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极坐标与参数方程测试题(有详解答案)


极坐标与参数方程测试题
一、选择题

1.直线 y ? 2 x ? 1 的参数方程是(
2 ? A、 ? x ? t (t 为参数) 2 ? y ? 2t ? 1



? x ? 2t ? 1 B、 ? (t 为参数) ? y ? 4t ? 1
x ? sin ? D、 ? (t 为参数

) ? ? y ? 2 sin ? ? 1


C、

? x ? t ?1 (t 为参数) ? ? y ? 2t ? 1

2.已知实数 x,y 满足 x 3 ? cos x ? 2 ? 0 , 8 y 3 ? cos2 y ? 2 ? 0 ,则 x ? 2 y ? (
A.0 B.1 C.-2 ) D.8

?? ? 3.已知 M ? ? 5, ? ,下列所给出的不能表示点的坐标的是( 3? ?
A、 ? 5,?

? ?

??
? 3?

B、 ? 5,

? ?

4? ? ? 3 ?

C、 ? 5,?

? ?

2? ? ? 3 ?

D、 ? ? 5,?

? ?

5? ? ? 3 ?

4.极坐标系中,下列各点与点 P(ρ ,θ ) (θ ≠kπ ,k∈Z)关于极轴所在直线
对称的是( ) D. (ρ ,2π +θ )

A. (-ρ ,θ )B. (-ρ ,-θ )C. (ρ ,2π -θ )

5.点 P 1,? 3 ,则它的极坐标是
A、 ? 2,

?

?

(

) C、 ? 2,?

? ?

??
? 3?

B、 ? 2,

? ?

4? ? ? 3 ?

? ?

??
? 3?

D、 ? 2,?

? ?

4? ? ? 3 ?

6.直角坐标系 xoy 中,以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建极坐标系,设点 A,B 分别在曲
线 C1 : ? A.1

? x ? 3 ? cos ? ( ? 为参数)和曲线 C2 : ? ? 1 上,则 AB 的最小值为( y ? sin ? ?
B.2 C.3 D.4

).

1 ? ?x ? t ? 7.参数方程为 ? t (t为参数) 表示的曲线是( ? ?y ? 2
A.一条直线 B.两条直线 C.一条射线



D.两条射线 )

? x ? 1 ? 2t 8. 若直线 ? ?t为参数? 与直线4x ? ky ? 1垂直,则常数k ? ( ? y ? 2 ? 3t
1

A.-6

B. ?

1 6

C.6

D.

1 6
) B. x2 ? y 2 ? 4

9.极坐标方程 ? ? 4cos? 化为直角坐标方程是(
A. ( x ? 2)2 ? y 2 ? 4 C. x2 ? ( y ? 2)2 ? 4

D. ( x ?1)2 ? ( y ?1)2 ? 4 ).

10.柱坐标(2,
A.( ?1, 3,1 )

2? ,1)对应的点的直角坐标是( 3
B.( 1,? 3,1 )

C.( 3,?1, ,1 )

D.( ? 3,1,1 )

11.已知二面角 ? ? l ? ? 的平面角为 ? ,P 为空间一点,作 PA ? ? ,PB ? ? ,A,B 为垂
足,且 PA ? 4 ,PB ? 5 ,设点 A、B 到二面角 ? 当 ? 变化时,点 ( x, y) 的轨迹是下列图形中的

? l ? ? 的棱 l 的距离为别为 x, y .则

3

3

3

3

(A)

(B)

(C)

(D )

? 1 x? ? ? ? ? 2 12.曲线 2 ? ? 4sin( x ? ) 与曲线 ? 4 ?y ? 1 ? ? ? 2
A、 相交过圆心 B、相交

2 t 2 的位置关系是( 2 t 2
D、相离

) 。

C、相切

二、填空题

13.在极坐标 ?? ,? ? ?0 ? ? ? 2? ? 中,曲线 ? ? 2 sin ? 与 ? cos? ? ?1 的交点的极坐标为
____________.

