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2015年上海市高考数学试卷(文科)


2015 年上海市高考数学试卷(文科)
一、填空题(本大题共 14 小题,满分 56 分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写 结果,每个空格填对得 4 分,否则一律零分) 1. (4 分) (2015?上海)函数 f(x)=1﹣3sin x 的最小正周期为 . 2. (4 分) (2015?上海)设全集 U=R.若集合 A={1,2,3,4},B={x|2≤x<3}

,则 A∩(CUB) = . 3. (4 分) (2015?上海)若复数 z 满足 3z+ =1+i,其中 i 是虚数单位,则 z= 4. (4 分) (2015?上海)设 f (x)为 f(x)=
﹣1

2

. .

的反函数,则 f (2)=

﹣1

5. (4 分) (2015?上海)若线性方程组的增广矩阵为

解为

,则 c1﹣

c2= . 6. (4 分) (2015?上海) 若正三棱柱的所有棱长均为 a, 且其体积为 16 , 则 a= . 2 7. (4 分) (2015?上海)抛物线 y =2px(p>0)上的动点 Q 到焦点的距离的最小值为 1,则 p= . 8. (4 分) (2015?上海)方程 log2(9 9. (4 分) (2015?上海) 若 x, y 满足
x﹣1

﹣5)=log2(3

x﹣1

﹣2)+2 的解为



, 则目标函数 z=x+2y 的最大值为



10. (4 分) (2015?上海)在报名的 3 名男老师和 6 名女教师中,选取 5 人参加义务献血, 要求男、女教师都有,则不同的选取方式的种数为 (结果用数值表示) . 11. (4 分) (2015?上海)在(2x+ 值表示) . 12. (4 分) (2015?上海)已知双曲线 C1、C2 的顶点重合,C1 的方程为 一条渐近线的斜率是 C1 的一条渐近线的斜率的 2 倍,则 C2 的方程为 ﹣y =1,若 C2 的 .
2

) 的二项式中,常数项等于

6

(结果用数

13. (4 分) (2015?上海)已知平面向量 、 、 满足 ⊥ ,且{| |,| |,| |}={1,2,3}, 则| + + |的最大值是 .

14. (4 分) (2015?上海)已知函数 f(x)=sinx.若存在 x1,x2,…,xm 满足 0≤x1<x2<… * <xm≤6π,且|f(x1)﹣f(x2)|+|f(x2)﹣f(x3)|+…+|f(xm﹣1)﹣f(xm)|=12(m≥0,m∈N ) , 则 m 的最小值为 . 二、选择题(本大题共 4 小题,满分 21 分)每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸 的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得 5 分,否则一律零分. 15. (6 分) (2015?上海)设 z1、z2∈C,则“z1、z2 均为实数”是“z1﹣z2 是实数”的( ) A.充分非必要条件 B.必要非充分条件
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C.充要条件 D.既非充分又非必要条件 16. (5 分) (2015?上海)下列不等式中,与不等式 A. (x+8) (x +2x+3)<2 B.x+8<2(x +2x+3) C. < D. > ,1) ,将 OA 绕坐标原点 O 逆时针旋转
2 2

<2 解集相同的是(



17. (5 分) (2015?上海)已知点 A 的坐标为(4 至 OB,则点 B 的纵坐标为( A. B. C. D. )

18. (5 分) (2015?上海)设 Pn(xn,yn)是直线 2x﹣y=

(n∈N )与圆 x +y =2 在第一

*

2

2

象限的交点,则极限

=(



A.﹣1 B.﹣

C.1

D.2

三、解答题(本大题共有 5 题,满分 74 分)解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区 域内写出必要的步骤. 19. (12 分) (2015?上海)如图,圆锥的顶点为 P,底面圆为 O,底面的一条直径为 AB,C 为半圆弧 的中点,E 为劣弧 的中点,已知 PO=2,OA=1,求三棱锥 P﹣AOC 的体积,

并求异面直线 PA 和 OE 所成角的大小.

20. (14 分) (2015?上海)已知函数 f(x)=ax + ,其中 a 为常数 (1)根据 a 的不同取值,判断函数 f(x)的奇偶性,并说明理由; (2)若 a∈(1,3) ,判断函数 f(x)在[1,2]上的单调性,并说明理由. 21. (14 分) (2015?上海)如图,O,P,Q 三地有直道相通,OP=3 千米,PQ=4 千米,OQ=5 千米,现甲、乙两警员同时从 O 地出发匀速前往 Q 地,经过 t 小时,他们之间的距离为 f (t) (单位:千米) .甲的路线是 OQ,速度为 5 千米/小时,乙的路线是 OPQ,速度为 8 千 米/小时,乙到达 Q 地后在原地等待.设 t=t1 时乙到达 P 地,t=t2 时乙到达 Q 地.
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2

(1)求 t1 与 f(t1)的值; (2)已知警员的对讲机的有效通话距离是 3 千米,当 t1≤t≤t2 时,求 f(t)的表达式,并判 断 f(t)在[t1,t2]上的最大值是否超过 3?说明理由.

22. (16 分) (2015?上海)已知椭圆 x +2y =1,过原点的两条直线 l1 和 l2 分别与椭圆交于 点 A、B 和 C、D,记△ AOC 的面积为 S. (1)设 A(x1,y1) ,C(x2,y2) ,用 A、C 的坐标表示点 C 到直线 l1 的距离,并证明 S= (2)设 l1:y=kx, |; ,S= ,求 k 的值;

2

2

(3)设 l1 与 l2 的斜率之积为 m,求 m 的值,使得无论 l1 和 l2 如何变动,面积 S 保持不变. * 23. (18 分) (2015?上海)已知数列{an}与{bn}满足 an+1﹣an=2(bn+1﹣bn) ,n∈N . (1)若 bn=3n+5,且 a1=1,求{an}的通项公式; (2)设{an}的第 n0 项是最大项,即 an0≥an(n∈N*) ,求证:{bn}的第 n0 项是最大项; n * * (3)设 a1=3λ<0,bn=λ (n∈N ) ,求 λ 的取值范围,使得对任意 m,n∈N ,an≠0,且 .

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2015 年上海市高考数学试卷(文科)
参考答案与试题解析

一、填空题(本大题共 14 小题,满分 56 分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写 结果,每个空格填对得 4 分,否则一律零分) 1. (4 分) (2015?上海)函数 f(x)=1﹣3sin x 的最小正周期为 π . 【考点】三角函数的周期性及其求法. 【专题】三角函数的图像与性质. 【分析】 由条件利用半角公式化简函数的解析式, 再利用余弦函数的周期性求得函数的最小 正周期.
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2

【解答】解:∵函数 f(x)=1﹣3sin x=1﹣3 ∴函数的最小正周期为 =π,

2

=﹣ + cos2x,

故答案为:π. 【点评】本题主要考查半角公式的应用,余弦函数的周期性,属于基础题. 2. (4 分) (2015?上海)设全集 U=R.若集合 A={1,2,3,4},B={x|2≤x<3},则 A∩(CUB) = {1,3,4} . 【考点】交、并、补集的混合运算. 【专题】集合. 【分析】本题考查集合的运算,由于两个集合已经化简,故直接运算得出答案即可. 【解答】解:∵全集 U=R,集合 Α={1,2,3,4},Β={x|2≤x<3},
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∴(?UB)={x|x≥3 或 x<2}, ∴A∩(?UB)={1,3,4}, 故答案为:{1,3,4}. 【点评】本题考查集合的交、并、补的混合运算,熟练掌握集合的交并补的运算规则是解本 题的关键.本题考查了推理判断的能力.

3. (4 分) (2015?上海)若复数 z 满足 3z+ =1+i,其中 i 是虚数单位,则 z= 【考点】复数代数形式的乘除运算. 【专题】数系的扩充和复数.
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【分析】设 z=a+bi,则 =a﹣bi(a,b∈R) ,利用复数的运算法则、复数相等即可得出. 【解答】解:设 z=a+bi,则 =a﹣bi(a,b∈R) , 又 3z+ =1+i, ∴3(a+bi)+(a﹣bi)=1+i, 化为 4a+2bi=1+i, ∴4a=1,2b=1, 解得 a= ,b= .

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∴z=

. .

故答案为:

【点评】本题考查了复数的运算法则、复数相等,属于基础题.
﹣1 ﹣1

4. (4 分) (2015?上海)设 f (x)为 f(x)=
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的反函数,则 f (2)= ﹣



【考点】反函数. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】由原函数解析式把 x 用含有 y 的代数式表示,x,y 互换求出原函数的反函数,则 f
﹣1

(2)可求. ,得
﹣1

【解答】解:由 y=f(x)= x,y 互换可得, ∴ 故答案为: .

