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高二数学竞赛班二试平面几何讲义.第十讲 几何不等式doc3


高二数学竞赛班二试平面几何讲义
第十讲 几何不等式
班级 姓名

一、知识要点: 1.Ptolemy(托勒密)不等式 若 ABCD 为四边形,则 AB ×CD+AD ×BC ≥ AC ×BD 。等号成立时 A,B,C,D 四点共圆 2.Erdos - Mordell (埃尔多斯 —莫德尔)不等式 设 P 是 ΔABC 内任意一点,P 到 ΔABC 三边 BC,CA,AB 的距离分别为 PD=p,PE=q,PF=r ,记 PA=x,PB=y,PC=z 。则 x+y+z ≥ 2*(p+q+r) 证明:因为 P,E,A,F 四点共圆, PA 为直径,则有 :EF=PA*sinA 。 在 ΔPEF 中,据余弦定理得 : EF^2=q^2+r^2-2*q*r*cos( π -A)=q^2+r^2-2*q*r*cos(B+C) =(q*sinC+r*sinB)^2+(q*cosC-r*cosB)^2 ≥ (q*sinC+r*sinB)^2 , 所以 PA*sinA ≥ q*sinC+r*sinB ,即 PA=x ≥ q*(sinC/sinA)+r*(sinB/sinA) (1) 。 同理可得 : PB=y≥ r*(sinA/sinB)+p*(sinC/sinB) (2) , PC=z≥ p*(sinB/sinC)+q*(sinA/sinC) (3) 。 由 (1)+(2)+(3) 得 : x+y+z ≥ p*(sinB/sinC+sinC/sinB)+q*(sinC/sinA+sinA/sinC)+r*(sinA/sinB+si nB/sinA) ≥ 2*(p+q+r) 。命题成立。 3.Weitzenberk (外森比克)不等式: 若 a, b, c 为三角形三边长, S 是三角形面积 , 则: a2 ? b 2 ? c 2 ? 4 3 S 。等 号成立当且仅当 ?ABC 为等边三角形。 1 证明:只需证明 a 2 ? b 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cos C ? 4 3 ? ab sin C , 2 ? 只需证明 a2 ? b2 ? ab(cos C ? 3sin C) , a 2 ? b 2 ? 2absin(C ? ) ,成立。 6 4.Euler (欧拉)不等式 设 ? ABC 外接圆与内切圆的半径分别为 R 、 r, 则 R≥ 2r , 当且仅当 ? ABC 为正三角形时取等号。 5.等周定理(等周不等式) ①周长一定的所有图形中,圆的面积最大;面积一定的所有图形中, 圆的周长最小。 ②周长一定的所有 n 边形中,正 n 边形的面积最大;面积 一定的所有 n 边形中,正 n 边形的周长最小。 6.Fermat (费马)问题 到三角形的三个顶点的距离之和最短的点叫做费尔马点。 对于一个顶角不 超过 120? 的三角形,费尔马点是对各边的张角都是 120? 的点。 对于一个顶角超 过 120? 的三角形,费尔马点就是最大的内角的顶点。

1

二、例题精析:
例 1. 如图,设三角形的外接圆 O 的半径为 R,内心为 I,∠B=60?,∠A<∠C,∠A 的外角平分线交圆 O 于 E. 证明:(1) IO=AE; (2) 2R<IO+IA+IC<(1+ 3)R.
E A

O I B C

例 2. 水平直线 m 通过圆 O 的中心,直线 l?m,l 与 m 相交于 M,点 M 在圆心的 右侧,直线 l 上不同的三点 A,B,C 在圆外,且位于直线 m 上方,A 点离 M 点 最远,C 点离 M 点最近,AP,BQ,CR 为圆 O 的三条切线,P,Q,R 为切点. 试证:(1)l 与圆 O 相切时,AB?CR+BC?AP=AC?BQ;(2)l 与圆 O 相交时, AB?CR+BC?AP<AC?BQ; (3)l 与圆 O 相离时, AB?CR+BC?AP>AC?BQ.
l

