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重庆八中高2012级高三(下)第一次月考数 学 试 题(理)


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高 2012 级高三(下)第一次月考

数 学 试 题(理)
本试题分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。共 150 分,考试时间 120 分钟。

第Ⅰ卷(选择题,共 50 分)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个备选项中,只有一项是符 合题目要求的. 1.复数

i3 ? 1? i
1 1 ? i 2 2
B.

A.

1 1 ? i 2 2

C. ?

1 1 ? i 2 2

D. ?

1 1 ? i 2 2

2.已知集合 M ? {x x ? 1} , N ? {x A. ? 3.把函数 y ? sin(2 x ? A. y ? sin 2 x B. (0,1)

1 ? 1} ,则 M x

N?
D. (?1,1)

C. (?1, 0)

?

? 个单位长度得到函数 6 6 ? ? B. y ? sin(2 x ? ) C. y ? sin(2 x ? ) D. y ? cos 2 x 6 3
) 的图象向右平移

4.已知向量 a , b 满足 a ? 1 , b = 4 , a ? (b ? a) ? 3 ,则向量 a 与 b 的夹角为 A.

? 6

B.

? 3

C.

? 2

D.

2? 3

5.在 ?ABC 中, AB ? 2 , A ? 45 , C ? 30 ,则 AC ? A. 3 ? 1 B. 2 ? 1 C. 3 D. 2

6.已知数列 {an } 的前 n 项和 Sn ? 2an (n ? N *) ,则下列判断中正确的是 A. {an } 是等差数列 C. {an } 既是等差数列,又是等比数列 B. {an } 是等比数列 D. {an } 既不是等差数列,又不是等比数列

1

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7.已知正数 a , b 满足 a ? b ? 2 ,则 a ? b ? 1 的最大值为 A. 3 B. 2 ? 1 C. 6

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D. 3 ? 1

8.5 个人排成一列,其中甲不排在末位,且甲、乙两人不能相邻,则满足条件的所有不同的排列有 A.18 种 B.36 种 C.48 种 D.54 种 9 .已知 f ( x), f ( x? 1)均是定义域为 R 的偶函数,且 1 ? x ? 2 时, f ( x) ? ? ? ? log 2 x ,则

?1? ?2?

x

9 5 f (?6), f (? ), f ( ) 的大小关系为 2 4 9 5 A. f (?6) ? f (? ) ? f ( ) 2 4 5 9 C. f ( ) ? f (?6) ? f (? ) 4 2

B. f (? ) ? f (?6) ? f ( ) D. f ( ) ? f (? ) ? f (?6)

9 2

5 4

5 4

9 2

10 . 已 知 定 义 在 (0,1) 上 的 函 数 f ( x ) , 对 任 意 的 m, n ? (1, ??) 且 m ? n 时 , 都 有

?1? f ? ?? ?m?

1 ?1? ? m?n ? f ? ?? f ? ? . 记 an ? f ( n 2 ? 5n ? 5 ) , n ? N * , 则 在 数 列 {an } 中 , ?n? ? 1 ? mn ?

a1 ? a2 ?
A. f ( )

? a8 ?
B. f ( )

1 2

1 3

C. f ( )

1 4

D. f ( )

1 5

第Ⅱ卷(非选择题,共 100 分)
二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在答题卡相应位置. 11.向量 a ? (1,3) , b ? (m, ?9) ,若 a ∥ b ,则 m ? ________. 12.设 Sn 是等差数列 {an } 的前 n 项和, a4 ? 5 , S5 ? 20 ,则 S6 ? _______. 13.已知 ?OAB 中, OA ? (1, 2) , OB ? (4,5) ,点 C 满足 AC ? 2CB ,则 OC ? ___. 14 . 已 知 cos(

?
6

??) ?

4 ? 5 2? ? ?? ? ? ? ? ? , cos( ? ? ) ? , 且 ? 5 3 13 3 6

?

3

, 则

cos(? ? ? ) ? _________.
2 2 15 . 已 知 a ? 0 且 a ? 1 , 则 使 方 程 loga ( x ? ak ) ? loga2 ( x ? a ) 有 解 的 k 的 取 值 范 围 为

_____________.

2

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三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分 13 分) 设 a ? R ,函数 f ( x) ? sin x (a cos x ? sin x )满足 f (0) ? f ( 大值和最小值.

5? ? 2? ) ,求 f ( x) 在 [ , ] 上的最 3 24 2

17.(本小题满分 13 分,(1)小问 6 分,(2)小分 7 分.) 进行一次掷骰子放球游戏,规定:若掷出 1 点,甲盒中放一球;若掷出 2 点或 3 点,乙盒中放 一球;若掷出 4 点或 5 点或 6 点,丙盒中放一球,共掷 4 次. (1)求丙盒中至少放 3 个球的概率; (2)记甲、乙两盒中所放球的总数为随机变量 ? ,求 ? 的分布列和数学期望.

18.(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? e? x ( x2 ? ax ? b)( x ? R, a, b ? R) 在 x ? ?1 处取得极值 ?e ,求 f ( x ) 的单调区 间.

