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江苏省东台市安丰中学2014-2015学年高一数学下学期期中试题


高一年级第二学期期中联考 数学试题
(总分 160 分,考试时间 120 分钟) 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,计 70 分.不需写出解答过程,请把答案写在 答题纸的指定位置上. 1.函数 f ( x) ? sin 2 x 的最小正周期 为 ▲ . ▲ .

2.过点 (2, 1) 且与直线 x ? 3 y ? 4 ? 0 垂直的

直线方程为 3.棱长为 1 的正方体的外接球的表面积为 ▲ .

4. 已 知 A, B 两 点 的 坐 标 分 别 为 (0, 4),(4,6) , 则 以 AB 为 直 径 的 圆 的 标 准 方 程 为 ▲ . 5.设 m,n 是两条不同的直线,α ,β 是两个不同的平面,则下列命题正确的是 (填写正确命题的序号) ①若 m∥n,m⊥β ,则 n⊥β ; ②若 m∥n,m∥ β ,则 n∥β ; ③若 m∥α ,m∥β ,则 α ∥β ; ④若 n⊥α ,n⊥β ,则 α ⊥β . 6.若函数 f ( x) ? ( x ? 1)( x2 ? ax) 为奇函数,则 a ? ▲ .



.

7.在 ?ABC 中,边 a, b, c 分别为角 A, B, C 的对边,若 a ? 3 , ?A ?

?
3

,则当 b 取最大值

时, ?ABC 的面积为 ▲ . 8.已知一圆锥的底面是半径为 1cm 的圆, 若圆锥的侧面积是底面积的 3 倍, 则该圆锥的体积 是 ▲ cm .
2

9.设 ? ? 0 ,若函数 f ( x) ? sin(? x ? 最小值为 ▲ .

?
4

) 的 图像向左平移 4? 个单位与原图像重合,则 ? 的

10.已知正方形 ABCD 的边长为 2,边 AB, CD 分别为圆柱上下底面的直径,若一蚂蚁从点

A 沿圆柱的表面爬到点 C ,则该蚂蚁所走的最短路程为



.

11.若直线 l 的一般式方程为 x sin ? ? 3 y ?1 ? 0(? ? R) ,则直线 l 的倾斜角的取值范围是 ▲ .

12.在三棱柱 A1B1C1 ? ABC 中,D,E,F 分别是 AB,AC,CC1 的中点,设三棱锥 C1 ? DEF 的 体积为 V1 ,三棱柱 A1B1C1 ? ABC 的体积为 V2 ,则 V1 : V2 ?
2 2



.

13.已知圆 O : x ? y ? 1 ,点 C 为直线 l : 2 x ? y ? 2 ? 0 上一点,若圆 O 存在一条弦 AB 垂 直平分线段 OC ,则点 C 的横 坐标的取值范围是
2 2 2



.

14.已知直线 y ? ? x ? 4 与圆 x ? y ? r (r ? 0) 交于 A, B 两点, O 为坐标原点,若圆上一
1

点 C 满足 OC ?

????

? 3 ??? ? 5 ??? OA ? OB ,则 r ? 4 4



.

二、 解答题: 本大题共 6 小题, 计 90 分.解答应写出必要的文字说明, 证明过程或演算步骤, 请把答案写在答题纸的指定区域内. 15. (本小题满分 14 分) 如图,已知点 A(1, 0) , B 是单位圆 x 2 ? y 2 ? 1上一动点,且点 B 是线段 AC 的中点. (1)若点 C 在 y 轴的正半轴上,求 OA ? OB ;

??? ? ??? ?

C B

y

2? (2)若 ?AOB ? ,求点 A 到直线 OC 的距离. 3

O A

x

第 15 题

1 6. (本小题满分 14 分) 如图,在正三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, E , F 分别为 BB1 , AC 中点. (1)求证: BF / / 平面 A1EC ; (2)求证:平面 A 1 EC ? 平面 ACC1 A 1.

A1 C1

B1

E A F C 第 16 题 B

2

17. (本小题满分 14 分) 如图,已知过点 P(4,3) 的光线,经 x 轴上一点 A 反射后的射线 l 过点 Q(0,5) . (1)求点 A 的坐标; (2)若圆 C 过点 Q 且与 x 轴相切于点 (?1, 0) ,求圆 C 的方程. y Q P

O

A

x

第 17 题

18. (本小题满分 16 分) 在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,已知 a ? b ? mc(m ? 0) . (1)当 m ? 3 时, ①若 A ? B ,求 sin C ; ,求 sin( A ? C ) 的值; 6 (2)当 m ? 2 时,若 c ? 2 ,求 ?ABC 面积最大值. ②若 B ?

?

