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新课程高中数学训练题组(选修2-1)


新课程高中数学训练题组
(数学选修 2-1)第一章
[基础训练 A 组] 一、选择题
1.下列语句中是命题的是( A.周期函数的和是周期函数吗? C. x 2 ? 2 x ? 1 ? 0 ) B. sin 450 ? 1

常用逻辑用语

D.梯形是不是平面图形呢?

2 2.在命题“若抛物

线 y ? ax ? bx ? c 的开口向下,则 x | ax ? bx ? c ? 0 ? ? ”的
2

?

?

逆命题、否命题、逆否命题中结论成立的是( A.都真 B.都假 C.否命题真
2 2

) D.逆否命题真 ②a ?b ? 0是 )

3.有下述说法:① a ? b ? 0 是 a ? b 的充要条件.
3 3

1 1 ? 的充要条件. a b

③ a ? b ? 0 是 a ? b 的充要条件.则其中正确的说法有( A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个

4.下列说法中正确的是( ) A.一个命题的逆命题为真,则它的逆否命题一定为真 B.“ a ? b ”与“ a ? c ? b ? c ”不等价 C. a ? b ? 0 ,则 a, b 全为 0 ”的逆否命题是“若 a, b 全不为 0 , 则 a ? b ? 0 ” “
2 2 2 2

D.一个命题的否命题为真,则它的逆命题一定为真
2 5.若 A : a ? R, a ? 1 , B : x 的二次方程 x ? (a ? 1) x ? a ? 2 ? 0 的一个根大于零,

另一根小于零,则 A 是 B 的( A.充分不必要条件 C.充要条件

) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )

2 6.已知条件 p : x ? 1 ? 2 ,条件 q : 5 x ? 6 ? x ,则 ?p 是 ?q 的(

A.充分不必要条件 C.充要条件

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

二、填空题
1.命题: “若 a ? b 不为零,则 a, b 都不为零”的逆否命题是 2. A : x1 , x2 是方程 ax ? bx ? c ? 0(a ? 0) 的两实数根; B : x1 ? x2 ? ?
2



b , a

则 A是B的 条件。 3.用“充分、必要、充要”填空: ① p ? q 为真命题是 p ? q 为真命题的_____________________条件; ② ?p 为假命题是 p ? q 为真命题的_____________________条件;
2 ③ A : x ? 2 ? 3 , B : x ? 4 x ? 15 ? 0 , 则 A 是 B 的___________条件。

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4.命题“ ax2 ? 2ax ? 3 ? 0 不成立”是真命题,则实数 a 的取值范围是_______。 5. a ? b ? Z ”是“ x 2 ? ax ? b ? 0 有且仅有整数解”的__________条件。 “

三、解答题
1.对于下述命题 p ,写出“ ?p ”形式的命题,并判断“ p ”与“ ?p ”的真假: (1) p : 91? ( A ? B) (其中全集 U ? N , A ? ? x | x是质数? , B ? ? x | x是正奇数? ).
*

(2) p : 有一个素数是偶数;. (3) p : 任意正整数都是质数或合数; (4) p : 三角形有且仅有一个外接圆.

2.已知命题 p : 4 ? x ? 6, q : x ? 2 x ? 1 ? a ? 0(a ? 0), 若非 p 是 q 的充分不必要条件,求 a 的取值范围。
2 2

3.若 a ? b ? c ,求证: a, b, c 不可能都是奇数。
2 2 2

4.求证:关于 x 的一元二次不等式 ax ? ax ? 1 ? 0 对于一切实数 x 都成立的充要条件是 0 ? a ? 4
2

新课程高中数学测试题组
(数学选修 2-1)第一章
[综合训练 B 组] 一、选择题
1.若命题“ p ? q ”为假,且“ ?p ”为假,则( A. p 或 q 为假 C. q 真 B. q 假 D.不能判断 q 的真假 )
2

常用逻辑用语



2.下列命题中的真命题是( A. 3 是有理数 C. e 是有理数 B. 2

是实数

D. ? x | x是小数?

R
第 2 页 共 19 页

3.有下列四个命题: ①“若 x ? y ? 0 , 则 x, y 互为相反数”的逆命题; ②“全等三角形的面积相等”的否命题; ③“若 q ? 1 ,则 x ? 2 x ? q ? 0 有实根”的逆否命题; ④“不等边三角形的三个内角相等”逆命题; 其中真命题为( ) A.①② B.②③ C.①③ D.③④
2

4.设 a ? R ,则 a ? 1 是

1 ? 1 的( a

) B.必要但不充分条件 D.既不充分也不必要条件

A.充分但不必要条件 C.充要条件
2 2

5.命题: “若 a ? b ? 0(a, b ? R) ,则 a ? b ? 0 ”的逆否命题是( A. 若 a ? b ? 0(a, b ? R) ,则 a ? b ? 0
2 2



