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【三维设计】2014届高考数学一轮复习 (基础知识+高频考点+解题训练)二次函数与幂函数教学案


第六节

二次函数与幂函数

[知识能否忆起] 一、常用幂函数的图象与性质 函数 特征 性质 图象 定义域 值域 奇偶性 单调性 公共点 R R 奇 增 R {y|y≥0} 偶 (-∞,0]减 (0,+∞)增 R R 奇 增 (1,1) {x|x≥0} {y|y≥0} 非奇非偶 增 {x|x≠0} {y|y≠0} 奇 (-∞,0)和 (0,

+∞)减 1 2

y=x

y=x2

y=x3

y=x

y=x-1

二、二次函数 1.二次函数的定义 形如 f(x)=ax +bx+c(a≠0)的函数叫做二次函数. 2.二次函数解析式的三种形式 (1)一般式:f(x)=ax +bx+c(a≠0); (2)顶点式:f(x)=a(x-m) +n(a≠0); (3)零点式:f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0). 3.二次函数的图象和性质
2 2 2

a>0

a<0

图象

图象

①对称轴:x=- ; 2a

b

? b 4ac-b ? ②顶点:?- , 4a ? ? 2a ?
1

2

特点 定义域 值域 性质 奇偶性

x∈R y∈?

?4ac-b , ? 4a

2

+∞

y∈?-∞,

? ?

4ac-b ? 4a ? ?

2

b=0 时为偶函数,b≠0 时既非奇函数也非偶函数 b? ? b? b x∈?-∞,- ?时递增,x∈ 2a? ? x∈-∞, - ?时递减,x∈- , 2a? 2a ?- b ,+∞?时递减 ? 2a ? +∞时递增 ? ?

单调性

[小题能否全取] 1.若 f(x)既是幂函数又是二次函数,则 f(x)可以是( A.f(x)=x -1 C.f(x)=-x
2 2

)

B.f(x)=5x D.f(x)=x
α 2

2

解析:选 D 形如 f(x)=x 的函数是幂函数,其中 α 是常数.
? 1 ? α 2.(教材习题改编)设 α ∈?-1,1, ,3?,则使函数 y=x 的定义域为 R 且为奇函数 2 ? ?

的所有 α 值为( A.1,3 C.-1,3

) B.-1,1 D.-1,1,3

1 -1 3 3 解析:选 A 在函数 y=x ,y=x,y=x ,y=x 中,只有函数 y=x 和 y=x 的定义域 2 是 R,且是奇函数,故 α =1,3. 3.(教材习题改编)已知函数 f(x)=ax +x+5 的图象在 x 轴上方,则 a 的取值范围是 ( ) 1? ? A.?0, ? ? 20? C.? 1? ? B.?-∞,- ? 20? ?
2

? 1 ,+∞? ? ?20 ?

? 1 ? D.?- ,0? ? 20 ?
?a>0, ? 即? ? ?1-20a<0

?a>0, ? 解析:选 C 由题意知? ? ?Δ <0,

1 得 a> . 20

4.(教材习题改编)已知点 M ? ________.

? 3 ? ,3? 在幂函数 f(x)的图象上,则 f(x)的表达式为 ?3 ? ? 3?α -2 ? ,得 α =-2.故 y=x . ?3?
2

解析:设幂函数的解析式为 y=x ,则 3=?
α

答案:y=x

-2

5. 如果函数 f(x)=x +(a+2)x+b(x∈[a, ])的图象关于直线 x=1 对称, b 则函数 f(x) 的最小值为________.

2

?-a+2=1, ? 2 解析:由题意知? ? ?a+b=2,
2 2

得?

?a=-4, ? ?b=6. ?

则 f(x)=x -2x+6=(x-1) +5≥5. 答案:5

1.幂函数图象的特点 (1)幂函数的图象一定会经过第一象限,一定不会经过第四象限,是否经过第二、 三象限,要看函数的奇偶性; (2)幂函数的图象最多只能经过两个象限内; (3)如果幂函数的图象与坐标轴相交,则交点一定是原点. 2.与二次函数有关的不等式恒成立问题 (1)ax +bx+c>0,a≠0 恒成立的充要条件是?
2

? ?a>0, ?b -4ac<0. ?
2

(2)ax +bx+c<0,a≠0 恒成立的充要条件是?