19.(本小题满分 12 分,(1)小问 5 分,(2)小分 7 分.) 如图所示,正三棱柱 ABC ? A1B1C1 的底面边长与侧棱长均为 2 , D 为 AC 中点. (1)求证: B1C ∥平面 A 1DB ; (2)求直线 BD 与平面 A 1 BC1 所成的角的正弦值.

A1 C1

B1

A D
3

B

C

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20.(本小题满分 12 分,(1)小问 6 分,(2)小分 6 分.)

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设二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) 满足 f (1 ? x) ? f (? x ? 1) , f (2) ? 0 , 且方程 f ( x) ? x 有等根. (1)求 f ( x ) 的解析式; (2)若对一切 x ?[2, ??) 有不等式 f ( x) ? 8m ? mx3 成立,求实数 m 的取值范围.

21.(本小题满分 12 分,(1)小问 6 分,(2)小分 6 分.) 已知函数 f ( x) ? (1)求证:

2x 1 ,数列 {an } 满足 a1 ? , an?1 ? f (an ) , n ? N * . x ?1 2
2

1 ? an ? an ?1 ? 1; 2

(2)求证:

? a2 ? a1 ?
a1a2

2

?a ? a ? ? 3 2
a2 a3

2

?

?a ? a ? ? n ?1 n
an an ?1

2

?

2 ?1 . 8

4

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参考答案
一、选择题 解析:10. an ? f ? DCBBA ACDAC

1 ? ? ?? 2 ? n ? 5n ? 5 ?

? ? ?1 f? ?? 2 ? 1 ? (n ? 5n ? 6) ?

? (n ? 2) ? (n ? 3) ? f? ?? ? 1 ? (n ? 2)(n ? 3) ?

? 1 ? f? ?? ?n?2?

? 1 ? f? ? ,所以 a1 ? a2 ? ? n?3?

1 ? ? 1 1 ? ? 1 ? a8 ? ? f ( ) ? f ( ) ? ? ? f ( ) ? f ( ) ? ? 4 ? ? 4 5 ? ? 3

1 ? 1 1 1 ? 1 ? 3 ? 11 ? ? ? f ( ) ? f ( )? ? f ( ) ? f ( ) ? f ? ?? f ( ). 11 ? 3 11 4 ? 10 ? 1 ? 3 ?11 ?
二、填空题 11.-3 15. (??, ?1) 12.27 13.5 14.

33 65

(0,1)

? x ? ak ? 0 ? ? x ? ak ? 0 ? 2 2 解析:15.原方程等价于 ? x ? a ? 0 即? , 2 ? ?2kx ? a(k ? 1) 2 2 2 ? ?? x ? ak ? ? x ? a
若 k ? 0 ,显然方程无解;若 k ? 0 ,则由 x ? 三、解答题 16.由 f (0) ? f (

a(k 2 ? 1) ? ak 解得 k ? (??, ?1) (0,1) . 2k

2? 3 1 3 )知 (? a ? ) ? 0 ,从而 a ? 3 ,.........5 3 2 2 2

? f ( x) ? sin x( 3 cos x ? sin x) ?
x ?[

3 1 ? 1 sin 2 x ? (1 ? cos 2 x) ? sin(2 x ? ) ? ,...10 2 2 6 2

5? ? ? ? 5? ? 1 , ] 时, 2 x ? ? [ , ] , sin(2 x ? ) ? [ ,1] , 24 2 6 4 6 6 2 3 ? ? 故 f ( x ) 的最大值为 ,当 x ? 时取得;最小值为 1,当 x ? 时取得...........13 2 3 2 3 1 17 .( 1 )由题意,每一次球放入丙盒的概率为 ? ,则 4 次中丙盒恰好放 3 球的概率为 6 2

?1? C ? ? ? 2?
3 4

3

1 ? 1? 1 ?1? ?1 ? ? ? ,恰好放 4 球的概率为 ? ? ? , ? 2? 4 ? 2 ? 16
1 1 5 ? ? ..............6 4 16 16
5

4

故丙盒至少放 3 个球的概率为

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(2)每一次球放入甲盒或乙盒的概率为
4

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1? 2 1 ? ,故 ? 6 2
4

1 B(4, ) , 2
4

1 1 3 ?1? 1?1? 2?1? P(? ? 0) ? C ? ? ? , P(? ? 1) ? C4 ? ? ? , P(? ? 2) ? C4 ? ? ? , ? 2 ? 16 ?2? 4 ?2? 8
0 4

1 ?1? 1 4?1? P(? ? 3) ? C ? ? ? , P(? ? 4) ? C4 ? ? ? , ? 2 ? 16 ?2? 4
3 4

4

4

? 的分布列为
?
P
0 1 2 3 4

1 16

1 4

3 8

1 4

1 16

E? ? 4 ?