, .

,即 f (x)= .

【点评】本题考查了函数的反函数的求法,是基础的计算题.

5. (4 分) (2015?上海) 若线性方程组的增广矩阵为 【考点】二阶行列式与逆矩阵. 【专题】矩阵和变换.

解为

, 则 c1﹣c2=

16 .

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【分析】根据增广矩阵的定义得到

,是方程组

的解,解方程组即可.

【解答】解:由题意知

,是方程组

的解,





则 c1﹣c2=21﹣5=16, 故答案为:16. 【点评】本题主要考查增广矩阵的求解,根据条件建立方程组关系是解决本题的关键. 6. (4 分) (2015?上海)若正三棱柱的所有棱长均为 a,且其体积为 16 【考点】棱锥的结构特征. 【专题】空间位置关系与距离.
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,则 a=

4 .

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【分析】由题意可得( ?a?a?sin60°)?a=16

,由此求得 a 的值.

【解答】解:由题意可得,正棱柱的底面是变长等于 a 的等边三角形,面积为 ?a?a?sin60°, 正棱柱的高为 a, ∴( ?a?a?sin60°)?a=16 ,∴a=4,

故答案为:4. 【点评】本题主要考查正棱柱的定义以及体积公式,属于基础题. 7. (4 分) (2015?上海)抛物线 y =2px(p>0)上的动点 Q 到焦点的距离的最小值为 1,则 p= 2 . 【考点】抛物线的简单性质. 【专题】计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】利用抛物线的顶点到焦点的距离最小,即可得出结论. 2 【解答】解:因为抛物线 y =2px(p>0)上的动点 Q 到焦点的距离的最小值为 1,
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2

所以 =1, 所以 p=2. 故答案为:2. 【点评】本题考查抛物线的方程与性质,考查学生的计算能力,比较基础. 8. (4 分) (2015?上海)方程 log2(9 ﹣5)=log2(3 ﹣2)+2 的解为 2 . 【考点】对数的运算性质. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】利用对数的运算性质化为指数类型方程,解出并验证即可.
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x﹣1

x﹣1

【解答】解:∵log2(9 ﹣5)=log2(3 ﹣2)+2,∴log2(9 ﹣5)=log2[4×(3 ﹣2)], x﹣1 x﹣1 ∴9 ﹣5=4(3 ﹣2) , x 2 x 化为(3 ) ﹣12?3 +27=0, x x 因式分解为: (3 ﹣3) (3 ﹣9)=0, x x ∴3 =3,3 =9, 解得 x=1 或 2. 经过验证:x=1 不满足条件,舍去. ∴x=2. 故答案为:2. 【点评】本题考查了对数的运算性质及指数运算性质及其方程的解法,考查了计算能力,属 于基础题.

x﹣1

x﹣1

x﹣1

x﹣1

9. (4 分) (2015?上海)若 x,y 满足

,则目标函数 z=x+2y 的最大值为 3 .

【考点】简单线性规划. 【专题】不等式的解法及应用.
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【分析】作出不等式对应的平面区域,利用线性规划的知识,通过平移即可求 z 的最大值. 【解答】解:作出不等式组对应的平面区域如图: (阴影部分) . 由 z=x+2y 得 y=﹣ x+ z, 平移直线 y=﹣ x+ z, 由图象可知当直线 y=﹣ x+ z 经过点 B 时,直线 y=﹣ x+ z 的截距最大, 此时 z 最大. 由 ,解得 ,即 B(1,1) ,

代入目标函数 z=x+2y 得 z=2×1+1=3 故答案为:3.

【点评】本题主要考查线性规划的应用,利用图象平行求得目标函数的最大值和最小值,利 用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法. 10. (4 分) (2015?上海)在报名的 3 名男老师和 6 名女教师中,选取 5 人参加义务献血, 要求男、女教师都有,则不同的选取方式的种数为 120 (结果用数值表示) . 【考点】排列、组合的实际应用. 【专题】计算题;排列组合. 【分析】根据题意,运用排除法分析,先在 9 名老师中选取 5 人,参加义务献血,由组合数 公式可得其选法数目,再排除其中只有女教师的情况;即可得答案. 【解答】解:根据题意,报名的有 3 名男老师和 6 名女教师,共 9 名老师, 5 在 9 名老师中选取 5 人,参加义务献血,有 C9 =126 种; 5 其中只有女教师的有 C6 =6 种情况; 则男、女教师都有的选取方式的种数为 126﹣6=120 种; 故答案为:120. 【点评】本题考查排列、组合的运用,本题适宜用排除法(间接法) ,可以避免分类讨论, 简化计算.
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11. (4 分) (2015?上海)在(2x+ 示) . 【考点】二项式系数的性质. 【专题】二项式定理.

) 的二项式中,常数项等于 240 (结果用数值表

6

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【分析】写出二项展开式的通项,由 x 的指数为 0 求得 r 值,则答案可求. 【解答】解:由(2x+ ) ,得 = 由 6﹣3r=0,得 r=2. ∴常数项等于 . .
6

故答案为:240. 【点评】 本题考查了二项式系数的性质, 关键是对二项展开式通项的记忆与运用, 是基础题.
2

12. (4 分) (2015?上海)已知双曲线 C1、C2 的顶点重合,C1 的方程为

﹣y =1,若 C2 的

一条渐近线的斜率是 C1 的一条渐近线的斜率的 2 倍,则 C2 的方程为



【考点】双曲线的简单性质. 【专题】计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】求出 C1 的一条渐近线的斜率,可得 C2 的一条渐近线的斜率,利用双曲线 C1、C2 的顶点重合,可得 C2 的方程.
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【解答】解:C1 的方程为

﹣y =1,一条渐近线的方程为 y= ,

2

因为 C2 的一条渐近线的斜率是 C1 的一条渐近线的斜率的 2 倍, 所以 C2 的一条渐近线的方程为 y=x, 因为双曲线 C1、C2 的顶点重合, 所以 C2 的方程为 .

故答案为:



【点评】本题考查双曲线的方程与性质,考查学生的计算能力,比较基础.

13. (4 分) (2015?上海)已知平面向量 、 、 满足 ⊥ ,且{| |,| |,| |}={1,2,3}, 则| + + |的最大值是 3+ .
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【考点】平面向量数量积的运算. 【专题】平面向量及应用. 【分析】分别以 2},| |=3,设

所在的直线为 x,y 轴建立直角坐标系,分类讨论:当{| |,| |}={1, ,则 x +y =9,则 + + =(1+x,2+y) ,有
2 2

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|

|=

的最大值,其几何意义是圆 x +y =9 上点(x,y)与定

2

2

点(﹣1, ﹣2) 的距离的最大值; 其他情况同理, 然后求出各种情况的最大值进行比较即可. 【解答】解:分别以 所在的直线为 x,y 轴建立直角坐标系, ,

①当{| |,| |}={1,2},| |=3,则 设 ,则 x +y =9,
2 2

∴ + + =(1+x,2+y) , ∴| |= 的最大值,其几何意义是圆 x +y =9 上点(x,y)与 =3+ ,x +y =4,
2 2 2 2

定点(﹣1,﹣2)的距离的最大值为 ②且{| |,| |}={1,3},| |=2,则 ∴ + + =(1+x,3+y) ∴| |=



的最大值,其几何意义是圆 x +y =4 上点(x,y)与 =2+ , ,

2

2

定点(﹣1,﹣3)的距离的最大值为 2+ ③{| |,| |}={2,3},| |=1,则 设 ,则 x +y =1
2 2

∴ + + =(2+x,3+y) ∴| |= 的最大值,其几何意义是在圆 x +y =1 =1+
2 2

上取点(x,y)与定点(﹣2,﹣3)的距离的最大值为 1+ ∵ 故| + + |的最大值为 3+ . ,

故答案为:3+ 【点评】本题主要考查了向量的模的求解,解题的关键是圆的性质的应用:在圆外取一点, 使得其到圆上点的距离的最大值:r+d(r 为该圆的半径,d 为该点与圆心的距离) . 14. (4 分) (2015?上海)已知函数 f(x)=sinx.若存在 x1,x2,…,xm 满足 0≤x1<x2<… * <xm≤6π,且|f(x1)﹣f(x2)|+|f(x2)﹣f(x3)|+…+|f(xm﹣1)﹣f(xm)|=12(m≥0,m∈N ) , 则 m 的最小值为 8 . 【考点】正弦函数的图象.
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【专题】函数的性质及应用;三角函数的图像与性质. 【分析】由正弦函数的有界性可得,对任意 xi,xj(i,j=1,2,3,…,m) ,都有|f(xi)﹣f (xj)|≤f(x)max﹣f(x)min=2,要使 m 取得最小值,尽可能多让 xi(i=1,2,3,…,m) 取得最高点,然后作图可得满足条件的最小 m 值. 【解答】解:∵y=sinx 对任意 xi,xj(i,j=1,2,3,…,m) ,都有|f(xi)﹣f(xj)|≤f(x) max﹣f(x)min=2, 要使 m 取得最小值,尽可能多让 xi(i=1,2,3,…,m)取得最高点, 考虑 0≤x1<x2<…<xm≤6π,|f(x1)﹣f(x2)|+|f(x2)﹣f(x3)|+…+|f(xm﹣1)﹣f(xm) |=12, 按下图取值即可满足条件,

