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玉溪一中分校2015届高三数学检测(1)


玉溪一中分校 2015 届高三数学检测(1)
一.选择题:
1.集合 A ? {x | x ? 2 ? 0} , B ? {x | x ? a} ,若 A A. (??, ?2] B. [?2, ??)

B ? A ,则实数 a 的取值范围是( C. (??, 2] D. [2, ??)
( ) D. ? 1 ? i



2.已知 i 为虚数单位,复数 z 满足 iz ? 1 ? i ,则 z ? A. 1 ? i B. 1 ? i

C. ? 1 ? i

3.下列函数中,在其定义域内既是偶函数又在 (??, 0) 上单调递增的函数是( ) A. f ( x) ? x2 B. f ( x) ? 2
x

C. f ( x) ? log 2

1 x

D. f ( x) ? sin x

4.已知向量 a, b ,其中 a ? 2, b ? 2 ,且 (a ? b) ? a ,则向量 a 与 b 的夹角是( A.
? 6


开始

B.

? 4

C.

? 2

D.

? 3

5.执行如图所示的程序框图,输出的 S 值为 ?4 时,则输入的 S0 的值为 ( ) A. 7 B. 8 ;② a < b
c c

i=1,S=S0 i=i+1

C. 9

D. 10
i<4? 否 输出 S 结束 是

S=S ?2

i

6. 设 a>b>1, c ? 0 ,给出下列三个结论: o ①

c c > a b

; ③ logb (a ? c) ? loga (b ? c) ,

其中所有的正确结论的序号是 ( ). A.① B.① ② C.② ③ D.① ②③ 7. 已知函数① y ? sin x ? cos x , ② y ? 2 2 sin x cos x , 则下列结论正 确的是( )

(第 5 题图)

A.两个函数的图象均关于点 ( ?

?
4

, 0) 成中心对称图形

B.两个函数的图象均关于直线 x ? ? C.两个函数在区间 ( ?

?
4

成轴对称图形

? ?

, ) 上都是单调递增函数 4 4

D.两个函数的最小正周期相同 8.已知 P 是 ?ABC 所在平面内一点,PB ? PC ? 2PA ? 0 , 现将一粒黄豆随机撒在 ?ABC 内, 则黄豆落在 ?PBC 内的概率是 ( A. ) C.

1 4
160 3

B.

1 3

2 3

D.

1 2


9.已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积等于( A. B. 32 C.

32 3

D.

352 3

10.在 ?ABC 中, 内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,若 ?ABC 的面积为 S ,且 2S ? (a ? b)2 ? c2 , 则 tan C 等于( A. ) B.

3 4

4 3

C. ?

4 3

D. ?

3 4

11 . 定 义 在 R 上 的 函 数 f ( x) 满 足 f (? x) ? ? f ( x), f ( x ? 2) ? f ( x ? 2) , 且 x ? (? 1, 0 ) 时

1 f ( x) ? 2 x ? ,则 f (log 2 20) = ( ) 5 4 4 A. ?1 B. C. 1 D. ? 5 5 2 12.抛物线 y ? 2 px ( p > 0 )的焦点为 F ,已知点 A 、 B 为抛物线上的两个动点,且满足 | MN | ?AFB ? 120? .过弦 AB 的中点 M 作抛物线准线的垂线 MN ,垂足为 N ,则 的最大 | AB |
值为 A. ( ) B. 1 C.

3 3

2 3 3

D. 2

二.填空题

?x ? y ?1 ? 0 ?x ? y ? 2 ? 0 ? 13.设 z ? x ? 2 y ,其中实数 x , y 满足 ? , 则 z 的取值范围是_______. ?x ? 0 ? ?y ? 0
14. 已知圆 O : x2 ? y 2 ? 1 , 直线 x ? 2 y ? 5 ? 0 上动点 P , 过点 P 作圆 O 的一条切线 , 切点为

A ,则 PA 的最小值为_________.
15.观察下列等式: 1 ? 1 ,1 ? 2 ? 3 , 1 ? 2 ? 3 ? 6 ,1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 10 ,
3 2 3 3 2 3 3 3 2 3 3 3 3 2

, 根据上

述规律,第 n 个等式为 16. 表面积为 60? 的球面上有四点 S , A, B, C 且 ?ABC 是等边三角形, 球心 O 到平面 ABC 的 距离为 3 ,若平面 SAB ? 平面 ABC ,则棱锥 S ? ABC 体积的最大值为 三.解答题 17. 已知数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn 和通项 an 满足 2Sn ? an ? 1 ,数列 ?bn ? 中, b1 ? 1 , b2 ? .