2

?a<0, ? ? ?b -4ac<0.
2

[注意] 当题目条件中未说明 a≠0 时,就要讨论 a=0 和 a≠0 两种情况.

幂函数的图象与性质

典题导入 [例 1] 已知幂函数 f(x)=(m -m-1)x
2 2 -5m-3

在(0, +∞)上是增函数, m=________. 则 是幂函数,

[自主解答] ∵函数 f(x)=(m -m-1)x ∴m -m-1=1,解得 m=2 或 m=-1. 当 m=2 时,-5m-3=-13,函数 y=x
2 2

-5m-3

-13

在(0,+∞)上是减函数;

当 m=-1 时,-5m-3=2,函数 y=x 在(0,+∞)上是增函数. ∴m=-1. [答案] -1
3

由题悟法 1.幂函数 y=x 的图象与性质由于 α 的值不同而比较复杂,一般从两个方面考查: (1)α 的正负:α >0 时,图象过原点和(1,1),在第一象限的图象上升;α <0 时,图象 不过原点,在第一象限的图象下降. (2)曲线在第一象限的凹凸性:α >1 时,曲线下凸; 0<α <1 时,曲线上凸;α <0 时,曲线下凸. 2.在比较幂值的大小时,必须结合幂值的特点,选择适当的函数.借助其单调性进行 比较,准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键.
α

以题试法 1.(1)如图给出 4 个幂函数大致的图象,则图象与函数对应正确的是( )

1 1 2 -1 A.①y=x ,②y=x ,③y=x ,④y=x 3 2 1 3 2 -1 B.①y=x ,②y=x ,③y=x ,④y=x 2 1 2 3 -1 C.①y=x ,②y=x ,③y=x ,④y=x 2 1 1 2 -1 D.①y=x ,②y=x ,③y=x ,④y=x 3 2 解析:选 B 由图①知,该图象对应的函数为奇函数且定义域为 R,当 x>0 时,图象是 向下凸的,结合选项知选 B. (2)(2013·淄博模拟)若 a<0,则下列不等式成立的是( )

?1?a a A.2a>? ? >(0.2) ?2? ?1?a a C.? ? >(0.2) >2a ?2?

a ?1? a B.(0.2) >? ? >2a ?2? a ?1?a D.2a>(0.2) >? ? ?2?

a a ?1?a 解析:选 B 若 a<0,则幂函数 y=x 在(0,+∞)上是减函数,所以(0.2) >? ? >0.所以 ?2? a ?1?a (0.2) >? ? >2a. ?2?

求二次函数的解析式

4

典题导入 [例 2] 已知二次函数 f(x)有两个零点 0 和-2,且它有最小值-1. (1)求 f(x)解析式; (2)若 g(x)与 f(x)图象关于原点对称,求 g(x)解析式. [自主解答] (1)由于 f(x)有两个零点 0 和-2, 所以可设 f(x)=ax(x+2)(a≠0), 这时 f(x)=ax(x+2)=a(x+1) -a, 由于 f(x)有最小值-1,
?a>0, ? 所以必有? ?-a=-1, ?
2

解得 a=1.
2

因此 f(x)的解析式是 f(x)=x(x+2)=x +2x. (2)设点 P(x,y)是函数 g(x)图象上任一点,它关于原点对称的点 P′(-x,-y)必在

f(x)图象上,
所以-y=(-x) +2(-x), 即-y=x -2x,
2 2

y=-x2+2x,
故 g(x)=-x +2x. 由题悟法 求二次函数的解析式常用待定系数法. 合理选择解析式的形式, 并根据已知条件正确地 列出含有待定系数的等式,把问题转化为方程(组)求解是解决此类问题的基本方法. 以题试法 2.设 f(x)是定义在 R 上的偶函数,当 0≤x≤2 时,y=x,当 x>2 时,y=f(x)的图象 是顶点为 P(3,4),且过点 A(2,2)的抛物线的一部分. (1)求函数 f(x)在(-∞,-2)上的解析式; (2)在下面的直角坐标系中直接画出函数 f(x)的草图; (3)写出函数 f(x)的值域.
2