A

P
r

Q R
d

B C M
m

O

例 3. 如图,在△ ABC 中,P、Q、R 将其周长三等分,且 P、Q 在 AB 边上, S?PQR 2 求证: > . S?ABC 9
A

P
H N Q B R C

2

三、精选习题:
1.如图,在△ ABC 中,P 为边 BC 上任意一点,PE∥BA,PF∥CA,若 S△ ABC=1, 4 证明:S△ BPF、S△ PCE、S□PEAF 中至少有一个不小于9 (SXY…Z 表示多边形 XY…Z 的 面积).
A E F B PM N C
B F A E C

MP N

2.设凸四边形 ABCD 的面积为 1,求证:在它的边上(包括顶点)或内部可以找出 1 四个点,使得以其中任意三点为顶点所构成的四个三角形的面积大于4.
D A E

B

C

3.在圆 O 内,弦 CD 平行于弦 EF,且与直径 AB 交成 45° 角,若 CD 与 EF 分别 交直径 AB 于 P 和 Q,且圆 O 的半径为 1,求证:PC?QE+PD?QF ? 2.
C E A M O Q N F B P D

3

四、拓展提高:
4.设一凸四边形 ABCD,它的内角中仅有?D 是钝角,用一些直线段将该凸四边 形分割成 n 个钝角三角形,但除去 A、B、C、D 外,在该四边形的周界上, 不含分割出的钝角三角形顶点.试证 n 应满足的充分必要条件是 n≥4.
D A E F C

B

5.已知边长为 4 的正三角形 ABC.D、E、F 分别是 BC、CA、AB 上的点,且 |AE|=|BF|=|CD|=1,连结 AD、BE、CF,交成△ RQS.点 P 在△ RQS 内及边上 移动,点 P 到△ ABC 三边的距离分别记作 x、y、z. (1)求证当点 P 在△ RQS 的顶点位置时乘积 xyz 有极小值; (2)求上述乘积 xyz 的极小值.
A S
l

E
y

G F R

z x

H Q D C

P

B

4

高二数学竞赛班二试平面几何讲义 第十讲 几何不等式
例 1. 如图,设三角形的外接圆 O 的半径为 R,内心为 I,∠B=60?,∠A<∠C,∠A 的外角平分线交圆 O 于 E. 证明:(1) IO=AE; (2) 2R<IO+IA+IC<(1+ 3)R. 证明:∵∠B=60° ,∴∠AOC=∠AIC=120° . ∴A,O,I,C 四点共圆.圆心为弧 AC 的中点 F,半径为 R. ∴O 为⊙F 的弧 AC 中点, 设 OF 延长线交⊙F 于 H, AI 延长线交弧 BC 于 D. 由∠EAD=90° (内外角平分线)知 DE 为⊙O 的直径.∠OAD=∠ODA. 但∠OAI=∠OHI,故∠OHI=∠ADE,于是 RtΔDAE≌RtΔHIO ∴AE=IO. 由 ΔACH 为正三角形,易证 IC+IA=IH. 由 OH=2R.∴IO+IA+IC=IO+IH>OH=2R. 设∠OHI=α,则 0<α<30° . ∴IO+IA+IC=IO+IH=2R(sinα+cosα)=2R 2sin(α+45° ) 又 α+45° <75° ,故 IO+IA+IC<2 2R( 6+ 2)/4=R(1+ 3)
E A

