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高中数学数列通项公式的常用求法


数列通项公式的求法
一、定义法 直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法,这种方法适应于已知数列类型的题目. 例 1.等差数列 点评:利用定义法求数列通项时要注意不用错定义,设法求出首项与公差(公比)后再写出通项。 二、公式法 若已知数列的前 n 项和 S n 与 an 的关系,求数列 例 2.已知数列

?an ? 是递增数列,前 n 项和为 S n ,且 a1 , a3 , a9 成等比数列, S5 ? a52 .求数列 ?an ? 的通项公式. ?an ? 的通项 an 可用公式 an ? ?
?S1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?n ? 1 求解。 ?Sn ? Sn ?1 ? ? ? ? ? ? ? n ? 2

?an ? 的前 n 项和 S n 满足 Sn ? 2an ? (?1) n , n ? 1 .求数列 ?an ? 的通项公式。

点评:利用公式 an

?S n ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?n ? 1 求解时,要注意对 n 分类讨论,但若能合写时一定要合并. ?? ?S n ? S n?1 ? ? ? ? ? ? ? n ? 2

三、由递推式求数列通项法 对于递推公式确定的数列的求解,通常可以通过递推公式的变换,转化为等差数列或等比数列问题,有时也用到一些特殊的转化方法与特 殊数列。 类型 1 递推公式为 an?1 已知数列

? an ? f (n)

解法:把原递推公式转化为 an?1

? an ? f (n) ,利用累加法(逐差相加法)求解。

(高考题) ?an ? 中, a1 ? 1, 且a2k ? a2k ?1 ? (?1)k , a2k ?1 ? a2k ? 3k ,其中 k ? 1, 2,3, ??,求数列 ?an ? 的通项公式。

例 3. 已知数列

?an ? 满足 a1 ? 1 , a n?1 ? a n ?
2

1 ,求 an 。 n ?n
2

类型 2 (1)递推公式为 an?1

? f (n)an

解法:把原递推公式转化为

an?1 ? f (n) ,利用累乘法(逐商相乘法)求解。 an

已知数列{an},满足 a1=1,an=a1+2a2+3a3+?+(n-1)an-1(n≥2),则{an}的通项(高考题)

?1 an ? ? ? ___

n ?1 n?2

例 4. 已知数列 (2) .由 an?1

?an ? 满足 a1 ? 2 , an?1 ?
3

n a n ,求 an 。 n ?1

? f (n)an 和 a1 确定的递推数列 ?an ? 的通项可如下求得: ? f (n ?1)an?1 , an?1 ? f (n ? 2)an?2 , ? ? ? , a2 ? f (1)a1 依次向前代入,得
n ?1 0 k ?1 k ?1

由已知递推式有 an

an ? f (n ? 1) f (n ? 2) ? ? ? f (1)a1 ,简记为 an ? ( ? f (k ))a1 (n ? 1, ? f (k ) ? 1) ,这就是叠(迭)代法的基本模式。
(3)递推式: an?1 例 5.设数列

? pan ? f ?n?

解法:只需构造数列

?bn ?,消去 f ?n? 带来的差异.

?an ?: a1 ? 4, an ? 3an?1 ? 2n ? 1, (n ? 2) ,求 an .
f (n)


说 明 :( 1 ) 若

n

的 二 次 式 , 则 可 设 (

bn ? an ? An2 ? Bn ? C

;(2) 本 题 也 可 由 转 化 为

an ? 3an?1 ? 2n ? 1

,

an?1 ? 3an?2 ? 2(n ? 1) ? 1

n?3

) 两 式 相 减 得

an ? an ?1 ? 3(an ?1 ? an ? 2 ) ? 2

bn ? pbn?1 ? q 求之.
例 6.已知 a1

? 3 , a n ?1 ?