1 , 2

2 1 1 ? ? n? N* ? . ? bn?1 bn bn ? 2
(1)求数列 ?an ? , ?bn ? 的通项公式; (2)数列 {cn } 满足 cn ?

an ,求 {cn } 的前 n 项和 Tn . bn

18.云南省 2014 年全省高中男生身高统计调查数据显示:全省 100000 名男生的平

均身高为 170.5cm.现从我校高三年级男生中随机抽取 50 名测量身高, 测量发现被 测学生身高全部介于 157.5cm 和 187.5 cm 之间, 将测量结果按如下方式分成 6 组: 第一组 [157.5,162.5],第二组[162.5,167.5],?, 第 6 组[182.5,187.5],
下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图. (1)试评估我校高三年级男生在全省高中男生中 的平均身高状况; (2)已知我校这 50 名男生中身高排名(从高到低) 在全省前 100 名有 2 人,现从身高在 182.5 cm 以上 (含 182.5 cm)的人中任意抽取 2 人,求该 2 人中 至少有 1 人身高排名(从高到低)在全省前 100 名 的概率 19.如图, AB 为圆 O 的直径,点 E , F 在圆 O 上,且 AB ∥ EF ,矩形 ABCD 所在的

平面和圆 O 所在的平面互相垂直,且 AD ? EF ? AF ? 1 , AB ? 2
(1)求证:平面 AFC ⊥ 平面 CBF . (2)在线段 CF 上是否存在一点 M ,使得 OM ∥ 平 面 ADF ,并说明理由.

x2 y 2 2 20.如图,已知椭圆 E : 2 ? 2 ? 1 ? a ? b ? 0 ? 的离心率为 ,且过点 2, 2 ,四 a b 2 边形 ABCD 的顶点在椭圆 E 上,且对角线 y b2 AC , BD 过原点 O , k AC ? k BD ? ? 2 。 C a

?

?

B

(1)求 OA ? OB 的取值范围; (2)求证:四边形 ABCD 的面积为定值.

D

O A

x

21.已知函数 f ( x ) ?

a ? ln x 在点 (1, f (1)) 处的切线与 x 轴平行. x

(1)求实数 a 的值及 f ?x ? 的极值; (2)如果对任意 x1 , x2 ?[e ,??) ,有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? k
2

1 1 ,求实数 k 的取值范围. ? x1 x2

? 2 t ?x ? ? 5 ? 2 t为参数 ,若以 O 为极 23. 在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为 ? ? ? ? ? y? 5? 2t ? 2 ? 点, x 轴的正半轴为极轴,取相同的单位长度建立极坐标系,已知曲线 C 的极坐标方程为 ? ? 4 cos ? .
(Ⅰ)求曲线 C 的直角坐标方程及直线 l 的普通方程; (Ⅱ)将曲线 C 上的所有点的横坐标缩短为原来的

1 ,再将所得曲线向左平移 1 个单位,得 2

到曲线 C1,求曲线 C1 上的点到直线 l 的距离的最小值.

24. 已知函数 f ( x) ? log2 (| x ? 1 | ? | x ? 2 | ?a) . (Ⅰ)当 a ? 7 时,求函数 f ( x) 的定义域; (Ⅱ)若关于 x 的不等式 f ( x) ? 3 的解集是 R ,求 a 的取值范围.

玉溪一中分校 2015 届高三数学检测(1)

文科数学答案
1.D 2.A 3.C 14. 4.B 2 5.D 6.D 7.C 8.D 9.A 10.C 11.A 12.A
3 3 3 3

? 7? 13. ?0, ? ? 2?

15. 1 ? 2 ? 3 ? 4 ?

? n(n ? 1) ? ?n ? ? ? 2 ? ?
3

2

16.27

1 17.解.(Ⅰ)由 2Sn ? an ? 1 ,得 S n ? ?1 ? an ? 2
当 n ? 2 时, an ? S n ? S n ?1 ? 即 2an ? ?an ? an ?1 ?