E

A

O I B C D

F

H

O I B C

例 2. 水平直线 m 通过圆 O 的中心,直线 l?m,l 与 m 相交于 M,点 M 在圆心 的右侧,直线 l 上不同的三点 A,B,C 在圆外,且位于直线 m 上方,A 点离 M 点最 远,C 点离 M 点最近,AP,BQ,CR 为圆 O 的三条切线,P,Q,R 为切点.试证:(1)l 与圆 O 相切时,AB?CR+BC?AP=AC?BQ;(2)l 与圆 O 相交时,AB?CR+BC?AP <AC?BQ;(3)l 与圆 O 相离时,AB?CR+BC?AP>AC?BQ. 证明:设 MA=a,MB=b,MC=c,OM=d, ⊙O 的半径=r.且设 k=d2-r2. 则当 k>0 时,点 M 在⊙O 外,此时,直线 l 与⊙O 相离; 当 k=0 时,点 M 在⊙O 上,此时,直线 l 与⊙O 相切; 当 k<0 时,点 M 在⊙O 内,此时,直线 l 与⊙O 相交. ∴ AP= a2+d2-r2= a2+k,同理,BQ= b2+k,CR= c2+k. 则 AB?CR+BC?AP-AC?BQ= AB?CR+BC?AP-(AB+BC)?BQ =BC× (AP-BQ)-AB× (BQ-CR) l 2 2 AP -BQ BQ2-CR2 A =BC× AP+BQ -AB× BQ+CR B Q (b-c)(a-b)(a+b) (a-b)(b-c)(b+c) P C R = - AP+BQ BQ+CR r d a+b b+c O M m =(a-b)(b-c)(AP+BQ-BQ+CR)

5

a· BQ+a· CR+b· CR-b· AP-c· AP-c· BQ . (AP+BQ)(BQ+CR) a2· BQ2-b2· AP2 (a2-b2)k 注意到 a?BQ-b?AP= b· AP+a· BQ =b· AP+a· BQ. 故 k>0 时,a?BQ-b?AP>0,k=0 时,a?BQ-b?AP=0,k<0 时,a?BQ-b?AP<0; 同理可得,k>0 时,b?CR-c?BQ>0,k=0 时,b?CR-c?BQ =0,k<0 时,b?CR -c?BQ <0; k>0 时,a?CR-c?AP>0,k=0 时,a?CR-c?AP =0,k<0 时,a?CR-c?AP <0; 即当 k>0 时,AB?CR+BC?AP-AC?BQ>0; 当 k=0 时,AB?CR+BC?AP-AC?BQ=0, 当 k<0 时,AB?CR+BC?AP-AC?BQ<0.故证. 、 例 3. 如图,在△ ABC 中,P、Q、R 将其周长三等分,且 P、Q 在 AB 边上, S?PQR 2 求证: > . S?ABC 9 1 证明:作△ ABC 及△ PQR 的高 CN、RH.设△ ABC 的周长为 1.则 PQ=3. S?PQR PQ· RH PQ AR 1 PQ 2 A 则 = AB· = · ,但 AB < ,于是 CN AB AC 2 AB >3, S?ABC P 1 1 1 1 1 1 AP≤AB-PQ<2-3=6,∴ AR=3-AP>6,AC<2, H AR 1 S?PQR 2 N 故AC>3,从而 > . R Q S?ABC 9 =(a-b)(b-c)
B C

1.如图,在△ ABC 中,P 为边 BC 上任意一点,PE∥BA, 4 PF∥CA,若 S△ ABC=1,证明:S△ BPF、S△ PCE、S□PEAF 中至少有一个不小于9(SXY…Z 表示多边形 XY…Z 的面积). A 证明:如图,三等分 BC 于 M、N,若点 P 在 BM 上(含点 M), E 2 4 则由于 PE∥AB, 则△ CPE∽△CBA. CP∶CB≥3. 于是 S△ PCE≥9. 同 F 4 C B PM N 理,若 P 在 NC 上(含点 N),则 S△ BPF≥9. BP 1 2 CP A 若点 P 在线段 MN 上.连 EF,设BC=r(3<r<3),则BC=1-r. E S△ BPF=r2,S△ PCE=(1-r)2. F 1 1 1 1 1 5 ∴ S△ BPF+S△ PCE=r2+(1-r)2=2r2-2r+1=2(r-2)2+2<2(3-2)2+2=9. C B MP N 4 于是 S□AEPF≥9. 故命题成立. 2.设凸四边形 ABCD 的面积为 1,求证:在它的边上(包括顶点)或内部可以找出 1 四个点,使得以其中任意三点为顶点所构成的四个三角形的面积大于4. 证明:考虑四边形的四个顶点 A、B、C、D,若△ ABC、△ BCD、△ CDA、 △ DAB 的面积,设其中面积最小的三角形为△ ABD.