∴m 的最小值为 8. 故答案为:8. 【点评】本题考查正弦函数的图象和性质,考查分析问题和解决问题的能力,考查数学转化 思想方法,正确理解对任意 xi,xj(i,j=1,2,3,…,m) ,都有|f(xi)﹣f(xj)|≤f(x) max﹣f(x)min=2 是解答该题的关键,是难题. 二、选择题(本大题共 4 小题,满分 21 分)每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸 的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得 5 分,否则一律零分. 15. (6 分) (2015?上海)设 z1、z2∈C,则“z1、z2 均为实数”是“z1﹣z2 是实数”的( ) A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分又非必要条件 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断. 【专题】简易逻辑;数系的扩充和复数. 【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合复数的有关概念进行判断即可. 【解答】解:若 z1、z2 均为实数,则 z1﹣z2 是实数,即充分性成立, 当 z1=i,z2=i,满足 z1﹣z2=0 是实数,但 z1、z2 均为实数不成立,即必要性不成立, 故“z1、z2 均为实数”是“z1﹣z2 是实数”的充分不必要条件, 故选:A. 【点评】 本题主要考查充分条件和必要条件的判断, 根据复数的有关概念是解决本题的关键.
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16. (5 分) (2015?上海)下列不等式中,与不等式 A. (x+8) (x +2x+3)<2 B.x+8<2(x +2x+3)
2 2

<2 解集相同的是(



第 10 页(共 42 页)

C.



D.



【考点】其他不等式的解法. 【专题】不等式的解法及应用.
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【分析】 根据 x +2x+3= (x+1) +2>0, 可得不等式 从而得出结论. 【解答】 解: 由于 x +2x+3= (x+1) +2>0, 不等式
2 2

2

2

<2, 等价于 x+8<2 (x +2x+3) ,

2

<2, 等价于 x+8<2 (x +2x+3) ,

2

故选:B. 【点评】 本题主要考查不等式的基本性质的应用, 体现了等价转化的数学思想, 属于基础题. 17. (5 分) (2015?上海)已知点 A 的坐标为(4 至 OB,则点 B 的纵坐标为( A. B. C. D.
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,1) ,将 OA 绕坐标原点 O 逆时针旋转



【考点】任意角的三角函数的定义. 【专题】三角函数的求值. 【分析】根据三角函数的定义,求出∠xOA 的三角函数值,利用两角和差的正弦公式进行 求解即可. 【解答】解:∵点 A 的坐标为(4 ,1) , ∴设∠xOA=θ,则 sinθ= = ,cosθ= = ,

将 OA 绕坐标原点 O 逆时针旋转 则 OB 的倾斜角为 θ+

至 OB, , +cosθsin )=7( × + )

,则|OB|=|OA|= )=7(sinθcos

则点 B 的纵坐标为 y=|OB|sin(θ+ = +6= ,

故选:D. 【点评】 本题主要考查三角函数值的计算, 根据三角函数的定义以及两角和差的正弦公式是 解决本题的关键. (n∈N )与圆 x +y =2 在第一
* 2 2

18. (5 分) (2015?上海)设 Pn(xn,yn)是直线 2x﹣y=

象限的交点,则极限

=(



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A.﹣1 B.﹣

C.1
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D.2

【考点】极限及其运算. 【专题】导数的综合应用. 【分析】当 n→+∞时,直线 2x﹣y= 趋近于 2x﹣y=1,与圆 x +y =2 在第一象限的交点无
2 2

限靠近(1,1) ,利用圆的切线的斜率、斜率计算公式即可得出. 【解答】解:当 n→+∞时,直线 2x﹣y= 趋近于 2x﹣y=1,与圆 x +y =2 在第一象限的交
2 2

点无限靠近(1,1) ,而
2 2

可看作点 Pn(xn,yn)与(1,1)连线的斜率,其值会无限

接近圆 x +y =2 在点(1,1)处的切线的斜率,其斜率为﹣1. ∴ =﹣1.

故选:A. 【点评】本题考查了极限思想、圆的切线的斜率、斜率计算公式,考查了推理能力与计算能 力,属于中档题. 三、解答题(本大题共有 5 题,满分 74 分)解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区 域内写出必要的步骤. 19. (12 分) (2015?上海)如图,圆锥的顶点为 P,底面圆为 O,底面的一条直径为 AB,C 为半圆弧 的中点,E 为劣弧 的中点,已知 PO=2,OA=1,求三棱锥 P﹣AOC 的体积,

并求异面直线 PA 和 OE 所成角的大小.

【考点】异面直线及其所成的角. 【专题】空间角. 【分析】由条件便知 PO 为三棱锥 P﹣AOC 的高,底面积 S△ AOC 又容易得到,从而带入棱 锥的体积公式即可得到该三棱锥的体积.根据条件能够得到 OE∥AC,从而找到异面直线 PA,OE 所成角为∠PAC,可取 AC 中点 H,连接 PH,便得到 PH⊥AC,从而可在 Rt△ PAH 中求出 cos∠PAC,从而得到∠PAC. 【解答】解:∵PO=2,OA=1,OC⊥AB;
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∴ E 为劣弧 的中点;



∴∠BOE=45°,又∠ACO=45°; ∴OE∥AC; ∴∠PAC 便是异面直线 PA 和 OE 所成角; 在△ ACP 中,AC= , ; 如图,取 AC 中点 H,连接 PH,则 PH⊥AC,AH= ∴在 Rt△ PAH 中,cos∠PAH= ; . ;

∴异面直线 PA 与 OE 所成角的大小为 arccos

【点评】考查圆锥的定义,圆锥的高和母线,等弧所对的圆心角相等,能判断两直线平行, 以及异面直线所成角的定义及找法、求法,能用反三角函数表示角.
2

20. (14 分) (2015?上海)已知函数 f(x)=ax + ,其中 a 为常数 (1)根据 a 的不同取值,判断函数 f(x)的奇偶性,并说明理由; (2)若 a∈(1,3) ,判断函数 f(x)在[1,2]上的单调性,并说明理由. 【考点】利用导数研究函数的单调性;函数奇偶性的性质. 【专题】函数的性质及应用;导数的概念及应用. 【分析】 (1)根据函数的奇偶性的定义即可判断,需要分类讨论; (2)根据导数和函数的单调性的关系即可判断.
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【解答】解: (1)当 a=0 时,f(x)= ,显然为奇函数, 当 a≠0 时,f(1)=a+1,f(﹣1)=a﹣1,f(1)≠f(﹣1) ,且 f(1)+f(﹣1)≠0, 所以此时 f(x)为非奇非偶函数. (2)∵a∈(1,3) ,f(x)=ax + ,
2

∴f′(x)=2ax﹣

=



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∵a∈(1,3) ,x∈[1,2], ∴ax>1, ∴ax >1, 3 ∴2ax ﹣1>0, ∴f′(x)>0, ∴函数 f(x)在[1,2]上的单调递增. 【点评】本题考查了函数的奇偶性和单调性,属于基础题. 21. (14 分) (2015?上海)如图,O,P,Q 三地有直道相通,OP=3 千米,PQ=4 千米,OQ=5 千米,现甲、乙两警员同时从 O 地出发匀速前往 Q 地,经过 t 小时,他们之间的距离为 f (t) (单位:千米) .甲的路线是 OQ,速度为 5 千米/小时,乙的路线是 OPQ,速度为 8 千 米/小时,乙到达 Q 地后在原地等待.设 t=t1 时乙到达 P 地,t=t2 时乙到达 Q 地. (1)求 t1 与 f(t1)的值; (2)已知警员的对讲机的有效通话距离是 3 千米,当 t1≤t≤t2 时,求 f(t)的表达式,并判 断 f(t)在[t1,t2]上的最大值是否超过 3?说明理由.
3

【考点】函数与方程的综合运用. 【专题】函数的性质及应用.

