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一道2014年浙江省高中数学竞赛附加题的探究


1 1 6  

数 学通 讯 —— 2 O l 5年 第 7 、 8期 ( 上半 月 )  

? 课 外 园地 ?  



道2 o 1 4 年浙江省高中数学竞赛附加题的探究 
冯   涛  
( 浙 江 省 宁波 市 北 仑 区北 仑 中学 ,3 1 5 8 0 0 )

 

题目

( 2 0 1 4年 浙江 省 高 中数 学 竞赛 附加 题 

由余 弦定理 可知 A B一  , A C一 2 , B C=√   ,  
于是  C AB 一 9 0 。 , 过 0作 O E   j _ A C, O F   J - A B,  
设 A E — m, (   一  , 由于  A BO 一  O AE , 所 以 

2 2题 ) 设 正实数 口 , b , f 满 足 
r 口0+ b 0 — 3,  

j   n  + c 。 +n c= 4 ,  
1  

I   +c   +√ 3   :7 ,   求口 , b , c的值 .  
1 .题 目分新 与 溯 源 

器一  
二 

一  m.  
一 一  …  

又  A O C一 1 2 0 。 , t a n  A O C 一一√ 3 , 即 
L —   m  2一  

这 道解 方程组 的题 目是 2 0 1 4 年 浙江省 高 中数 
学 竞赛 试题 的 附加 题 2 2题 , 对竞 赛 数 学有 一 定 经  验的研 究者 都 知 道 这 道题 目是所 谓 的 “ 陈题 ” , 主  要 考查 了构 造法 的应 用 , 从 参 考解 答 中 管 窥 命 题 
者 的意 图是 希 望解 题 者 透 过 代 数 的 表 象 , 看到 问   题 的几何结 构 ; 事实上 , 这道 题 既 可 以构 造几 何 意  义处 理 , 也 可 以用 纯粹 的代 数 方 法 求 解 , 正所谓 :  

于 是可 以求得 m : = :   3 0 , n一 

, 进而求 得 n  

一  

, 6 一   何

, c 一  

.  

上 述解 法也 就 是参 考解 答 的解 法 , 事 实上 , 同  样 的构 造 图形借 助正 弦定理 可知 :   解法 2  
一  

戏法 人人会 变 , 各有 巧 妙 不 同 ;追踪 溯 源 , 与上 述 

试题 结构 极其 类似 的一 道 竞赛 试 题来 自前 苏 联第 
1 8届 全苏数 学奥 林 匹克 1 0年级题 :   正数 z, Y , 2满足 方程 组 
1  

一 
!   s i n   OAC’  

,  

s i n   1 2 o 。  

f I z 。 + x y + ÷  一 5 。 ,  
’ )  
,  

又 因为  O B A一   O AC( 同角 的余角 相等 ) ,  
上述 两式 相 除可得  一  3 所 以 n一 3 C   将 其 代 
, 9

j   1   2 +z 。 一3 。 ,   f l  

。+ 艇 + z。= 4  ,  

则  + 2 y z+ 3 x z的值 是 
2 .题 目解 法 分 析 

.  

-  ̄ 人n 。 +c 。 +   一4 , 消元 可得 n一 — 6   j ̄ ,c


一  

’  

O ,  

玳 

_3 ’ 从 

得 6=   5   . / 1 i - i -
. 

笔 者受 到 标 准 解 答  的启 发 , 经 过 多 次 尝 试  获得 了 另 外 一 些 思 路 ,   供 同行参考 .   解法 1 ( 几 何 法 


解法 3  ( 几何 法 —— 利 用 三角 函数) 借 助法 
的直 角三 角形 , 引入一 个 变 量角 度 , 基 本 的想 法 

是 用这个 角将 字母 a , b , c 表示 出来 , 从 而达 到将多 
元 问题 转化 为单元 问题 表征 的 目的 ;   图1   如图 1 , 以 O为 出发点 , 作 长 度为  n , b , c 的三条  线 段  , O B,   , 使 得  A O B一 9 0 。 ,  A OC 一 

构造直 角三角 形)   如图 1 , 以 0 为 出发 点 ,  
— —

作 长度 为 n, b , c的 三 条 线 段 O A, O B, (  , 使 得  A O B 一 9 0 。 ,  A OC 一 1 2 o 。 , 那 么  C DB  


1 2 0 。 , 那 么  C O B一1 5 0 。 . 由余 弦定 理可知 A B 一 
, A C 一 2, BC 一   .  

1 5 0 。 .  

设  B AO :  , 则 可 得 a: = =√ 3 c o s  , b一  

?

