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《创新设计》2017届高考数学(文)二轮复习(江苏专用)课件+Word版训练专题一 函数与导数、不等式 第4讲


一、填空题 1.曲线 y=xex+1 在点(0,1)处的切线方程是________. 解析 y′=ex+xex=(x+1)ex, y′|x=0=1,∴所求切线方程为:x-y+1=0. 答案 x-y+1=0 2.(2016· 洛阳模拟)曲线 y=xln x 在点(e,e)处的切线与直线 x+ay=1 垂直,则 实数 a 的值为________. 1 解析 依题意得 y′=1+ln x,y′|x=e=1+ln e=2,所以-a×2=-1,所以 a =2. 答案 2 3.(2016· 全国Ⅲ卷)已知 f(x)为偶函数,当 x<0 时,f(x)=ln(-x)+3x,则曲线 y =f(x)在点(1,-3)处的切线方程是________. 解析 设 x>0,则-x<0,f(-x)=ln x-3x,又 f(x)为偶函数,f(x)=ln x-3x, 1 f′(x)= x-3,f′(1)=-2,切线方程为 y=-2x-1. 答案 2x+y+1=0 ?2 ?2?? ?2? ?? 4.已知 f(x)=x3+f′?3?x2-x,则 f(x)的图象在点?3,f? ?3??处的切线斜率是 ? ? ? ________. 2 ?2? ?2? ?2?2 ?2? 2 解析 f′(x)=3x2+2f′?3?x-1,令 x=3,可得 f′?3?=3×?3? +2f′?3?×3-1, ? ? ? ? ? ? ? ? ?2 ?2?? ?2? ?? 解得 f′?3?=-1,所以 f(x)的图象在点?3,f? ?3??处的切线斜率是-1. ? ? ? 答案 -1 1 5.函数 f(x)=3x3-x2-3x-1 的图象与 x 轴的交点个数是________. 解析 f′(x)=x2-2x-3=(x+1)(x-3),函数 f(x)在(-∞,-1)和(3,+∞)上是 增函数,在(-1,3)上是减函数,由 f(x)极小值=f(3)=-10<0,f(x)极大值=f(-1) 2 =3>0 知函数 f(x)的图象与 x 轴的交点个数为 3. 答案 3 6.(2016· 常州监测)关于 x 的方程 x3-3x2-a=0 有三个不同的实数解,则实数 a

的取值范围是________. 解析 由题意知使函数 f(x)=x3-3x2-a 的极大值大于 0 且极小值小于 0 即可, 又 f′(x)=3x2-6x=3x(x-2), 令 f′(x)=0, 得 x1=0, x2=2.当 x<0 时, f′(x)>0; 当 0<x<2 时,f′(x)<0;当 x>2 时,f′(x)>0,所以当 x=0 时,f(x)取得极 大值,即 f(x)极大值=f(0)=-a;当 x=2 时,f(x)取得极小值,即 f(x)极小值=f(2)= ?-a>0, -4-a,所以? 解得-4<a<0. ?-4-a<0, 答案 (-4,0) 7.已知 y=f(x)为 R 上的可导函数,当 x≠0 时,f′(x)+ 1 +x,则函数 g(x)的零点个数为________. xf′(x)+f(x) h′(x) 解析 令 h(x)=xf(x),因为当 x≠0 时, > 0 ,所以 > x x 0, 因此当 x>0 时, h′(x)>0, 当 x<0 时, h′(x)<0, 又 h(0)=0, 易知当 x≠0 时,h(x)>0,又 g(x)= 答案 0 8.(2015· 安徽卷)设 x3+ax+b=0,其中 a,b 均为实数,下列条件中,使得该三 次方程仅有一个实根的是________(写出所有正确条件的编号). ①a=-3,b=-3;②a=-3,b=2;③a=-3,b>2; ④a=0,b=2;⑤a=1,b=2. 解析 令 f(x)=x3+ax+b,f′(x)=3x2+a, 当 a≥0 时,f′(x)≥0,f(x)单调递增,必有一个实根,④⑤正确;当 a<0 时, 由于选项当中 a=-3, ∴只考虑 a=-3 这一种情况, f′(x)=3x2-3=3(x+1)(x -1),∴f(x)极大=f(-1)=-1+3+b=b+2,f(x)极小=f(1)=1-3+b=b-2,要 使 f(x)=0 仅有一个实根,则需 f(x)极大<0 或 f(x)极小>0,∴b<-2 或 b>2,①③正 确,所有正确条件为①③④⑤. 答案 ①③④⑤ 二、解答题 9.(2016· 扬州质检)已知函数 f(x)=2ln x-x2+ax(a∈R). h(x)+1 ,所以 g(x)≠0,故函数 g(x)的零点个数为 0. x f(x) x >0,若 g(x)=f(x)

(1)当 a=2 时,求 f(x)的图象在 x=1 处的切线方程; ?1 ? (2)若函数 g(x)=f(x)-ax+m 在?e,e?上有两个零点,求实数 m 的取值范围. ? ? 解 (1)当 a=2 时,f(x)=2ln x-x2+2x,