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【分析】 (1)用 OP 长度除以乙的速度即可求得 t1= ,当乙到达 P 点时,可设甲到达 A 点, 连接 AP,放在△ AOP 中根据余弦定理即可求得 AP,也就得出 f(t1) ; (2)求出 t2= ,设 t ,且 t 小时后甲到达 B 地,而乙到达 C 地,并连接 BC, ,这样根据余弦定理即可求出 BC,即 f

能够用 t 表示出 BQ,CQ,并且知道 cos

(t) ,然后求该函数的最大值,看是否超过 3 即可. 【解答】解: (1)根据条件知 OA= ; ,设此时甲到达 A 点,并连接 AP,如图所示,则

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∴在△ OAP 中由余弦定理得,f(t1) =AP= (2)可以求得 示: ,设 t 小时后,且 = (千米) ; ,甲到达了 B 点,乙到达了 C 点,如图所

则 BQ=5﹣5t,CQ=7﹣8t; ∴在△ BCQ 中由余弦定理得,f(t) =BC= 即 f(t)= 设 g(t)=25t ﹣42t+18, 且 即 g(t)的最大值为 ; ,则此时 f(t)取最大值 ;
2

= , ; ,g(t)的对称轴为 t= ;



即 f(t)在[t1,t2]上的最大值不超过 3. 【点评】考查余弦定理的应用,以及二次函数在闭区间上最值的求法. 22. (16 分) (2015?上海)已知椭圆 x +2y =1,过原点的两条直线 l1 和 l2 分别与椭圆交于 点 A、B 和 C、D,记△ AOC 的面积为 S. (1)设 A(x1,y1) ,C(x2,y2) ,用 A、C 的坐标表示点 C 到直线 l1 的距离,并证明 S= |;
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2 2

(2)设 l1:y=kx,

,S= ,求 k 的值;

(3)设 l1 与 l2 的斜率之积为 m,求 m 的值,使得无论 l1 和 l2 如何变动,面积 S 保持不变. 【考点】直线与圆锥曲线的综合问题;点到直线的距离公式. 【专题】压轴题;开放型;圆锥曲线中的最值与范围问题.
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【分析】 (1)依题意,直线 l1 的方程为 y=

x,利用点到直线间的距离公式可求得点 C 到

直线 l1 的距离 d=

,再利用|AB|=2|AO|=2

,可证得

S= |AB|d= |x1y2﹣x2y1|; (2)由(1)得:S= |x1y2﹣x2y1|= × |x1﹣y1|= ,进而得到答案; ,

(3)方法一:设直线 l1 的斜率为 k,则直线 l1 的方程为 y=kx,联立方程组

消去 y 解得 x=±

,可求得 x1、x2、y1、y2,利用 S= |x1y2﹣

x2y1|= ?

,设

=c(常数) ,整理得:

k ﹣2mk +m =c [2k + (1+4m ) k +2m ], 由于左右两边恒成立, 可得

4

2

2

2

4

2

2

2

, 此时 S=



方法二:设直线 l1、l2 的斜率分别为


2

,则
2

=m,则 mx1x2=﹣y1y2,变形整理,

利用 A(x1,y1) 、C(x2,y2)在椭圆 x +2y =1 上,可求得面积 S 的值. 【解答】解: (1)依题意,直线 l1 的方程为 y= x,由点到直线间的距离公式得:点 C 到

直线 l1 的距离 d=

=



因为|AB|=2|AO|=2

,所以 S= |AB|d= |x1y2﹣x2y1|;

(2)由(1)A(x1,y1) ,C(x2,y2) ,

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S= |x1y2﹣x2y1|= × 所以|x1﹣y1|= 解得 A( 或(﹣ ,﹣ ,

|x1﹣y1|= .
2 2

,由 x1 +2y1 =1, )或( ,﹣ , ) , )

)或(﹣

由 k=

,得 k=﹣1 或﹣ ;

(3)方法一:设直线 l1 的斜率为 k,则直线 l2 的斜率为 ,直线 l1 的方程为 y=kx,

联立方程组

,消去 y 解得 x=±



根据对称性,设 x1=

,则 y1=



同理可得 x2=

,y2=



所以 S= |x1y2﹣x2y1|= ? (常数) , 2 2 2 2 2 2 所以(m﹣k ) =c (1+2k ) (k +2m ) , 4 2 2 2 4 2 2 2 整理得:k ﹣2mk +m =c [2k +(1+4m )k +2m ],

,设

=c

由于左右两边恒成立,所以只能是

,所以

,此时 S=



综上所述,m=﹣ ,S=



方法二:设直线 l1、l2 的斜率分别为 所以 mx1x2=y1y2, ∴m
2



,则

=m,

=

=mx1x2y1y2,
2 2

∵A(x1,y1) 、C(x2,y2)在椭圆 x +2y =1 上, ∴( ) ( )= +4 +2( + )=1,

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即( +4m)x1x2y1y2+2( 所以 = ﹣(2m+ 所以令 2m+ +

+

)=1,
2

﹣2x1x2y1y2=(x1y2﹣x2y1) = [1﹣(4m+ )x1x2y1y2]﹣2x1x2y1y2

+2)x1x2y1y2,是常数,所以|x1y2﹣x2y1|是常数, +2=0 即可, . .

所以,m=﹣ ,S=

综上所述,m=﹣ ,S=

【点评】本题考查直线与圆锥曲线的综合应用,考查方程思想、等价转化思想与综合运算能 力,属于难题. 23. (18 分) (2015?上海)已知数列{an}与{bn}满足 an+1﹣an=2(bn+1﹣bn) ,n∈N . (1)若 bn=3n+5,且 a1=1,求{an}的通项公式; (2)设{an}的第 n0 项是最大项,即 an0≥an(n∈N*) ,求证:{bn}的第 n0 项是最大项; n * * (3)设 a1=3λ<0,bn=λ (n∈N ) ,求 λ 的取值范围,使得对任意 m,n∈N ,an≠0,且 . 【考点】数列递推式;数列的函数特性. 【专题】开放型;等差数列与等比数列;不等式的解法及应用.
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*

【分析】 (1)把 bn=3n+5 代入已知递推式可得 an+1﹣an=6,由此得到{an}是等差数列,则 an 可求; (2)由 an=(an﹣an﹣1)+(an﹣1﹣an﹣2)+…+(a2﹣a1)+a1,结合递推式累加得到 an=2bn+a1 ﹣2b1,求得 ,进一步得到 得答案; (3)由(2)可得 大值 M 和最小值 m,再由 ∈( ,然后分﹣1<λ<0,λ=﹣1,λ<﹣1 三种情况求得 an 的最 )列式求得 λ 的范围.

【解答】 (1)解:∵an+1﹣an=2(bn+1﹣bn) ,bn=3n+5, ∴an+1﹣an=2(bn+1﹣bn)=2(3n+8﹣3n﹣5)=6, ∴{an}是等差数列,首项为 a1=1,公差为 6, 则 an=1+(n﹣1)×6=6n﹣5; (2)∵an=(an﹣an﹣1)+(an﹣1﹣an﹣2)+…+(a2﹣a1)+a1 =2(bn﹣bn﹣1)+2(bn﹣1﹣bn﹣2)+…+2(b2﹣b1)+a1 =2bn+a1﹣2b1, ∴ ,
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∴ ∴数列{bn}的第 n0 项是最大项; (3)由(2)可得 ①当﹣1<λ<0 时, ,



单调递减,有最大值 单调递增,有最小值 m=a1=3λ<0,





的最小值为

,最大值为





,解得



∴λ∈(

) .

②当 λ=﹣1 时,a2n=1,a2n﹣1=﹣3, ∴M=3,m=﹣1,不满足条件. ③当 λ<﹣1 时,当 n→+∞时,a2n→+∞,无最大值; 当 n→+∞时,a2n﹣1→﹣∞,无最小值. 综上所述,λ∈(﹣ ,0)时满足条件. 【点评】本题考查了数列递推式,考查了等差关系的确定,考查了数列的函数特性,训练了 累加法求数列的通项公式,对(3)的求解运用了极限思想方法,是中档题.