B. 若 a ? b ? 0(a, b ? R) ,则 a ? b ? 0
2 2

C. 若 a ? 0, 且b ? 0(a, b ? R) ,则 a ? b ? 0
2 2

D. 若 a ? 0, 或b ? 0(a, b ? R) ,则 a ? b ? 0
2 2

6.若 a, b ? R ,使 a ? b ? 1 成立的一个充分不必要条件是( A. a ? b ? 1 B. a ? 1

)

C. a ? 0.5, 且b ? 0.5 D. b ? ?1

二、填空题
1.有下列四个命题: ①、命题“若 xy ? 1 ,则 x , y 互为倒数”的逆命题; ②、命题“面积相等的三角形全等”的否命题; ③、命题“若 m ? 1 ,则 x ? 2 x ? m ? 0 有实根”的逆否命题;
2

④、命题“若 A ? B ? B ,则 A ? B ”的逆否命题。 其中是真命题的是 (填上你认为正确的命题的序号) 。 2.已知 p, q 都是 r 的必要条件, s 是 r 的充分条件, q 是 s 的充分条件, 则s是q的 ______条件, r 是 q 的
0

条件, p 是 s 的

条件. ;

3. “△ ABC 中,若 ?C ? 90 ,则 ?A, ?B 都是锐角”的否命题为 4.已知 ? 、 ? 是不同的两个平面,直线 a ? ? , 直线b ? ? ,命题 p : a与b 无公共点; 命题 q : ? // ? , 则 p是q 的 条件。

5.若“ x ? ? 2,5? 或 x ? ? x | x ? 1或x ? 4? ”是假命题,则 x 的范围是___________。

三、解答题
第 3 页 共 19 页

1.判断下列命题的真假: (1)已知 a, b, c, d ? R, 若 a ? c, 或b ? d , 则a ? b ? c ? d . (2) ?x ? N , x ? x
3 2

(3)若 m ? 1, 则方程 x ? 2 x ? m ? 0 无实数根。 (4)存在一个三角形没有外接圆。
2

2.已知命题 p : x ? x ? 6, q : x ? Z 且“ p且q ”与“非 q ”同时为假命题,求 x 的值。
2

3.已知方程 x ? (2k ? 1) x ? k ? 0 ,求使方程有两个大于 1 的实数根的充要条件。
2 2

4.已知下列三个方程: x ? 4ax ? 4a ? 3 ? 0, x ? (a ? 1) x ? a ? 0, x ? 2ax ? 2a ? 0 至少有一个方程有实数根,求
2 2 2 2

实数 a 的取值范围。

新课程高中数学测试题组
(数学选修 2-1)第一章
[提高训练 C 组] 一、选择题
1.有下列命题:① 2004 年 10 月 1 日是国庆节,又是中秋节;② 10 的倍数一定是 5 的倍数; ③梯形不是矩形;④方程 x ? 1 的解 x ? ?1 。其中使用逻辑联结词的命题有( A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个
2

常用逻辑用语



2.设原命题:若 a ? b ? 2 ,则 a, b 中至少有一个不小于 1 ,则原命题与其逆命题 的真假情况是( ) B.原命题假,逆命题真 D.原命题与逆命题均为假命题

A.原命题真,逆命题假 C.原命题与逆命题均为真命题 3.在△ ABC 中, A ? 30? ”是“ sin A ? “ A.充分不必要条件 C.充要条件 4.一次函数 y ? ?

1 ”的( 2



B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

m 1 x ? 的图象同时经过第一、三、四象限的必要但不充分条件是( n n
B. mn ? 0 C. m ? 0, 且n ? 0 D. m ? 0, 且n ? 0



A. m ? 1, 且n ? 1

第 4 页 共 19 页

5.设集合 M ? ? x | x ? 2? , P ? ? x | x ? 3? ,那么“ x ? M ,或 x ? P ”是“ x ? M ? P ”的( A.必要不充分条件 C.充要条件 B.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件



6.命题 p : 若 a, b ? R ,则 a ? b ? 1 是 a ? b ? 1 的充分而不必要条件; 命题 q : 函数 y ?

x ? 1 ? 2 的定义域是 ? ??, ?1? ? ?3, ?? ? ,则(
A. p 或 q ”为假 “ C. p 真 q 假



B. p 且 q ”为真 “ D. p 假 q 真

二、填空题
1 . 命 题 “ 若 △ ABC 不 是 等 腰 三 角 形 , 则 它 的 任 何 两 个 内 角 不 相 等 ” 的 逆 否 命 题 是 ; 2.用充分、必要条件填空:① x ? 1, 且y ? 2 是 x ? y ? 3 的 ② x ? 1, 或y ? 2 是 x ? y ? 3 的 3.下列四个命题中 ①“ k ? 1 ”是“函数 y ? cos kx ? sin kx 的最小正周期为 ? ”的充要条件;
2 2