1 ? 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2

18.由题意, f (?1) ? ?e 且 f '(?1) ? 0 , 由 f (?1) ? e(1 ? a ? b) ? ?e 得 a ? b ? 2 . . . . ①. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

f '( x) ? (?e? x )( x2 ? ax ? b) ? e? x (2x ? a) ? e? x [? x2 ? (2 ? a) x ? a ? b] ,
由 f '(?1) ? e(2a ? b ? 3) ? 0 得 2a ? b ? 3 ....②...................7 联立①②,解得 a ? 1, b ? ?1 ,................................9 从而 f '( x) ? ?e? x ( x2 ? x ? 2) , 令 f '( x) ? 0 解得 ?1 ? x ? 2 ,令 f '( x) ? 0 解得 x ? ?1 或 x ? 2 , 所以 f ( x ) 的单调增区间为 (?1, 2) ,单调减区间为 (??, ?1) 和 (2, ??) ..........13

E ,则 E 为 AB1 中点,又 D 为 AC 中点,所以 DE ∥ B1C ,又 DE ? 19. (1)连接 AB1 与 A 1B 交于
平面 A 1C ∥平面 A 1DB ,所以 B 1DB ....................5 (2)法一:(构造垂面,作线面角的平面角)

F ,连接 DF , BF ,则 DF ? AC BF ? AC 取 AC 1 1 中点 1 1 ,又 BA 1 1 ,从 1 ? BC1 ? 2 2 ,所以
? 平面 BDF ,所以平面 A1BC1 ? 平面 BDF ,作 DH ? BF 于 H ,则 而 AC 1 1 DH ? 平面 A1BC1 ,所以 ? DBF 为直线 BD 与平面 A1BC1 所成角的平面角,

Rt ?BDF 中, BD ? 3, DF ? 2 ,所以 BF ? 7 ,所以 sin ?DBH ?
6

DF 2 ? 7. BF 7

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法二:(等体积法) 设 D 与平面 A ? VB? A1DC1 得 1 BC1 的距离为 h ,由 VD? A 1BC1

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1 1 ? S?A1BC1 ? h ? ? S?A1DC1 ? BD , 等 腰 ?A1BC1 中 BA1 ? BC1 ? 2 2 , AC 1 1 ?2 , 所 以 3 3 2 21 ,从而直线 BD 与平面 A1BC1 所 S A1BC1 ? 7 ,又 S A1DC1 ? 2 ,BD ? 3 ,代入求得 h ? 7 h 2 ? 7. 成的角的正弦值为 BD 7
.................................................12 20. (1) 由 f( 1 ?x) ? f ( ?x ?1 ) 知函数关于直线 x ? 1 对称,从而 ?

b ? 1 ............① 2a

由 f (2) ? 0 知 4a ? 2b ? c ? 0 ................②, 又由方程 f ( x) ? x 有等根知 ? ? (b ?1)2 ? 4ac ? 0 ...................③ 联立①②③解得 a ? ?

1 1 2 , b ? 1, c ? 0 , 从而 f ( x ) ? ? x ? x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2 2

(2)不等式 f ( x) ? 8m ? mx3 等价于 ( x ? 2) ? m( x ? 2 x ? 2) ?
2

? ?

1 ? x ?0, 2 ? ?

当 x ? 2 时,不等式显然成立;

1 x 1 1 , ?? 2 2 x ? 2x ? 4 2 x? 4 ?2 x 4 1 1 1 1 因为 x ? 2 时 x ? ? 4 ,所以 ? ?? ? 0 ,从而 m ? ? ........12 x 12 12 2 x? 4 ?2 x 1 21.(1)首先用数学归纳法证明 ? an ? 1 , 2 n ? 1 时,显然成立; 1 2 假 设 ? ak ? 1(k ? N *), 则 ak ?1 ? f (ak ) , 因 为 f ( x) ? 在 (0,1) 上 单调 递 增, 所以 1 2 x? x 4 1 1 ? f ( ) ? f (ak ) ? f (1) ? 1 即也有 ? ak ?1 ? 1 成立. 5 2 2
当 x ? 2 时,不等式等价于 m ? ? 从而 an?1 ? an ? (2)

2an an (1 ? an 2 ) ? a ? ? 0 ,所以 an?1 ? an ...............6 n an 2 ? 1 an 2 ? 1
1 ? an 1 1 ? an 1 1 1 1 2 ?1 ? ? ? ? 2 2 an ? 1 4 an ? 1 4 (a ? 1) ? 2 ? 2 4 2 2 ? 2 8 n an ? 1

an?1 ? an ? an (1 ? an )

7

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? an?1 ? an ?
an an ?1
2

2

?

2 ? 1 an ?1 ? an 2 ?1 ? 1 1 ? ? ? ? ?, 8 an an ?1 8 ? an an ?1 ?
2

? a2 ? a1 ?
a1a2

?

? a3 ? a2 ?
a2 a3

?

?

? an?1 ? an ?
an an ?1

2

?

2 ?1 ? 1 1 1 1 ? ? ? ? ? 8 ? a1 a2 a2 a3

?

1 1 ? ? ? an an ?1 ?

?

2 ?1 ? 1 1 ? 2 ?1 ? 1 ? 2 ?1 ? 1 ? 2 ?1 . . . . . . . . . . . . . . . 12 ? ? ?? ?2? ?? ?2? ? ? 8 ? a1 an?1 ? 8 ? an?1 ? 8 ? 1? 8

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