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2016届《步步高》高考数学大一轮总复习(人教新课标文科)配套学案74 几何证明选讲 直线与圆的位置关系


学案 74

几何证明选讲

(二)直线与圆的位置关系
导学目标: 1.理解圆周角定理,弦切角定理及其推论;2.理解圆的切线的判定及性质定 理;3.理解相交弦定理,割线定理,切割线定理;4.理解圆内接四边形的性质定理及判定.

自主梳理 1.圆周角、弦切角及圆心角定理 (1)__________的度数等于其的对______的度数的一半. 推论 1 : ________( 或 ________) 所对 的圆周 角相等 ;同圆 或等圆 中,相等 的圆周 角 __________相等. 推 论 2 : 半 圆 ( 或 直 径 ) 所 对 的 __________ 等 于 90° . 反 之 , 90° 的圆周角所对的弧是 ________(或__________). (2)弦切角的度数等于其所夹孤的度数的____. (3)圆心角的度数等于它所对弧的度数. 2.圆中比例线段有关定理 (1)相交弦定理:______的两条____________,每条弦被交点分成的____________的积相 等. (2)切割线定理:从圆外一点引圆的一条割线和一条切线,切线长是这点到割线与圆的两 个交点的线段长的____________. (3)割线定理:从圆外一点引圆的两条________,该点到每条割线与圆的交点的两条线段 长的积相等. 温馨提示 相交弦定理,切割线定理,割线定理揭示了与圆有关的线段间的比例关系, 在与圆有关的比例线段问题的证明、计算以及证明线段或角相等等问题中应用甚广. 3.切线长定理 从________一点引圆的两条切线,__________相等. 4.圆内接四边形的性质与判定定理 (1)性质定理:圆内接四边形的对角________. 推论:圆内接四边形的任何一个外角都等于它的内角的________. (2)判定定理:如果四边形的__________,则四边形内接于____. 推论:如果四边形的一个外角等于它的 ____________ ,那么这个四边形的四个顶点 ________. 5.圆的切线的性质及判定定理 (1)性质定理:圆的切线垂直于经过切点的________. 推论 1:经过________且________与垂直的直线必经过切点. 推论 2:经过________且切线与垂直的直线必经过______________________________. (2)判定定理:过半径________且与这条半径________的直线是圆的切线. 自我检测

1.如图在 Rt△ABC 中,∠B=90° ,D 是 AB 上一点,且 AD=2DB,以 D 为圆心,DB 为半径的圆与 AC 相切,则 sin A=________. 2.(2010· 南京模拟)如图,AB 是圆 O 的直径,EF 切圆 O 于 C,AD⊥EF 于 D,AD=2, AB=6,则 AC 长为________.

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3.(2011· 湖南)如图,A,E 是半圆周上的两个三等分点,直径 BC=4,AD⊥BC,垂足为 D,BE 与 AD 相交于点 F,则 AF 的长为________. 4.如图所示,AB 是⊙O 的直径,BC 是⊙O 的切线,AC 交⊙O 于点 D,若 AD=32, CD=18,则 AB=________.

5.(2010· 揭阳模拟)如图,已知 P 是⊙O 外一点,PD 为⊙O 的切线,D 为切点,割线 PEF 经 过 圆 心 O , PF = 12 , PD = 4 3 , 则 圆 O 的 半 径 长 为 ________ 、 ∠EFD 的 度 数 为 ________.

探究点一 与圆有关的等角、等弧、等弦的判定

1 例 1 如图,⊙O 的两条弦 AC,BD 互相垂直,OE⊥AB,垂足为点 E.求证:OE= CD. 2

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变式迁移 1 在△ABC 中,已知 CM 是∠ACB 的平分线,△AMC 的外接圆 O 交 BC 于点 1 N;若 AC= AB,求证:BN=3MN. 3

探究点二 四点共圆的判定

例 2 如图,四边形 ABCD 中,AB、DC 的延长线交于点 E,AD,BC 的延长线交于点 F, ∠AED,∠AFB 的角平分线交于点 M,且 EM⊥FM.求证:四边形 ABCD 内接于圆.

变式迁移 2 如图,已知 AP 是⊙O 的切线,P 为切点,AC 是⊙O 的割线,与⊙O 交于 B、 C 两点,圆心 O 在∠PAC 的内部,点 M 是 BC 的中点. (1)证明:A,P,O,M 四点共圆; (2)求∠OAM+∠APM 的大小.