1 1 1 1 ?1 ? an ? ? ?1 ? an?1 ? ? ? an ? an?1 2 2 2 2

an 1 ? (由题意可知 an?1 ? 0 ) an ?1 3
1

?an ? 是公比为 3 的等比数列,而 S1 ? a1 ? 2 ?1 ? a1 ?
? a1 ? 1 1 ?1? ,? an ? ? ? ? 3 3 ? 3?
n ?1

1

?1? ?? ? ? 3?

n



2 1 1 1 1 1 1 1 1 ,得 ? 1, ? 2, d ? ? ? ? ? 1,? ? n,? bn ? bn ?1 bn bn ? 2 b1 b2 b2 b1 bn n
n

a ?1? (2) cn ? n ? n ? ? ,设 Tn ? c1 ? c2 ? bn ?3?
?1? ?1? ?1? Tn ? 1? ? ? ? 2 ? ? ? ? 3 ? ? ? ? ?3? ?3? ? 3? 1 Tn ? 3 ?1? ?1? 1? ? ? ? 2 ? ? ? ? ?3? ?3?
2 3 1 2 3

? cn ,则
n

?1? ? n?? ? ? 3?

?1? ?1? ? ? n ? 1? ? ? ? ? n ? ? ? ?3? ? 3?
n n

n

n ?1

3 3 ? 1 ? 1 ? 1 ? 3 2n ? 3 1 Tn ? ? ? ? ? ? n ? ? ? ? ? n. 4 4 ?3? 2 ?3? 4 4 3 (12 分) 由错位相减,化简得:
18.解: (Ⅰ )由直方图,经过计算我校高三年级男生平均身高为

160 ? 0.1 ? 165 ? 0.2 ? 170 ? 0.3 ? 175 ? 0.2 ? 180 ? 0.1 ? 185 ? 0.1 ? 171
高于全市的平均值 170.5(6 分) (II)这 50 人中 182.5 cm 以上的有 5 人,分别设为 A,B,C,D,E,其中身高排名在全省前 100 名为 A,B。设“该 2 人中至少有 1 人身高排名(从高到低)在全省前 100 名”为事件 A, 由列举法可知 P(A ) ?

7 (12 分) 10

19. 解:(1)∵ 平面 ABCD⊥ 平面 ABEF,CB⊥ AB, 平面 ABCD∩ 平面 ABEF=AB,∴ CB⊥ 平面 ABEF,∵ AF?平面 ABEF, ∴ AF⊥ CB,又∵ AB 为圆 O 的直径,∴ AF⊥ BF,∴ AF⊥ 平面 CBF. ∵ AF?面 AFC,∴ 平面 AFC⊥ 平面 CBF; (6 分) (2)取 CF 中点记作 M,设 DF 的中点为 N,连接 AN,MN 则 MN ,又 AO ,则 MN AO,

所以 MNAO 为平行四边形, (10 分) ∴ OM∥ AN,又 AN?平面 DAF,OM?平面 DAF, ∴ OM∥ 平面 DAF. (12 分)

? c 2 ? ? 2 ? a ?a 2 ? 8 x2 y 2 ? 4 2 20.解: (1) ? 2 ? 2 ? 1 ? ? 2 ? ? ?1 2分 8 4 ?b ? 4 ? a2 b ?a ? b 2 ? c 2 ? ? 当直线 AB 的斜率存在时,设 lAB : y ? kx ? m, A? x1, y1 ? , B ? x2 , y2 ?.
由?

? y ? kx ? m ? ?1 ? 2k 2 ? x2 ? 4kmx ? 2m2 ? 8 ? 0 2 2 ?x ? 2 y ? 8

? x1 ? x2 ?

?4km 2m 2 ? 8 , x x ? 。………………..4 分 1 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 2 m2 ? 8k 2 ? ?4km ? 2 2m ? 8 2 。 y1 y2 ? ? kx1 ? m ?? kx2 ? m ? ? k ? km ? ?m ? 2 ? 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 ? 1 ? 2k ?

kOA ? kOB ? ?

y y b2 1 ? 1? 2 ?? 2 a x1 x2 2

m2 ? 8k 2 1 2m 2 ? 8 ? ?? ? ? m2 ? 4b2 ? 2 2 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2m2 ? 8 m2 ? 8k 2 4k 2 ? 2 4 OA ? OB ? x1 x2 ? y1 y2 ? ? ? 2 ? 2? 2 , 2 2 1 ? 2k 1 ? 2k 2k ? 1 2k ? 1 ??2 ? OA ? OB ? 2,当k=0时OA ? OB= -2,

………………..6 分

当k不存在即AB ? x轴时OA ? OBmax =2,
所以 OA ? OB 的范围是 ? ?2, 2? 。………………..8 分

? 2 ? S ABCD ? 4S
S
AOB

AOB

?

