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【数学】3.2.1《复数代数形式的加减运算及几何意义》教案(新人教A版选修2-2)


§3.2.1 复数代数形式的加减运算及几何意义
教学目标: 知识与技能:掌握复数的加法运算及意义 过程与方法:理解并掌握实数进行四则运算的规律,了解复数加减法运算的几何意义 情感、态度与价值观:理解并掌握复数的有关概念(复数集、代数形式、虚数、纯虚数、 实部、虚部) 理解并掌握复数相等的有关概念;画图得到的结论,不能代替论证,然而通过 对图形的观察,往往能起到启迪解题思路的作用 教学重点:复数加法运算,复数与从原点出发的向量的对应关系. 教学难点:复数加法运算的运算率,复数加减法运算的几何意义。 教具准备:多媒体、实物投影仪 。 教学设想:复数有复平面内惟一的一个点和它对应;反过来,复平面内的每一个点,有惟一 的一个复数和它对应。复数 z=a+bi(a、b∈R)与有序实数对(a,b)是一一对应关系 这是因为对于任何一个复数 z=a+bi(a、b∈R),由复数相等的定义可知,可以由 一个有序实数对(a,b)惟一确定. 教学过程: 学生探究过程:
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1.虚数单位 i :(1)它的平方等于-1,即
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i 2 ? ?1 ; (2)实数可以与它进行四则运算,进行

四则运算时,原有加、乘运算律仍然成立 2. i 与-1 的关系: i 就是-1 的一个平方根,即方程 x2=-1 的一个根,方程 x2=-1 的 另一个根是- i 3. i 的周期性: i 4n+1=i, i 4n+2=-1, i 4n+3=-i, i 4n=1
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4.复数的定义:形如 a ? bi(a, b ? R) 的数叫复数,a 叫复数的实部,b 叫复数的虚部 全
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体复数所成的集合叫做复数集,用字母 C 表示*

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3. 复数的代数形式: 复数通常用字母 z 表示, z ? a ? bi(a, b ? R) , 即 把复数表示成 a+bi 的形式,叫做复数的代数形式
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4. 复数与实数、虚数、纯虚数及 0 的关系:对于复数 a ? bi(a, b ? R) ,当且仅当 b=0 时,复数 a+bi(a、b∈R)是实数 a;当 b≠0 时,复数 z=a+bi 叫做虚数;当 a=0 且 b≠0 时, z=bi 叫做纯虚数;当且仅当 a=b=0 时,z 就是实数 0. 5.复数集与其它数集之间的关系:N Z Q R C. 6. 两个复数相等的定义:如果两个复数的实部和虚部分别相等,那么我们就说这两个 复数相等 即:如果 a,b,c,d∈R,那么 a+bi=c+di ? a=c,b=d 一般地,两个复数只能说相等或不相等,而不能比较大小.如果两个复数都是实数,就 可以比较大小 只有当两个复数不全是实数时才不能比较大小 7. 复平面、实轴、虚轴: y 点 Z 的横坐标是 a,纵坐标是 b,复数 z=a+bi(a、b Z(a,b) b ∈R)可用点 Z(a,b)表示,这个建立了直角坐标系来表 示复数的平面叫做复平面,也叫高斯平面,x 轴叫做实 轴,y 轴叫做虚轴 实轴上的点都表示实数
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o

a

x

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对于虚轴上的点要除原点外,因为原点对应的有序实数对为(0,0), 它所确定的复数 是 z=0+0i=0 表示是实数.故除了原点外,虚轴上的点都表示纯虚数 复数集 C 和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系,即
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复数 z ? a ? bi ???? 复平面内的点 Z (a, b) ?
一一对应

这是因为,每一个复数有复平面内惟一的一个点和它对应;反过来,复平面内的每一个 点,有惟一的一个复数和它对应. 这就是复数的一种几何意义.也就是复数的另一种表示方法,即几何表示方法
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??? ? 8.若 A( x, y) , O (0, 0) ,则 OA ? ? x, y ?
9. 若 a ? ( x1 , y1 ) , b ? ( x2 , y 2 ) ,则 a ? b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y 2 ) ,

a ? b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y 2 )
两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差 10. 若 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y 2 ) ,则 AB ? ?x2 ? x1 , y2 ? y1 ? 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标 即
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AB = OB ? OA =( x2, y2) ? (x1,y1)= (x2? x1, y2? y1)