14.在极坐标系中,圆 ? ? 2 上的点到直线 ? cos? ? 3 sin ? ? 6 的距离的最小值
是 .

?

?

?x = 1+ cosθ 15.(坐标系与参数方程选讲选做题) 圆 C: ? (θ 为参数)的圆心到直线 ? y = sinθ

2

l: ?

? x = ?2 2 + 3t ? (t 为参数)的距离为 y = 1 ? 3t ? ?

.

16. A: (极坐标参数方程选做题)以直角坐标系的原点为极点, x 轴的正半轴为极轴,已
知曲线

C1 、C2 的极坐标方程分别为 ? ? 0, ? ?
且 ? ? ??

?
3

,曲线 C3 的参数方程为 ?

? x ? 2cos ? ( ? 为参数, y ? 2sin ? ?
.

? ? ?? ) ,则曲线 C1 、 C2 、 C3 所围成的封闭图形的面积是 , ? 2 2? ?

三、解答题(题型注释)

17.(本小题满分 10 分) 《选修 4-4:坐标系与参数方程》
在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的方程为 x-y+4=0,曲线 C 的参数方程为

? x ? 3cos? ? (? 为参数) ? ? ? y ? sin?



(I) 已知在极坐标 (与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位, 且以原点 O 为极点, 以x轴 正 半轴为极轴)中,点 P 的极坐标为(4,

? ) ,判断点 P 与直线 l 的位置关系; 2

(II)设点 Q 是曲线 C 上的一个动点,求它到直线 l 的距离的最小值.

? x ? 5cos ? 18.在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C 方程为 ? (? 为参数) ? y ? 3sin ?
(Ⅰ)求过椭圆的右焦点,且与直线 ?

? x ? 4 ? 2t (t 为参数)平行的直线 l 的普通方程。 ?y ? 3?t

(Ⅱ)求椭圆 C 的内接矩形 ABCD 面积的最大值。

19.坐标系与参数方程已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处,极轴与 x 轴非负半轴重

? 3 x ? ?1 ? t ? ? 2 ? ? 4 cos? . 合. 直线 l 的参数方程为: ( t 为参数) , 曲线 C 的极坐标方程为: ? ?y ? 1 t ? 2 ?
(1)写出曲线 C 的直角坐标方程,并指明 C 是什么曲线; (2)设直线 l 与曲线 C 相交于 P, Q 两点,求 PQ 的值.

3

?x ? t 20.在直角坐标系 xoy 中,直线 l 的参数方程是 ? (t为参数) ,在极坐标系(与直 ? y ? 2t ? 1
角坐标系 xoy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴)中,圆 C 的极 坐标方程是 ? ? 2cos ? (I)求圆 C 的直角坐标方程; (II)求圆心 C 到直线 l 的距离。

21.(本小题满分 10 分) 【选修 4-4:坐标系与参数方程】
在直角坐标平面内, 以坐标原点 O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. 已知点 M 的极坐标为 ? 4 2,

? ?

??
4?

? ,曲线 C 的参数方程为 ?

? ? x ? 1 ? 2 cos ? , ? ? y ? 2 sin ? ,

( ? 为参数) .

(1)求直线 OM 的直角坐标方程; (2)求点 M 到曲线 C 上的点的距离的最小值.

22.以直角坐标系的原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系。已知点 P 的极坐标
为 ? 2,

? ?

??
4?