1 ? 1? k 2 ? 2

? x1 ? x2 ?

2

? 4 x1 x2 ?

m 1? k 2

………………..10 分

? 2 4k 2 ? m 2 ? 4 ? 2 2 ? S ABCD ? 8 2

………………..12 分

1 ? x ? (a ? ln x) 1 ? a ? ln x 21.解: (1) f ?( x) ? x ? 2 x x2
∵ f ( x ) 在点 (1, f (1)) 处的切线与 x 轴平行∴ f ?(0) ? ∴ a ? 1 ∴ f ( x) ?

1 ? a ? ln 1 ?0 12

1 ? ln x , x ? 0, x

f ?( x) ? ?

ln x , x2

当 0 ? x ? 1 时, f ?( x) ? 0, 当 x ? 1 时 f ?( x) ? 0, ∴ f ( x ) 在 (0,1) 上单调递增,在 (1,??) 单调递减, 故 f ( x ) 在 x ? 1 处取得极大值 1,无极小值 (2)由(1)的结论知, f ( x ) 在 [e ,??) 上单调递减,不妨设 x1 ? x2 ? e ,
2

2

则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? k

1 1 1 1 ? f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? k ( ? ) ? x2 x1 x1 x2

? f ( x2 ) ?

k k ? f ( x1 ) ? x2 x1

k 2 在 [e ,??) 上单调递减, x k 1 ? ln x k ? , 又 F ( x) ? f ( x) ? ? x x x k ? ln x ? F ?( x) ? ? 0, 在 [e2 ,??) 上恒成立,? k ? ln x 在 e 2 ,??) 上恒成立, 2 x

? 函数 F ( x) ? f ( x) ?

?

在 [e ,??) 上 (ln x) min ? ln e ? 2 ,
2

2

?k ? 2
23.解: (1)曲线 C 的直角坐标方程为:

x2 ? y 2 ? 4x

2 即: ? x ? 2 ? ? y ? 4 2

直线 l 的普通方程为 x ? y ? 2 5 ? 0 (2)将曲线 C 上的所有点的横坐标缩为原来的

4分

1 ,得 2

? 2x ? 2?

2

?y ?4
2

y2 ?1 即 ? x ? 1? ? 4
2

再将所得曲线向左平移 1 个单位,得 C1 : x ?
2

y2 ?1 4

又曲线 C1 的参数方程为 ?

? x ? cos ? ( ? 为参数) ,设曲线 C1 上任一点 P ? cos? , 2sin ? ? ? y ? 2sin ?
? 2 5 ? 5 sin ?? ? ? ? 2 ?
1 10 (其中 tan ? ? ? ) 2 2

则 d p ?l ?

cos ? ? 2sin ? ? 2 5 2

? 点 P 到直线 l 的距离的最小值为

10 。 2

24.(Ⅰ)由 | x ? a |? m 得, a ? m ? x ? a ? m ,

? x ? 8, } ∵其解集为 {x |? 2
∴?

?a ? 3 ?a ? m ? ?2 ,解得, ? ; ?m ? 5 ? a?m?8

?????4 分

(Ⅱ)由(1)知, f ( x) ?| x ? 3 | ,

? f (1 ? ) f x (? m ) 则不等式 f ( 2 x? 1 ) 为:
, 2x ? 2 ? 2 ? x? 2

? ?x ? 2 当 x ? ?2 时,原不等式化为 2 ? 2x ? 2 ,则 x ? 2 ,
∴ x ? ?2 ;

? x? 2 当 ?2 ? x ? 1 时,原不等式化为 2 ? 2x ? 2 ,则 x ? ?
∴ ?2 ? x ? ? ;

2 , 3

2 3

? x? 2 当 x ? 1 时,原不等式化为 2 x ? 2? 2 ,则 x ? 6 ,
∴x ?6; 综上,不等式的解集是 ? x x? ?

? ?

2 ? 或 x? 6 ? 。 3 ?

???????10 分


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