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讲解新课: 一.复数代数形式的加减运算 1.复数 z1 与 z2 的和的定义:z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i. 2. 复数 z1 与 z2 的差的定义:z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i. 3. 复数的加法运算满足交换律: z1+z2=z2+z1. 证明:设 z1=a1+b1i,z2=a2+b2i(a1,b1,a2,b2∈R). ∵z1+z2=(a1+b1i)+(a2+b2i)=(a1+a2)+(b1+b2)i. z2+z1=(a2+b2i)+(a1+b1i)=(a2+a1)+(b2+b1)i. 又∵a1+a2=a2+a1,b1+b2=b2+b1. ∴z1+z2=z2+z1.即复数的加法运算满足交换律. 4. 复数的加法运算满足结合律: (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3) 证明:设 z1=a1+b1i.z2=a2+b2i,z3=a3+b3i(a1,a2,a3,b1,b2,b3∈R). ∵(z1+z2)+z3=[(a1+b1i)+(a2+b2i)]+(a3+b3i) =[(a1+a2)+(b1+b2)i]+(a3+b3)i =[(a1+a2)+a3]+[(b1+b2)+b3]i =(a1+a2+a3)+(b1+b2+b3)i. z1+(z2+z3)=(a1+b1i)+[(a2+b2i)+(a3+b3i)] =(a1+b1i)+[(a2+a3)+(b2+b3)i] =[a1+(a2+a3)]+[b1+(b2+b3)]i =(a1+a2+a3)+(b1+b2+b3)i ∵(a1+a2)+a3=a1+(a2+a3),(b1+b2)+b3=b1+(b2+b3). ∴(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).即复数的加法运算满足结合律 讲解范例: 例 1 计算:(5-6i)+(-2-i)-(3+4i)
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解:(5-6i)+(-2-i)-(3+4i)=(5-2-3)+(-6-1-4) i=-11 i 例 2 计算:(1-2i)+(-2+3i)+(3-4i)+(-4+5i)+…+(-2002+2003i)+(2003-2004i) 解法一:原式=(1-2+3-4+…-2002+2003)+(-2+3-4+5+…+2003-2004i)=(2003- 1001)+(1001-2004)i=1002-1003i. 解法二:∵(1-2i)+(-2+3i)=-1+i, (3-4i)+(-4+5i)=-1+i, …… (2001-2002i)+(-2002+2003)i=-1+i. 相加得(共有 1001 个式子): 原式=1001(-1+i)+(2003-2004i) =(2003-1001)+(1001-2004)i=1002-1003i 二.复数代数形式的加减运算的几何意义 复数的加(减)法 (a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i. 与多项式加(减)法是类似的.就是把复数的实部与实部,虚部与虚部分别相加(减).
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1.复平面内的点 Z (a, b) ???? 平面向量 OZ ?
一一对应

??? ?

2.

复数 z ? a ? bi ???? 平面向量 OZ ?
一一对应

??? ?

3.复数加法的几何意义: 设复数 z1=a+bi, 2=c+di, z 在复平面上所对应的向量为 OZ 1 、OZ 2 , 即 OZ 1 、OZ 2 的坐标形式为 OZ 1 =(a, OZ 2 =(c, 以 OZ 1 、OZ 2 b), d)
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为邻边作平行四边形 OZ1ZZ2,则对角线 OZ 对应的向量是 OZ , ∴ OZ = OZ 1 + OZ 2 =(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)=(a+c)+(b+d)i 4. 复数减法的几何意义: 复数减法是加法的逆运算, z=(a-c)+(b-d)i, 设 所以 z-z1=z2, z2+z1=z,由复数加法几何意义,以 OZ 为一条对角线, OZ 1 为一条边画平行四边形,那么 这个平行四边形的另一边 OZ2 所表示的向量 OZ 2 就与复数 z-z1 的差(a-c)+(b-d)i 对应 由
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于 OZ2 ? Z1Z , 所以, 两个复数的差 z-z1 与连接这两个向量终点并指向被减数的向量对应. 例 3 已知复数 z1=2+i,z2=1+2i 在复平面内对应的点分别为 A、B,求 AB 对应的复数 z, z 在平面内所对应的点在第几象限? 解:z=z2-z1=(1+2i)-(2+i)=-1+i, ∵z 的实部 a=-1<0,虚部 b=1>0, ∴复数 z 在复平面内对应的点在第二象限内. 点评: 任何向量所对应的复数, 总是这个向量的终点所对应的复数减去始点所对应的复 数所得的差. 即 AB 所表示的复数是 zB-zA. ,而 BA 所表示的复数是 zA-zB,故切不可把 被减数与减数搞错 尽管向量 AB 的位置可以不同,只要它们的终点与始点所对应的复数的
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???? ???? ?

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差相同,那么向量 AB 所对应的复数是惟一的,因此我们将复平面上的向量称之自由向量, 即它只与其方向和长度有关,而与位置无关 例 4 复数 z1=1+2i,z2=-2+i,z3=-1-2i,它们在复平面上的对应点是一个正方形的 三个顶点,求这个正方形的第四个顶点对应的复数.
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分析一:利用 AD ? BC ,求点 D 的对应复数. 解法一:设复数 z1、z2、z3 所对应的点为 A、B、C,正方形的第四个顶点 D 对应的复数 为 x+yi(x,y∈R),是:

AD ? OD ? OA =(x+yi)-(1+2i)=(x-1)+(y-2)i; BC ? OC ? OB =(-1-2i)-(-2+i)=1-3i.
∵ AD ? BC ,即(x-1)+(y-2)i=1-3i,

? x ? 1 ? 1, ? x ? 2, ∴? 解得 ? ? y ? 2 ? ?3, ? y ? ?1.