3n ? 1 a n (n ? 1) ,求 an 。 3n ? 2

类型 3 递推公式为 an?1

。 ? pan ? q (其中 p,q 均为常数, ( pq( p ? 1) ? 0) )

解法:把原递推公式转化为: an?1

? t ? p(an ? t ) ,其中 t ?

q ,再利用换元法转化为等比数列求解。 1? p
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在数列

?an ? 中,若 a1 ? 1, an?1 ? 2an ? 3(n ? 1) ,则该数列的通项 an ?
?an ?中, a1 ? 1 , an?1 ? 2an ? 3 ,求 an .
? pan ? q n (其中
4 1
p,q 均为常数, ( pq( p ? 1)(q ? 1)

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

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(高考题)

例 7. 已知数列

类型 4 递推公式为 an?1 均为常数) 设数列

? 0) ) 。

(或 an?1

? pan ? rqn ,其中

p,q,

r

?an ? 的前 n 项的和 Sn ? 3 a n ? 3 ? 2n?1 ? 3 , n ? 1, 2,3,???

2

求首项 a1 与通项 an ; (高考题)
n ?1

解法:该类型较类型 3 要复杂一些。一般地,要先在原递推公式两边同除以 q

,得:

an?1 p an 1 ? ? ? q n?1 q q n q

引入辅助数列

?bn ? (其中 bn ? an n
q
6

) ,得: bn ?1

?

p 1 bn ? 再应用类型 3 的方法解决。 q q
2

例 8. 已知数列

?an ?中, a1 ? 5 , an?1 ? 1 an ? ( 1 ) n?1 ,求 an 。
3
。 ? pan?1 ? qan (其中 p,q 均为常数)

类型 5 递推公式为 an?2

解法:先把原递推公式转化为 an?2

? san?1 ? t (an?1 ? san )

其中 s,t 满足 ?

?s ? t ? p ,再应用前面类型 3 的方法求解。 ?st ? ?q

已知数列

(高考题) ?an ? 满足 a1 ? 1, an?1 ? 2an ?1(n ? N * ). 求数列 ?an ? 的通项公式;

例 9. 已知数列

?an ?中, a1 ? 1 , a2 ? 2 , an?2 ? 2 an?1 ? 1 an ,求 an 。
3 3

类型 6 递推公式为 S n 与 an 的关系式。(或 Sn

? f (an ) )
1 2
n?2

解法:利用 a n

?S1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?(n ? 1) ?? 进行求解。 ?S n ? S n ?1 ? ? ? ? ? ? ? (n ? 2)
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已知正项数列{an},其前 n 项和 Sn 满足 10Sn=an2+5an+6 且 a1,a3,a15 成等比数列,求数列{an}的通项 an 例 10. 已知数列

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(高考题)

?an ?前 n 项和 S n ? 4 ? an ?

.(1)求 an ?1 与 an 的关系; (2)求通项公式 an .

类型 7 双数列型 例 11. 已知数列

解法:根据所给两个数列递推公式的关系,灵活采用累加、累乘、化归等方法求解。

?an ?中, a1 ? 1 ;数列 ?bn ? 中, b1 ? 0 。当 n ? 2 时, an ? 1 (2an?1 ? bn?1 ) , bn ? 1 (an?1 ? 2bn?1 ) ,求 an , bn .
3 3

四、待定系数法(构造法) 求数列通项公式方法灵活多样,特别是对于给定的递推关系求通项公式,观察、分析、推理能力要求较高。通常可对递推式变换,转化成 特殊数列(等差或等比数列)来求解,这种方法体现了数学中化未知为已知的化归思想,而运用待定系数法变换递推式中的常数就是一种 重要的转化方法。 1、通过分解常数,可转化为特殊数列{a n +k}的形式求解。一般地,形如 a n ?1 =p a n +q(p≠1,pq≠0)型的递推式均可通过待定系数法

对常数 q 分解法:设 a n ?1 +k=p(a n +k)与原式比较系数可得 pk-k=q,即 k=

q ,从而得等比数列{a n +k}。 p ?1

例 12、数列{a n }满足 a 1 =1,a n =

1 2

a n?1 +1(n≥2) ,求数列{a n }的通项公式。

说明:这个题目通过对常数 1 的分解,进行适当组合,可得等比数列{ a n -2},从而达到解决问题的目的。 例 13、数列{a n }满足 a 1 =1, 3an?1 例 14.已知数列

? an ? 7 ? 0 ,求数列{a n }的通项公式。
q q ? p(a n ? ) p ?1 1? p

?an ? 满足 a1 ? 1 ,且 an?1 ? 3an ? 2 ,求 an .
? pan ? q(p、q 为常数)的数列通项,可用迭代法或待定系数法构造新数列 an?1 ?
(n ? 2)
求 an .