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数 学通 讯 — — 2 O l 5年 第 7 、 8期 ( 上半月)  

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s i n   0, f= : =  

C OS   0 .  

二垡±圣  


二  ±   一 -  
  ’ 一n  
一 8,  

√3  

口) z  

在 △B O C中, 应用余 弦定 理可 得 : B C 。 一b 。 + 







/ 3b ( a 2- -f +3 )


c   一2 b c c o s   1 5 0 。 , 又B C =√ 7 , 化简得 1 2 t a n 。 0 — 

√3 6 一a  

1 2 瓶 a n   0 + 5— 0 , 解得 t a n   0一  
删 一  ,   以 口 一  √3 7  
t a 一

, c o s   0一  
,  

进 一 步化简 可得 :  

( 口 2 —6   +3 ) ( 口  +b   +6 )一 8 ( √   一n ) 。 .  
因为 口  + b  一 3 , 所 以上 式 可 变 为 1 8 a 。=  



/ 3  
 

- /  

3 i  

8 (  

一口 )  , 两边 开平 方可 得 :  
3 a=. 2 ( a一  ) 或 3 口=~ 2 ( a 一  ) .  



譬   s   一  , s i n   =  

( 1 ) 若3 a一 2 ( a 一   ) , 则有 n=一2 √ =  , 因  
为 n> 0 , b> 0 , 所 以此 种情 形舍 去.   ( 2 ) 若 3 口一一2 ( a 一  ) , 则有 5 a: = = 2   , 代 
 

面 川= , n : = =   而 ’ , b : = = =   蕊 ’ ,   f  而   ( 经 检 验 , 川     。 +  
f   +a C≠ 4 , 舍去 ) .  

解法 4 ( 几何法 —— 等 积法 ) 从 图形 宏观 上 

入口 。 +6  =   3 可得 : n=  
8  
—   一

, 6= — s ̄  i - i - i - ,f :

看, 整 个 直角 三角形 的 面积 关 系 十分 明 显. 借 助 已 
知 图形 的面 积关 系易 知 : s △ 0 A B +S △ Q A c +S  ̄ o c B— 
‘ 

s △   e 一  , 即 丢 口 6 +   + 丢  一 √   , 口 一  
O S   0 , b= x / 3 - s i n  , c一 _ 4 = =   C O S   0


解法 6 ( 代 数法 —— 消元 )  

代人 计算 得 t a n   0  

因为 c 。 d - 。 - a C +( n 。 一4 ) 一0 , C 。 +√ =   +( 6   一  
7 )一 0 , 两式 相减 可得 :   ( √   一a ) c +( 6 。 一n  一 3 ): 0 .  

√3  


里   b  o   0 ;呈 √ 垒,   i n   0 一—  , 所 以  
3 7 , 43 7  
s, / 1 1 1
,c 一   .  

又 因为 n z +6 z 一3 , 所 以c 一 
43 b一  

, 代入 C 2  

+  + ( 口 z 一4 ) =0 可得 : (  

) z + 
4 3 b一 

点评  以上 解决 问题 的技巧 偏 重于将 代数 的 
问题 转化 为几 何 问题 去 处 理 , 体 现 了数 形 结 合 的 

43 b一 儡

十( 口 。~ 4 )一 0 , 化简得 1 7 b 。= 1 5+ 8√ 3 6?  

魅力 . 我 们知 道 , 著 名 数 学 家 华 罗庚 曾 经 有 诗 云 :  
数 与形 , 本是相倚依, 焉 能 分作 两 边 飞 . 数 缺 形 时 

v /   二  , 所以(  


8   4 3 b  

) z :3 -b z , 所以4 8 1 b   一  

少直 觉 , 形 少 数 时难 入 微 . 数形结合百般好 , 隔 离 
分 家万 事非 .   那么, 从 代 数 角 度 去 处 理 这 个 解 方 程 组 问题 

1 0 8 6 b 。 + 2 2 5 = o , 解 得 6 。 = 丽 7 5 我 6 2 = 蠢 .  
( 1 )   =  7 5


最   6:   3 7  

则 a:  

,  
’  

是杏可行呢? 经过进 步思考, 笔者从代数角度构 
造, 又 开辟 了一 片新 的天地 .  
8   3  

解法 5 ( 代数 法 —— 消元法 )  
因 为 
口  + b  一 3   ① 

一育

’ .  
测 n一 
( 舍) .  

( 2 ) 若6  一 
② ,   ③ 
一  

,  

口 。 +C 。 +  一 4   b 。 +C 。 +  一7  

综上所述: a 一  
  、

, 6 一  3 7  , f 一可 s   v ' -  ̄
. 

