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双曲线基础练习题1


双曲线练习题
一. 选择题
1.已知双曲线的离心率为 2,焦点是 (?4, 0), (4, 0) ,则双曲线的方程是 A.

x2 y 2 ? ?1 4 12

B.

x2 y 2 ? ?1 12 4

C.

x2 y 2 ? ?1 10 6

D.

x2 y 2 ? ?1 6 10

2.设椭圆 C1 的离心率为

5 ,焦点在 x 上,长轴长为 26 ,若曲线 C2 上的点到椭圆 C1 的两个焦点距离差 13

的绝对值等于 8,则曲线 C2 的标准方程是 A.

x2 y 2 ? ?1 42 32

B.

x2 y 2 ? ?1 132 52

C.

x2 y 2 ? ?1 32 42

D.

x2 y2 ? 2 ?1 2 13 12

3. 已知双曲线

4 x2 y 2 ? 2 ? 1 的一条渐近线方程为 y ? x ,则双曲线的离心率等于 2 3 a b
B.

A.

5 3

4 3

C.

5 4

D.

3 2

4.

x2 y2 ? ? 1 的离心率为 3 ,则 n ? 已知双曲线 n ? 12 n
B.4 C.6 D.

A. ? 2

?8

5.设 F 1 、 F2 是双曲线 心率是 A.

x2 y 2 ? ? 1 的两个焦点,若 F1 、 F2 、 P(0, 2b) 是正三角形的三个顶点,那么其离 a 2 b2
5 2

3 2
2

B.

C. 2

D. 3

6.已知双曲线 3x A. 2 7.如果双曲线 A.

? y 2 ? 9 ,则双曲线右支上的点 P 到右焦点的距离与点 P 到右准线距离之比等于
B.

2 3 3

C. 2

D.4

x2 y 2 ? ? 1 上一点 P 到双曲线右焦点的距离是 2,那么点 P 到 y 的距离是 4 2
B.

4 6 3

2 6 3

C. 2 6

D. 2 3

8. 设

F1,F2 是 双 曲 线

x2 y 2 ? ?1 的左、右焦点,若其右支上存在一点 a 2 b2

? P 使 得 ?F1 PF2 ? 90 , 且

PF1 ? 3 PF2 ,则 e ?
A.

3 ?1 2

B.

3 ?1

C.

3 ?1 2

D.

3 ?1

9. 若双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的两个焦点到一条准线的距离之比为 3 : 2 ,则双曲线的离心率是 a 2 b2
B.5 C.

A.3

3

D.

5

10. 设 △ ABC 是等腰三角形, ?ABC

? 120? ,则以 A,B 为焦点且过点 C 的双曲线的离心率为
C.

A.

1? 2 2

B.

1? 3 2

1? 2

D. 1 ?

3

11. 双曲线

x2 y 2 ? M ? 2 ? 1 的左、 右焦点分别是 F 过F ,F2 , 1 1 作倾斜角为 30 的直线交双曲线右支于 2 a b
A.

点,

若 MF2 垂直于 x 轴,则双曲线的离心率为

6

B.

3

C.

2

D.

3 3

12.

x2 y2 设 a ? 1, 则双曲线 2 ? ? 1的离心率 e 的取值范围是 a (a ? 1)2
A. (

2, 2)

B. (

2,5)

C. (2, 5)

D. (2,5 )

13 .已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1? b ? 0 ? 的左、右焦点分别为 F1 、 F2 ,它的一条渐近线方程为 y ? x ,点 2 b2

P( 3, y0 ) 在该双曲线上,则 PF PF2 1?
A. ?12 14.双曲线 B. ? 2

???? ???? ?

?
C. 0 D. 4 ,则离心率 e 的

x2 y 2 ? ? 1 的两个焦点为 F1 、 F2 ,若 P 为其上一点,且 PF1 ? 2 PF2 a 2 b2
C. (3,+?)

取值范围是

,3) A. (1
15.设 P 为双曲线 x2 ? 的面积为 A. 6 16 .设

B. (1 ,3]

D.[3,∞ ? )

y2 2,则 ?PF1 F2 ? 1 上一点, F 1 : PF2 ? 3: 1 、 F2 是双曲线的两个焦点,若 PF 12

3

B. 12

C. 12

3

D. 24

F1 、 F2 是双曲线 x2 ?

???? ???? ? y2 PF2 ? 0 ,则 ? 1 的左、右焦点, P 为该双曲线上一点,且 PF 1? 9

???? ???? ? PF1 ? PF2 ?
A.

10

B. 2

10

C.