3

19. (本小题满分 16 分) 如图,在平面直角坐标系 xOy 中, x 轴在地平面上, y 轴垂直于地面, x 轴、 y 轴上的单 位 长 度 都 为 1km , 某 炮 位 于 坐 标 原 点 处 , 炮 弹 发 射 后 , 其 路 径 为 抛 物 线

1 (1 ? k 2 ) x 2 的一部分,其中 k 与炮弹的发射角有关且 k ? 0 . 20 (1)当 k ? 1 时,求炮弹的射程; (2)对任意正数 k ,求炮弹能击中的飞行物的高度 h 的取值范围; (3)设一飞行物(忽略大小)的高度为 4km ,试求它的横坐标 a 不超过多少 km 时,炮弹 y ? kx ?
可以击中它.(答案精确到 0.1 , 5 取 2.236 ) y

O 第 19 题

x

20. (本小题满分 16 分) 如图, 已知圆 O : x ? y ? r (r ? 0) , 动直线 l 过点 M (1,0) 交圆 O 于 A( x1 , y1 ) ,B( x2 , y2 )
2 2 2

两点(点 A 在 x 轴上方) ,点 N 在 x 轴上,若点 B 的坐标为 (0, ?r ) ,则点 A 的横坐标为 (1)求 r 的值; (2)当直线 l 的斜率为 7 时,直线 AN 与圆 O 相切,求点 N 的坐标;

8 . 5

(3)试问:是否存在一定点 N ,使得 ?ANM ? ?BNM 总成立?若存在,请求出点 N 的 坐标;若不存在,请说明理由.

y
A

O

M B

N

x

第 20 题
4

高一数学期中考试参考答案 一、填空题: 1.

? ;2.

3x ? y ? 5 ? 0 ;3. 3? ;4. ( x ? 2)2 ? ( y ? 5)2 ? 5 ;5. ①;6. ?1 ;7.

3 ; 2

8.

1 ? 5? 1 8 2 2 ; 13. (0, ) ; 14. ? ; 9. ; 10. ? 2 ? 4 ; 11. [0, ] ? [ , ? ) ; 12. 2 6 6 24 5 3

2 10 ;
二、解答题: 15. 解: (1)? 点 C 在 y 轴正半轴上,

? xC ? 0 ,又点 B 是线段 AC 的中点, ? xA ? xC ? 2xB ,? xB ?
??? ? ??? ? 1 ? OA ? OB ? ; 2
(2)? ?AOB ?

1 , 2

…………5 分 …………7 分

2? 1 3 ,? B(? , ), 3 2 2
…………12 分

由点 B 是线段 AC 的中点,? C(?2, 3) ,

? 直线 OC 的方程为 y ? ?

3 x ,即 3x ? 2 y ? 0 , 2
3 3? 4 ? 21 . 7
…………14 分

? 点 A 到直线 OC 的距离 d ?

O ,? F 为 AC 中点, ? OF / / CC1且OF = 16. 证: (1)连 AC1 交 AC 1 于点

1 CC1 , 2

? E 为 BB1 中点,? BE / / CC1且BE = 1 CC1 , 2 ? BE / /OF 且BE =OF ,? 四边形 BEOF 是平行四边形,

…………4 分

? BF / / OE ,又 BF ? 平面 A1EC , OE ? 平面 A1EC ,? BF / / 平面 A1EC . ……7 分
( 2 ) 由 ( 1 ) 知 BF / / OE , ? AB ? CB , F 为 AC 中 点 , 所 以 B F ? A C, 所 以 O E ? A C, …………9 分 又因为 AA1 ? 底面 ABC ,而 BF ? 底面 ABC ,所以 AA1 ? BC , 则由 BF / / OE ,得 OE ? AA1 ,而 AA 1 , AC ? 平面 ACC1 A 1 ,且 AA 1 ? AC ? A , 所以 OE ? 面 ACC1 A1 , …………12 分
5

又 OE ? 平面 A 1 EC ,所以平面 A 1 EC ? 平面 ACC1 A 1. 分 (说明:其他解法参照给分) 17. 解: (1)由光线的反射角与入射角相等可知, 点 P(4,3) 关于 x 轴对称点 P?(4, ?3) 在射线 l ,

…………14

…………2 分

? 射线 l 所在的直线方程为

y ?5 x?0 ? , ?3 ? 5 4 ? 0 5 即 2 x ? y ? 5 ? 0 ,令 y ? 0 ,则 x ? , 2 5 ? 点 A 的坐标为 ( , 0) . 2
分 (2)设圆 C 的方程为 ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 (r ? 0) ,

…………6

? 圆 C 与 x 轴相切于点 (?1, 0) , ? b ? r , a ? ?1 ? 圆 C 过点 Q , ? (?1)2 ? (b ? 5)2 ? b2 ,
解得 b ? …………10 分 …………12 分 …………8 分

13 , 5
13 2 13 2 ) ?( ) . 5 5

? 圆 C 的方程为 ( x ? 1) 2 ? (b ?

…………14 分

18. 解: (1)①? a ? b ? 2c ,? sin A ? sin B ? 3 sin C ,

? A ? B ,? 2sin A ? 3 sin 2 A ? 2 3 sin A cos A ,
? cos A ?
3 6 , ? sin A ? , 3 3

? sin C ?