6

1 ⑴ 若 S△ ABD>4,则 A、B、C、D 即为所求. 1 3 ⑵ 若 S△ ABD<4,则 S△ BCD>4,取△ BCD 的重心 G,则以 B、C、
D A E

1 D、G 这 4 点中的任意 3 点为顶点的三角形面积>4. 1 1 ⑶ 若 S△ ABD=4,其余三个三角形面积均> S△ ABD=4. B 1 3 由于 S△ ABC+S△ ACD=1,而 S△ ACD>4,故 S△ ABC<4=S△ BCD. ∴ 过 A 作 AE∥BC 必与 CD 相交,设交点为 E. A 1 1 则 ∵ S△ ABC>S△ ABD , 从 而 S△ ABE>S△ ABD= 4 . S△ ACE=S△ ABE> 4 , E h 1 S△ BCE=S△ ABC>4.即 A、B、C、E 四点即为所求. 1 1 ⑷ 若 S△ ABD=4,其余三个三角形中还有一个的面积=4,这个三 B 1 角形不可能是 △ BCD , ( 否则 ABCD 的面积 = 2 ) ,不妨设 S△ ADC= 1 S△ ABD=4.则 AD∥BC,四边形 ABCD 为梯形. 1 3 由于 S△ ABD=4,S△ ABC=4,故若 AD=a,则 BC=3a,设梯形的高=h, 则 2ah=1.设对角线交于 O,过 O 作 EF∥BC 分别交 AB、CD 于 E、F. ∴ AE∶EB=AO∶OC=AD∶BC=1∶3. a· 3+3a· 1 3 13 3 9 9 1 ∴ EF= 1+3 =2 a .S△ EFB=S△ EFC=2· a · h= ah= 2 4 16 32>4. 1 3 9 9 1 S△ EBC=S△ FBC=2· 3a· 于是 B、 C、 F、 E 四点为所求. 综 4h=8ah=16>2. 上可知所证成立. 又证:当 ABCD 为平行四边形时,A、B、C、D 四点即为所求. P 当 ABCD 不是平行四边形,则至少有一组对边的延长线必相交, 设延长 AD、BC 交于 E,且设 D 与 AB 的距离<C 与 AB 的距离, A 1 ⑴ 若 ED≤2AE,取 AE 中点 P,则 P 在线段 AD 上,作 PQ∥AB 3 3 交 BC 于 Q.若 PQ=a,P 与 AB 距离=h.则 AB=2a,SABQP=4SABE>4 3 SABCD=4. 1 3 1 P 即2(a+2a)h>4,ah>2. R D N 1 1 1 1 ∴ S△ APQ=S△ BPQ=2ah>4.S△ PAB=S△ QAB=ah>2>4.即 A、B、Q、 A P 为所求. 1 ⑵ 若 ED>2AE,取 AE 中点 P,则 P 在线段 DE 上,作 PR∥BC 交 CD 于 R, AN∥BC,交 CD 于 N,由于∠EAB+∠EBA<π,故 R 在线段 CD 上.N 在 DC 延
7
D

C

a

D F

O

3a

C

E C Q

B

E F C Q S B

1 长线上.作 RS∥AB ,交 BC 于 S ,则 RS=2 AB ,延长 AR 交 BC 于 F ,则 S△ FAB=SABCN>SABCD=1.问题化为上一种情况. 3.在圆 O 内,弦 CD 平行于弦 EF,且与直径 AB 交成 45° 角,若 CD 与 EF 分别 交直径 AB 于 P 和 Q,且圆 O 的半径为 1,求证:PC?QE+PD?QF<2. 证明:作 OM⊥CD,垂足为 M,交 EF 于 N,设 ON=n,OM=m. 则 CM=DM= 1-m2,EN=FN= 1-n2, 本题即证( 1-m2+m)( 1-n2 ? n)+( 1-m2-m)( 1-n2 ? n)<2. 展开得, 1-m2· 1-n2± mn<1. 2 2 移项,平方得,1-m -n +m2n2<1? 2mn+m2n2.?m2+n2>? 2mn. 取“+”号时,M、N 在点 O 同侧,此时 m≠n,总之,命题成立. (当 E、F 交换位置时,且 CD、EF 在点 O 异侧时,可能有 m=n.)
M O E A Q N F B P D