②“ a ? 3 ”是“直线 ax ? 2 y ? 3a ? 0 与直线 3x ? (a ? 1) y ? a ? 7 相互垂直”的充要条件; ③ 函数 y ?
2 x ?4 的最小值为 2 2 x ?3

其中假命题的为

(将你认为是假命题的序号都填上)
3 3 2 2

4.已知 ab ? 0 ,则 a ? b ? 1 是 a ? b ? ab ? a ? b ? 0 的__________条件。 5.若关于 x 的方程 x ? 2(a ? 1) x ? 2a ? 6 ? 0 .有一正一负两实数根,
2

则实数 a 的取值范围________________。

三、解答题
1.写出下列命题的“ ?p ”命题: (1)正方形的四边相等。 (2)平方和为 0 的两个实数都为 0 。 (3)若 ?ABC 是锐角三角形, 则 ?ABC 的任何一个内角是锐角。 (4)若 abc ? 0 ,则 a, b, c 中至少有一个为 0 。 (5)若 ( x ? 1)( x ? 2) ? 0, 则x ? 1且x ? 2 。

2.已知 p : 1 ?

x ?1 ? 2 ; q : x 2 ? 2 x ? 1 ? m 2 ? 0(m ? 0) 若 ?p 是 ?q 的必要非充分条件,求实数 m 的取值范围。 3

第 5 页 共 19 页

3.设 0 ? a, b, c ? 1 , 求证: (1 ? a)b,(1 ? b)c,(1 ? c)a 不同时大于

1 . 4

4.命题 p : 方程 x ? mx ? 1 ? 0 有两个不等的正实数根,
2

命题 q : 方程 4 x ? 4(m ? 2) x ? 1 ? 0 无实数根。若“ p 或 q ”为真命题,求 m 的取值范围。
2

新课程高中数学训练题组
(数学选修 2-1)第二章
[基础训练 A 组] 一、选择题
x2 y2 1. 已知椭圆 ? ? 1 上的一点 P 到椭圆一个焦点的距离为 3 , 25 16
则 P 到另一焦点距离为( ) A. 2 B. 3 C. 5 D. 7 2.若椭圆的对称轴为坐标轴,长轴长与短轴长的和为 18 ,焦距为 6 ,则椭圆的方程为( A.

圆锥曲线



x2 y2 ? ?1 9 16

B.

x2 y2 ? ?1 25 16

x2 y2 x2 y2 ? ? 1或 ? ?1 C. 25 16 16 25

D.以上都不对 )

3.动点 P 到点 M (1,0) 及点 N (3,0) 的距离之差为 2 ,则点 P 的轨迹是( A.双曲线 B.双曲线的一支 C.两条射线 D.一条射线 4.设双曲线的半焦距为 c ,两条准线间的距离为 d ,且 c ? d , 那么双曲线的离心率 e 等于( ) A. 2
2

B. 3

C. 2 )

D. 3

5.抛物线 y ? 10 x 的焦点到准线的距离是( A.

15 D. 10 2 2 6.若抛物线 y ? 8 x 上一点 P 到其焦点的距离为 9 ,则点 P 的坐标为(
B. 5 C. A. (7, ? 14) B. (14, ? 14) C. (7, ?2 14) D. (?7, ?2 14)

5 2

) 。

第 6 页 共 19 页

二、填空题
1.若椭圆 x ? my ? 1 的离心率为
2 2

3 ,则它的长半轴长为_______________. 2

2.双曲线的渐近线方程为 x ? 2 y ? 0 ,焦距为 10 ,这双曲线的方程为_______________。

3.若曲线

x2 y2 ? ? 1 表示双曲线,则 k 的取值范围是 4 ? k 1? k
2



4.抛物线 y ? 6 x 的准线方程为_____. 5.椭圆 5 x ? ky ? 5 的一个焦点是 (0,2) ,那么 k ?
2 2



三、解答题
1. k 为何值时,直线 y ? kx ? 2 和曲线 2 x ? 3 y ? 6 有两个公共点?有一个公共点?
2 2

没有公共点?

2.在抛物线 y ? 4 x 上求一点,使这点到直线 y ? 4 x ? 5 的距离最短。
2

3.双曲线与椭圆有共同的焦点 F1 (0, ?5), F2 (0,5) ,点 P(3, 4) 是双曲线的渐近线与椭圆的一个交点,求渐近线与椭圆 的方程。

4.若动点 P( x, y ) 在曲线

x2 y 2 ? ? 1(b ? 0) 上变化,则 x 2 ? 2 y 的最大值为多少? 4 b2

(数学选修 2-1)第二章
[综合训练 B 组]