解:(1)设顶点为 P(3,4)且过点 A(2,2)的抛物线的方程为 y=a(x-3) +4,将(2,2)代 入可得 a=-2, 则 y=-2(x-3) +4,
5
2

2

即 x>2 时,f(x)=-2x +12x-14. 当 x<-2 时,即-x>2. 又 f(x)为偶函数,f(x)=f(-x)=-2×(-x) -12x-14, 即 f(x)=-2x -12x-14. 所以函数 f(x)在(-∞,-2)上的解析式为
2 2

2

f(x)=-2x2-12x-14.
(2)函数 f(x)的图象如图,

(3)由图象可知,函数 f(x)的值域为(-∞,4].

二次函数的图象与性质

典题导入 [例 3] 已知函数 f(x)=x +2ax+3,x∈[-4,6]. (1)当 a=-2 时,求 f(x)的最值; (2)求实数 a 的取值范围,使 y=f(x)在区间[-4,6]上是单调函数. [自主解答] (1)当 a=-2 时,f(x)=x -4x+3=(x-2) -1,由于 x∈[-4,6]. 所以 f(x)在[-4,2]上单调递减,在[2,6]上单调递增, 故 f(x)的最小值是 f(2)=-1,又 f(-4)=35,f(6)=15,故 f(x)的最大值是 35. (2)由于函数 f(x)的图象开口向上,对称轴是 x=-a,所以要使 f(x)在[-4,6]上是单 调函数,应有-a≤-4 或-a≥6,即 a≤-6 或 a≥4. 故 a 的取值范围为(-∞,-6]∪[4,+∞).
2 2 2

本例条件不变,求当 a=1 时,f(|x|)的单调区间. 解:当 a=1 时,f(x)=x +2x+3, 则 f(|x|)=x +2|x|+3,此时定义域为 x∈[-6,6],
?x +2x+3,x∈? 0,6], ? 且 f(x)=? 2 ? ?x -2x+3,x∈[-6,0],
2 2 2

6

故 f(|x|)的单调递增区间是(0,6], 单调递减区间是[-6,0].

由题悟法 解决二次函数图象与性质问题时要注意: (1)抛物线的开口,对称轴位置,定义区间三者相互制约,常见的题型中这三者有两定 一不定,要注意分类讨论. (2)要注意数形结合思想的应用,尤其是给定区间上二次函数最值问题的求法. 以题试法 3. (2012·泰安调研)已知函数 f(x)=-x +2ax+1-a 在 x∈[0,1]时有最大值 2, a 则 的值为________. 解析:f(x)=-(x-a) +a -a+1, 当 a>1 时,ymax=a; 当 0≤a≤1 时,ymax=a -a+1; 当 a<0 时,ymax=1-a. 根据已知条件?
?a>1, ? ? ?a=2 ?0≤a≤1, ? 或? 2 ? ?a -a+1=2 ?a<0, ? 或? ? ?1-a=2,
2 2 2 2

解得 a=2 或 a=-1. 答案:2 或-1 二次函数的综合问题

典题导入 [例 4] (2012·衡水月考)已知函数 f(x)=x ,g(x)=x-1. (1)若存在 x∈R 使 f(x)<b·g(x),求实数 b 的取值范围; (2)设 F(x)=f(x)-mg(x)+1-m-m ,且|F(x)|在[0,1]上单调递增,求实数 m 的取值 范围. [自主解答] (1)? x∈R,f(x)<bg(x)? ? x∈R,
2 2

x2-bx+b<0? (-b)2-4b>0? b<0 或 b>4.
故 b 的取值范围为(-∞,0)∪(4,+∞). (2)F(x)=x -mx+1-m , Δ =m -4(1-m )=5m -4. 2 5 2 5 ①当 Δ ≤0,即- ≤m≤ 时, 5 5
2 2 2 2 2

7

?m≤0, ?2 则必需? 2 5 2 5 ?- 5 ≤m≤ 5 ?