③ 一② , 可得 b   一口   +√ 3   一a C=3 - 从而可 

,  

o,  

得一 哇 

43 b— —a  

;  
.  

点 评  以 上两种 解法 就是 从解 方程最 基本 的  思想( 消元法 )出发 , 逐 步将 变量 个数减 少 , 从 而达  到破解 目的 , 既要 胆 大又 要 心 细 , 类 似 的解 法还 有  很多 , 考 场 中许多 考生 就 是如 此 求 解 的 , 虽 然解 法 

③ +② , 可得 2 c   +  +√ 3 6 c一 8 , 将 上述 C 的 
表达 式代 入 可得 :  

l 1 8  

数 学 通讯 — — 2 O 1 5年 第 7 、 8期 ( 上半月)  

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实用 但是 略显 美 感 不 足 , 不 妨 给 出 如 下 构造 齐 次  方 程组 的解法 .   解法 7 ( 代数 法 —— 构 造齐 次方程 组 )  

再 结 合 已 知 条 件 解 得 n 一 
0 ,  

, b 一 

f   。   +6   一3 ,  

5何 8 ̄ /   —丽 一   一 百 ‘  
3 .后 记 

因为 』a 。 +C   +a C 一4 , 所以  
I   b   +f 。 +, / g  ̄ - 一7 ,  

这道 赛 题 典 型 的解 法 就 是 构 造 法 , 在 日常 数  学 的学习 和研 究 中 需要 重视 这种 基 本 方法 , 它有 
利 于培养 学生 分析 问题 、 解决 问题 的能 力 , 同时 训  练 了学生 的想 象力 , 对 于 优化 学 生 的思 维 品质 、 培  养洞 察力 至关 重 要.当然 , 构 造 法 除 了构 造 图 形 、   构造 方程 , 有 时 候 还 要 构造 函数 、 构 造 向量 、 构 造 

a   + c   +  一 詈 ( n 。 + 6 。 j ,  
6 。+ c  +  一'   7  


2+ 6 。 ) .  

齐次式 后再作 换元 , 令 
0 , 则 方程组 可变 成 :  
f z  + 4   一3 y~ 3— 0,  

>0 . b  Y> 

模型 、 构造 反 例 等 等 , 构 造法 只有 因题 制 宜 , 具 体 
问题 具体 分析 , 构造才 会有 化腐 朽为神 奇 的功效 .  
参考 文献 :  

i   7 z   +4 y 。 一3  


一3—0 ,  

进一 步消元 得 到 : 1 6 x  + 1 6 x 。 +7 x 。 一9 x一 9   0 , 即1 6 x   +1 6 x 。 +1 6 x   一9 x   一9 x 一 9— 0 , 分 
上b 

[ 1 ]   冯涛 . 对一道解析几何 模考题 的探究[ J ] .  
中学 教研 ( 数学) , 2 0 1 4 ( 6 ) .  
( 收 稿 日期 : 2 0 1 5 —0 3 —2 7 )  

解得: ( z  +  + 1 ) ( 1 6 x   一9 ): 0 , 所 以z  =   ,  



手 , 即  一   一 手 ,  一   一  .  

两 组 对 数 不 等 式 的推 广 
董   博   指导 老师   彭新春  
( 湖 北 省 武 汉 外 国语 学 校 高 三 ( 3 ) 班, 4 3 0 0 2 2 )  

几周 前 我有 幸拜 读  文 L 1 ] , 其 中提 到 的一组 

罩 寸 数不等式:  
1 n   >   1( z~  )( o<   < 1 ),  

( 4 ) l n  < 孚     (  一   ) ( z>“ ) .   口  一 l z 
证明  构 造 函数 厂 ( z )一 j n  一   (  ~  

1 n   <  1( 1 z一  )( z> 1 ) .  

÷) ( z> 0 , 口> 1 ) , 求导得 
厂(  ) 一   1一   a l n   a( 1 +   )  
口  一


这组不等式可作以下推广:  
若 n为一 个大 于 1的常数 , 则有 

J  



 

( 1 ) l n  > 
a  一

( z一 土 ) ( o< z<  ) ;  
1   z  “ 

z+ 1  
I z   ’  

a  一 1  

( 2 ) l n   <   (   一   ) ( 吉 <   < 1 ) ;  
( 3 ) l n   >   孚    (  一  ) ( 1 <z <n ) ;   1 2。 一 j

研究二 次 函数 (  )一 . Z . - 2 一  点, 设 其两 根分 别为 3 2   、   .‘  

al na 

z+ 1的零 


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