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第八节 正弦定理和余弦定理的应用


第八节
【知识要点】

正弦定理和余弦定理的应用

三角函数公式变形与正、余弦定理的综合

【典型例题】

# 1.在△ABC 中,已知 b 2 ? bc ? 2c 2 ? 0, a ? 6 , cos A ? , 求 S ?ABC .

7 8

#

2.在△ABC 中, A ? 1200 , c ? b, a ? 21, S? ABC ? 3 ,求 b, c

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1

高二数学

# 3.已知 △ ABC 的面积为 3 ,且满足 0 ≤ AB?AC ≤ 6 ,
设 AB 和 AC 的夹角为 ? . (I)求 ? 的取值范围;

??? ??? ? ?

??? ?

??? ?

(II)求函数 f (? ) ? 2sin ?
2

?π ? ? ? ? ? 3 cos 2? 的最大值与最小值. ?4 ?

2

高二数学

4.根据下列条件,判断三角形形状. (1)

a b c ? ? sin A cos B cos C

(2) b ? cos A ? a ? cos B (3) a ? cos A ? b ? cos B (4) sin B ? sin C ? cos
2 2
2

A 2

(5) a tan B ? b tan A

5. 在△ABC 中, c = 2 2 , a ? b ,C= 试求 a , b 及此三角形的面积。

? ,且有 tan A ? tan B ? 6 , 4

3

高二数学

6.在锐角 ?ABC ,求证 (1) sin A ? sin B ? sin C ? cos A ? cos B ? cos C (2) tan A ? tan B ? tan C ? 1

7.已知在 ?ABC 中, ?A, ?B, ?C 的对边分别为 a、

a 3 ? b3 ? c 3 ? c 2 ,且 acosB=bcosA,试判 b、c,若 a?b?c
断 ?ABC 的形状

4

高二数学

8.已知在△ABC 中,sinA(sinB+cosB)-sinC=0, sinB+cos2C=0,求角 A、B、C 的大小.

* 9.如果△ABC 内接于半径为 R 的圆,且
2R(sin 2 A ? sin 2 C) ? ( 2a ? b) sin B, 求
△ABC 的面积的最大值 .
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5

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10.如图,甲船以每小时 30 2 海里的速度向正北方 航行,乙船按固定方向匀速直线航行,当甲船位于 A 1 处时,乙船位于甲船的北偏西 105 方向的 B1 处,此时 两船相距 20 海里,当甲船航行 20 分钟到达 A2 处时, 乙船航行到甲船的北偏西 120 方向的 B2 处,此时两船 相距 10 2 海里,问乙船每小时航行多少海里?
?
?



120? A 2

B2

105? A 1


B1


* 11.已知 ?ABC 的三个内角 A, B, C 满足: A ? C ? 2 B ,
A?C 1 1 2 ? ?? , 求 cos 2 cos A cos C cos B

6

高二数学

课堂训练及作业
姓名: 成绩:

# 1.已知 A,B 两地的距离为 10km,B、C 两地的距离为 20km,
现测得 ?ABC ? 120 则 A,C 两地的距离为 (
0



A.10km C. 10 5 km

B. 10 3 km D. 10 7 km

2.在△ABC 中,若 (a ? c)(a ? c) ? b(b ? c) ,则 ? A ? ( A 90
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0

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B 60
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0

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C 120
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0

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D 150
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0

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3. ?ABC 中,若 C ? 90 ,则 tan A ? tan B 与 1 的大小关系为 (
?



A. tan A ? tan B ? 1 C. tan A ? tan B ? 1

B. tan A ? tan B ? 1 D. 不能确定.

4. ?ABC 中,若 sin A ?

4 12 , cos B ? ,则 cos C ? ( 5 13
B. ?

)

A.

56 65

16 65
7 高二数学

C.

56 16 或? 65 65

D. ?

33 65

5.在△ABC 中,已知 c=10 2 ,C=60°,

a=

20 3 ,则∠A= 3

.

# 6.在△ABC 中,若 sin A ? 2 cos B cosC, 则 tan B ? tanC ? _________

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7.在 △ ABC 中, a,b,c 分别是三个内角 A,B,C 的对边. 若 a ? 2,

C?

π B 2 5 , cos ? ,求 △ ABC 的面积 S . 4 2 5

8

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