2 5 ?- ≤m≤0. 5

2 5 2 5 ②当 Δ >0,即 m<- 或 m> 时,设方程 F(x)=0 的根为 x1,x2(x1<x2). 5 5 若 ≥1,则 x1≤0, 2

m

?m≥1, ? 即?2 ?F? 0? =1-m2≤0 ?
若 ≤0,则 x2≤0, 2

? m≥2;

m

?m≤0, ? 即?2 ? ?F? 0? =1-m2≥0

2 5 ? -1≤m≤- . 5

综上所述,m 的取值范围为[-1,0]∪[2,+∞). 由题悟法 二次函数与二次方程、二次不等式统称“三个二次”,它们之间有着密切的联系,而二 次函数又是“三个二次”的核心, 通过二次函数的图象贯穿为一体. 因此, 有关“三个二次” 的问题,数形结合,密切联系图象是探求解题思路的有效方法. 以题试法 4.若二次函数 f(x)=ax +bx+c(a≠0)满足 f(x+1)-f(x)=2x,且 f(0)=1. (1)求 f(x)的解析式; (2)若在区间[-1,1]上,不等式 f(x)>2x+m 恒成立,求实数 m 的取值范围. 解:(1)由 f(0)=1,得 c=1.即 f(x)=ax +bx+1. 又 f(x+1)-f(x)=2x, 则 a(x+1) +b(x+1)+1-(ax +bx+1)=2x, 即 2ax+a+b=2x,
?2a=2, ? 所以? ? ?a+b=0,
2 2 2 2 2

解得?

?a=1, ? ? ?b=-1.

因此,f(x)=x -x+1. (2)f(x)>2x+m 等价于 x -x+1>2x+m,即 x -3x+1-m>0,要使此不等式在[-1,1] 上恒成立,只需使函数 g(x)=x -3x+1-m 在[-1,1]上的最小值大于 0 即可. ∵g(x)=x -3x+1-m 在[-1,1]上单调递减,
8
2 2 2 2

∴g(x)min=g(1)=-m-1, 由-m-1>0 得,m<-1. 因此满足条件的实数 m 的取值范围是(-∞,-1).

1.已知幂函数 f(x)=x 的部分对应值如下表:

α

x f(x)
则不等式 f(|x|)≤2 的解集是( A.{x|0<x≤ 2} C.{x|- 2≤x≤ 2} )

1 1

1 2 2 2

B.{x|0≤x≤4} D.{x|-4≤x≤4}

2 1 1 1 ?1? 解析:选 D 由 f? ?= ? α = ,即 f(x)=x ,故 f(|x|)≤2? |x| ≤2? |x|≤4, 2 2 2 ?2? 2 故其解集为{x|-4≤x≤4}. 2.已知函数 y=ax +bx+c,如果 a>b>c 且 a+b+c=0,则它的图象可能是(
2

)

解析:选 D ∵a>b>c,且 a+b+c=0, ∴a>0,c<0.∴图象开口向上与 y 轴交于负半轴. 1 3.已知 f(x)=x ,若 0<a<b<1,则下列各式中正确的是( 2 )

?1? ?1? A.f(a)<f(b)<f? ?<f? ? a b ? ? ? ? ?1? ?1? B.f? ?<f? ?<f(b)<f(a) a b ? ? ? ? ?1? ?1? C.f(a)<f(b)<f? ?<f? ? b a ? ? ? ? ?1? ?1? D.f? ?<f(a)<f? ?<f(b) a b ? ? ? ?

9

解析:选 C

1 1 1 因 为 函 数 f(x) = x 在 (0 , + ∞) 上 是 增 函 数 , 又 0<a<b< < , 故 2 b a

f(a)<f(b)<f? ?<f? ?. ?b? ?a?
4.已知 f(x)=x +bx+c 且 f(-1)=f(3),则(
2

?1? ?1?