圆锥曲线

第 7 页 共 19 页

一、选择题
1.如果 x ? ky ? 2 表示焦点在 y 轴上的椭圆,那么实数 k 的取值范围是(
2 2



A. ?0,???

B. ?0,2 ?

C. ?1,?? ?

D. ?0,1?

2.以椭圆

x2 y2 ? ? 1 的顶点为顶点,离心率为 2 的双曲线方程( 25 16 x2 y2 B. ? ?1 9 27
D.以上都不对



x2 y2 A. ? ?1 16 48
C.

x2 y2 x2 y2 ? ? 1或 ? ?1 16 48 9 27

3.过双曲线的一个焦点 F2 作垂直于实轴的弦 PQ , F1 是另一焦点,若∠ PF1Q ? 则双曲线的离心率 e 等于( A. 2 ? 1 B. 2 ) D. 2 ? 2

?
2



C. 2 ? 1

x2 y2 4. F1 , F2 是椭圆 ? ? 1 的两个焦点, A 为椭圆上一点,且∠ AF1 F2 ? 45 0 ,则 9 7
Δ AF1 F2 的面积为( )

A. 7

B.

7 4

C.

7 2

D.

7 5 2
2 2

5.以坐标轴为对称轴,以原点为顶点且过圆 x ? y ? 2 x ? 6 y ? 9 ? 0 的圆心的抛物线的方程是( A. y ? 3x 或 y ? ?3x
2 2 2



B. y ? 3x

2

C. y ? ?9 x 或 y ? 3x

2

D. y ? ?3x 或 y ? 9 x
2 2

2 6.设 AB 为过抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的焦点的弦,则 AB 的最小值为(



A.

p 2

B. p

C. 2 p

D.无法确定

二、填空题
1.椭圆

x2 y2 1 ? ? 1的离心率为 ,则 k 的值为______________。 k ?8 9 2
2 2

2.双曲线 8kx ? ky ? 8 的一个焦点为 (0,3) ,则 k 的值为______________。 3.若直线 x ? y ? 2 与抛物线 y ? 4 x 交于 A 、 B 两点,则线段 AB 的中点坐标是______。
2

第 8 页 共 19 页

2 4.对于抛物线 y ? 4 x 上任意一点 Q ,点 P(a,0) 都满足 PQ ? a ,则 a 的取值范围是____。

5.若双曲线

x2 y2 3 x ,则双曲线的焦点坐标是_________. ? ? 1 的渐近线方程为 y ? ? 2 4 m x2 y 2 ? ? 1的不垂直于对称轴的弦, M 为 AB 的中点, O 为坐标原点, a 2 b2

6.设 AB 是椭圆

则 k AB ? kOM ? ____________。

三、解答题
1.已知定点 A(?2, 3) , F 是椭圆 使 AM ? 2 MF 取得最小值。

x2 y2 ? ? 1 的右焦点,在椭圆上求一点 M , 16 12

2. k 代表实数,讨论方程 kx ? 2 y ? 8 ? 0 所表示的曲线
2 2

x2 y2 ? ? 1 有相同焦点,且经过点 ( 15, 4) ,求其方程。 3.双曲线与椭圆 27 36

4. 已知顶点在原点,焦点在 x 轴上的抛物线被直线 y ? 2 x ? 1 截得的弦长为 15 , 求抛物线的方程。

新课程高中数学测试题组 (数学选修 2-1)第二章
[提高训练 C 组] 一、选择题
1.若抛物线 y ? x 上一点 P 到准线的距离等于它到顶点的距离,则点 P 的坐标为(
2

圆锥曲线



A. ( , ?

1 4

2 ) 4

B. ( , ?

1 8

2 ) 4

C. ( ,

1 4

2 ) 4

D. ( ,

1 8

2 ) 4

第 9 页 共 19 页

2.椭圆

x2 y2 ? ? 1 上一点 P 与椭圆的两个焦点 F1 、 F2 的连线互相垂直, 49 24
) D. 24
2

则△ PF1 F2 的面积为( A. 20 B. 22 C. 28

3.若点 A 的坐标为 (3, 2) , F 是抛物线 y ? 2 x 的焦点,点 M 在 抛物线上移动时,使 MF ? MA 取得最小值的 M 的坐标为( A. ?0,0 ? B. ? ,1? )

?1 ? ?2 ?

C. 1, 2

?

?

D. ?2,2 ?

4.与椭圆

x2 ? y 2 ? 1 共焦点且过点 Q(2,1) 的双曲线方程是( 4



A.

x2 x2 x2 y2 y2 ? y 2 ? 1 B. ? y 2 ? 1 C. ?1 ? ? 1 D. x 2 ? 2 4 2 3 3
2 2

5.若直线 y ? kx ? 2 与双曲线 x ? y ? 6 的右支交于不同的两点, 那么 k 的取值范围是( A. ? ( ) B. 0, (

15 15 , ) 3 3
2

15 15 15 ) C. ? ( ( ,0 ) D. ? ,?1 ) 3 3 3

6.抛物线 y ? 2x 上两点 A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y 2 ) 关于直线 且 x1 ? x 2 ? ? A.