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探究点三 与圆有关的比例线段的证明

例 3 如图,PA 切⊙O 于点 A,割线 PBC 交⊙O 于点 B,C,∠APC 的角平分线分别与 AB,AC 相交于点 D,E,求证: (1)AD=AE; (2)AD2=DB· EC.

变式迁移 3 (2010· 全国)

? ,过 C 点的圆的切线与 BA 的延长线交于 E 点,证明: 如图,已知圆上的弧 ? AC = BD (1)∠ACE=∠BCD; (2)BC2=BE×CD.

1.圆周角定理与圆心角定理在证明角相等时有较普遍的应用,尤其是利用定理进行等角 代换与传递. 2.要注意一些常用的添加辅助线的方法,若证明直线与圆相切,则连结直线与圆的公共

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点和圆心证垂直;遇到直径时,一般要引直径所对的圆周角,利用直径所对的圆周角是 直角解决有关问题. 3.判断两线段是否相等,除一般方法(通过三角形全等)外,也可用等线段代换,或用圆 心角定理及其推论证明. 4.证明多点共圆的常用方法: (1)证明几个点与某个定点距离相等; (2)如果某两点在某条线段的同旁,证明这两点对这条线段的张角相等; (3)证明凸四边形内对角互补(或外角等于它的内角的对角). 5.圆中比例线段有关定理常与圆周角、弦切角联合应用,要注意在题中找相等的角,找 相似三角形,从而得到线段的比.

(满分:75 分)

一、填空题(每小题 5 分,共 40 分) 1.如图,已知 AB,CD 是⊙O 的两条弦,且 AB=CD,OE⊥AB,OF⊥CD,垂足分别

? ,②∠AOB=∠COD,③OE=OF,④ ? ? 中,正确的 是 E,F,则结论① ? AB = CD AD = BC 有________个.

2.(2010· 湖南)如图所示,过⊙O 外一点 P 作一条直线与⊙O 交于 A、B 两点.已知 PA= 2,点 P 到⊙O 的切线长 PT=4,则弦 AB 的长为________. 3.(2010· 陕西)

如图,已知 Rt△ABC 的两条直角边 AC,BC 的长分别为 3 cm,4 cm,以 AC 为直径的圆与 BD AB 交于点 D,则 =________. DA

4.(2009· 广东)如图,点 A,B,C 是圆 O 上的点,且 AB=4,∠ACB=45° ,则圆 O 的 面积为________. 5.已知 PA 是圆 O 的切线,切点为 A,PA=2,AC 是圆 O 的直径,PC 与圆 O 交于点 B, PB=1,则圆 O 的半径 R=________. 6.如图,圆 O 是△ABC 的外接圆,过点 C 的切线交 AB 的延长线于点 D,CD=2 7,
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AB=3.则 BD 的长为________.

7.(2011· 天津)如图,已知圆中两条弦 AB 与 CD 相交于点 F,E 是 AB 延长线上一点,且 DF=CF= 2,AF∶FB∶BE=4∶2∶1.若 CE 与圆相切,则线段 CE 的长为________. 8.(2010· 天津)如图,四边形 ABCD 是圆 O 的内接四边形,延长 AB 和 DC 相交于点 P. PB 1 PC 1 BC 若 = , = ,则 的值为________. PA 2 PD 3 AD

二、解答题(共 35 分)

9.(11 分)如图,三角形 ABC 中,AB=AC,⊙O 经过点 A,与 BC 相切于 B,与 AC 相 交于 D,若 AD=CD=1,求⊙O 的半径 r.

10.(12 分)(2009· 江苏)如图,在四边形 ABCD 中,△ABC≌△BAD.求证:AB∥CD.

11.(12 分)(2011· 江苏)如图,圆 O1 与圆 O2 内切于点 A,其半径分别为 r1 与 r2(r1>r2).圆 O1 的弦 AB 交圆 O2 于点 C(O1 不在 AB 上).求证:AB∶AC 为定值.
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学案 74

几何证明选讲

(二)直线与圆的位置关系
自主梳理 1.(1)圆周角 弧 同弧 等弧 所对的弧 圆周角 半圆 弦为直径 (2)一半 2.(1)圆 相交弦 两条线段长 (2)等比中项 (3)割线 3.圆外 切线长 4.(1)互补 对角 (2)对角互补 圆 内角的对 角 共圆 5.(1)半径 圆心 切线 切点 圆心 (2)外端 垂直 自我检测 1 1. 2 解析 设切点为 T,则 DT⊥AC,AD=2DB=2DT, 1 ∴∠A=30° ,sin A= . 2 2.2 3 解析 连接 CB,则∠DCA=∠CBA,