点评: 求递推式形如 an?1

来求得,也可用“归纳—猜想—证明”法来求,这也是近年高考考得很多的一种题型. 例 15.已知数列

?an ? 满足 a1 ? 1 , an ? 3n ? 2an?1



点评:递推式为 an?1

an?1 q n?1

? pan ? q n?1 (p、q 为常数)时,可同除 q n?1 ,得 a p a ? ? n ? 1 ,令 bn ? n 从而化归为 an?1 ? pan ? q (p、q 为常数)型. n q q qn
? an?1} 的形式求解。这种方法适用于 an?2 ? pan?1 ? qan 型的递推式,通过对系数
p 的分

2、通过分解系数,可转化为特殊数列 {an 解,可得等比数列 {a n 已知数列

? an?1} :设 an?2 ? kan?1 ? h(an?1 ? kan ) ,比较系数得 h ? k ? p,?hk ? q ,可解得 h, k 。

?an ? 满足 a1 ? 1, a2 ? 3, an?2 ? 3an?1 ? 2an (n ? N * ).
(II)求数列 ?an ? 的通项公式; (高考题) ?an?1 ? an ? 是等比数列;

(I)证明:数列 例 16、数列

?an ? 满足 a1 ? 2, a2 ? 5, an?2 ? 3an?1 ? 2 an =0,求数列{a n }的通项公式。
? 3an?1 ? 2an ? 0 中含相邻三项,因而考虑每相邻两项的组合,即把中间一项 a n?1 的系数分解成 1 和 2,适当组合,

分析:递推式 an?2

可发现一个等比数列 {an 例 17、数列

? an?1} 。

?an ? 中, a1 ? 1, a2 ? 2,3an?2 ? 2an?1 ? an ,求数列 ?an ? 的通项公式。

1 1 1 ? ? , h ? 1 ,则有 a n ? 2 ? a n ?1 ? a n ?1 ? a n 即得 3 3 3 1 1 1 1 1 7 {a n ?1 ? a n } 为常数列, a n ?1 ? a n ? a n ? a n ?1 ? ? ? a 2 ? a1 ? 2 ? ? 故可转化为例 13。 3 3 3 3 3 3 2 1 例 18.已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1 , a2 ? 2 , a n ? 2 ? a n ?1 ? a n 求 an . 3 3 点评: 递推式为 an?2 ? pan?1 ? qan(p、 为常数) 可以设 an?2 ? san?1 ? t (an?1 ? san ) , q 时, 其待定常数 s、 由 s ? t ? p , st ? ?q t
说明:若本题中取 k 求出,从而化归为上述已知题型. 五、特征根法 1、设已知数列 {an } 的项满足 a1

? b, an?1 ? can ? d ,其中 c ? 0, c ? 1, 求这个数列的通项公式。作出一个方程 x ? cx ? d , 则当

即 其中 即 x0 ? a1 时, n 为常数列, an ? a1;当x0 ? a1时, an ? bn ? x0 , {bn } 是以 c 为公比的等比数列, bn ? b1c n?1 , b1 ? a1 ? x0 . a

例 19.已知数列 {an } 满足: a n ?1 2、对于由递推公式 an?2

1 ? ? a n ? 2, n ? N, a1 ? 4, 求 a n . 3

? pan?1 ? qan , a1 ? ? , a2 ? ? 给出的数列 ?an ? ,方程 x 2 ? px ? q ? 0 ,叫做数列 ?an ? 的特征方程。
n ? x 2 时,数列 ?an ? 的通项为 an ? Ax1n?1 ? Bx2 ?1 ,其中 A,B 由 a1 ? ? , a2 ? ? 决定(即把