y ? x ? m 对称,

3 2

1 ,则 m 等于( ) 2 5 B. 2 C. D. 3 2

二、填空题
1.椭圆 是
2 2

x2 y2 ? ? 1 的 焦 点 F1 、 F2 , 点 P 为 其 上 的 动 点 , 当 ∠ F1 P F2 为 钝 角 时 , 点 P 横 坐 标 的 取 值 范 围 9 4


2.双曲线 tx ? y ? 1 的一条渐近线与直线 2 x ? y ? 1 ? 0 垂直,则这双曲线的离心率为___。
2 3.若直线 y ? kx ? 2 与抛物线 y ? 8 x 交于 A 、 B 两点,若线段 AB 的中点的横坐标是 2 ,则 AB ? ______。

4.若直线 y ? kx ? 1 与双曲线 x ? y ? 4 始终有公共点,则 k 取值范围是
2 2



5.已知 A(0, ?4), B(3, 2) ,抛物线 y ? 8 x 上的点到直线 AB 的最段距离为__________。
2

三、解答题
1.当 ? 从0 到180 变化时,曲线 x ? y cos ? ? 1 怎样变化?
0 0
2 2

第 10 页 共 19 页

2.设 F1 , F2 是双曲线

x2 y2 ? ? 1 的两个焦点,点 P 在双曲线上,且 ?F1 PF2 ? 600 , 9 16

求△ F1 PF2 的面积。

3.已知椭圆

x2 y2 ? ? 1 (a ? b ? 0) , A 、 B 是椭圆上的两点,线段 AB 的垂直 a2 b2 a2 ? b2 a2 ? b2 ? x0 ? . a a

平分线与 x 轴相交于点 P ( x0 , 0) .证明: ?

4.已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1 ,试确定 m 的值,使得在此椭圆上存在不同 4 3

两点关于直线 y ? 4 x ? m 对称。

新课程高中数学测试题组
(数学选修 2-1) 第三章
[基础训练 A 组] 一、选择题
1.下列各组向量中不平行的是( ) B. c ? (1,0,0), d ? (?3,0,0) D. g ? (?2,3,5), h ? (16,24,40) )

空间向量与立体几何

? ? A. a ? (1,2,?2), b ? (?2,?4,4)
C. e ? (2,3,0), f ? (0,0,0)

?

?

?

?

?

?

2.已知点 A(?3,1, ?4) ,则点 A 关于 x 轴对称的点的坐标为( A. (?3,?1,4) B. (?3,?1,?4) C. (3,1,4) D. (3,?1,?4)

3.若向量 a ? (1, ? ,2), b ? (2,?1,2) ,且 a 与 b 的夹角余弦为 A. 2 C. ? 2 或 B. ? 2

?

?

?

?

8 ,则 ? 等于( 9



2 55

D. 2 或 ?

2 55


4.若 A (1,?2,1) ,B (4,2,3) ,C (6,?1,4) ,则△ABC 的形状是(
第 11 页 共 19 页

A.不等边锐角三角形 C.钝角三角形

B.直角三角形 D.等边三角形

5.若 A ( x,5 ? x,2 x ? 1) ,B (1, x ? 2,2 ? x) ,当 A B 取最小值时, x 的值等于( A. 19 B. ?

?



8 7

C.

8 7

D.

19 14

6.空间四边形 OABC 中, OB ? OC , ?AOB ? ?AOC ? 则 cos < OA, BC >的值是(

?
3



??? ??? ? ?



A.

1 2

B.

2 2

C.-

1 2

D. 0

二、填空题
( 1.若向量 a ? (4,2,?4), b ? (6,?3,2) ,则 (2a ? 3b )? a ? 2b ) ? __________________。 ? ? ? ? ? ?

2.若向量 a ? 2i ? j ? k , b ? 4i ? 9 j ? k , ,则这两个向量的位置关系是___________。

?

?

?

? ?

?

?

?

3.已知向量 a ? (2,?1,3), b ? (?4,2, x) ,若 a ? b ,则 x ? ______;若 a // b 则 x ? ______。

?

?

?

?

?

?

4.已知向量 a ? mi ? 5 j ? k , b ? 3i ? j ? rk , 若 a // b 则实数 m ? ______, r ? _______。

?

?

?

? ?

?

?

?

?

?

5.若 (a ? 3b ) ? (7a ? 5b ) ,且 ( a ? 4b ) ? (7a ? 5b ) ,则 a 与 b 的夹角为____________。

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

6 . 若 A(0, 2,

x : y : z ? ________________。

? 19 5 5 ) , B(1, ?1, ) , C (?2,1, ) 是 平 面 ? 内 的 三 点 , 设 平 面 ? 的 法 向 量 a ? ( x, y, z ) , 则 8 8 8

7.已知空间四边形 OABC ,点 M , N 分别为 OA, BC 的中点,且 OA ? a , OB ? b , OC ? c ,用 a , b , c 表示 MN , 则 MN =_______________。

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

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8.已知正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的棱长是 1 ,则直线 DA1 与 AC 间的距离为



空间向量与立体几何解答题精选(选修 2--1)
1.已知四棱锥 P ? ABCD 的底面为直角梯形, AB // DC ,

?DAB ? 90 ? , PA ? 底面 ABCD ,且 PA ? AD ? DC ?