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参与本试卷答题和审题的老师有: caoqz; whgcn; 沂蒙松; sxs123; maths; 刘长柏; danbo7801; 吕静;wkl197822;wfy814(排名不分先后) 菁优网 2016 年 6 月 8 日

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考点卡片
1.交、并、补集的混合运算 【知识点的认识】 集合交换律 A∩B=B∩A,A∪B=B∪A. 集合结合律 (A∩B)∩C=A∩(B∩C) , (A∪B)∪C=A∪(B∪C) . 集合分配律 A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C) ,A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C) . 集合的摩根律 Cu(A∩B)=CuA∪CuB,Cu(A∪B)=CuA∩CuB. 集合吸收律 A∪(A∩B)=A,A∩(A∪B)=A. 集合求补律 A∪CuA=U,A∩CuA=Φ. 【解题方法点拨】直接利用交集、并集、全集、补集的定义或运算性质,借助数轴或韦恩图 直接解答. 【命题方向】理解交集、并集、补集的混合运算,每年高考一般都是单独命题,一道选择题 或填空题,属于基础题. 2.必要条件、充分条件与充要条件的判断 【知识点的认识】 正确理解和判断充分条件、必要条件、充要条件和非充分非必要以及原命题、逆命题否 命题、逆否命题的概念是本节的重点;掌握逻辑推理能力和语言互译能力,对充要条件概念 本质的把握是本节的难点. 1.充分条件:对于命题“若 p 则 q”为真时,即如果 p 成立,那么 q 一定成立,记作“p?q”, 称 p 为 q 的充分条件. 意义是说条件 p 充分保证了结论 q 的成立, 换句话说要使结论 q 成立, 具备条件 p 就够了当然 q 成立还有其他充分条件.如 p:x≥6,q:x>2,p 是 q 成立的充分 条件,而 r:x>3,也是 q 成立的充分条件. 必要条件:如果 q 成立,那么 p 成立,即“q?p”,或者如果 p 不成立,那么 q 一定不成立, 也就是“若非 p 则非 q”,记作“¬p?¬q”,这是就说条件 p 是 q 的必要条件,意思是说条件 p 是 q 成立的必须具备的条件. 充要条件:如果既有“p?q”,又有“q?p”,则称条件 p 是 q 成立的充要条件,或称条件 q 是 p 成立的充要条件,记作“p?q”. 2.从集合角度看概念: 如果条件 p 和结论 q 的结果分别可用集合 P、Q 表示,那么 ①“p?q”,相当于“P?Q”.即:要使 x∈Q 成立,只要 x∈P 就足够了﹣﹣有它就行. ②“q?p”,相当于“P?Q”,即:为使 x∈Q 成立,必须要使 x∈P﹣﹣缺它不行. ③“p?q”,相当于“P=Q”,即:互为充要的两个条件刻画的是同一事物. 3. 当命题“若 p 则 q”为真时, 可表示为, 则我们称 p 为 q 的充分条件, q 是 p 的必要条件. 这 里由,得出 p 为 q 的充分条件是容易理解的.但为什么说 q 是 p 的必要条件呢?事实上,与 “”等价的逆否命题是“”.它的意义是:若 q 不成立,则 p 一定不成立.这就是说,q 对于 p 是必不可少的,所以说 q 是 p 的必要条件.

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4.“充要条件”的含义,实际上与初中所学的“等价于”的含义完全相同.也就是说,如果命 题 p 等价于命题 q,那么我们说命题 p 成立的充要条件是命题 q 成立;同时有命题 q 成立的 充要条件是命题 p 成立. 【解题方法点拨】 1.借助于集合知识加以判断,若 P?Q,则 P 是 Q 的充分条件,Q 是的 P 的必要条件;若 P=Q,则 P 与 Q 互为充要条件. 2.等价法:“P?Q”?“¬Q?¬P”,即原命题和逆否命题是等价的;原命题的逆命题和原命 题的否命题是等价的. 3.对于充要条件的证明,一般有两种方法:其一,是用分类思想从充分性、必要性两种情 况分别加以证明;其二,是逐步找出其成立的充要条件用“?”连接. 【命题方向】 充要条件主要是研究命题的条件与结论之间的逻辑关系, 它是中学数学最重要的数学概念之 一,它是今后的高中乃至大学数学推理学习的基础.在每年的高考中,都会考查此类问题. 3.函数奇偶性的性质 【知识点的认识】 ①如果函数 f(x)的定义域关于原点对称,且定义域内任意一个 x,都有 f(﹣x) =﹣f(x) ,那么函数 f(x)就叫做奇函数,其图象特点是关于(0,0)对称.②如果函数 f(x)的定义域关于原点对称,且定义域内任意一个 x,都有 f(﹣x)=f(x) ,那么函数 f (x)就叫做偶函数,其图象特点是关于 y 轴对称. 【解题方法点拨】 ①奇函数:如果函数定义域包括原点,那么运用 f(0)=0 解相关的未知量; ②奇函数:若定义域不包括原点,那么运用 f(x)=﹣f(﹣x)解相关参数; ③偶函数:在定义域内一般是用 f(x)=f(﹣x)这个去求解; ④对于奇函数,定义域关于原点对称的部分其单调性一致,而偶函数的单调性相反. 例题:函数 y=x|x|+px,x∈R 是( ) A.偶函数 B.奇函数 C.非奇非偶 D.与 p 有关 解:由题设知 f(x)的定义域为 R,关于原点对称. 因为 f(﹣x)=﹣x|﹣x|﹣px=﹣x|x|﹣px=﹣f(x) , 所以 f(x)是奇函数. 故选 B. 【命题方向】函数奇偶性的应用. 本知识点是高考的高频率考点,大家要熟悉就函数的性质,最好是结合其图象一起分 析,确保答题的正确率. 4.对数的运算性质 【知识点的认识】 对数的性质:① =N;②logaa =N(a>0 且 a≠1) .
N

loga(MN)=logaM+logaN; loga =logaM﹣logaN;

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logaM =nlogaM; loga

n

= logaM.

5.反函数 【知识点归纳】 【定义】一般地,设函数 y=f(x) (x∈A)的值域是 C,根据这个函数中 x,y 的关系,用 y 把 x 表示出,得到 x=g(y) .若对于 y 在中的任何一个值,通过 x=g(y) ,x 在 A 中都有唯 一的值和它对应,那么,x=g(y)就表示 y 是自变量,x 是因变量是 y 的函数,这样的函数 y=g(x) (x∈C)叫做函数 y=f(x) (x∈A)的反函数,记作 y=f (x)的定义域、值域分别是函数 y=f(x)的值域、定义域. 【性质】 反函数其实就是 y=f(x)中,x 和 y 互换了角色
﹣1 (﹣1)

(x) 反函数 y=f

(﹣1)

(1)函数 f(x)与他的反函数 f (x)图象关于直线 y=x 对称;函数及其反函数的图形关 于直线 y=x 对称 (2)函数存在反函数的重要条件是,函数的定义域与值域是一一映射; (3)一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致; (4)大部分偶函数不存在反函数(当函数 y=f(x) ,定义域是{0} 且 f(x)=C (其中 C 是常数) ,则函数 f(x)是偶函数且有反函数,其反函数的定义域是{C},值域为{0} ) .奇 函数不一定存在反函数, 被与 y 轴垂直的直线截时能过 2 个及以上点即没有反函数. 若一个 奇函数存在反函数,则它的反函数也是奇函数. (5)一切隐函数具有反函数; (6)一段连续的函数的单调性在对应区间内具有一致性; (7)严格增(减)的函数一定有严格增(减)的反函数【反函数存在定理】 ; (8)反函数是相互的且具有唯一性; (9)定义域、值域相反对应法则互逆(三反) ; (10)原函数一旦确定,反函数即确定(三定) (在有反函数的情况下,即满足(2) ) . 6.函数与方程的综合运用 【知识点的知识】 函数思想,是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题.方程思想,是 从问题的数量关系入手,运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型(方程、不等式、或 方程与不等式的混合组) ,然后通过解方程(组)或不等式(组)来使问题获解.有时,还 实现函数与方程的互相转化、接轨,达到解决问题的目的.笛卡尔的方程思想是:实际问题 →数学问题→代数问题→方程问题.宇宙世界,充斥着等式和不等式. 7.利用导数研究函数的单调性 【知识点的知识】 1、导数和函数的单调性的关系: (1)若 f′(x)>0 在(a,b)上恒成立,则 f(x)在(a,b)上是增函数,f′(x)>0 的 解集与定义域的交集的对应区间为增区间; (2)若 f′(x)<0 在(a,b)上恒成立,则 f(x)在(a,b)上是减函数,f′(x)<0 的 解集与定义域的交集的对应区间为减区间. 2、利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤: (1)确定 f(x)的定义域;
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(2)计算导数 f′(x) ; (3)求出 f′(x)=0 的根; (4)用 f′(x)=0 的根将 f(x)的定义域分成若干个区间,列表考察这若干个区间内 f′(x) 的符号,进而确定 f(x)的单调区间:f′(x)>0,则 f(x)在对应区间上是增函数,对应 区间为增区间;f′(x)<0,则 f(x)在对应区间上是减函数,对应区间为减区间. 【典型例题分析】 题型一:导数和函数单调性的关系 典例 1:已知函数 f(x)的定义域为 R,f(﹣1)=2,对任意 x∈R,f′(x)>2,则 f(x) >2x+4 的解集为( ) A. (﹣1,1)B. (﹣1,+∞) C. (﹣∞,﹣1)D. (﹣∞,+∞) 解:设 g(x)=f(x)﹣2x﹣4, 则 g′(x)=f′(x)﹣2, ∵对任意 x∈R,f′(x)>2, ∴对任意 x∈R,g′(x)>0, 即函数 g(x)单调递增, ∵f(﹣1)=2, ∴g(﹣1)=f(﹣1)+2﹣4=4﹣4=0, 则由 g(x)>g(﹣1)=0 得 x>﹣1, 即 f(x)>2x+4 的解集为(﹣1,+∞) , 故选:B 题型二:导数很函数单调性的综合应用 典例 2:已知函数 f(x)=alnx﹣ax﹣3(a∈R) . (Ⅰ)求函数 f(x)的单调区间; (Ⅱ)若函数 y=f(x)的图象在点(2,f(2) )处的切线的倾斜角为 45°,对于任意的 t∈[1, 2],函数 范围; (Ⅲ)求证: 解: (Ⅰ) (2 分) . 在区间(t,3)上总不是单调函数,求 m 的取值