若 x1 , x 2 是特征方程的两个根,当 x1

n a1 , a2 , x1 , x2 和 n ? 1,2 , 代 入 an ? Ax1n?1 ? Bx2 ?1 , 得 到 关 于

A、B 的方程组) 当 ;

x1 ? x 2 时 , 数 列 ?an ? 的 通 项 为

an ? ( A ? Bn) x1n?1 ,其中 A,B 由 a1 ? ? , a2 ? ? 决定(即把 a1 , a2 , x1 , x2 和 n ? 1,2 ,代入 an ? ( A ? Bn) x1n?1 ,得到关于 A、
B 的方程组) 。 例 20:已知数列

?an ?满足 a1 ? a, a2 ? b,3an?2 ? 5an?1 ? 2an ? 0(n ? 0, n ? N ) ,求数列 ?an ?的通项公式。
a1 的 值 且 对 于 n ? N , 都 有 an?1 ?
pan ? q ra n ? h
(其中 p、q、r、h 均为常数,且

3 、 如 果 数 列 {an } 满 足 下 列 条 件 : 已 知

ph ? qr , r ? 0, a1 ? ?

h px ? q ) ,那么,可作特征方程 x ? r rx ? h

,当特征方程有且仅有一根 x0 时,则 ?

?

1 ? ? 是等差数列;当特征方程 ? an ? x0 ?

有两个相异的根 ?1 、 ?2 时,则 ?

? an ? x1 ? ? 是等比数列。 ? an ? x2 ?

数列 {an }满足a1

? 1且8an?1an ? 16an?1 ? 2an ? 5 ? 0(n ? 1). 求数列 {an } 的通项公式.(高考题)
? an ? 4 , 且 a1 ? 3, 求 {an } 的通项公式. 2an ? 3
13an ? 25 . an ? 3

例 21、已知数列 {an } 满足性质:对于 n ? N, a n ?1

例 22.已知数列 {an } 满足:对于 n ? N, 都有 an ?1

?

(1)若 a1

? 5, 求 a n ; (2)若 a1 ? 3, 求 a n ; (3)若 a1 ? 6, 求 a n ; (4)当 a1 取哪些值时,无穷数列 {an } 不存在?
? m an?1 1 1 1 1 1 1 k 递推式,考虑函数倒数关系有 ? k( ? )? ?k? ? 令 bn ? an k (an?1 ? b) an an?1 m an an?1 m


说明:形如: a n

?bn ? 可归为

an?1 ? pan ? q 型。(取倒数法)
例 23: an

?

an?1 , a1 ? 1 3 ? an?1 ? 1

六、构造法: 构造法就是在解决某些数学问题的过程中,通过对条件与结论的充分剖析,有时会联想出一种适当的辅助模型,如某种数 量关系,某个直观图形,或者某一反例,以此促成命题转换,产生新的解题方法,这种思维方法的特点就是“构造”.若已知条件给的是数 列的递推公式要求出该数列的通项公式,此类题通常较难,但使用构造法往往给人耳目一新的感觉. 1、构造等差数列或等比数列:由于等差数列与等比数列的通项公式显然,对于一些递推数列问题,若能构造等差数列或等比数列,无疑 是一种行之有效的构造方法. 例 24: 设各项均为正数的数列

?an ? 的前 n 项和为 S n ,对于任意正整数 n,都有等式: an 2 ? 2an ? 4Sn 成立,求 ?an ?的通项 an.

2 解: an ? 2an ? 4S n ? an?1 ? 2an?1 ? 4Sn?1 ,

2

(an ? an?1 )(an ? an?1 ? 2) ? 0 , ∵ an ? an?1 ? 0 , ∴ an ? an?1 ? 2 . 即 ?an ? 是 以 2 为 公 差 的 等 差 数 列 , 且 a12 ? 2a1 ? 4a1 ? a1 ? 2 . ∴ an ? 2 ? 2(n ?1) ? 2n
例 25: 数列

2 2 ∴ an ? an?1 ? 2an ? 2an?1 ? 4(Sn ? Sn?1 ) ? 4an

?an ?中前 n 项的和 Sn ? 2n ? an ,求数列的通项公式 an .






a1 ? S1 ? 2 ? a1 ? a1 ? 1



n



2





a n ? S n ? S n ?1 ? 2n ? an ? ?2(n ? 1) ? a n?1 ? ? ?a n ? 2 ? a n?1 ? a n ?