又∠ADC=∠ACB=90° , ∴△ADC∽△ACB. AD AC ∴ = . AC AB ∴AC2=AB· AD=2×6=12. ∴AC=2 3. 2 3 3. 3

解析 如图,连接 CE,AO,AB.根据 A,E 是半圆周上的两个三等分点,BC 为直径, 可得∠CEB=90° ,∠CBE=30° ,∠AOB=60° ,故△AOB 为等边三角形,AD= 3,OD=BD
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=1,∴DF=

3 2 3 ,∴AF=AD-DF= . 3 3

4.40 解析 如图,连接 BD,则 BD⊥AC,由射影定理知,

AB2=AD· AC=32×50=1 600,故 AB=40. 5.4 30° 解析 由切割线定理得 PD2=PE· PF, PD2 16×3 ∴PE= = =4,∴EF=8,OD=4. PF 12 1 又∵OD⊥PD,OD= PO,∠P=30° , 2 ∠POD=60° =2∠EFD,∴∠EFD=30° . 课堂活动区 例 1 解题导引 (1)借用等弦或等弧所对圆周角相等,所对的圆心角相等,进行角的等量 代换;同时也可借在同圆或等圆中,相等的圆周角(或圆心角)所对的弧相等,进行弧(或弦)的 等量代换. (2)本题的证法是证明一条线段等于另一条线段的一半的常用方法.

证明 作直径 AF,连接 BF,CF,则∠ABF=∠ACF=90° . 又 OE⊥AB,O 为 AF 的中点, 1 则 OE= BF. 2 ∵AC⊥BD, ∴∠DBC+∠ACB=90° , 又∵AF 为直径,∠BAF+∠BFA=90° , ∵∠AFB=∠ACB, ∴∠DBC=∠BAF,即有 CD=BF. 1 从而得 OE= CD. 2 变式迁移 1 证明 ∵CM 是∠ACB 的平分线, AC BC ∴ = , AM BM BM 即 BC=AC· , AM 又由割线定理得 BM· BA=BN· BC, BM ∴BN· AC· =BM· BA, AM 1 又∵AC= AB,∴BN=3AM, 3 ∵在圆 O 内∠ACM=∠MCN, ∴AM=MN,∴BN=3MN.
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例 2 解题导引 证明多点共圆, 当它们在一条线段同侧时, 可证它们对此线段张角相等, 也可以证明它们与某一定点距离相等;如两点在一条线段异侧,则证明它们与线段两端点连 成的凸四边形对角互补.

证明 连接 EF, 因为 EM 是∠AEC 的角平分线, 所以∠FEC+∠FEA=2∠FEM. 同理,∠EFC+∠EFA=2∠EFM. 而∠BCD+∠BAD=∠ECF+∠BAD =(180° -∠FEC-∠EFC)+(180° -∠FEA-∠EFA) =360° -2(∠FEM+∠EFM) =360° -2(180° -∠EMF)=2∠EMF=180° , 即∠BCD 与∠BAD 互补. 所以四边形 ABCD 内接于圆. 变式迁移 2 (1)证明 连接 OP,OM, 因为 AP 与⊙O 相切于点 P, 所以 OP⊥AP.

因为 M 是⊙O 的弦 BC 的中点,所以 OM⊥BC. 于是∠OPA+∠OMA=180° , 由圆心 O 在∠PAC 的内部,可知四边形 APOM 的对角互补, 所以 A,P,O,M 四点共圆. (2)解 由(1)得 A,P,O,M 四点共圆, 所以∠OAM=∠OPM. 由(1)得 OP⊥AP. 由圆心 O 在∠PAC 的内部, 可知∠OPM+∠APM=90° , 所以∠OAM+∠APM=90° . 例 3 解题导引 寻找适当的相似三角形,把几条要证的线段集中到这些相似三角形中, 再用圆中角、与圆有关的比例线段的定理找到需要的比例式,使问题得证. 证明 (1)∠AED=∠EPC+∠C,∠ADE=∠APD+∠PAB. 因 PE 是∠APC 的角平分线,故∠EPC=∠APD,PA 是⊙O 的切线,故∠C=∠PAB. 所以∠AED=∠ADE.故 AD=AE. ∠PCE=∠PAD ? ? EC PC ??△PCE∽△PAD? (2) = ; AD PA ? ∠CPE=∠APD?
? ∠PEA=∠PDB?