? ,直线 l 过点 P ,且倾斜角为

2? x2 y 2 ? ? 1 所对应的切线经过伸缩变 ,方程 3 36 16

? ? 1 x ? x ? ? 3 换? 后的图形为曲线 C ? y? ? 1 y ? ? 2
(Ⅰ)求直线 l 的参数方程和曲线 C 的直角坐标系方程 (Ⅱ)直线 l 与曲线 C 相交于两点 A, B ,求 PA ? PB 的值。

23.(本小题满分 10 分) 《选修 4-4:坐标系与参数方程》
在直角坐标系中,以原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建坐标系,已知曲线

C : ? sin 2 ? ? 2a cos? (a ? 0) , 已 知 过 点 P(?2,?4) 的 直 线 l 的 参 数 方 程 为 :
? 2 x ? ?2 ? t ? ? 2 , ? ? y ? ?4 ? 2 t ? 2 ? 直线错误!未找到引用源。与曲线错误!未找到引用源。分别交于错误!未找到引用源。. (Ⅰ)写出曲线错误!未找到引用源。和直线错误!未找到引用源。的普通方程; (Ⅱ)若错误!未找到引用源。成等比数列,求错误!未找到引用源。的值. 24.(本小题满分 10 分) 《选修 4-4:坐标系与参数方程》
4

在直接坐标系 xOy 中,直线 l 的方程为 x ? y ? 4 ? 0 ,曲线 C 的参数方程为

? x ? 3 cos ? ? (?为参数) ? ? ? y ? sin ?
(I)已知在极坐标(与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以

? x 轴正半轴为极轴)中,点 P 的极坐标为 (4, ) ,判断点 P 与直线 l 的位置关系; 2
(II)设点 Q 是曲线 C 上的一个动点,求它到直线 l 的距离的最小值.

25.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程
? 2 t ?x ? ? ? 2 (t是参数) , 已知直线 l 的参数方程是 ? 圆 C 的极坐标方程为 ? ? 2 cos(? ? ) . 4 2 ? y ? t ? 4 2 ? 2 ?
(1)求圆心 C 的直角坐标; (2)由直线 l 上的点向圆 C 引切线,求切线长的最小值.

? x ? 2cos ? 26. 已知曲线 C1 的参数方程式 ? ( ? 为参数),以坐标原点为极点, x 轴的正 ? y ? 3sin ?
半轴为极轴建立坐标系,曲线 C2 的极坐标方程式 ? ? 2 .正方形 ABCD 的顶点都在 C2 上,

?? 且 A, B, C , D 依逆时针次序排列,点 A 的极坐标为 ? ? 2, ? . ? 2?
(I)求点 A, B, C , D 的直角坐标; (II)设 p 为 C1 上任意一点,求 PA ? PB ? PC ? PD 的取值范围.
2 2 2 2

试卷答案
1.C2.A3.A4.C5.C6.A7.D8.A9.A10.A11.D12.D
3? ? ? 13. ? 2 , ? 4 ? ?

14.1

15.2

2 ? 16. 3

P (4, ) 2 化为直角坐标,得 P(0,4) 17.解: (I)把极坐标系下的点 。
因为点 P 的直角坐标(0,4)满足直线 l 的方程 x ? y ? 4 ? 0 , 所以点 P 在直线 l 上,

?

5

(II)因为点 Q 在曲线 C 上,故可设点 Q 的坐标为 ( 3 cos ? ,sin ? ) , 从而点 Q 到直线 l 的距离为

| 3 cos ? ? sin ? ? 4 | d? ? 2
cos(? ?
由此得,当

2 cos(? ? ) ? 4 ? 6 ? 2 cos(? ? ) ? 2 2 6 2 ,

?

?
6

) ? ?1

时,d 取得最小值,且最小值为 2.

18.(1)由已知得椭圆的右焦点为 ? 4, 0 ? ,已知直线的参数方程可化为普通方程:
x ? 2 y ? 2 ? 0 ,所以 k ?
1 ,于是所求直线方程为 x ? 2 y ? 4 ? 0 。 2

(2) S ? 4 xy ? 60sin ? cos ? ? 30sin 2? , 当 2? ?

?

2

时,面积最大为 30

19.