当 a>0 时,f(x)的单调增区间为(0,1],减区间为[1,+∞) ; 当 a<0 时,f(x)的单调增区间为[1,+∞) ,减区间为(0,1]; 当 a=0 时,f(x)不是单调函数(4 分) (Ⅱ) ∴
2

得 a=﹣2,f(x)=﹣2lnx+2x﹣3 ,

∴g'(x)=3x +(m+4)x﹣2(6 分) ∵g(x)在区间(t,3)上总不是单调函数,且 g′(0)=﹣2

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∴ 由题意知:对于任意的 t∈[1,2],g′(t)<0 恒成立,

所以有:

,∴

(10 分)

(Ⅲ)令 a=﹣1 此时 f(x)=﹣lnx+x﹣3,所以 f(1)=﹣2, 由(Ⅰ)知 f(x)=﹣lnx+x﹣3 在(1,+∞)上单调递增, ∴当 x∈(1,+∞)时 f(x)>f(1) ,即﹣lnx+x﹣1>0, ∴lnx<x﹣1 对一切 x∈(1,+∞)成立, (12 分) ∵n≥2,n∈N*,则有 0<lnn<n﹣1, ∴ ∴

【解题方法点拨】 若在某区间上有有限个点使 f′(x)=0,在其余的点恒有 f′(x)>0,则 f(x)仍为增 函数(减函数的情形完全类似) .即在区间内 f′(x)>0 是 f(x)在此区间上为增函数的充 分条件,而不是必要条件. 8.极限及其运算 【知识点的知识】 1.数列极限 (1)数列极限的表示方法:

(2)几个常用极限:

③对于任意实常数, 当|a|<1 时, an=0, an=1;若 a=﹣1,则 an=(﹣1) 不存在
n

当|a|=1 时,若 a=1,则 当|a|>1 时,

an=不存在.

(3)数列极限的四则运算法则: 如果 ,那么
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特别地,如果 C 是常数,那么 (4)数列极限的应用:



求无穷数列的各项和,特别地,当|q|<1 时,无穷等比数列的各项和为 S= (化循环小数为分数方法同上式) 注:并不是每一个无穷数列都有极限. =a

(|q|<1) .

2.函数极限; (1)当自变量 x 无限趋近于常数 x0(但不等于 x0)时,如果函数 f(x)无限趋进于一个常 数 a,就是说当 x 趋近于 x0 时,函数 f(x)的极限为 a.记作 =a 或当 x→x0

时,f(x)→a. 注:当 x→x0 时,f(x)是否存在极限与 f(x)在 x0 处是否定义无关,因为 x→x0 并不要求 x=x0. (当然,f(x)在 x0 是否有定义也与 f(x)在 x0 处是否存在极限无关.函数 f(x) 在 x0 有定义是 存在的既不充分又不必要条件. )

如 P(x)=

在 x=1 处无定义,但

存在,因为在 x=1 处左右极

限均等于零. (2)函数极限的四则运算法则: 如果 ,那么

特别地,如果 C 是常数,那么

. 注:①各个函数的极限都应存在.
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②四则运算法则可推广到任意有限个极限的情况,但不能推广到无限个情况. (3)几个常用极限:

3.函数的连续性: (1)如果函数 f(x) ,g(x)在某一点 x=x0 连续,那么函数 f(x)±g(x) ,f(x) ,g(x) , (g(x)≠0)在点 x=x0 处都连续. (2)函数 f(x)在点 x=x0 处连续必须满足三个条件: ①函数 f(x)在点 x=x0 处有定义;② 极限值等于该点的函数值,即. 存在;③函数 f(x)在点 x=x0 处的 =f(x0) .

(3)函数 f(x)在点 x=x0 处不连续(间断)的判定: 如果函数 f(x)在点 x=x0 处有下列三种情况之一时,则称 x0 为函数 f(x)的不连续点. ①( f x) 在点 x=x0 处没有定义, 即( f x0) 不存在; ② 存在,但 ≠f(x0) . 不存在; ③

9.简单线性规划 【概念】 线性规划主要用于解决生活、生产中的资源利用、人力调配、生产安排等问题,它是一 种重要的数学模型. 简单的线性规划指的是目标函数含两个自变量的线性规划, 其最优解可 以用数形结合方法求出.我们高中阶段接触的主要是由三个二元一次不等式组限制的可行 域,然后在这个可行域上面求某函数的最值或者是斜率的最值. 【例题解析】 例:若目标函数 z=x+y 中变量 x,y 满足约束条件 .

(1)试确定可行域的面积; (2)求出该线性规划问题中所有的最优解. 解: (1)作出可行域如图:对应得区域为直角三角形 ABC, 其中 B(4,3) ,A(2,3) ,C(4,2) , 则可行域的面积 S= = .
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(2)由 z=x+y,得 y=﹣x+z,则平移直线 y=﹣x+z, 则由图象可知当直线经过点 A(2,3)时,直线 y=﹣x+z 得截距最小, 此时 z 最小为 z=2+3=5, 当直线经过点 B(4,3)时,直线 y=﹣x+z 得截距最大, 此时 z 最大为 z=4+3=7, 故该线性规划问题中所有的最优解为(4,3) , (2,3) 这是高中阶段接触最多的关于线性规划的题型, 解这种题一律先画图, 把每条直线在同一 个坐标系中表示出来,然后确定所表示的可行域,也即范围;最后通过目标函数的平移去找 到它的最值. 【考点预测】 线性规划在实际中应用广泛,因此具有很高的实用价值,所以也成为了高考的一个热 点.大家在备考的时候,需要学会准确的画出可行域,然后会平移目标曲线. 10.其他不等式的解法 【知识点的知识】 不等式的解法 (1)整式不等式的解法(根轴法) . 步骤:正化,求根,标轴,穿线(偶重根打结) ,定解. 特例: ①一元一次不等式 ax>b 解的讨论; 2 ②一元二次不等式 ax +bx+c>0(a≠0)解的讨论. (2)分式不等式的解法:先移项通分标准化,则

. (3)无理不等式:转化为有理不等式求解.

(4)指数不等式:转化为代数不等式
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(5)对数不等式:转化为代数不等式

(6)含绝对值不等式 ①应用分类讨论思想去绝对值; ②应用数形思想; ③应用化归思想等价转化.

