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2014江苏省镇江第一中学高一数学竞赛选拔考试


江苏省镇江第一中学高一数学竞赛选拔考试 2014/9/17
一. 填空题 1. 若 a 是最大的负整数, b 是绝对值最小的有理数, c 是倒数等于它本身的

b ? c 2015 的值为 自然数,则 a 2013 ? 2014
2.已知实数 x, y, z 满足 ?



? x ? y ? z

? 5, 则代数式 4 x ? 4 z ? 1 的值是 4 x ? y ? 2 z ? 2. ?



3. 如图,将表面展开图(图 1)还原为正方体,按图 2 所示摆放,那么,图 1 中的线段 MN 在图 2 中的对应线段是【 】
d a M N 图1 图2 b c

(第 3 题图) 4. 如图,Rt△OAB 的顶点 O 与坐标原点重合,∠AOB=90°,AO=2BO,当 A

点在反比例函数 y ? 式为
5. 已知 ?

1 (x>0)的图象上移动时,B 点坐标满足的函数解析 x


3 2 ? x ? 2 ,化简 2 x ? 3 ? ( x ? 9) 得 2



6. 如图, 四边形 ABHK 是边长为 6 的正方形, 点 C、 D 在边 AB 上, 且 AC=DB=1,

点 P 是线段 CD 上的动点,分别以 AP、PB 为边在线段 AB 的同侧作正方形 AMNP 和正方形 BRQP,E、F 分别为 MN、QR 的中点,连接 EF,设 EF 的 中点为 G, 则当点 P 从点 C 运动到点 D 时, 点 G 移动的路径长为 。

7. 一个不透明的袋子中有除颜色外其余都相同的红、 黄、 蓝色玻璃球若干个,

其中红色玻璃球有 6 个,黄色玻璃球有 9 个,已知从袋子中随机摸出一个 2 蓝 色 玻 璃球 的 概 率 为 , 那 么 ,随 机 摸出 一个 为 红 色玻 璃 球的 概率 5 为 . 8. 若
1 x2 ? x ? 1 ? 4 ,则 x 2 ? 2 ? 1 ? = x x

9.如图,在 Rt△ OAB 中,∠ AOB=30°,AB=2,将 Rt△ OAB 绕 O 点顺时针旋转 90° 得 到 Rt△ OCD , 则 AB 扫 过 的 面 积 为 . E D A
C B D

A1 B C

A

O

(第11题图)

(第 9 题图)

9 n 8 ? ? 对唯一的整数 k 成立的最大正整数 n 为 17 n ? k 15 11. 如图,在矩形 ABCD 中,AB=3,BC=4,点 E 是 AD 上一个动点,把△ BAE 沿 BE 向矩形内部折叠,当点 A 的对应点 A1 恰落在∠ BCD 的平分线上时, CA1= . 12. 已知 a、b、c、d 是四个不同的整数,且满足 a+b+c+d =5,若 m 是关于 x 的方程(x-a) (x-b) (x-c) (x-d)=2014 中大于 a、b、c、d 的一个 整数根,则 m 的值为 .

10. 使得不等式

二.解答题 13. 某学校为九年级数学竞赛获奖选手购买以下三种奖品,其中小笔记本每

本 5 元,大笔记本每本 7 元,钢笔每支 10 元,购买的大笔记本的数量是 钢笔数量的 2 倍,共花费 346 元,若使购买的奖品总数最多,则这三种奖 品的购买数量各为多少?

14. 如图,将 OA = 6,AB = 4 的矩形 OABC 放置在平面直角坐标系中,动点 M,N 以每秒1
个单位的速度分别从点 A,C 同时出发,其中点 M 沿 AO 向终点 O 运动,点 N 沿 CB 向 终点 B 运动,当两个动点运动了 t 秒时,过点 N 作 NP⊥BC,交 OB 于点 P,连接 MP. (1)点 B 的坐标为 ;用含 t 的式子表示点 P 的坐标为 ; (2)记△OMP 的面积为 S,求 S 与 t 的函数关系式(0 < t < 6) ;并求 t 为何值时,S 有最 大值? (3)试探究:当 S 有最大值时,在 y 轴上是否存在点 T,使直线 MT 把△ONC 分割成三 角形和四边形两部分,且三角形的面积是△ONC 面积的 标;若不存在,请说明理由.
C
y

1 ?若存在,求出点 T 的坐 3
y

N

B

C

B

P

O

M

A

x

O
(备用图)

A

x

(第 14 题图)

E 为对角线 BD 上一点, 15. 如图, 在平行四边形 ABCD 中, 且满足 ?ECD ? ?ACB , AC

的延长线与△ ABD 的外接圆交于点 F . 证明: ?DFE ? ?AFB .

D A B E C F

16. 设 n 是整数, 如果存在整数 x, y, z 满足 n ? x3 ? y3 ? z 3 ? 3xyz , 则称 n 具有性质 P . (1)试判断 1,2,3 是否具有性质 P ; (2)在 1,2,3,…, 2013,2014 这 2014 个连续整数中,不具有性质 P 的数有多 少个?

1 参考答案 1.0 2. ? 3

3.c 4. y ? ? 5. 6.2 7.
1 (x<0) 4x

3x - 6
6 25

8.8 9. ? 10. 144
11. 2 2 ? 1

12. 20. 13. 解:设购买小笔记本 x 本,大笔记本 y 本,钢笔 z 支, 则有 5 x ? 7 y ? 10z ? 346, y ? 2 z . 易知 0<x≤69,0<y≤49,0<z≤34, … … … … … … … … … … … … … … 4分
346 ? 24 z . 5 ∵ x,y,z 均为正整数, 346 ? 24 z ≥0,即 0<z≤14 ∴ z 只能取 14,9 和 4. … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 8

∴ 5 x ? 14 z ? 10 z ? 346 , 5 x ? 24 z ? 346 ,即 x ?