1 , 2

AB ? 1 , M 是 PB

的中点。 (Ⅰ)证明:面 PAD ? 面 PCD ; (Ⅱ)求 AC 与 PB 所成的角; (Ⅲ)求面 AMC 与面 BMC 所成二面角的大小。 证明:以 A 为坐标原点 AD 长为单位长度,如图建立空间直角坐标系,则各点坐标为

1 A(0, 0, 0), B(0, 2, 0), C (1,1, 0), D(1, 0, 0), P(0, 0,1), M (0,1, ) . 2
(Ⅰ)证明:因 AP ? (0,0,1), DC ? (0,1,0), 故 AP ? DC ? 0, 所以AP ? DC. 由题设知 AD ? DC ,且 AP 与 AD 是平面 PAD 内的两条相交直线,由此得 DC ? 面 PAD .又 DC 在面 PCD 上,故 面 PAD ⊥面 PCD . (Ⅱ)解:因 AC ? (1,1,0), PB ? (0,2,?1),

故 | AC |? 2 , | PB |? 5 , AC ? PB ? 2, 所以 cos ? AC, PB ?? AC ? PB | AC | ? | PB | ? 10 . 5

(Ⅲ)解:在 MC 上取一点 N ( x, y, z ) ,则存在 ? ? R, 使 NC ? ? MC,

1 1 NC ? (1 ? x,1 ? y,? z ), MC ? (1,0,? ),? x ? 1 ? ? , y ? 1, z ? ?.. 2 2 ???? ???? ? 1 4 要使 AN ? MC , 只需 AN ?MC ? 0即x ? z ? 0, 解得? ? . 2 5
4 1 2 可知当? ? 时, N点坐标为( ,1, ), 能使 AN ? MC ? 0. 5 5 5 1 2 1 2 此时, AN ? ( ,1, ), BN ? ( ,?1, ), 有BN ? MC ? 0 5 5 5 5
由AN ? MC ? 0, BN ? MC ? 0得AN ? MC, BN ? MC.所以?ANB 为
所求二面角的平面角.

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???? 30 ???? 30 ???? ???? 4 ?| AN |? ,| BN |? , AN ?BN ? ? . 5 5 5 ???? ???? ???? ???? AN ?BN 2 ? cos( AN , BN ) ? ???? ???? ? ? . 3 | AN | ? | BN | 2 故所求的二面角为 arccos( ? ). 3
2.如图,在四棱锥 V ? ABCD 中,底面 ABCD 是正方形,侧面 VAD 是正三角形, 平面 VAD ? 底面 ABCD . (Ⅰ)证明: AB ? 平面 VAD ; (Ⅱ)求面 VAD 与面 DB 所成的二面角的大小. 证明:以 D 为坐标原点,建立如图所示的坐标图系. (Ⅰ)证明:不防设作 A( 1 , 0 , ,) 0

则 B(1,1, 0) , V ( ,0,

1 2

3 ), 2

1 3 AB ? (0,1,0), VA ? ( ,0,? ) 2 2
由 AB ?VA ? 0, 得 AB ? VA , AB ? AD , 又 因而 AB 与平面 VAD 内两条相交直线 VA ,AD 都垂直. ∴ AB ? 平 面 VAD . (Ⅱ)解:设 E 为 DV 中点,则 E ( ,0,

1 4

3 ), 4

3 3 3 3 1 3 EA ? ( ,0,? ), EB ? ( ,1,? ), DV ? ( ,0, ). 4 4 4 4 2 2
由 EB ? DV ? 0, 得EB ? DV , 又EA ? DV . 因此, ?AEB 是所求二面角的平面角,

cos(EA, EB) ?

EA ? EB | EA | ? | EB |

?

21 , 7

解得所求二面角的大小为 arccos 21 . 7 3.如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为矩形, 侧棱 PA ? 底面 ABCD , AB ? 3 , BC ? 1 , PA ? 2 ,

V D A B C

E 为 PD 的中点. (Ⅰ)求直线 AC 与 PB 所成角的余弦值; (Ⅱ)在侧面 PAB 内找一点 N ,使 NE ? 面 PAC , 并求出点 N 到 AB 和 AP 的距离.
解: (Ⅰ)建立如图所示的空间直角坐标系, 则 A, B, C, D, P, E 的坐标为 A(0,0,0) 、

第 14 页 共 19 页

B ( 3, 0, 0) 、 C ( 3,1, 0) 、 D(0,1,0) 、

1 P(0,0, 2) 、 E (0, ,1) , 2
从而 AC ? ( 3 ,1,0), PB ? ( 3 ,0,?2). 设 AC与PB 的夹角为 ? ,则

cos? ?