C

又证: PC2+PD2=(CM+OM)2+(CM-OM)2=2(CM2+OM2)=2, 同理 QE2+QF2=2. ∴ 4=PC2+PD2+QE2+QF2=(PC2+QE2)+(PD2+QF2)≥2 (PC?QE+PD?QF).等号 当且仅当 PC=QE,PD=QF 时成立.但由已知,此二式不成立.故证. 4.设一凸四边形 ABCD,它的内角中仅有?D 是钝角,用一些直线段将该凸四边 形分割成 n 个钝角三角形,但除去 A、B、C、D 外,在该四边形的周界上,不 含分割出的钝角三角形顶点.试证 n 应满足的充分必要条件是 n≥4. 证明 充分性 D ⑴当 n=4 时,如图,只要连 AC,并在 ΔABC 内取一点 F,使∠AFB、 A E ∠BFC、∠CFA 都为钝角(例如,可以取 ΔABC 的 Fermat 点,由于 ΔABC F 是锐角三角形,故其 Fermat 点在其形内).于是,ΔADC、ΔAFB、ΔBFC、 ΔAFC 都是钝角三角形. ⑵当 n=5 时,可用上法把凸四边形分成四个钝角三角形.再在 AF B 上任取一点 E,连 EB,则 ΔAEB 也是钝角三角形,这样就得到了 5 个钝 角三角形. 一般的,由⑴得到了 4 个钝角三角形后,只要在 AF 上再取 n-4 个点 E1、 E2、…En-4,把这些点与 B 连起来,即可得到均是钝角三角形的 n 个三角形. 必要性 n=2 时,连 1 条对角线把四边形分成了 2 个三角形,但其中最多只能有 1 个 钝角三角形. n=3 时,无法从同一顶点出发连线段把四边形分成 3 个三角形,现连了 1 条 对角线 AC 后,再连 B 与 AC 上某点得到线段,此时无法使得到的两个三角形都 是钝角三角形. ∴当 n=2,3 时无法得到满足题目要求的解.只有当 n≥4 时才有解.

C

8

5.已知边长为 4 的正三角形 ABC.D、E、F 分别是 BC、CA、AB 上的点,且 |AE|=|BF|=|CD|=1,连结 AD、BE、CF,交成△ RQS.点 P 在△ RQS 内及边上移 动,点 P 到△ ABC 三边的距离分别记作 x、y、z. ⑴ 求证当点 P 在△ RQS 的顶点位置时乘积 xyz 有极小 A 值; E ⑵ 求上述乘积 xyz 的极小值. S 解: 利用面积,易证:⑴ 当点 P 在△ ABC 内部及边上 z y H G l 移动时,x+y+z 为定值 h=2 3; P F x R ⑵过 P 作 BC 的平行线 l,交△ ABC 的两边于 G、H.当 Q B 点 P 在线段 GH 上移动时,y+z 为定值,从而 x 为定值. D ⑶设 y∈[α,β],m 为定值.则函数 u=y(m-y)在点 y=α 或 y=β 时取得极小值. 于是可知,过 R 作 AB、AC 的平行线,过 Q 作 AB、BC 的平行线,过 S 作 BC、AC 的平行线,这 6 条平行线交得六边形 STRUQV,由上证,易得只有当点 P 在此六点上时,xyz 取得极小值.由对称性易知,xyz 的值在此六点处相等. EA CD BS BS 12 12 3 9 SE 1 3 由AC· DB· SE=1,得BE=13,x=13· 4h=13h,y=BEh=13h,z=13h. 3 648 ∴ xyz=(13)3h3=2197 3.
A TS
l

C

E

F B

R U

V Q D

C

9


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