5

D. 2

5

二.填空题

17.已知双曲线

x2 y 2 3 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的两条渐近线方程是 y ? ? x ,若顶点到渐近线的距离 2 a b 3

为 1,则双曲线方程为 18.以 F 0) , F2 (6, 0) 为焦点,离心率 e ? 2 的双曲线的方程是 1 (?6, 19.中心在原点,一个焦点是 F , 0) ,渐近线方程是 1 (?3

5x ? 2 y ? 0 的双曲线的方程为

0) 且与圆 x2 ? y 2 ? 4 x ? 0 外切的动圆圆心的轨迹方程是 20.过点 N (2,
21.已知双曲线的顶点到渐近线的距离为 2,焦点到渐近线的距离为 6,则该双曲线的离心率为 22. 已知双曲线 9 y
2

? m2 x2 ? 1(m ? 0) 的一个顶点到它的一条渐近线的距离为

1 ,则 m ? 5

23.已知双曲线

x2 y 2 ? ? ? 1(a ? 2) 的两条渐近的夹角为 2 3 a 2

,则双曲线的离心率为

24. 已知双曲线

x2 y 2 a2 ? OAF ? ? 1 的右焦点为 F , 右准线与一条渐近线交于点 A , 的面积为 a 2 b2 2

, (O

为坐标原点) ,则该双曲线的两条渐近线的夹角为

25 . 过 双 曲 线

x2 y 2 ? ? 1 左 焦 点 F1 的 直 线 交 双 曲 线 的 左 支 于 M ,N 4 3

两点,

F2 为 其 右 焦 点 , 则

MF2 ? NF2 ? MN =
26. 若双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的右支上存在一点,它到右焦点及左准线的距离相等,则 e 取值范围是 a 2 b2
为 其 右 焦 点 ,M 是 右 准 线 ? : x ? 2 与 x 轴 的 交 点 , 若

27 . .P

x2 y 2 是 曲 线 2 ? 2 ? 1 的 右 支 上 一 点 ,F a b

?PMF ? 60? , ?PFM ? 45? ,则双曲线方程是
28.过双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点 F 且平行双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点 B, A 为右顶点, 9 16

则 ?FAB 的面积等于 三.解答题 29.分别求满足下列条件的双曲线方程 (1)中心在原点,一条准线方程是 x

?

5 5

,离心率 e ?

(2)中心在原点,离心率 e ? 5;

5 顶点 2

到渐近线的距离为

2 5 ; 5

30. 已知双曲线 C: 2 双曲线 C 上.

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? 0,b ? 0) 的两个焦点为 F1 (?2, 0) , F2 (2, 0) ,点 P(3,7) 在 a b

⑴求双曲线 C 的方程;

2) 的直线 l 与双曲线 C 相交于不同的两点 E,F ,若 S△OEF ⑵记 O 为坐标原点,过点 Q (0,
求 l 方程.

? 2 2,

双曲线练习题答案
一.选择题
1.A 2. A3.A4. B 5. C6. C7. A8D9. D10. B11. B12. B13.C14.B15.B16B 二.填空题 17.

x y x y y x2 3 y 2 ? 1? x ? 1? 21. 322. 4 ? ? 1 19. ? ? 1 20. x 2 ? ? ? 1 18. 4 4 3 9 27 4 5
25. 826.

2

2

2

2

2

? 2 3 23. 24. 2 3
二. 解答题

?

32 x2 y 2 ? 1,2 ? 1? 27. ? ? 1 28. 15 12 60

29.分别求满足下列条件的双曲线方程 (1)中心在原点,一条准线方程是 x

?

y2 5 2 ?1 ,离心率 e ? 5 ; x ? 4 5

(2)中心在原点,离心率 e

?

5 2 5 x2 ? y2 ? 1 顶点到渐近线的距离为 ; 4 2 5

30.

x2 y 2 已知双曲线 C: 2 ? 2 ? 1(a ? 0,b ? 0) 的两个焦点为 F 0) , F2 (2, 0) ,点 P(3,7) 在 1 (?2, a b

双曲线 C 上.

2) 的直线 l 与双曲线 C 相交于不同的两点 ⑴求双曲线 C 的方程;⑵记 O 为坐标原点,过点 Q (0,

E,F ,若 S△OEF ? 2 2 ,求 l 方程.⑴解略:双曲线方程为
⑵解:直线 l

x2 y 2 ? ?1. 2 2


: y ? kx ? 2 ,代入双曲线 C 的方程并整理,得 (1 ? k 2 ) x2 ? 4kx ? 6 ? 0 .

? 直线 l 与双曲线 C 相交于不同的两点 E,F ,
?1 ? k 2 ? 0, ? ? ?k ? ?1, ?? ?? , ? k ? (? 3 , ?1) ? (?11) , ? (1 ,3) . 2 2 ?? 3 ? k ? 3. ?? ? (?4k ) ? 4 ? 6(1 ? k ) ? 0, ? ?


设 E( x1,y1 ),F ( x2,y2 ) ,则由①式得 x1 ?

x2 ?

4k 1? k 2

, x1 x2

??

6 1? k 2



? EF ? ( x1 ? x2 )2 ? ( y1 ? y2 )2 ? (1 ? k 2 )( x1 ? x2 ) 2

2 2 3? k2 ? 1 ? k ? ( x1 ? x2 ) ? 4 x1 x2 ? 1 ? k ? 1? k 2
2 2 2

而原点 O 到直线 l 的距离 d

?

2 1? k 2



? S△OEF ?

1 1 2 2 2 3? k2 2 2 3? k2 d ? EF ? ? ? 1? k 2 ? ? 2 2 1? k 2 1? k 2 1? k 2



若 S△OEF

2 2 3? k2 ? 2 2 ? k 4 ? k 2 ? 2 ? 0 ,解得 k ? ? 2 ,此满足② ? 2 2 ,即 2 1? k

故满足条件的直线 l 有两条,其方程分别为

y ? 2x ? 2 和 y ? ? 2x ? 2


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