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高中数学解题方法谈 用二分法求函数零点


用二分法求函数零点
二分法是求函数图象连续不间断的函数变号零点的一种算法.使用二分法求零点须满 足:① y ? f ( x) 在闭区间 [a,b] 上的图象连续不间断;② f (a) f (b) ? 0 .二分法不适合不 变号零点的情况. 二分法求零点的基本方法是: 第一步 取初始区间 [a,b] ,使 f (a) f (b) ? 0 ,且所给区间恰好能找到函数的一个零 点; 第二步 取区间 [a,b] 的中点 x1 ,求 f ( x1 ) 的值,并作出判断,若 f ( x1 ) ? 0,x1 就是 所求零点,计算结束;若 f ( x1 ) ? 0 ,判定零点是在区间 [a,x1 ] 还是在 [ x1,b] 上,即判断

f (a) f ( x1 ) ? 0 , f ( x1 ) f (b) ? 0 哪一个成立,从而进入下一步计算;
第三步 对已确定的区间,重复第二步,直到达到规定的误差要求,计算结束. 实施上述步骤,函数的零点总位于区间 [an,bn ] ,当 的中点 xn ?

an ? bn ? 2? 时,区间 [an,bn ]

1 (an ? bn ) 就是函数 y ? f ( x) 的近似零点, 这时函数 y ? f ( x) 的近似零点与真 2

正零点的误差不超过 ? .这也就是说:函数的零点总位于区间 [an,bn ] 内,得到一系列的有 根区间 [a0,b0 ] 輀 [a1,b1 ] 葺

[an,bn ]

,其中每一个区间的长度都是前一个区间的

一 半 . 设 区 间 [an,bn ] 的 长 度 为 dn , 则 d n ? bn ? an ?

b0 ? a0 1 , xn ? c ? d n , 即 n 2 2

xn ? c ?
xn ? c ?

b0 ? a0 ( 其 中 c 为 函 数 的 真 正 零 点 ) . 所 以 当 an ? bn ? 2? 时 , 2n ?1
1 1 d n ? bn ? an ? ? 2 2
. 反 过 来 , 由

xn ? c ? ?







xn ? c ?

b ?a b ?a 1 d n ? 0 n ?1 0 ? ?, 2n ?1 ? 0 0 ( ? 为精确度要求, , a0,b0 为初始区间端点值) 2 2 ?

根据该式可以确定 n 的最小值 n0 ,这样我们做题时就可以事先知道需要 n0 次取中点就能求 出符合精确度要求的近似零点.了解这一点,对解题是非常有益的. 例 用二分法求函数 f ( x) ? x ? x ? 3x ? 3 的正零点(精确到 0.01).
3 2

解:

f ( x) ? x3 ? x2 ? 3x ? 3 ? x2 ( x ?1) ? 3( x ?1) ? ( x ?1)( x2 ? 3) ? ( x ?1)( x ? 3)( x ? 3) ? 0

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∴函数的零点为 ?1 , ? 3,3 . 其中 3 为正零点,于是问题转化为求 3 的近似解问题. 设 3?x ,x ? 3 ,令 f ( x) ? x2 ? 3 ,3 , 3 也是函数 f ( x) ? x2 ? 3 的零点,
2

∵ f (1) ? ?2 ? 0,f (2) ? 1 ? 0 , ,

, 2] 用二分法逐次计算. ∴可取初始区间 [1
由2
n ?1

?

b0 ? a0

?

,知 2

n ?1

?

2 ?1 ? 100 ,经验证, n 取最小值为 6 时,即经过 6 次取 0.01

中点就能取得符合精确度要求的近似零点,列表如下: 端点(中点)坐标 计算中点的函数值 取区间

an ? bn
1 0.5 0.25 0.125 0.0625 0.03125 0.015625

[1 , 2]
1? 2 ? 1.5 2 1.5 ? 2 x2 ? ? 1.75 2 1.5 ? 1.75 x3 ? ? 1.625 2 1.625 ? 1.75 x4 ? ? 1.6875 2 1.6875 ? 1.75 x5 ? ? 1.71875 2 1.71875 ? 1.75 x6 ? ? 1.734375 2 1.71875 ? 1.734375 x7 ? ? 1.7265625 2 x1 ?

f ( x1 ) ? ?0.75 ? 0 f ( x2 ) ? 0.0625 ? 0 f ( x3 ) ? ?0.3594 ? 0 f ( x4 ) ? ?0.1523 ? 0 f ( x5 ) ? ?0.0459 ? 0 f ( x6 ) ? 0.0081 ? 0

[1.5, 2] [1.51.75] , [1.625, 1.75] [1.68751.75] , [1.71875, 1.75] [1.71875, 1.734375]

, 1.734375] 的长度小于 2 ? 0.01 ? 0.02 . ∵区间 [1.71875
于是函数 f ( x ) 的正零点为 x7 ? 1.7265625 .

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