2 f′(x)= x -2x+2,切点坐标为(1,1), 切线的斜率 k=f′(1)=2,则切线方程为 y-1=2(x-1),即 y=2x-1. (2)g(x)=2ln x-x2+m, -2(x+1)(x-1) 2 则 g′(x)=x -2x= . x ?1 ? 因为 x∈? e,e?,所以当 g′(x)=0 时,x=1. ? ? 1 当 e<x<1 时,g′(x)>0,此时函数单调递增; 当 1<x<e 时,g′(x)<0,此时函数单调递减. 故 g(x)在 x=1 处取得极大值 g(1)=m-1. 1 ?1? 又 g? e?=m-2-e2,g(e)=m+2-e2, ? ? 1 ?1? ?1? g(e)-g?e?=4-e2+e2<0,则 g(e)<g? e?, ? ? ? ? ?1 ? 所以 g(x)在?e,e?上的最小值是 g(e). ? ? ?1 ? g(x)在?e,e?上有两个零点的条件是 ? ? g(1)=m-1>0, ? ? 1 ? ?1? 解得 1<m≤2+e2, 1 g? ?=m-2-e2≤0, ? ? ?e? 1? ? 所以实数 m 的取值范围是?1,2+e2?. ? ? 10.(2015· 江苏高考命题原创卷)已知函数 f(x)=x2-aln x-1,函数 F(x)= x-1 . x+1

(1)如果函数 f(x)的图象上的每一点处的切线斜率都是正数,求实数 a 的取值范 围; (2)当 a=2 时, 你认为函数 y= f(x) 的图象与 y=F(x)的图象有多少个公共点? x-1

请证明你的结论. 解 (1)∵f(x)=x2-aln x-1 的定义域为(0,+∞),函数 f(x)的图象上的每一点

处的切线斜率都是正数, a ∴f′(x)=2x- x>0 在(0,+∞)上恒成立. ∴a<2x2 在(0,+∞)上恒成立, ∵y=2x2>0 在(0,+∞)上恒成立,∴a≤0. ∴所求的 a 的取值范围为(-∞,0]. (2)当 a=2 时,函数 y= f(x) 的图象与 y=F(x)的图象没有公共点.证明如下: x-1

f(x) x2-2ln x-1 当 a=2 时,y= = ,它的定义域为{x|x>0 且 x≠1},F(x)的 x-1 x-1 定义域为[0,+∞). 当 x>0 且 x≠1 时,由 2ln x-x+2 x-2, 2 1 ( x-1)(2x x+2x+ x+2) 则 h′(x)=2x- x-1+ = . x x ∴当 0<x<1 时,h′(x)<0,此时,h(x)单调递减; 当 x>1 时,h′(x)>0,此时,h(x)单调递增. ∴当 x>0 且 x≠1 时,h(x)>h(1)=0,即 h(x)=0 无实数根. ∴当 a=2,x>0 且 x≠1 时, ∴当 a=2 时,函数 y= f(x) =F(x)无实数根. x-1 f(x) =F(x)得 x2-2ln x-x+2 x-2=0.设 h(x)=x2- x-1

f(x) 的图象与 y=F(x)的图象没有公共点. x-1

11.(2016· 全国Ⅰ卷)已知函数 f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2 有两个零点. (1)求 a 的取值范围; (2)设 x1,x2 是 f(x)的两个零点,证明:x1+x2<2. (1)解 f′(x)=(x-1)ex+2a(x-1)=(x-1)(ex+2a).

①设 a=0,则 f(x)=(x-2)ex,f(x)只有一个零点. ②设 a>0,则当 x∈(-∞,1)时,f′(x)<0;当 x∈(1,+∞)时,f′(x)>0,所 以 f(x)在(-∞,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增.

a a 又 f(1)=-e,f(2)=a,取 b 满足 b<0 且 b<ln2,则 f(b)>2(b-2)+a(b-1)2= 3 ? ? a?b2-2b?>0, ? ? 故 f(x)存在两个零点. ③设 a<0,由 f′(x)=0 得 x=1 或 x=ln(-2a). e 若 a≥-2,则 ln(-2a)≤1,故当 x∈(1,+∞)时,f′(x)>0,因此 f(x)在(1, +∞)上单调递增. 又当 x≤1 时,f(x)<0,所以 f(x)不存在两个零点. e 若 a<-2,则 ln(-2a)>1,故当 x∈(1,ln(-2a))时,f′(x)<0;当 x∈(ln(-2a), +∞)时,f′(x)>0,因此 f(x)在(1,ln(-2a))上单调递减,在(ln(-2a),+∞) 上单调递增. 又当 x≤1 时,f(x)<0,所以 f(x)不存在两个零点. 综上,a 的取值范围为(0,+∞). (2)证明 不妨设 x1<x2.由(1)知 x1∈(-∞,1),x2∈(1,+∞),2-x2∈(-∞,

1),f(x)在(-∞,1)上单调递减,所以 x1+x2<2 等价于 f(x1)>f(2-x2),即 f(2- x2)<0. 由于 f(2-x2)=-x2e2-x2+a(x2-1)2, 而 f(x2)=(x2-2)· ex2+a(x2-1)2=0, 所以 f(2-x2)=-x2e2-x2-(x2-2)ex2. 设 g(x)=-xe2-x-(x-2)ex, 则 g′(x)=(x-1)(e2-x-ex), 所以当 x>1 时, g′(x)<0, 而 g(1)=0,故当 x>1 时,g(x)<0,从而 g(x2)=f(2-x2)<0,故 x1+x2<2.


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