象如图所示,直线 y=2与该图象有两个 交点.

11.b<a<c 5π 5π 2π 解析 ∵a=sin =sin(π- )=sin . 7 7 7 2π π 8π 7π - = - >0. 7 4 28 28 π 2π π ∴ < < . 4 7 2 π π? 又 α∈? ?4,2?时,sinα>cosα. 2π 2π ∴a=sin >cos =b. 7 7 π ? 又 α∈? ?0,2?时,sinα<tanα. 2π 2π ∴c=tan >sin =a. 7 7 ∴c>a.∴c>a>b. 12.3 解析 由函数 y=Asin(ω x+φ )的图象可知: T π 2 π 2 =(- )-(- π)= ,∴T= π. 2 3 3 3 3 2π 2 ∵T= = π,∴ω=3. ω 3 2 13. 3 ?y=6cosx, ? 解析 由? 消去 y 得 6cosx=5tanx. ? ?y=5tanx 整理得 6cos2x=5sinx,6sin2x+5sinx-6=0,(3sinx-2)(2sinx+3)=0, 2 3 所以 sinx= 或 sinx=- (舍去). 3 2 2 点 P2 的纵坐标 y2= , 3 2 所以 P1P2= . 3 14.(1)(4) 解析 本题考查三角函数的图象与性质.(1)由于函数 y=sin|x|是偶函数,作出 y 轴右侧 的图象,再关于 y 轴对称即得左侧图象,观察图象可知没有周期性出现,即不是周期函 数;(2)错,正切函数在定义域内不单调,整个图象具有周期性,因此不单调;(3)由周期 π 1 π π 函数的定义 f(x+ )=|-cos2x+ |≠f(x),∴ 不是函数的周期;(4)由于 f(- )=0,故根 2 2 2 6 π 据对称中心的意义可知(- ,0)是函数的一个对称中心,故只有(1)(4)是正确的. 6

π 3π sin?α- ?cos? +α?tan?π-α? 2 2 15.解 (1)f(α)= tan?-α-π?sin?-π-α? π -sin? -α?sinα?-tanα? 2 = ?-tanα?sinα cosαsinαtanα = -tanαsinα =-cosα. 3π 3π 1 (2)∵cos(α- )=cos( -α)=-sinα= . 2 2 5 1 ∴sinα=- . 5 2 6 ∵α 是第三象限角,∴cosα=- . 5 2 6 ∴f(α)=-cosα= . 5 4sinθ-2cosθ 6 16.解 由已知 = , 3sinθ+5cosθ 11 4tanθ-2 6 ∴ = . 3tanθ+5 11 解得:tanθ=2. 5 5 (1)原式= 2 = =1. tan θ+2tanθ-3 5 (2)原式=sin2θ-4sinθcosθ+3cos2θ sin2θ-4sinθcosθ+3cos2θ = sin2θ+cos2θ tan2θ-4tanθ+3 1 = =- . 5 1+tan2θ 1 24 17.解 (1)由 sinα+cosα= ,得 2sinαcosα=- , 5 25 24 49 2 ∴(sinα-cosα) =1-2sinαcosα=1+ = , 25 25 7 ∴sinα-cosα=± . 5 3 3 (2)sin α+cos α=(sinα+cosα)(sin2α-sinαcosα+cos2α)=(sinα+cosα)(1-sinαcosα), 12 1 由(1)知 sinαcosα=- 且 sinα+cosα= , 25 5 12 1 37 1+ ?= . ∴sin3α+cos3α= ×? 25? 125 5 ? 18.解 (1)由图象知 A=2. 5π π 2π f(x)的最小正周期 T=4×( - )=π,故 ω= =2. 12 6 T π 将点( ,2)代入 f(x)的解析式得 6 π π π sin( +φ)=1,又|φ|< ,∴φ= , 3 2 6 π 故函数 f(x)的解析式为 f(x)=2sin(2x+ ). 6 (2)变换过程如下:

1 19.解 (1)由题意得 A=3, T=5π?T=10π, 2 2π 1 1 π ∴ω= = .∴y=3sin( x+φ),由于点(π,3)在此函数图象上,则有 3sin( +φ)=3, T 5 5 5 π π π 3π ∵0≤φ≤ ,∴φ= - = . 2 2 5 10 1 3π ∴y=3sin( x+ ). 5 10 π 1 3π π (2)当 2kπ- ≤ x+ ≤2kπ+ 时,即 10kπ-4π≤x≤10kπ+π 时,原函数单调递增. 2 5 10 2 ∴原函数的单调递增区间为[10kπ-4π,10kπ+π](k∈Z). ?-m2+2m+3≥0, ? (3)m 满足? 2 ? ?-m +4≥0, 解得-1≤m≤2. ∵-m2+2m+3=-(m-1)2+4≤4, ∴0≤ -m2+2m+3≤2, 同理 0≤ -m2+4≤2. 由(2)知函数在[-4π,π]上递增,若有: Asin(ω -m2+2m+3+φ)>Asin(ω -m2+4+φ),只需要: 1 1 -m2+2m+3 > -m2+4 , 即 m> 成 立 即 可 , 所 以 存 在 m ∈ ( , 2] , 使 2 2 Asin(ω -m2+2m+3+φ)>Asin(ω -m2+4+φ)成立. 20.解 (1)由表中数据知周期 T=12, 2π 2π π ∴ω= = = , T 12 6 由 t=0,y=1.5,得 A+b=1.5. 由 t=3,y=1.0,得 b=1.0. ∴A=0.5,b=1, 1 π ∴y= cos t+1. 2 6 (2)由题知,当 y>1 时才可对冲浪者开放, 1 π ∴ cos t+1>1, 2 6 π π π π ∴cos t>0,∴2kπ- < t<2kπ+ , 6 2 6 2 即 12k-3<t<12k+3.① ∵0≤t≤24,故可令①中 k 分别为 0,1,2, 即 0≤t<3 或 9<t<15 或 21<t≤24, ∴在规定时间上午 8∶00 至晚上 20∶00 之间, 有 6 个小时时间可供冲浪者运动, 即上午 9∶00 至下午 3∶00.


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