1 1 a n?1 ? 1 ? a n ? 2 ? (a n ?1 ? 2) 2 2

1 bn ?1 ,且 b1 ? 1 ? 2 ? ?1 2 ?bn ? 是以 1 为公比的等比数列, bn ? ?1? ( 1 ) n?1 ? ?( 1 ) n?1 2 2 2 1 n ?1 ∴ an ? 2 ? ( ) . 2
令 bn ? an ? 2 ,则 bn ?
2、构造差式与和式:解题的基本思路就是构造出某个数列的相邻两项之差,然后采用迭加的方法就可求得这一数列的通项公式. 例 26: 设 (n∈N*) ,求数列的通项公式 an. ?an ?是首项为 1 的正项数列,且 an2 ? an2?1 ? nan ? nan?1 ? 0 ,

解:由题设得 (an ? an?1 )(an ? an?1 ? n) ? 0 . ∵ an ? 0 , an?1 ? 0 ,∴ an ? an?1 ? 0 . ∴ an ? an?1 ? n

an ? a1 ? (a2 ? a1 ) ? (a3 ? a2 ) ? ?(an ? an?1 ) ? 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ?

n(n ? 1) 例 27: 数列 ?an ? 中, a1 ? 1, a2 ? 3 ,且 2

(n∈N*) ,求通项公式 an . an?2 ? (n ? 3)an?1 ? (n ? 2)an , 解:? an?2 ? an?1 ? (n ? 2)(an?1 ? an ) ? (n ? 2)(n ? 1)(an ? an?1 ) ? ? ? (n ? 2)(n ? 1) ?4 ? 3(a2 ? a1 ) ? (n ? 2)! ∴ an ? a1 ? (a2 ? a1 ) ? (a3 ? a2 ) ? ? ? (an ? an?1 ) ? 1 ? 2!?3!??n!(n∈N*) 例 27: 数列 ?an ?中, a1 ? 1, a2 ? 3 ,且 an?2 ? (n ? 3)an?1 ? (n ? 2)an , (n∈N*) ,求通项公式 an .
3、构造商式与积式:构造数列相邻两项的商式,然后连乘也是求数列通项公式的一种简单方法. 例 28: 数列

2 解: an ? Sn ? Sn?1 ? n an ? (n ?1) 2 an?1 ? (n 2 ?1)an ? (n ?1) 2 an?1 a n ?1 , ? n ? an?1 n ? 1 a a a n ?1 n ? 2 1 1 1 ? ? ? ? ∴ an ? n ? n?1 ? 2 ? a1 ? n ?1 n 3 2 n(n ? 1) an?1 an?2 a1 1 ∴ an ?1 ? (n ? 1)(n ? 2)
2

?an ?中, a1 ? 1 ,前 n 项的和 Sn ? n2 an ,求 an?1 .

4、构造对数式或倒数式:有些数列若通过取对数,取倒数代数变形方法,可由复杂变为简单,使问题得以解决. 例 29: 设正项数列

?an ?满足 a1 ? 1 , an ? 2an2?1 (n≥2).求数列 ?an ?的通项公式.
a a a a

解:两边取对数得: log2n ? 1 ? 2 log2n?1 , log2n ? 1 ? 2(log2n?1 ? 1) ,设 bn ? log2n ? 1,
a

则 bn ? 2bn?1

?bn ? 是以 2 为公比的等比数列, b1 ? log12 ?1 ? 1 .
bn ? 1? 2n?1 ? 2n?1 , logan ? 1 ? 2n?1 , logan ? 2n?1 ?1 , 2 2
∴ an ? 2 2
n ?1

?1

例 30: 已知数列

3an?1 ? 1 4an?1 ? 4 1 1 3 解:∵ an ? 1 ? ,两边取倒数得 ? ? . 3an?1 ? 1 an ? 1 an?1 ? 1 4
可化为等差数列关系式.

?an ?中, a1 ? 2 ,n≥2 时 an ? 7an?1 ? 3 ,求通项公式.

1 1 3 3n ? 1 ? ? (n ? 1) ? an ? 1 a1 ? 1 4 4 3n ? 5 ∴ an ? 3n ? 1


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