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1.4全称量词与存在量词


(1)所有正方形都是矩形; (2)每一个有理数都能写成分数的形式; (3)任何实数乘0都等于0; (4)如果直线L垂直于平面α内的任意一条 直线,那么直线L垂直于平面α; 。 (5)一切三角形的内角和都等于180 。

在以上命题的条件中,“所有”“每一个”“任 何”“任意一条”“一切”都是在指定范围内,表示整 体或全部的含义,这样的词叫作全称量词,并用符号 “

?

”表示.含有全称量词的命题,叫作全称命题.

F ?? 正方形? ,则Fx 是矩形。 全称命题”对M? 中任意一个 有p(x) 成立”可用符号简记为 (1)所有正方形都是矩形;

(2)任何实数乘0都等于0;

?x ? M , p( x)

?x ? R,x ? 0 ? 0。

读作”对任意x属于M,有p(x)成 立”.

例1 判断下列全称命题的真假. (1)所有的素数都是奇数; 2 x ∈R,x +1 ≥ 1 ; (2) ? 2 x 也是无理数; (3)对每一个无理数 x , (4)每个指数函数都是单调函数.

(1)有些三角形是直角三角形; (2)如果两个数的和为正数,那么这两个数 中至少有一个是正数; (3)在素数中,有一个是偶数; 2 (4)存在实数x,使得x +x-1=0。

在以上命题中,“有些”“至少有一个”“有一 个”“存在”都有表示个别或一部分的含义,这样的词叫 作存在量词,并用符号“ ? 叫作特称命题。 ”表示。含有存在量词的命题,

特称命题”存在M中的一个x,使p(x)


立”可用符号简记为
(3)存在实数x,使得x +x-1=0。
2

2

?x ? M , px(?xx). ?x ? R, 使得 ?1 ? 0。

读作”存在一个x,使p(x)成立”.

例2 判断下列特称命题的真假. 2 x (1)有一个实数 0 ,使 x0 + 2 x0 + 3 = 0 ; (2)存在两个相交平面垂直于同一条直 线; (3)有些整数只有两个正因数.

例3:判断下列命题哪那些是全称命题,哪些是特称命题:

(1)奇数是整数; (2)偶数能被2整除; (3)至少有一个素数不是奇数。
解:(1)“奇数是整数”是指“所有的奇数都是整数”, 所以它是全称命题;

(2)“偶数能被2整除”是指“每一个偶数都能被2
整除”,所以它是全称命题; (3)“至少有一个素数不是奇数”是特称命题。

练习1: 判断下列命题哪些是全称命题,哪些是特称 命题: (1)方程x2+x-1=0的两个解都是实数解; ——全称命题 ——全称命题 (2)每一个关于x的一元一次方程ax+b=0都有解; (3)有一个实数,不能作除数;——特称命题 每一个末位数字是0或5的整数,能被5整除; ——全称命题 (4) (5) 所有的 棱柱是多面体; ——全称命题 (6)对于所有的自然数n,代数式n2-2n+2的值都是正 数。 ——全称命题

怎么对含有一个量词的
命题进行否定呢?

例4:写出下列命题的否定并思考这些命题和它们在形式上有是什
么变化? (1)所有的矩形都是平行四边形 (2)每一个素数都是奇数 2 ? x ∈ R , x - 2 x +1≥ 0 (3)

这三个全称命题的否定 都变成了特称命题

一般地,对于含有一个 量词的全称命题的否定 , 有下面的结论: 它的否定?p:? x0 ∈ M,?p(x0 ) 全称命题p:? x ∈ M,p(x )

练习2:写出下列全称命题的否定: (1)p:所有能被3整除的整数都是奇数; (2)p:每一个四边形的四个顶点共圆; 2 (3)p:对任意 x ∈Z,x 的各位数字不等于3.

例4:写出下列命题的否定并思考这些命题和它们在形式上有是什
么变化? (1)有些实数的绝对值是正数 (2)某些平行四边形是菱形 2 x0 ∈ R,x0 +1< 0 (3) ?

这三个特称命题的否定 都变成了全称命题

一般地,对于含有一个 量词的特称命题的否定 , 有下面的结论: 特称命题p:? x0 ∈ M,p(x0 )

它的否定?p:? x ∈ M,?p(x )

练习3:写出下列特称命题的否定: (1)p:有的三角形是等边三角形; (2)p:有一个素数含三个正因数; 2 (3)p: ? x0 ∈ R,x0 + 2 x0 + 2 ≤0

练习4:写出下列命题的否定并判断真假: (1)p:任意两个等边三角形都是相似的; 2 x0 ∈ R,x0 + 2 x0 + 2 = 0 (2)p:?

课本书26页及习题1.4


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