∠APE=∠BPD? ?

??△PAE∽△PBD?

AE PA = . DB PB PA PC = . PB PA

又 PA 是切线,PBC 是割线?PA2=PB· PC? 故

EC AE = ,又 AD=AE,故 AD2=DB· EC. AD DB

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? ,所以∠BCD=∠ABC. 变式迁移 3 证明 (1)因为 ? AC = BD 又因为 EC 与圆相切于点 C,故∠ACE=∠ABC, 所以∠ACE=∠BCD. (2)因为∠ECB=∠CDB,∠EBC=∠BCD, BC CD 所以△BDC∽△ECB,故 = ,即 BC2=BE×CD. BE BC 课后练习区 1.4 解析 ∵在同圆或等圆中,等弦所对的圆心角相等,所对的弧相等,所对弦心距相等,
? ,得 ? ? ,∴④正确. 故①②③成立,又由 ? AB = CD AD = BC 2.6 解析 连接 BT,由切割线定理, 得 PT2=PA· PB, 所以 PB=8,故 AB=6. 16 3. 9 AD AC AD 3 9 16 BD 16 解析 = ? = ?AD= ?BD= (cm), = . AC AB 3 5 5 5 DA 9 4.8π 解析 连接 OA,OB, ∵∠BCA=45° , ∴∠AOB=90° . 设圆 O 的半径为 R,在 Rt△AOB 中,R2+R2=AB2=16,∴R2=8.

∴圆 O 的面积为 8π.

5. 3 解析 如图,依题意,AO⊥PA,AB⊥PC,PA=2,PB=1,∠P=60° , 在 Rt△CAP 中,有 2OA=2R=2tan 60° =2 3, ∴R= 3. 6.4 解析 由切割线定理得:DB· DA=DC2,即 DB(DB+BA)=DC2,∴DB2+3DB-28=0, ∴DB=4. 7 7. 2 解析 设 BE=a,则 AF=4a,FB=2a. 1 ∵AF· FB=DF· FC,∴8a2=2,∴a= , 2 1 7 ∴AF=2,FB=1,BE= ,∴AE= . 2 2

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1 7 7 又∵CE 为圆的切线,∴CE2=EB· EA= × = . 2 2 4 7 ∴CE= . 2 6 8. 6 解析 ∵∠P=∠P,∠PCB=∠PAD, PB PC BC ∴△PCB∽△PAD.∴ = = . PD PA AD PB 1 PC 1 BC 6 ∵ = , = ,∴ = . PA 2 PD 3 AD 6 9.

解 过 B 点作 BE∥AC 交圆于点 E,连接 AE,BO 并延长交 AE 于 F, 由题意∠ABC=∠ACB=∠AEB,(2 分) 又 BE∥AC,∴∠CAB=∠ABE,则 AB=AC 知,∠ABC=∠ACB=∠AEB=∠BAE, (4 分) 则 AE∥BC,四边形 ACBE 为平行四边形. ∴BF⊥AE.又 BC2=CD×AC=2, 14 ∴BC= 2,BF= AB2-AF2= .(8 分) 2 14 , ?x+r= 2 设 OF=x,则? 2 ?x +? 2 ? =r ,
2 2 2

2 14 解得 r= .(11 分) 7 10.证明 由△ABC≌△BAD 得∠ACB=∠BDA,(3 分) 故 A、B、C、D 四点共圆,(5 分) 从而∠CAB=∠CDB.(7 分) 再由△ABC≌△BAD 得∠CAB=∠DBA, 因此∠DBA=∠CDB,(10 分) 所以 AB∥CD.(12 分) 11.

证明 如图,连接 AO1 并延长,分别交两圆于点 E 和点 D.连接 BD,CE.因为圆 O1 与圆 O2 内切于点 A,所以点 O2 在 AD 上,故 AD,AE 分别为圆 O1,圆 O2 的直径.(5 分) π 从而∠ABD=∠ACE= .(7 分) 2 AB AD 2r1 r1 所以 BD∥CE,于是 = = = .(10 分) AC AE 2r2 r2 所以 AB∶AC 为定值.(12 分)

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