)

?5? A.f(-3)<c<f? ? ?2? ?5? C.f? ?<f(-3)<c ?2?

?5? B.f? ?<c<f(-3) ?2? ?5? D.c<f? ?<f(-3) ?2?

解析:选 D 由已知可得二次函数图象关于直线 x=1 对称,则 f(-3)=f(5),c=f(0)

?5? =f(2),二次函数在区间(1,+∞)上单调递增,故有 f(-3)=f(5)>f? ?>f(2)=f(0)=c. ?2?
5.设二次函数 f(x)=ax -2ax+c 在区间[0,1]上单调递减,且 f(m)≤f(0),则实数 m 的取值范围是( A.(-∞,0] C.(-∞,0]∪[2,+∞)
2 2

) B.[2,+∞) D.[0,2]

解析:选 D 二次函数 f(x)=ax -2ax+c 在区间[0,1]上单调递减,则 a≠0,f′(x) =2a(x-1)≤0,x∈[0,1], 所以 a>0,即函数图象的开口向上,对称轴是直线 x=1. 所以 f(0)=f(2),则当 f(m)≤f(0)时,有 0≤m≤2. 6. 若方程 x -2mx+4=0 的两根满足一根大于 1, 一根小于 1, m 的取值范围是( 则 5? ? A.?-∞,- ? 2? ? C.(-∞,-2)∪(2,+∞)
2 2

)

?5 ? B.? ,+∞? ?2 ? ? 5 ? D.?- ,+∞? ? 2 ?

解析:选 B 设 f(x)=x -2mx+4,则题设条件等价于 f(1)<0,即 1-2m+4<0,解得

m> .
1 2 7.对于函数 y=x ,y=x 有下列说法: 2 ①两个函数都是幂函数; ②两个函数在第一象限内都单调递增; ③它们的图象关于直线 y=x 对称; ④两个函数都是偶函数; ⑤两个函数都经过点(0,0)、(1,1); ⑥两个函数的图象都是抛物线型. 其中正确的有________.
10

5 2

解析:从两个函数的定义域、奇偶性、单调性等性质去进行比较. 答案:①②⑤⑥ 8.(2012·北京西城二模)已知函数 f(x)=x +bx+1 是 R 上的偶函数,则实数 b= ________,不等式 f(x-1)<x 的解集为________. 解析:因为 f(x)=x +bx+1 是 R 上的偶函数,所以 b=0,则 f(x)=x +1,解不等式 (x-1) +1<x,即 x -3x+2<0 得 1<x<2. 答案:0 {x|1<x<2}
2 2 2 2 2 2

9.若 x≥0,y≥0,且 x+2y=1,那么 2x+3y 的最小值为________. 1 解析:由 x≥0,y≥0,x=1-2y≥0 知 0≤y≤ , 2 令 t=2x+3y =3y -4y+2,
2 2

? 2?2 2 则 t=3?y- ? + . ? 3? 3
1 3 ? 1? 在?0, ?上递减,当 y= 时,t 取到最小值,tmin= . 2 4 ? 2? 3 答案: 4 1 2 3 10.如果幂函数 f(x)=x- p +p+ (p∈Z)是偶函数,且在(0,+∞)上是增函数.求 2 2

p 的值,并写出相应的函数 f(x)的解析式.
解:∵f(x)在(0,+∞)上是增函数, 1 2 3 2 ∴- p +p+ >0,即 p -2p-3<0. 2 2 ∴-1<p<3. 又∵f(x)是偶函数且 p∈Z, ∴p=1,故 f(x)=x . 11.已知二次函数 f(x)的图象过点 A(-1,0)、B(3,0)、C(1,-8). (1)求 f(x)的解析式; (2)求 f(x)在 x∈[0,3]上的最值; (3)求不等式 f(x)≥0 的解集. 解:(1)由题意可设 f(x)=a(x+1)(x-3), 将 C(1,-8)代入得-8=a(1+1)(1-3),得 a=2. 即 f(x)=2(x+1)(x-3)=2x -4x-6. (2)f(x)=2(x-1) -8, 当 x∈[0,3]时,由二次函数图象知,
2 2 2