2 2 2 . sin A ? 3 3

…………4

②? a ? b ? 3c ,? sin A ? sin B ? 3 sin C ,

? sin A ?

1 ? 3 1 ? 3 sin( A ? ) ? 3( sin A ? cos A) , 2 6 2 2

…………8 分

6

化简得

? 1 1 3 1 sin A ? cos A ? ,? sin( A ? ) ? , 3 2 2 2 2

5? ? ? ,即 A ? ,? C ? , 3 6 2 3 ? 1 ? sin( A ? C ) ? sin ? . 6 2

? A?

?

?

…………11

分 (2)? c ? 2 ,? a ? b ? 2 2 ,? b ? 2 2 ? a ,

1 1 ab sin C ? ab , 2 2 1 1 1 ? S?ABC ? ab ? a(2 2 ? a) ? ? a 2 ? 2a , 2 2 2 1 ? 当 a ? 2 时, ? a 2 ? 2a 取最大值1 , 2

? S ?ABC ?

此时 a ? b ? 2 , c ? 2 满足 C ?

?

2

,? ?ABC 面积最大值为 1 .

…………16 分

(说明:解题方法正确,但未交代取等条件的扣 1 分) 19. 解: (1)当 k ? 1 时, 炮弹发射路径为 y ? x ?

1 2 x , 10

令 y ? 0 ,解得 x ? 0 或 10 ,

? 炮弹的射程为 10 km . 1 (1 ? k 2 ) x 2 (k ? 0) 开口向下, (2)抛物线 y ? kx ? 20 k 10k 对称轴 x ? ? , ? 2 1 1 ? k 2 ? (1 ? k ) 10
? ymax ? ?

…………4 分

1 10k 2 10k 5k 2 5 (1 ? k 2 )( ) ? k ( ) ? ? 5? ?5, 2 2 2 20 1? k 1? k 1? k 1? k 2
…………9

? 炮弹能击中的飞行物的高度 h 的范围是 (0,5) .
分 (3)? 飞行物的高度为 4km ,它的横坐标 a ,

? 4 ? ka ?

1 (1 ? k 2 )a 2 , 20
2 2 2

整理得关于 k 的方程 a k ? 20ak ? a ? 80 ? 0 有正解,
2 2 2 显然 a ? 0 不满足方程 a k ? 20ak ? a ? 80 ? 0 ,

…………11 分

7

? k1 ? k2 ?

20 a 2 ? 80 ? 0, , k1k2 ? a a2

当 a ? 0 , k1 , k2 ? 0 ,不符题意,

? a ? 0 , k1 , k2 ? 0

…………13 分

? ? ? 400a2 ? 4a2 (a2 ? 80) ? 0 ,解得 0 ? a ? 2 5 ,
约 4.5km . ? 飞行物的横坐标 a 不超过 2 5 km , (说明:过程不严密的适当扣分) 20. 解: (1)? 点 A 的横坐标为 …………16 分

8 ,且点 A 在 x 轴上方, 5

? yA ? r 2 ?

64 , 又 k AM ? kBM , 25

?

r2 ? 3 5

64 25 ? r ,? r ? 2 .

…………3 分

(2)当直线 l 的斜率为 7 时,直线 l 的方程为 y ? 7( x ?1) , 代入 x ? y ? 4 ,解得 x ?
2 2

3 1 或 x ? (舍) , 2 4

将x?

3 7 2 2 代入 x ? y ? 4 ,解得 y ? ? (舍负) , 2 2
…………6 分

3 7 7 ) ,? kOA ? , ? A( , 2 2 3

? 直线 AN 与圆 O 相切,? k AN ? ?

3 , 7
…………8

? 直线 AN 的方程为 y ?

7 3 3 ?? ( x ? ) ,即 3x ? 7 y ? 8 ? 0 . 2 2 7

分 (3)显然若动直线 l 的斜率不存在时, ?ANM ? ?BNM 总成立, 当动直线 l 的斜率存在时,并设为 k ,则直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 1) , 假设存在一定点 N (n,0) ,使得 ?ANM ? ?BNM 总成立,即

y1 y ? ? 2 总成立, x1 ? n x2 ? n
8

?

x1 ? 1 x ?1 ,化简得 2 x1 x2 ? (n ? 1)( x1 ? x2 ) ? 2n ? 0 总成立, ?? 2 x1 ? n x2 ? n
? y ? k ( x ? 1) ?x ? y ? 4
2 2

…………12 分

联立方程组 ?

,消去 y ,得 (k 2 ? 1) x2 ? 2k 2 x ? k 2 ? 4 ? 0 ,

? x1 ? x2 ?

2k 2 k2 ? 4 x x ? , , 1 2 k 2 ?1 k 2 ?1

k2 ? 4 2k 2 ? (n ? 1) 2 ? 2n ? 0 ,解得 n ? 4 , ?2 2 k ?1 k ?1

? 当点 N (4,0) ,能使得 ?ANM ? ?BNM 总成立.

…………16 分

9


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