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北京市东城区普通学校2014届高三11月联考数学理试题


东城区普通校 2013-2014 学年第一学期联考试卷
高三 数学(理科) 命题校:北京市第二十二中学 2013 年 11 月

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 150 分,考试用时 120 分钟。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。祝各位考生考试顺利!

第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共 12 小

题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题列出的四个 选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.若集合 M ? x x ? 2 ? 0 , N ? x ( x ? 3)( x ? 1) ? 0 ,则 M ? N = (A)

?

?

?

?

? x 2 ? x ? 3?

(B) x x ? 1

?

?

(C) x x ? 3

?

?

(D) x 1 ? x ? 2

?

?

2. 命题“若 a ? b ,则 a ? 1 ? b ”的逆否命题是 (A)若 a ? 1 ? b ,则 a ? b (C)若 a ? 1 ? b ,则 a ? b 3. “ x ? 2 ”是“ x 2 ? 4 ”的 (A)充分不必要条件 (C)充要条件 (B)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件 (B)若 a ? 1 ? b ,则 a ? b (D)若 a ? 1 ? b ,则 a ? b

4. 已知数列 ?an ? 为等差数列,且 a1 ? 2, a2 ? a3 ? 13, 则 a4 ? a5 ? a6 等于 (A)40 (B)42 (C)43 (D)45

5. 下列函数中,图象关于坐标原点对称的是 (A) y ? lg x 6.曲线 (B) y ? cos x (C) y ?| x | (D) y ? sin x

y ?

1 3 x 在 x=1 处切线的倾斜角为 3
(B) ?

(A)1

?
4

(C)

?
4

(D)

7. 要得到函数 y ? sin 2 x ? ( (A)向左平移 (C)向右平移

?
4

5? 4

的图象,只要将函数 y ? sin 2 x 的图象 ) (B)向右平移 (D)向左平移

? ?
4

单位 单位

?

?

4 8

单位 单位

8

8.下列函数中,在 (- 1, 1) 内有零点且单调递增的是

(A) y = log 1 x
2

(B) y = 2 - 1

x

(C) y = x -

2

1 2

(D) y = - x

3

9.设 a ? log 1 2 , b ? log 2 3 , c ? ( )0.3 ,则
3

1 2

(A) a ? b ? c (C) b ? c ? a

(B) a ? c ? b (D) b ? a ? c

10.如图,是函数 y ? f (x )的导函数 f ? x )的图象,则下面判断正确的是 ( (A)在区间(-2,1)上 f (x )是增函数 (B)在(1,3)上 f (x )是减函数 (C)在(4,5)上 f (x )是增函数 (D)当 x ? 4 时, f (x )取极大值 11.已知数列 {an } 为等比数列, a 4 ? a 7 ? 2 , a5 ? a 6 ? ?8 ,则 a1 ? a10 的值为 (A) 7 (B) ? 5 (C) 5 (D) ? 7 -3 -2 O 1

y
2 3 4 5

x

12. 设函数 f1 ( x) ? log 2 x ? ( ) x , f 2 ( x) ? log 1 x ? ( ) x 的零点分别为 x1 , x2 ,则
2

1 2

1 2

(A) 0 ? x1 x2 ? 1

(B) x1 x2 ? 1

(C) 1 ? x1 x2 ? 2

(D) x1 x2 ? 2

第Ⅱ卷
二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.
13. 函数 f (x ) ? lg(x ? 1)的定义域是______________. 14. 已知 sin ? ? 15. 若 曲 线 y ? 为

3 ,且 ? 为第二象限角,则 tan ? 的值为 5

.

1 3 2 1 x ? x ? 的某一切线与直线 y ? ? x ? 3 垂直,则切点坐标 4 2 2
.

16. 在 ?ABC 中,若 a ? 3 , b ? 3 , ?B ?

?? ,则 c ? ____. 3

17.已知函数 y=f(x) (x∈R)满足 f(-x+2)=f(-x),当 x∈[-1,1]时,f(x)=|x|,则 y=f(x)与 y=log7x 的交点的个数为________. 18.①命题“对任意的 x∈ R,x3-x2+1≤0”的否定是“存在 x∈ R,x3-x2+1>0”; ②函数 f ( x) ? 2 ? x 的零点有 2 个;
x 2

③若函数 f(x)=x2-|x+a|为偶函数,则实数 a=0; ④函数 y ? sin x ( x ? ? ?? , ? ?) 图象与 x 轴围成的图形的面积是 S ?
x-5

?

π



sin xdx ;

?a ?x>6?, ? ⑤若函数 f(x)=?? a? 在 R 上是单调递增函数,则实数 a 的取值范围 ??4-2?x+4 ?x≤6?, ?
为(1,8) . 其中真命题的序号是 (写出所有正确命题的编号) .

三、解答题:本大题共 4 小题,共 60 分.解答应写出文字说明、证明过程 或演算步骤.
19. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? 3 sin x cos x ? cos 2 x . (Ⅰ)求 f ( x) 的最小正周期; (Ⅱ)当 x ? [0,

?
2

] 时,求函数 f ( x) 的最大值及相应的 x 的值.

20. (本小题满分 14 分) 在锐角 ?ABC 中,角 A , B , C 所对的边分别为 a , b , c .已知 cos 2C ? ? (Ⅰ)求 sin C ; (Ⅱ)当 c ? 2a ,且 b ? 3 7 时,求 a .