AC ? PB | AC | ? | PB |

?

3 2 7

?

3 7 , 14
3 7 . 14

∴ AC 与 PB 所成角的余弦值为

(Ⅱ)由于 N 点在侧面 PAB 内,故可设 N 点坐标为 ( x , 0z ,则 , )

1 NE ? (? x, ,1 ? z ) ,由 NE ? 面 PAC 可得, 2
? NE ? AP ? 0, ? ? ? NE ? AC ? 0. ? 1 ? ? z ? 1 ? 0, ?(? x, 2 ,1 ? z ) ? (0,0,2) ? 0, ? ? 即? 化简得? 1 ?(? x, 1 ,1 ? z ) ? ( 3 ,1,0) ? 0. ?? 3 x ? 2 ? 0. ? ? 2 ?

? 3 ?x ? ∴? 6 ?z ? 1 ?

即 N 点的坐标为 (

3 3 . ,0,1) ,从而 N 点到 AB 和 AP 的距离分别为 1, 6 6

4.如图所示的多面体是由底面为 ABCD 的长方体被截面 AEC1 F 所截面而得到的,其中

AB ? 4, BC ? 2, CC1 ? 3, BE ? 1 .
(Ⅰ)求 BF 的长; (Ⅱ)求点 C 到平面 A E C F 的距离. 1

解: (I)建立如图所示的空间直角坐标系,则 D(0,0,0) , B(2, 4,0)

A(2, 0, 0), C (0, 4, 0), E (2, 4,1), C1 (0, 4,3) 设 F (0,0, z ) .
∵ AEC1 F 为平行四边形,

第 15 页 共 19 页

?由AEC1 F为平行四边形, ?由AF ? EC1得, (?2,0, z ) ? (?2,0,2), ? z ? 2. ? F (0,0,2). ? EF ? (?2,?4,2). 于是 | BF |? 2 6 , 即BF的长为2 6 .
(II)设 n1 为平面 AEC1 F 的法向量,

显然n1不垂直于平面ADF , 故可设n1 ? ( x, y,1)

?n1 ? AE ? 0, ?0 ? x ? 4 ? y ? 1 ? 0 ? 由? 得? ?n1 ? AF ? 0, ?? 2 ? x ? 0 ? y ? 2 ? 0 ?
? x ? 1, ?4 y ? 1 ? 0, ? 即? ?? 1 ?? 2 x ? 2 ? 0, ? y ? ? . 4 ?

又CC1 ? (0,0,3), 设CC1与n1 的夹角为 ? ,则
cos? ? CC1 ? n1 | CC1 | ? | n1 | ? 3 3? 1? 1 ?1 16 ? 4 33 . 33

∴ C 到平面 AEC1 F 的距离为

d ?| CC1 | cos? ? 3 ?

4 33 4 33 ? . 33 11

5.如图,在长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 ,中, AD ? AA1 ? 1, AB ? 2 ,点 E 在棱 AD 上移动.(1)证明: D1 E ? A1 D ; (2)当 E 为 AB 的中点时,求点 E 到面 ACD1 的距离; (3) AE 等于何值时,二面角 D1 ? EC ? D 的大小为

? . 4

解 : 以 D 为 坐 标 原 点 , 直 线 DA, DC , DD1 分 别 为 x, y, z 轴 , 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 , 设 AE ? x , 则

A1 (1, 0,1), D1 (0, 0,1), E (1, x, 0), A(1, 0, 0), C (0, 2, 0)
(1) 因为DA1 , D1 E ? (1,0,1), (1, x,?1) ? 0, 所以DA1 ? D1 E.
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(2)因为 E 为 AB 的中点,则 E (1,1, 0) ,从而 D1 E ? (1,1,?1), AC ? (?1,2,0) ,

?n ? AC ? 0, ? AD1 ? (?1,0,1) ,设平面 ACD1 的法向量为 n ? (a, b, c) ,则 ? ?n ? AD1 ? 0, ?
也即 ?

?? a ? 2b ? 0 ?a ? 2b ,得 ? ,从而 n ? ( 2,1,2) ,所以点 E 到平面 ACD1 的距离为 ?? a ? c ? 0 ?a ? c
? 2 ?1? 2 1 ? . 3 3

h?

| D1 E ? n | |n|

(3)设平面 D1 EC 的法向量 n ? ( a, b, c) ,∴ CE ? (1, x ? 2,0), D1C ? (0,2,?1), DD1 ? (0,0,1), 由?

?n ? D1C ? 0, ?

?2b ? c ? 0 ?? ?n ? CE ? 0, ?a ? b( x ? 2) ? 0. ?