f(x)min=f(1)=-8,f(x)max=f(3)=0.
11

(3)f(x)≥0 的解集为{x|x≤-1,或 x≥3}. 12.已知函数 f(x)=ax -2ax+2+b(a≠0),若 f(x)在区间[2,3]上有最大值 5,最小 值 2. (1)求 a,b 的值; (2)若 b<1,g(x)=f(x)-m·x 在[2,4]上单调,求 m 的取值范围. 解:(1)f(x)=a(x-1) +2+b-a. 当 a>0 时,f(x)在[2,3]上为增函数, 故?
?f? ? ? ?f?
2 2

3? =5, 2? =2,

?9a-6a+2+b=5, ? ?? ? ?4a-4a+2+b=2,

??

?a=1, ? ? ?b=0.

当 a<0 时,f(x)在[2,3]上为减函数, 故?
?f? ? ?f? ?

3? =2, 2? =5,

?9a-6a+2+b=2, ? ?? ?4a-4a+2+b=5, ?
2

??

?a=-1, ? ?b=3. ?

(2)∵b<1,∴a=1,b=0,即 f(x)=x -2x+2.

g(x)=x2-2x+2-mx=x2-(2+m)x+2,
∵g(x)在[2,4]上单调, ∴ 2+m m+2 ≤2 或 ≥4.∴m≤2 或 m≥6. 2 2

1? ? 2 1. 已知 y=f(x)是偶函数, x>0 时,(x)=(x-1) , 当 f 若当 x∈?-2,- ?时,≤f(x)≤m n 2? ? 恒成立,则 m-n 的最小值为( A. C. 1 3 3 4 ) 1 B. 2 D.1
2

解析:选 D 当 x<0 时,-x>0,f(x)=f(-x)=(x+1) , 1? ? ∵x∈?-2,- ?, 2? ? ∴f(x)min=f(-1)=0,f(x)max=f(-2)=1, ∴m≥1,n≤0,m-n≥1. 2.(2012·青岛质检)设 f(x)与 g(x)是定义在同一区间[a,b]上的两个函数,若函数 y =f(x)-g(x)在 x∈[a,b]上有两个不同的零点,则称 f(x)和 g(x)在[a,b]上是“关联函 数”, 区间[a, ]称为“关联区间”. f(x)=x -3x+4 与 g(x)=2x+m 在[0,3]上是“关 b 若 联函数”,则 m 的取值范围为________. 解析:由题意知,y=f(x)-g(x)=x -5x+4-m 在[0,3]上有两个不
12
2 2

同的零点.在同一坐标系下作出函数 y=m 与 y=x -5x+4(x∈[0,3])的图象如图所示,结

2

? 9 ? ? 9 ? 2 合图象可知,当 x∈[2,3]时,y=x -5x+4∈?- ,-2?,故当 m∈?- ,-2?时,函数 y ? 4 ? ? 4 ?
=m 与 y=x -5x+4(x∈[0,3])的图象有两个交点.
2

? 9 ? 答案:?- ,-2? ? 4 ?
3.(2013·滨州模拟)已知函数 f(x)=ax +bx+c(a>0,b∈R,c∈R). (1)若函数 f(x)的最小值是 f(-1)=0,且 c=1,F(x)=? +F(-2)的值; (2)若 a=1,c=0,且|f(x)|≤1 在区间(0,1]上恒成立,试求 b 的取值范围. 解:(1)由已知得 c=1,a-b+c=0,- =-1, 2a 解得 a=1,b=2.则 f(x)=(x+1) .
?? x+1? ,x>0, ? 则 F(x)=? 2 ? ?-? x+1? ,x<0.
2 2 2

?f? ?

x? ,x>0, x? ,x<0,

? ?-f?

