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2014—2015学年度第一学期高二数学期中试卷


东台市安丰中学 2014-2015 学年度第一学期 高二数学期中试卷
分值 160 分 命题:王晓强 时间 120 分钟 校核:曹继东

13. 不等式 a2+8b2≥λb(a+b)对任意 a、b∈R 恒成立,则实数 λ 的取值范围为______▲ ______. 14.设 a= x2-xy+y2,b=p xy,c=x+y,若对任意的正实数 x、y,都存在以 a、b、c 为三边长的三 角形,则实数 p 的取值范围是____▲ ______. 二、解答题(本题共 6 小题,合计 90 分。请在答题 纸 指定区域 内作答,解答时应写出文字说明、证明过 .. . .... 程或演算步骤. )
2 ? ?x ? x ? 6 ? 0 15. (本小题 14 分)设 p:实数 x 满足 x -4ax+3a <0,其中 a>0,q:实数 x 满足 ? . 2 ? 3 x ? 10 ? 0 ? ?x
2 2

一、填空题(本题共 14 小题,每小题 5 分,合计 70 分。请把答案直接填写在答题 纸 相应 的 位置上 .) .. . .. . ... 3-x 1. 不等式 >0 的解集为____ ▲____. x-1 2. 若命题“对 ? x∈R,x2+4cx+1>0”是假命题,则实数 c 的取值范围是___ ▲_____. 3.从 1、2、3、4 中任取两个不同的数字构成一个两位数,则这个两位数大于 20 的概率为____ ▲____. 4. 某人 5 次上学途中所花的时间(单位:分钟)分别为 x,8,10,11,9.已知这组数据的平均数为 10,则其方差 为____ ▲____. 5.如果执行如图所示的流程图,那么输出的 S=___ ▲_____.

(1) 若 a=1,且 p∧q 为真,求实数 x 的取值范围; (2) 若 p 是 q 的充分不必要条件,求实数 a 的取值范围.

6.已知△ABC 的三个内角 A、B、C,“A>B”是“sinA>sinB”的_______ ▲________条件. (选填:充分不 ... 必要 、 必要不充分 、 充要 、既不 充分 又 不必要 ) .. . ..... . .. ... .. . ... 7.在区间[-5,5]内随机地取出一个数 a,则使得 a∈{a|-a2+a+2>0}的概率为____ ▲____. x2 y2 8. 已知椭圆 + =1,长轴在 y 轴上.若焦距为 4,则 m=___ ▲____. 10-m m-2 x-4y+3≤0 ? ? 9.已知变量 x、y 满足?3x+5y-25≤0 ? ?x≥1 ,则 z ? 2 x ? y 的最大值______ ▲_______.

x2+2x+a 16. (本小题 14 分).已知函数 f(x)= ,x∈[1,+∞). x (1) 当 a=4 时,求函数 f(x)的最小值; (2) 若对任意 x∈[1,4],f(x)>6 恒成立,试求实数 a 的取值范围.

1 1 10. 已知正数 x,y 满足 x+ty=1,t 是给定的正实数.若 + 的最小值为 16,则正实数 t 的值是 ▲ x y
?21 x,x≤1, ? 11.已知函数 f(x)=? 则满足 f(x)≥1 的 x 的取值范围是_______▲ _____. ? ?2-log2x,x>1,




x2 y2 12.已知椭圆的方程为 2 + 2=1(a>b>0),过椭圆右焦点且与 x 轴垂直的直线与椭圆交于 P、Q 两点,x a b

a 轴一点 M(

2

c

,0),若△PQM 为正三角形,则椭圆的离心率等于____▲ ____.

17. (本小题 14 分)从参加高二年级期中考试的学生中随机抽取 60 名学生,将其数学成绩(均为整数) 分成六段[40,50),[50,60),?,[90,100]后得到如下部分频率分布直方图.观察图形的信息,回答下列问题:

19. (本小题 16 分)某市出租汽车的收费标准如下:在 3km 以内(含 3km)的路程统一按起步价 7 元收 费,超过 3km 以外的路程按 2.4 元/km 收费. 而出租汽车一次载客的运输成本包含以下三个部分:一是固 定费用约为 2.3 元;二是燃油费,约为 1.6 元/km;三是折旧费,它与路程的平方近似成正比,且当路程为 100km 时,折旧费约为 0.1 元. 现设一次载客的路程为 xkm. (1) 试将出租汽车一次载客的收费 F 与成本 C 分别表示为 x 的函数; (2) 若一次载客的路程不少于 2km,则当 x 取何值时,该市出租汽车一次载客每 km 的收益 y 取得最 大值?

(1) 求分数在[70,80)内的频率,并补全这个频率分布直方图; (2) 根据上面补充完整的频率分布直方图估计出本次考试的平均分; (3) 用分层抽样的方法在分数段为[40,60)的学生中抽取一个容量为 5 的样本,将该样本看成一个总体, 从中任取 2 人,求至少有 1 人在分数段[50,60)的概率.

x2 y2 20. (本小题 16 分)设 A1、A2 与 B 分别是椭圆 E: 2 + 2=1(a>b>0)的左、右顶点与上顶点,直线 a b x2 y2 18. (本小题 16 分) 如图,在直角坐标系 xOy 中,设椭圆 C: 2 + 2=1(a>b>0)的左右两个焦点分别为 F1、 a b F2. 过右焦点 F2 且与 x 轴垂直的直线 l 与椭圆 C 相交,其中一个交点为 M( 2,1). (1) 求椭圆 C 的方程; (2) 设椭圆 C 的一个顶点为 B(0,-b),直线 BF2 交椭圆 C 于另一点 N,求△F1BN 的面积. A2B 与圆 C:x2+y2=1 相切. 1 1 (1) 求证: 2+ 2=1; a b 1 (2) P 是椭圆 E 上异于 A1、A2 的一点,直线 PA1、PA2 的斜率之积为- ,求椭圆 E 的方程; 3 → → (3) 直线 l 与椭圆 E 交于 M、N 两点,且OM· ON=0,试判断直线 l 与圆 C 的位置关系,并说明理由.


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