? 3 x ? ?1 ? t ? ? 2 代入 x 2 ? y 2 ? 4x ,整理得 t 2 ? 3 3t ? 5 ? 0 ,---6 分 (2)把 ? ?y ? 1 t ? 2 ?
设其两根分别为 t1 , t 2 , 则 t1 ? t 2 ? 3 3, t1t 2 ? 5 ,---8 分 所以 PQ ? t1 ? t 2 ?

7 .----10 分

20.(1)圆 C 的直角坐标方程是 x2 +y 2 -2 x=0 ;
(2)圆心 C 到直线 l的距离d =

3 5 。 5
π? ? ,得点 M 的直角坐标为(4,4), 4?

? 21.解: (Ⅰ)由点 M 的极坐标为 ? 4 2, ?

所以直线 OM 的直角坐标方程为 y ? x .

6

? ? x ? 1 ? 2 cos ? , (Ⅱ)由曲线 C 的参数方程 ? ( ? 为参数), ? ? y ? 2 sin ?

化成普通方程为: ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 2 , 圆心为 A(1,0),半径为 r ?

2.

由于点 M 在曲线 C 外,故点 M 到曲线 C 上的点的距离最小值为

| MA | ?r ? 5 ? 2 .
22.

23.(Ⅰ) y2 ? 2ax, y ? x ? 2 .
? ? x ? ?2 ? ? (Ⅱ)直线 l 的参数方程为 ? ? y ? ?4 ? ? ?

………..5 分

2 t 2 ( 为参数), t 2 t 2
………………7 分

代入 y 2 ? 2ax , 得到 t 2 ? 2 2 (4 ? a)t ? 8 (4 ? a) ? 0 , 则有 t1 ? t2 ? 2 2 (4 ? a), t1 ? t2 ? 8 (4 ? a) . 因为 | MN |2 ? | PM | ? | PN | ,所以 (t1 ? t2 )2 ? (t1 ? t2 )2 ? 4t1 ? t2 ? t1 ? t2 . 解得
a ?1.

…………10 分

24.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程
解: (I)把极坐标系下的点 P (4,

?
2

) 化为直角坐标,得 P (0, 4)

7

因为点 P 的直角坐标(0,4)满足直线 l 的方程 x ? y ? 4 ? 0 , 所以点 P 在直线 l 上, …………5 分

(II)因为点 Q 在曲线 C 上,故可设点 Q 的坐标为 ( 3 cos ? ,sin? ) , 从而点 Q 到直线 l 的距离为,

d?

3 cos ? ? sin ? ? 4 2

?

2cos(? ? 2

?
6

)?4

? 2 cos(? ?

?
6

)? 2 2

由此得,当 cos(? ?

?
6

) ? ?1 时, d 取得最小值,且最小值为 2 ……10 分

25.解: (I)? ? ? 2 cos ? ? 2 sin? ,
? ? 2 ? 2? cos ? ? 2? sin? , ?圆C的直角坐标方程为 x 2 ? y 2 ? 2x ? 2 y ? 0 ,
即 (x ? …………(2 分) …………(3 分)

2 2 2 2 2 2 ) ? (y ? ) ? 1 ,?圆心直角坐标为 ( ,? ) .…………(5 分) 2 2 2 2

(II)方法 1:直线 l 上的点向圆 C 引切线长是

(

2 2 2 2 2 t? ) ?( t? ? 4 2 ) 2 ? 1 ? t 2 ? 8t ? 40 ? (t ? 4) 2 ? 24 ? 2 6 , 2 2 2 2
…………(8 分)

∴直线 l 上的点向圆 C 引的切线长的最小值是 2 6 方法 2:?直线l的普通方程为 x ? y ? 4 2 ? 0,

…………(10 分) …………(8 分)

|
圆心 C 到 直线l 距离是

2 2 ? ?4 2| 2 2 ? 5, 2
…………(10 分)

∴直线 l 上的点向圆 C 引的切线长的最小值是 52 ? 12 ? 2 6

26.见 2012 新课标卷 23

8


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