注:常用不等式的解法举例(x 为正数) :

11.数列的函数特性 【知识点的认识】 1、等差数列的通项公式:an=a1+(n﹣1)d;前 n 项和公式 Sn=na1+ n(n﹣1)d 或者

Sn=

2、等比数列的通项公式:an=a1qn ;前 n 项和公式 Sn= 3、用函数的观点理解等差数列、等比数列 (1)对于等差数列,

﹣1

=

(q≠1)

an=a1+(n﹣1)d=dn+(a1﹣d) ,当 d≠0 时,an 是 n 的一次函数,对应的点(n,an)是位于 直线上的若干个点.当 d>0 时,函数是增函数,对应的数列是递增数列;同理,d=0 时, 函数是常数函数,对应的数列是常数列;d<0 时,函数是减函数,对应的数列是递减函数. 2 若等差数列的前 n 项和为 Sn,则 Sn=pn +qn(p、q∈R) .当 p=0 时,{an}为常数列;当 p≠0 时,可用二次函数的方法解决等差数列问题. (2)对于等比数列:an=a1qn .可用指数函数的性质来理解. 当 a1>0,q>1 或 a1<0,0<q<1 时,等比数列是递增数列; 当 a1>0,0<q<1 或 a1<0,q>1 时,等比数列{an}是递减数列. 当 q=1 时,是一个常数列.
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﹣1

当 q<0 时,无法判断数列的单调性,它是一个摆动数列. 【典型例题分析】 2 典例 1:数列{an}满足 an=n +kn+2,若不等式 an≥a4 恒成立,则实数 k 的取值范围是( A.[﹣9,﹣8]B.[﹣9,﹣7]C. (﹣9,﹣8)D. (﹣9,﹣7) 解:an=n +kn+2= ∵不等式 an≥a4 恒成立, ∴ 解得﹣9≤k≤﹣7, 故选:B. 典例 2:设等差数列{an}满足 a1=1,an>0(n∈N ) ,其前 n 项和为 Sn,若数列{
* 2







}也为等

差数列,则

的最大值是(



A.310 B.212 C.180 D.121 * 解:∵等差数列{an}满足 a1=1,an>0(n∈N ) ,设公差为 d,则 an=1+(n﹣1)d, 其前 n 项和为 Sn= ∴ = =1, ∵数列{ ∴ = = , , = , ,

}也为等差数列, + ,

∴ =1+ , 解得 d=2. 2 ∴Sn+10=(n+10) , =(2n﹣1) ,
2



=

=



由于
2

为单调递减数列,





=11 =121,

故选:D.
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12.数列递推式 【知识点的知识】 1、递推公式定义:如果已知数列{an}的第 1 项(或前几项) ,且任一项 an 与它的前一项 an﹣ 1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式就叫做这个数列的递推公式. 2、数列前 n 项和 Sn 与通项 an 的关系式:an= .

在数列{an}中,前 n 项和 Sn 与通项公式 an 的关系,是本讲内容一个重点,要认真掌握. 注意: (1)用 an=Sn﹣Sn﹣1 求数列的通项公式时,你注意到此等式成立的条件了吗?(n≥2, 当 n=1 时,a1=S1) ;若 a1 适合由 an 的表达式,则 an 不必表达成分段形式,可化统一为一个 式子. (2)一般地当已知条件中含有 an 与 Sn 的混合关系时,常需运用关系式 an=Sn﹣Sn﹣1,先将 已知条件转化为只含 an 或 Sn 的关系式,然后再求解. 3、数列的通项的求法: (1)公式法:①等差数列通项公式;②等比数列通项公式. (2)已知 Sn(即 a1+a2+…+an=f(n) )求 an,用作差法:an= .一般

地当已知条件中含有 an 与 Sn 的混合关系时, 常需运用关系式, 先将已知条件转化为只含 或 的关系式,然后再求解.

(3)已知 a1?a2…an=f(n)求 an,用作商法:an,=



(4)若 an+1﹣an=f(n)求 an,用累加法:an=(an﹣an﹣1)+(an﹣1﹣an﹣2)+…+(a2﹣a1) +a1(n≥2) . (5)已知 =f(n)求 an,用累乘法:an= (n≥2) .

(6)已知递推关系求 an,有时也可以用构造法(构造等差、等比数列) .特别地有, n ①形如 an=kan﹣1+b、an=kan﹣1+b (k,b 为常数)的递推数列都可以用待定系数法转化为公 比为 k 的等比数列后,再求 an. ②形如 an= 的递推数列都可以用倒数法求通项.

(7)求通项公式,也可以由数列的前几项进行归纳猜想,再利用数学归纳法进行证明. 13.平面向量数量积的运算 【平面向量数量积的运算】

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平面向量数量积运算的一般定理为①( ± ) = =
2

2

2

±2 ? +

2

.②( ﹣ ) ( + )



2

.③ ?( ? )≠( ? )? ,从这里可以看出它的运算法则和数的运算法则有些

是相同的,有些不一样. 【例题解析】 例:由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则: ①“mn=nm”类比得到“ ②“(m+n)t=mt+nt”类比得到“( ③“t≠0,mt=nt?m=n”类比得到“ ④“|m?n|=|m|?|n|”类比得到“| |=| |?| |”; )? = ”; ” )? = ? ”; ”;

⑤“(m?n)t=m(n?t)”类比得到“(

⑥“

”类比得到



以上的式子中,类比得到的结论正确的是 ①② .

解:∵向量的数量积满足交换律, ∴“mn=nm”类比得到“ 即①正确; ∵向量的数量积满足分配律, ∴“(m+n)t=mt+nt”类比得到“( 即②正确; ∵向量的数量积不满足消元律, ∴“t≠0,mt=nt?m=n”不能类比得到“ 即③错误; ∵| |≠| |?| |, |=| |?| |”; ? ”, )? = ”, ”,

∴“|m?n|=|m|?|n|”不能类比得到“| 即④错误; ∵向量的数量积不满足结合律,

∴“(m?n)t=m(n?t)”不能类比得到“( 即⑤错误; ∵向量的数量积不满足消元律, ∴ ”不能类比得到 ,

)? =

”,

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即⑥错误. 故答案为:①②. 向量的数量积满足交换律,由“mn=nm”类比得到“ 配律,故“(m+n)t=mt+nt”类比得到“( 元律,故“t≠0,mt=nt?m=n”不能类比得到“ “|m?n|=|m|?|n|”不能类比得到“| (n?t) ”不能类比得到“ ( )? = ”;向量的数量积满足分 ”;向量的数量积不满足消 ? ”;| |≠| |?| |,故

|=| |?| |”;向量的数量积不满足结合律,故“(m?n)t=m ) ? = ”; 向量的数量积不满足消元律, 故 ”

不能类比得到



【考点分析】 本知识点应该所有考生都要掌握,这个知识点和三角函数联系比较多,也是一个常考 点,题目相对来说也不难,所以是拿分的考点,希望大家都掌握. 14.复数代数形式的乘除运算 【知识点的知识】 1、复数的加、减、乘、除运算法则

2、复数加法、乘法的运算律

15.排列、组合的实际应用 【知识点的知识】 排列、组合的实际应用: 1.排列数、组合数问题: (1)排列组合恒等式的计算
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(2)排列组合恒等式的证明 (3)解排列组合恒等方程 2.排队问题 (1)相邻问题 (2)不相邻问题 (3)定序问题 3.排数问题 (1)允许有重复数字的排数问题 (2)不允许有重复数字的排数问题 4.分组问题 (1)平均分组问题 (2)不平均分组问题 5.排列组合综合问题. 16.二项式系数的性质 【知识点的知识】 1、二项式定理 一般地,对于任意正整数 n,都有

这个公式就叫做二项式定理,右边的多项式叫做(a+b) 的二项展开式.其中各项的系数 叫做二项式系数. 注意: (1)二项展开式有 n+1 项; (2)二项式系数与二项展开式系数是两个不同的概念; (3)每一项的次数是一样的,即为 n 次,展开式依 a 的降幕排列,b 的升幕排列展开; (4)二项式定理通常有如下变形: ① ② (5)要注意逆用二项式定理来分析问题、解决问题. 2、二项展开式的通项公式 二项展开式的第 n+1 项 叫做二项展开式的通项公 ; ;

n

式.它体现了二项展开式的项数、系数、次数的变化规律,是二项式定理的核心,它在求展 开式的某些特定的项及其系数方面有着广泛的应用. 注意: r (1)通项公式表示二项展开式的第 r+1 项,该项的二项式系数是 Cn ; (2)字母 b 的次数和组合数的上标相同; (3)a 与 b 的次数之和为 n. 3、二项式系数的性质.

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(1)对称性:与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等,即 ; (2)增减性与最大值:当 k< 时,二项式系数是逐渐增大的.由对称性知,它的后半

部分是逐渐减小的,且在中间取最大值.当 n 为偶数时,则中间一项

的二项式系数最大;

当 n 为奇数时,则中间的两项



相等,且同时取得最大值.

17.任意角的三角函数的定义 【知识点的认识】 任意角的三角函数 1 定义:设 α 是一个任意角,它的终边与单位圆交于点 P(x,y) ,那么 sin α=y,cos α=x, tan α= . 2.几何表示:三角函数线可以看作是三角函数的几何表示,正弦线的起点都在 x 轴上,余 弦线的起点都是原点,正切线的起点都是(1,0) . 【命题方向】 已知角 α 的终边经过点(﹣4,3) ,则 cosα=( A. B. C.﹣ D.﹣



【分析】由条件直接利用任意角的三角函数的定义求得 cosα 的值. 解:∵角 α 的终边经过点(﹣4,3) ,∴x=﹣4,y=3,r= ∴cosα= = =﹣ , =5.