346 ? 24 z =2, y ? 2 z =28. x ? y ? z ? 44 . 5 346 ? 24 z ② 当 z 为 9 时, x ? =26, y ? 2 z =18. x ? y ? z ? 53 . 5 346 ? 24 z ③ 当 z 为 4 时, x ? =50, y ? 2 z =8. x ? y ? z ? 62 . 5 综上所述,若使购买的奖品总数最多,应购买小笔记本 50 本,大笔记本 8 本, 钢笔 4 支. 2 14. 解: (1) (6,4) ; ( t , t ).(其中写对 B 点得 1 分) · · · ·………………………………3 分 3

① 当 z 为 14 时, x ?

(2)∵S△OMP =

1 2 ×OM× t , 2 3 2 1 2 1 1 2 ∴S = ×(6 -t)× t = ? t +2t = ? (t ? 3) ? 3 (0 < t <6) . 3 3 3 2 ∴当 t ? 3 时,S 有最大值.…………………………………………8 分

(3)存在. 由(2)得:当 S 有最大值时,点 M、N 的坐标分别为:M(3,0) ,N(3,4) , 则直线 ON 的函数关系式为: y ? 4 x .
3

设点 T 的坐标为(0,b) ,则直线 MT 的函数关系式为: y ? ? b x ? b ,
3
? 4 ? x? y? x ? 解方程组 ? 得 ? ? 3 ? ? ?y ? ?y ? ? b x ?b ? ? ? 3 ? 3b 4?b 4b 4?b

∴直线 ON 与 MT 的交点 R 的坐标为 ( ∵S△OCN =

3b 4b , ). 4?b 4?b

1 1 ×4×3=6,∴S△ORT = S△OCN =2. 2 3 15. 证明 由 ABCD 是平行四边形及已知条件知 ?ECD ? ?ACB ? ?DAF .
……………………5 分 又 A 、 B 、 F 、 D 四点共圆,所以 ?BDC ? ?ABD ? ?AFD ,所以△ ECD ∽△ DAF , ……………………15 分

ED CD AB ? ? . ……………………20 分 DF AF AF 又 ?EDF ? ?BDF ? ?BAF ,所以△ EDF ∽△ BAF ,故 ?DFE ? ?AFB . ……………………25 分
所以

D A B E C F

3 3 3 16. 解 取 x ? 1 , y ? z ? 0 ,可得 1 ? 1 ? 0 ? 0 ? 3 ?1? 0 ? 0 ,所以 1 具有性质 P ; 3 3 3 取 x ? y ? 1 , z ? 0 , 可 得 2 ? 1 ? 1 ? 0 ? 3 ?1?1? 0 , 所 以 2 具 有 性 质

P ;…………………5 分
若 3 具有性质 P , 则存在整数 x, y, z 使得 3 ? ( x ? y ? z) ? 3( x ? y ? z)( xy ? yz ? zx) ,
3









3| ( x ? y ? z)3





3 x |? ? (y

, z

于 )





9 | ( x ? y ? z)3 ? 3( x ? y ? z)( xy ? yz ? zx) ,即 9 | 3 ,这是不可能的,所以 3 不具有性质
P.
……………………10 分 (2)记 f ( x, y, z) ? x 3 ? y 3 ? z 3 ? 3xyz ,则

f ( x, y, z) ? ( x ? y)3 ? z 3 ? 3xy( x ? y) ? 3xyz ? ( x ? y ? z)3 ? 3( x ? y) z( x ? y ? z) ? 3xy( x ? y ? z)
= ( x ? y ? z)3 ? 3( x ? y ? z)( xy ? yz ? zx)

1 ( x ? y ? z )( x 2 ? y 2 ? z 2 ? xy ? yz ? zx) 2 1 ? ( x ? y ? z )[( x ? y ) 2 ? ( y ? z ) 2 ? ( z ? x) 2 ] . 2 1 2 2 2 即 f ( x, y, z ) ? ( x ? y ? z )[( x ? y ) ? ( y ? z ) ? ( z ? x) ] 2 ?
…15 分 不妨设 x ? y ? z ,

① …………………

如果 x ? y ? 1, y ? z ? 0, x ? z ? 1,即 x ? z ? 1, y ? z ,则有 f ( x, y, z ) ? 3z ? 1 ; 如果 x ? y ? 0, y ? z ? 1, x ? z ? 1,即 x ? y ? z ? 1 ,则有 f ( x, y, z ) ? 3z ? 2 ; 如果 x ? y ? 1, y ? z ? 1, x ? z ? 2 ,即 x ? z ? 2, y ? z ? 1 ,则有 f ( x, y, z ) ? 9( z ? 1) ; 由此可知, 形如 3k ? 1 或 3k ? 2 或 9 k( k 为整数) 的数都具有性质 P .…………………… 20 分 又若 3| f ( x, y, z) ? ( x ? y ? z) ? 3( x ? y ? z)( xy ? yz ? zx) ,则 3| ( x ? y ? z) ,从而
3 3

3| ( x ? y ? z) ,进而可知 9 | f ( x, y, z) ? ( x ? y ? z)3 ? 3( x ? y ? z)( xy ? yz ? zx) .
综合可知:当且仅当 n ? 9k ? 3 或 n ? 9k ? 6 ( k 为整数)时,整数 n 不具有性质 P . 又 2014=9×223+7,所以,在 1,2,3,…,2013,2014 这 2014 个连续整数中,不具有 性质 P 的数共有 224×2=448 个.


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