例2图

故点 D 对应的复数为 2-i. 分析二:利用原点 O 正好是正方形 ABCD 的中心来解. 解法二:因为点 A 与点 C 关于原点对称,所以原点 O 为正方形的中心,于是(-2+i)+ (x+yi)=0,∴x=2,y=-1. 故点 D 对应的复数为 2-i. 点评:根据题意画图得到的结论,不能代替论证,然而通过对图形的观察,往往能起到 启迪解题思路的作用
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巩固练习: 1.已知复数 z1=2+i,z2=1+2i,则复数 z=z2-z1 在复平面内所表示的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.在复平面上复数-3-2i,-4+5i,2+i 所对应的点分别是 A、B、C,则平行四边形 ABCD 的对角线 BD 所对应的复数是 A.5-9i B.-5-3i C.7-11i D.-7+11i 3.已知复平面上△AOB 的顶点 A 所对应的复数为 1+2i,其重心 G 所对应的复数为 1+i,则 以 OA、OB 为邻边的平行四边形的对角线长为 A.3 2 B.2 2 C.2 D. 5

4.复平面上三点 A、B、C 分别对应复数 1,2i,5+2i,则由 A、B、C 所构成的三角形是 A.直角三角形 B.等腰三角形 C.锐角三角形 D.钝角三角形 5.一个实数与一个虚数的差( ) A.不可能是纯虚数 B.可能是实数 C.不可能是实数 D.无法确定是实数还是虚数 6.计算(- 2 ? 3i) ? ( 3 ? 2i) ? [( 3 ? 2 ) ? ( 3 ? 2 )i] =____. 7.计算:(2x+3yi)-(3x-2yi)+(y-2xi)-3xi=________(x、y∈R).

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8.计算(1-2i)-(2-3i)+(3-4i)-…-(2002-2003i). 9.已知复数 z1=a2-3+(a+5)i,z2=a-1+(a2+2a-1)i(a∈R)分别对应向量 OZ1 、 OZ 2 (O 为原点) ,若向量 Z1 Z 2 对应的复数为纯虚数,求 a 的值. 解: Z1Z 2 对应的复数为 z2-z1,则 z2-z1=a-1+(a2+2a-1)i-[a2-3+(a+5)i]=(a-a2+2)+(a2+a-6)i ∵z2-z1 是纯虚数 ∴?
2 ? ?a ? a ? 2 ? 0 ?a 2 ? a ? 6 ? 0 ?

解得 a=-1.

10.已知复平面上正方形的三个顶点是 A(1,2) 、B(-2,1) 、C(-1,-2) ,求它 的第四个顶点 D 对应的复数. 解:设 D(x,y),则

AD ? OD ? OA 对应的复数为(x+yi)-(1+2i)=(x-1)+(y-2)i BC ? OC ? OB 对应的复数为:(-1-2i)-(-2+i)=1-3i
∵ AD ? BC ∴(x-1)+(y-2)i=1-3i ∴?

?x ? 1 ? 1 ?x ? 2 ,解得 ? ? y ? 2 ? ?3 ? y ? ?1

∴D 点对应的复数为 2-i。 答案:1.B 2.C 3.A 4.A 5.C 6.-2 2 i 7.(y-x)+5(y-x)i 8.解:原式=(1-2+3-4+…+2001-2002)+(-2+3-4+…-2002+2003)i =-1001+1001i 课后作业:课本第 112 页 习题 3.2 1 , 2 , 3 教学反思: 如果两个复数的实部和虚部分别相等, 那么我们就说这两个复数相等 即: 如果 a, c, b, d∈R,那么 a+bi=c+di ? a=c,b=d 一般地,两个复数只能说相等或不相等,而不能比较大小.如果两个复数都是实数,就 可以比较大小 只有当两个复数不全是实数时才不能比较大小 复数的加法法则:(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i(a,b,c,d∈R). 复数的加法,可模仿多 项式的加法法则计算,不必死记公式。
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复数加法的几何意义:如果复数 z1,z2 分别对应于向量 OP 、 OP ,那么,以 OP1、 1 2 OP2 为两边作平行四边形 OP1SP2,对角线 OS 表示的向量 OS 就是 z1+z2 的和所对应的向量 复数减法的几何意义: 两个复数的差 z-z1 与连接这两个向量终点并指向被减数的向量对 应.
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