令 b ? 1 ,? c ? 2 ,a ? 2 ?, x

∴ n ? (2 ? x,1,2). 依题意 cos

?
4

?

| n ? DD1 | | n | ? | DD1 |

?

2 2 2 ? ? . 2 2 ( x ? 2) 2 ? 5

∴ x1 ? 2 ? 3 (不合,舍去) x 2 ? 2 ? 3 . , ∴ AE ? 2 ? 3 时,二面角 D1 ? EC ? D 的大小为

? . 4

6.如图,在三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, AB ? 侧面 BB1C1C , E 为棱 CC1 上异于 C , C1 的一点, EA ? EB1 ,已知

AB ? 2, BB1 ? 2, BC ? 1, ?BCC1 ?

?
3

,求:

(Ⅰ)异面直线 AB 与 EB1 的距离; (Ⅱ)二面角 A ? EB1 ? A1 的平面角的正切值. 解: (I)以 B 为原点, BB1 、 BA 分别为 y, z 轴建立空间直角坐标系. 由于, AB ?

2, BB1 ? 2, BC ? 1, ?BCC1 ?

?
3

在三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中有

B(0, 0, 0), A(0, 0, 2), B1 (0, 2, 0) , C (

3 1 3 3 ,? ,0), C1 ( , ,0) 2 2 2 2

设 E(

3 , a,0),由EA ? EB1 , 得 EA ? EB1 ? 0,即 2 3 3 , ? a, 2 ) ? ( ? ,2 ? a,0) 2 2
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0 ? (?

?

3 3 ? a(a ? 2) ? a 2 ? 2a ? , 4 4

1 3 1 3 3 1 得(a ? )( a ? ) ? 0, 即a ? 或a ? (舍去), 故E ( , ,0) 2 2 2 2 2 2 3 1 3 3 3 3 BE ? EB1 ? ( , ,0) ? (? ? ? 0) ? ? ? ? 0, 即BE ? EB1 . 2 2 2 2 4 4
又 AB ? 侧面 BB1C1C ,故 AB ? BE . 因此 BE 是异面直线 AB, EB1 的公垂线, 则 | BE |?

3 1 ? ? 1 ,故异面直线 AB, EB1 的距离为1 . 4 4

(II)由已知有 EA ? EB1 , B1 A1 ? EB1 , 故二面角 A ? EB1 ? A1 的平面角 ? 的大小为向量 B1 A1与EA 的夹角.

因B1 A1 ? BA ? (0,0, 2 ), EA ? (? 故 cos? ? 即 tan? ? EA ? B1 A1 | EA || B1 A1 | 2 . 2 ? 2 3 ,

3 1 ,? , 2 ), 2 2

7.如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为矩形, PD ? 底面 ABCD , E 是 AB 上 一点, PF ? EC . 已知 PD ?

2 , CD ? 2, AE ?

1 , 2

求(Ⅰ)异面直线 PD 与 EC 的距离; (Ⅱ)二面角 E ? P C D ? 的大小. 解: (Ⅰ)以 D 为原点, DA 、 DC 、 DP 分别为

x, y, z 轴建立空间直角坐标系.
由已知可得 D(0, 0, 0), P(0, 0, 2), C (0, 2, 0) 设 A( x,0,0)( x ? 0), 则B( x,2,0),

1 1 3 E ( x, ,0), PE ? ( x, ,? 2 ), CE ? ( x,? ,0). 2 2 2
即x ?
2

由 PE ? CE得 PE ? CE ? 0 ,

3 3 3 1 3 3 ? 0, 故x ? . 由 DE ? CE ? ( , ,0) ? ( ,? ,0) ? 0得DE ? CE , 2 2 2 2 4 2

又 PD ? DE ,故 DE 是异面直线 PD 与 CE 的公垂线,易得 | DE |? 1 ,故异面直线

PD , CE 的距离为 1.
(Ⅱ)作 DG ? PC ,可设 G(0, y, z ) .由 DG ? PC ? 0 得 (0, y, z ) ? (0,2,? 2 ) ? 0 即z ?

2 y, 故可取DG ? (0,1, 2 ), 作 EF ? PC 于 F ,设 F (0, m, n) ,

则 EF ? ( ?

3 1 , m ? , n). 2 2
第 18 页 共 19 页

由 EF ? PC ? 0得(?

3 1 , m ? , n) ? (0,2,? 2 ) ? 0,即2m ? 1 ? 2n ? 0 , 2 2 2 2 3 1 2 m ? 2 , 故m ? 1, n ? , EF ? (? , , ). 2 2 2 2 2

又由 F 在 PC 上得 n ? ?

因 EF ? PC , DG ? PC , 故 E ? PC ? D 的平面角 ? 的大小为向量 EF与DG 的夹角. 故 cos? ?

DG ? EF | DG || EF |

?

2 ? ,? ? , 2 4

即二面角 E ? P C D ? 的大小为

? . 4

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