故选:D. 【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义,两点间的距离公式的应用,属于基础题. 【解题方法点拨】 利用三角函数的定义求三角函数值的方法 利用三角函数的定义,求一个角的三角函数值,需确定三个量: (1)角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标 x; (2)纵坐标 y; (3)该点到原点的距离 r.若题目中已知角的终边在一条直线上,此时注意在终边上任取一点有两种情况(点所在 象限不同) . 18.三角函数的周期性及其求法 【知识点的认识】 周期性

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①一般地,对于函数 f(x) ,如果存在一个非零常数 T,使得当 x 取定义域内的每一个值时, 都有 f(x+T)=f(x) ,那么函数 f(x)就叫做周期函数,非零常数 T 叫做这个函数的周期. ②对于一个周期函数 f(x) ,如果在它所有的周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正 数就叫做 f(x)的最小正周期. ③函数 y=Asin (ωx+φ) , x∈R 及函数 y=Acos (ωx+φ) ; x∈R (其中 A、 ω、 φ 为常数, 且 A≠0, ω>0)的周期 T= .

【解题方法点拨】 1.一点提醒 求函数 y=Asin(ωx+φ)的单调区间时,应注意 ω 的符号,只有当 ω>0 时,才能把 ωx+φ 看作一个整体,代入 y=sin t 的相应单调区间求解,否则将出现错误. 2.两类点 y=sin x,x∈[0,2π],y=cos x,x∈[0,2π]的五点是:零点和极值点(最值点) . 3.求周期的三种方法 ①利用周期函数的定义.f(x+T)=f(x) ②利用公式:y=Asin(ωx+φ)和 y=Acos(ωx+φ)的最小正周期为 的最小正周期为 . ,y=tan(ωx+φ)

③利用图象.图象重复的 x 的长度. 19.正弦函数的图象 【知识点的知识】 正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质 y=sin x y=cos x 函数 图象

y=tan x

定义域 值域 单调性

R [﹣1,1] 递增区间: [2kπ﹣ ,2kπ+ ]

(k∈Z) ; 递减区间: [2kπ+ ,2kπ+ ]

R [﹣1,1] 递增区间: [2kπ﹣π,2kπ] (k∈Z) ; 递减区间: [2kπ,2kπ+π] (k∈Z)

k∈ Z R 递增区间: [kπ﹣ ,kπ+ ]

(k∈Z)

(k∈Z) 最 值 x=2kπ(k∈Z)时,ymax=1;无最值 x=2kπ+ (k∈Z) 时, ymax=1; x=2kπ+π(k∈Z) 时,
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x=2kπ﹣

(k∈Z)时,

ymin=﹣1

奇偶性 对称性

周期

ymin=﹣1 奇函数 偶函数 对称中心: (kπ,0) (k∈Z) 对称中心: (kπ+ ,0) 对称轴:x=kπ+ ,k∈Z (k∈Z) 对称轴:x=kπ,k∈Z 2π 2π

奇函数 对称中心: ( (k∈Z) 无对称轴 π ,0)

20.点到直线的距离公式 【知识点的知识】 从直线外一点到这直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离. 而这条垂线段的距离是任 何点到直线中最短的距离.设直线方程为 Ax+By+C=0,直线外某点的坐标为(X0,Y0)那 么这点到这直线的距离就为:d= .

【例题解析】 例:过点 P(1,1)引直线使 A(2,3) ,B(4,5)到直线的距离相等,求这条直线方程. 解:当直线平行于直线 AB 时,或过 AB 的中点时满足题意, 当直线平行于直线 AB 时,所求直线的斜率为 k= 故直线方程为 y﹣1=(x﹣1) ,即 x﹣y=0; 当直线过 AB 的中点(3,4)时,斜率为 k= = , =1,

故直线方程为 y﹣1= (x﹣1) ,即 3x﹣2y﹣1=0; 故答案为:x﹣y=0 或 3x﹣2y﹣1=0. 这个题考查了点到直线的概念,虽然没有用到距离公式,但很有参考价值.他告诉我们两 点,第一直线上的点到平行直线的距离相等;第二,直线过某两点的中点时,这两点到直线 的距离相等,可以用三角形全等来证明.除此之外,本例题还考察了直线表达式的求法,是 一个好题. 【考点分析】 正如例题所表达的一样,先要了解这个考点的概念和意义,再者要牢记距离公式,在解 析几何中可能会涉及到点到直线的距离. 21.抛物线的简单性质 【知识点的知识】 抛物线的简单性质:

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22.双曲线的简单性质 【知识点的知识】 双曲线的标准方程及几何性质 标准方程 (a>0,b>0) 图形

(a>0,b>0)



焦点 焦距 范围 对称 顶点 轴 离心率 准线 渐近线

F1(﹣c,0) ,F2( c,0) |F1F2|=2c |x|≥a,y∈R 关于 x 轴,y 轴和原点对称 (﹣a,0) . (a,0) 实轴长 2a,虚轴长 2b e= (e>1) x=± ± =0

F1(0,﹣c) ,F2(0,c) 2 2 2 a +b =c |y|≥a,x∈R (0,﹣a) (0,a)

y=± ± =0

质 23.直线与圆锥曲线的综合问题 【概述】
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直线与圆锥曲线的综合问题是高考的必考点,比方说求封闭面积,求距离,求他们的 关系等等, 常用的方法就是联立方程求出交点的横坐标或者纵坐标的关系, 通过这两个关系 的变形去求解. 【实例解析】 例:已知圆锥曲线 C 上任意一点到两定点 F1(﹣1,0) 、F2(1,0)的距离之和为常数,曲 线 C 的离心率 .

(1)求圆锥曲线 C 的方程; (2)设经过点 F2 的任意一条直线与圆锥曲线 C 相交于 A、B,试证明在 x 轴上存在一个定 点 P,使 的值是常数. (a>b>0) ,

解: (1)依题意,设曲线 C 的方程为 ∴c=1, ∵ ∴a=2, ∴ , ,

所求方程为



(2)当直线 AB 不与 x 轴垂直时,设其方程为 y=k(x﹣1) ,


2 2


2 2

得(3+4k )x ﹣8k x+4(k ﹣3)=0, 从而 设 P(t,0) ,则 = , ,

当 解得



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此时对?k∈R,



当 AB⊥x 轴时,直线 AB 的方程为 x=1, xA=xB=1, 对 , ,使 的值为常数 . , ,

即存在 x 轴上的点

这是一道符合高考命题思维的题型,一般命题思路都是第一问叫你求曲线的表达式; 第二问在求证某种特殊的关系, 像本题求证是个常数这是高考中非常喜欢考的一种形式. 我 们看看解答思路,第一问就是求 a、b、c 中的两个值即可;第二问先是联立方程,然后把我 们要证的这个关系转化为根与系数的关系,这也是常用的方法. 【考点分析】 必考题,也是难题,希望大家多总结,尽量去总结一下各种题型和方法,在考试的时 候,如果运算量大可以适当的放到最后做. 24.棱锥的结构特征 【知识点的认识】 1.棱锥:有一个面是多边形,其余各面是有一个公共顶点的三角形,由这些面围成的几何 体叫做棱锥.用顶点和底面各顶点的字母表示,例:S﹣ABCD. 2.认识棱锥 棱锥的侧面:棱锥中除底面外的各个面都叫做棱锥的侧面. 棱锥的侧棱:相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱. 棱锥的顶点; 棱锥中各个侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点. 棱锥的高:棱锥的顶点到底面的距离叫做棱锥的高. 棱锥的对角面; 棱锥中过不相邻的两条侧棱的截面叫做对角面. 3.棱锥的结构特征

根据棱锥的结构特征,可知棱锥具有以下性质: 平行于底面的截面和底面相似,且它们的面积比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的比. 4.棱锥的分类 棱锥的底面可以是三角形、四边形、五边形…我们把这样的棱锥分别叫做三棱锥、四棱锥、 五棱锥… 正棱锥: 底面是正多边形, 并且顶点在底面内的射影是底面中心, 这样的棱锥叫做正棱锥. 正 棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形. 5.棱锥的体积公式 设棱锥的底面积为 S,高为 h, V 棱锥= Sh.

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25.异面直线及其所成的角 【知识点的知识】 1、异面直线所成的角: 直线 a,b 是异面直线,经过空间任意一点 O,作直线 a′,b′,并使 a′∥a,b′∥b.我们 把直线 a′和 b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线 a 和 b 所成的角.异面直线所成的角的范 围:θ∈(0, ].当 θ=90°时,称两条异面直线互相垂直.

2、求异面直线所成的角的方法: 求异面直线的夹角关键在于平移直线,常用相似比,中位线,梯形两底,平行平面等手 段来转移直线. 3、求异面直线所成的角的方法长用到的知识:

26.二阶行列式与逆矩阵 【行列式与矩阵】 1、行列式与矩阵:

2、利用行列式求逆矩阵:

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