3 . 4

21.(本小题共 14 分) 在公差不为 0 的等差数列 ?an ? 中, a4 ? 10 ,且 a3 , a6 , a10 成等比数列. (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)设 bn ? 2 n (n ? N*) ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和公式.
a

22.(本小题共 18 分) 已知函数 f ( x) ? x ln x . (Ⅰ)求函数 f ( x) 在 [1,3] 上的最小值; (Ⅱ)若存在 x ? [ , e] ( e 为自然对数的底数,且 e = 2.71828? )使不等式

1 e

2 f ( x) ? ? x 2 ? ax ? 3 成立,求实数 a 的取值范围;
(Ⅲ)若 F (x )的导函数为 f (x ),试写出一个符合要求的 F (x )(无需过程).

东城区普通校 2013-2014 学年第一学期联考试卷答题纸
高三 数学(理科) 命题校:北京市第二十二中学 2013 年 11 月

第Ⅰ卷
1_______2_______3_______4_______5_______6_______

7_______8_______9______10______11_______12______

第Ⅱ卷
13. 14.

15.

16

17.

18.

19 解

21. 解:

东城区普通校 2013-2014 学年第一学期联考答案
高三 数学(理科) 参考答案 (以下评分标准仅供参考,其它解法自己根据情况相应地给分) 命题校:北京市第二十二中学 2013 年 11 月

一.选择题 1 A 7 C 2 C 8 B 3 A 9 B 4 B 10C 5 D 11D 6 C 12A

二.填空题 13. {x | x >1 } 14. ? 16.
3 4

15. (1,2)
18. ①③(写对一个给 2 分,写错一个不得分)

3

17. 6

三.解答题 19.解: (Ⅰ)因为 f ( x) ?
所以 T ?

3 1 1 ? 1 sin 2 x ? cos 2 x ? ? sin(2 x ? ) ? , 2 2 2 6 2
???????? 7分

2? ? ? ,故 f ( x) 的最小正周期为 ? . 2

(Ⅱ)因为 0 ≤ x ≤

? ? ? 5? , 所以 ? ≤ 2 x ? ≤ . 2 6 6 6 ? ? ? 1 所以当 2 x ? ? ,即 x ? 时, f (x) 有最大值 . 6 2 3 2

??????14 分

3 7 20.解: (Ⅰ)由已知可得 1 ? 2sin 2 C ? ? .所以 sin 2 C ? . 4 8
因为在 ?ABC 中, sin C ? 0 , 所以 sin C ?

14 . 4

?????????????????7 分

(Ⅱ)因为 c ? 2a ,所以 sin A ?

1 14 . sin C ? 2 8

因为 ?ABC 是锐角三角形,所以 cos C ?

5 2 2 , cos A ? . 8 4

所以 sin B ? sin( A ? C ) ? sin A cos C ? cos A sin C

?

14 2 5 2 14 3 7 . ? ? ? ? 8 4 8 4 8 3 7 a ,所以 a ? 14 . ? sin B sin A
??????????14 分

由正弦定理可得:

21.解: (Ⅰ)设数列 ?an ? 的公差为 d ,又 a4 ? 10 ,
可得 a3 ? 10 ? d , a6 ? 10 ? 2d , a10 ? 10 ? 6d .
2 由 a3 , a6 , a10 成等比数列得 a3 a10 ? a6 ,

即 (10 ? d )(10 ? 6d ) ? (10 ? 2d ) ,
2

整理得 10d 2 ? 10d ? 0 , 解得 d ? 0 或 d ? 1 . 由 d ? 0 ,可得 d ? 1 .

a1 ? a4 ? 3d ? 10 ? 3 ?1 ? 7 ,
所以 an ? a1 ? (n ? 1)d ? n ? 6 . (Ⅱ)由 bn ? 2 n (n ? N*) , an ? n ? 6 ,可得 bn ? 2n ? 6 .
a

???????7 分

所以 b1 ? 21? 6 ? 128 .

bn ?1 2n ? 7 ? n?6 ? 2 , 因为 bn 2
所以数列 ?bn ? 是首项为 128 ,公比为 2 的等比数列.

所以 ?bn ? 的前 n 项和公式为 S n ?

128(1 ? 2n ) ? 2n ? 7 ? 128 .???14 分 1? 2

22.解: (Ⅰ)由 f ( x) ? x ln x ,可得 f ? ? x ? ? ln x ? 1 ,
当 x ? (0, ) 时, f ?( x) ? 0, f ( x) 单调递减; 当 x ? ( , ??) 时, f ?( x) ? 0, f ( x) 单调递增. 所以函数 f (x) 在 [1,3] 上单调递增. 又 f (1) ? ln1 ? 0 , 所以函数 f ( x) 在 [1,3] 上的最小值为 0 .
2

1 e

1 e

???????7 分

(Ⅱ)由题意知, 2 x ln x ? ? x ? ax ? 3, 则 a ? 2 ln x ? x ?

3 . x

若存在 x ? [ , e] 使不等式 2 f ( x) ? ? x ? ax ? 3 成立,
2

1 e

只需 a 小于或等于 2 ln x ? x ? 设 h ? x ? ? 2 ln x ? x ?

3 的最大值. x

2 3 ? x ? 3?? x ? 1? 3 . ? x ? 0 ? ,则 h? ? x ? ? ? 1 ? 2 ? x x x2 x

当 x ? [ ,1) 时, h? ? x ? ? 0, h ? x ? 单调递减; 当 x ? (1, e] 时, h? ? x ? ? 0, h ? x ? 单调递增. 由 h( ) ? ?2 ?

1 e

1 e

1 3 1 2 ? 3e , h(e) ? 2 ? e ? , h( ) ? h(e) ? 2e ? ? 4 ? 0 , e e e e

可得 h( ) ? h(e) . 所以,当 x ? [ , e] 时, h(x) 的最大值为 h( ) ? ?2 ? 故 a ? ?2 ? (Ⅲ) F (x ) ?

1 e

1 e

1 e

1 ? 3e . e
??????14 分

1 ? 3e . e

x2
2

ln x ?

x2
4

??????18 分


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