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第3讲 函数的奇偶性与周期性 3


第3讲
教学重点:
1.判断函数的奇偶性.

函数的奇偶性与周期性

2.利用函数奇偶性、周期性求函数值及求参数值. 3.考查函数的单调性与奇偶性的综合应用.

复习指导:
本讲复习时应结合具体实例和函数的图象,理解函数的奇偶性、周期性的概念,明确它们在 研究函数中的作用和功能.重点解决综合

利用函数的性质解决有关问题.

基础梳理
1.奇、偶函数的概念 一般地,如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x,都有 f(-x)=f(x),那么函数 f(x)就 叫做偶函数. 一般地,如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x,都有 f(-x)=-f(x),那么函数 f(x) 就叫做奇函数. 奇函数的图象关于原点对称;偶函数的图象关于 y 轴对称. 2.奇、偶函数的性质 (1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同,偶函数在关于原点对称的区间上的单调 性相反. (2)在公共定义域内 ①两个奇函数的和是奇函数,两个奇函数的积是偶函数; ②两个偶函数的和、积都是偶函数; ③一个奇函数,一个偶函数的积是奇函数. 3.周期性 (1)周期函数:对于函数 y=f(x),如果存在一个非零常数 T,使得当 x 取定义域内的任何值 时,都有 f(x+T)=f(x),那么就称函数 y=f(x)为周期函数,称 T 为这个函数的周期. (2)最小正周期:如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正 数就叫做 f(x)的最小正周期.

一条规律 奇、偶函数的定义域关于原点对称. 函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件.

两个性质 (1)若奇函数 f(x)在 x=0 处有定义,则 f(0)=0. (2)设 f(x),g(x)的定义域分别是 D1,D2,那么在它们的公共定义域上: 奇+奇=奇,奇×奇=偶,偶+偶=偶,偶×偶=偶,奇×偶=奇. 三种方法 判断函数的奇偶性,一般有三种方法:(1)定义法;(2)图象法;(3)性质法. 三条结论 (1)若对于 R 上的任意的 x 都有 f(2a-x)=f(x)或 f(-x)=f(2a+x), 则 y=f(x)的图象关 于直线 x=a 对称. (2)若对于 R 上的任意 x 都有 f(2a-x)=f(x), 且 f(2b-x)=f(x)(其中 a<b), 则: y=f(x) 是以 2(b-a)为周期的周期函数. (3)若 f(x+a)=-f(x)或 f(x+a)= 数,其中一个周期为 T=2a; (3)若 f(x+a)=f(x+b)(a≠b),那么函数 f(x)是周期函数,其中一个周期为 T=2|a-b|. 1

f? x?

或 f(x+a)=-

1

f? x?

, 那么函数 f(x)是周期函

双基自测 ? 5? 1.(2011·全国)设 f(x)是周期为 2 的奇函数,当 0≤x≤1 时,f(x)=2x(1-x),则 f?- ? ? 2?
=( 1 A.- 2 ). 1 B.- 4 1 C. 4 1 D. 2

1 2.(2012·福州一中月考)f(x)= -x 的图象关于(

x

).

A.y 轴对称 C.坐标原点对称

B.直线 y=-x 对称 D.直线 y=x 对称

3.(2011·广东)设函数 f(x)和 g(x)分别是 R 上的偶函数和奇函数,则下列结论恒成立的是 ( ). B.f(x)-|g(x)|是奇函数 D.|f(x)|-g(x)是奇函数

A.f(x)+|g(x)|是偶函数 C.|f(x)|+g(x)是偶函数

4.(2011·福建)对于函数 f(x)=asin x+bx+c(其中,a,b∈R,c∈Z),选取 a,b,c 的 一组值计算 f(1)和 f(-1),所得出的正确结果一定不可能是( A.4 和 6 C.2 和 4
2

).

B.3 和 1 D.1 和 2

5.(2011·浙江)若函数 f(x)=x -|x+a|为偶函数,则实数 a=________.

考向一
例 1、下列函数: ①f(x)= 1- x +
2

判断函数的奇偶性

x2-1;②f(x)=x3-x;③f(x)=ln(x+ x2+1);④f(x)=
).

3 -3 ; 2

x

-x

1-x ⑤f(x)=lg .其中奇函数的个数是( 1+x A.2 B.3 C.4 D.5

训练 1、已知定义域为 R 的函数 f ( x) ?

?2 x ? b 是奇函数。求 a, b 的值; 2 x ?1 ? a

考向二
2

奇偶性与函数解析式

例 2、已知 f(x)=ax +bx+3a+b 是偶函数,且定义域为[a-1,2a] ,则 a=_____________, b=____________.

训练 2、 (1)已知函数 f ( x) ? x ? ax ? bx ? 8 ,且 f (?2) ? 10 ,则 f (2) =
5 3



(2)函数 f ( x ) ? x ? sin x ? 1 的最大值为 M,最小值为 m,求 M+m 的值
3

例 3 、 已 知 f ( x) 为 奇 函 数 , 当 x ? 0 时 , f ( x) ? (1 ? x) x , 则 当 x ? 0 时 , f ( x) ? ___________。

训练 3、 若是 f ( x) 偶函数,g ( x) 是奇函数, 且 f ( x) ? g ( x) ?

g ( x) ? ___________。

1 , 则 f ( x) ? ___________, x ?1

考向三
x

函数奇偶性的应用

例 4:方程 lg ? cos x ? 0 的根的个数为___________个。

根据函数的奇偶性,讨论函数的单调区间是常用的方法.奇函数在对称区间上的 单调性相同; 偶函数在对称区间上的单调性相反. 所以对具有奇偶性的函数的单调性的研究, 只需研究对称区间上的单调性即可. 训练 4、方程 lg ? cos x ? 0 的根的个数为___________个。
x

课后习题:

1、 下列函数中既是奇函数,又在定义域上为增函数的是(



1 1 3 A. y ? 3x ? 1 B. y ? C. y ? 1 ? D. y ? x x x 2、如果奇函数 f ( x) 在区间 [3, 7] 上是增函数且最大值为 5 ,那么 f ( x) 在区间 ?? 7,?3? 上是
( ) A. 增函数且最小值是 ? 5 C. 减函数且最大值是 ? 5
2

B. 增函数且最大值是 ? 5 D. 减函数且最小值是 ? 5

3 、若函数 f ( x) ? (k ? 2) x ? (k ? 1) x ? 3 的图象关于 y 轴对称,则 f ( x) 的递减区间是 _______。 4、 已知 f ( x) ? x
2011

b ? ax3 ? ? 8 , f (?2) ? 10 ,则 f (2) ? ________。 x

5、设函数 f ( x ) ? x ? 2 x ? 1
2

(1)证明 f ( x) 是偶函数; (2)画出这个函数的图象; (3) g ( x ) ? f ( x ) ? a 有且仅有两个零点,求 a 的范围


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