求 F(2)

b

故 F(2)+F(-2)=(2+1) +[-(-2+1) ]=8. 1 2 2 (2)由题意得 f(x)=x +bx, 原命题等价于-1≤x +bx≤1 在(0,1]上恒成立, b≤ - 即

2

2

x

x 且 b≥- -x 在(0,1]上恒成立. x
1 1 又当 x∈(0,1]时, -x 的最小值为 0,- -x 的最大值为-2,

1

x

x

故-2≤b≤0.

1.比较下列各组中数值的大小. (1)3
0.8, 0.7

3 ;(2)0.21 0.23 ;

3,

3

2 2 3 0.5, 0.3 (3)4.1 ,3.8- ,(-1.4) ;(4)0.2 0.4 . 5 5 5 解:(1)函数 y=3 是增函数,故 3 >3 . (2)y=x 是增函数,故 0.21 <0.23 . 2 2 3 2 2 3 (3)4.1 >1,0<3.8- <1,而(-1.4) <0,故 4.1 >3.8- >(-1.4) . 5 5 5 5 5 5 (4)先比较 0.2 与 0.2 ,再比较 0.2 与 0.4 ,y=0.2 是减函数,故 0.2 <0.2 ;
0.5 0.3 0.3 0.3 3 3 3

x

0.8

0.7

x

0.5

0.3

y=x0.3 在(0,+∞)上是增函数,故 0.20.3<0.40.3.则 0.20.5<0.40.3.

13

2.设 abc>0,二次函数 f(x)=ax +bx+c 的图象可能是(

2

)

解析:选 D 当- <0 时,ab>0,从而 c>0,可排除 A,C; 2a 当- >0 时,ab<0,从而 c<0,可排除 B,选 D. 2a 3.已知函数 f(x)=ax -2x+1. (1)试讨论函数 f(x)的单调性; 1 (2)若 ≤a≤1,且 f(x)在[1,3]上的最大值为 M(a),最小值为 N(a),令 g(a)=M(a)- 3
2

b

b

N(a),求 g(a)的表达式;
1 (3)在(2)的条件下,求证:g(a)≥ . 2 解:(1)当 a=0 时,函数 f(x)=-2x+1 在(-∞,+∞)上为减函数; 1 2 当 a>0 时,抛物线 f(x)=ax -2x+1 开口向上,对称轴为 x= ,

a

1? ? ?1 ? 故函数 f(x)在?-∞, ?上为减函数,在? ,+∞?上为增函数;

?

a?

?a

?

1 2 当 a<0 时,抛物线 f(x)=ax -2x+1 开口向下,对称轴为 x= ,

a

1? ? ?1 ? 故函数 f(x)在?-∞, ?上为增函数,在? ,+∞?上为减函数.

?

a?

?a

?

1 ? 1?2 (2)∵f(x)=a?x- ? +1- ,

?

a?

a

1 1 1 ?1? 由 ≤a≤1 得 1≤ ≤3,∴N(a)=f? ?=1- . a? 3 a a ? 1 1 当 1≤ <2,即 <a≤1 时,M(a)=f(3)=9a-5, a 2 1 故 g(a)=9a+ -6;

a

1 1 1 当 2≤ ≤3,即 ≤a≤ 时,M(a)=f(1)=a-1, a 3 2
14

1 故 g(a)=a+ -2.

a

1 ?a+a-2,a∈?1,1?, ?3 2? ? ? ? ∴g(a)=? 1 1 ? ? ?9a+a-6,a∈?2,1?. ? ? ? 1 ?1 1? (3)证明:当 a∈? , ?时,g′(a)=1- 2<0, a ?3 2?

?1 1? ∴函数 g(a)在? , ?上为减函数; ?3 2?
1 ?1 ? 当 a∈? ,1?时,g′(a)=9- 2>0, 2 ? a ?

?1 ? ∴函数 g(a)在? ,1?上为增函数, ?2 ?
1 ?1? 1 ∴当 a= 时,g(a)取最小值,g(a)min=g? ?= . 2 ?2? 2 1 故 g(a)≥ . 2

15


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