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数学必修三:2.2.2《频率分布直方图与折线图》ppt课件


数学· 必修3(苏教版)

第2章 2.2





总体分布的估计

2.2.2 频率分布直方图与折线图

当我们把样本从总体中抽出来后,可以通过频 率分布表对样本进行分析,频率分布直方图和折线图 也可以对样本进行分析,而且频率分布直方图更能直 观地体现数据的分布规律.

1.了解频率分布直方图与折线图的特征.
2.掌握频率分布直方图与折线图的画法及其应用.

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自 主 学 习

1 .作频率分布直方图的步骤为: (1) 计算全距,即 ___
___________________________ ; (2)__________ ; 一组数据的最大值与最小值的差 决定组数与组距 (3)__________ ; (5) 绘 制 决定分点 ; (4) 列 ____________________ 频率分布表 频率分布直方图 ______________________ . 小长方形面积 =组距×=频 2 .频率分布直方图中, ______________
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率,即以 ________ 面积 的形式反映了数据落在各小组内的
频率 的 大 小 , 各 小 长 方 形 的 面 积 之 和 等 于 ________

________ . 1

自 主 学 习 3.连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点, 就得到_______________ 频率分布折线图 .一般地,当总体中的个体
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数较多时,抽样时样本容量就不能太小,随着样本
组数 也在增加,相 容量的增加,作图时所分的 ________ 应的频率分布折线图会越来越接近于一条光滑曲线, 总体密度曲线 这条光滑曲线就叫做 ______________ ,它反映了一 个总体____ 在各个区域内取值 ________ ____的规律.,

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要 点 导 航

一、频率分布直方图
频率分布直方图:利用直方图反映样本的频率分
布规律,这样的直方图称为频率分布直方图,简称频率 直方图. (1)频率分布直方图的绘制方法与步骤. S1 先制作频率分布表,然后作直角坐标系.
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S2 把横轴分成若干段,每一段对应一个组的组距.
S3 在上面标出的各点中,分别以相邻两点为端点的

线段为底作

要 点 导 航
频率 长方形,它的高等于该组的 .每个长方形的面积恰好是该 组距 组的频率.这些长方形就构成了频率分布直方图. 频率 因为小长方形的面积=组距× =频率,所以各小长方形 组距 的面积表示相应各组的频率.这样,频率分布直方图就以面积的 形式反映了数据落在各个小组内的频率大小.在频率分布直方图 中,各小长方形的面积之和等于 1.
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要 点 导 航

注意

同样一组数据,如果组距不同,横轴、纵轴

单位不同,得到的图的形状也会不同.不同的形状给人
的印象也不同,这种印象有时会影响我们对总体的判断; 同一个总体,由于抽样的随机性,如果随机抽取另外一 个容量相同的样本所形成的样本频率分布一般会与前一 个样本频率分布有所不同.但是,它们都可以近似地看
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作总体的分布.
(2)频率分布直方图的特点:从频率分布直方图可以清楚 地看出数据分布的总体态势,但是从直方图本身得不出

要 点 导 航

所以,把数据表示成直方图后,原有的具体数据信息就 被抹掉了. 注意 (1) 为 方便 起 见 , 组 距 的 选择 应 力 求 “ 取
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整 ” ,如果极差不利于分组 ( 如不能被组数整除 ) ,要适
当增大极差,如在左、右两端各增加适当范围 (尽量使两 端增加的量相同). (2) 组距和组数的确定没有固定的标准,常常需要 一个尝试和选择的过程,将数据分组时,组数应力求合

适,以使数据的分布规律能较

要 点 导 航

清楚地呈现出来. 组数太多或太少都会影响我们了解数据的 分布情况.当然,数据分组的组数与样本容量有关,一般样本容 量越大,所分组数越多.当样本容量不超过 100 时,按照数据的 多少,常分成 5~12 组.一般地,若样本的容量为 n,则组数 k 应该在(1+3.3lg n)的附近处选.分点的决定方法是:若数据为整 数,则分点数据减去 0.5;若数据是小数点后有一位的数,则分 点数据减去 0.05;以此类推.画频率分布直方图中小长方形的高 频率 的方法是:小长方形的高= . 组距
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要 点 导 航

二、频率分布折线图
1.频率分布折线图:把频率分布直方图各个长方 形上边中点用线连接起来,就得到频率分布折线图.为 了方便看图,一般习惯把频率分布折线图画成与横轴相
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连,所以横轴上的左右两端点没有实际的意义.如下图
所示的频率分布折线图.

要 点 导 航

2 .总体密度曲线:样本容量越大,所分组数越多,

频率分布直方图中表示的频率分布就越接近于总体在各
个小组内所取值的个数与总数比值的大小.设想如果样 本容量不断增大,分组的组距不断缩小,则频率分布直 方图实际上越来越接近于总体的分布,它可以用一条光 滑曲线 y = f(x) 来描绘,这条光滑曲线就叫做总体密度曲
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线.
3 .频率分布与总体分布: (1) 总体密度曲线反映了 一个总体在各个区域内取值的规律,它能给我们提供

要 点 导 航 更加精细的信息.总体在某一区间取值的百分比就是 该区间与该曲线所夹的曲边梯形的面积. (2)总体密度曲线通常都是由样本的频率分布估计
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出来的.这是因为:①并非所有的总体都存在密度曲
线,如一些离散型总体;②尽管有些总体密度曲线是 客观存在的,但一般很难像函数图象那样被准确地画 出来,我们只能用它进行估计.一般说来,样本容量 越大,这种估计就越精确.

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典 例 剖 析

题型一

频率分布直方图

例1下表给出了某校120名12岁男孩的身高资料(单
位:cm):
身高 [122,126) [126,130) [130,134) [134,138) 人数 5 8 10 22 [138, 142) 33
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身高 [142,146) [146,150) [150,154) [154,158] 人数 20 11 6 5

典 例 剖 析

(1)列出样本的频率分布表;
(2)画出频率分布直方图;
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(3)求身高小于142 cm的人数占总人数的百分比.
分析:先列出频率分布表,画出直方图,然后估计

身高小于142 cm人数占总人数的百分比.

典 例 剖 析

(1)频率分布表如下:
分组 [122,126) [126,130) [130,134) [134,138) [138,142) 频数 5 8 10 22 33 频率 1 24 1 15 1 12 11 60 11 40 频率/组 距 0.010 4 0.016 7 0.020 8 0.045 8 0.068 8
栏 目 链 接

典 例 剖 析

[142,146) [146,150) [150,154) [154,158] 合计

20 11 6 5 120

1 6 11 120 1 20 1 24 1

0.041 7 0.022 9 0.012 5 0.010 4 0.25
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典 例 剖 析

(2)频率分布直方图如下图所示:

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(3)身高小于 142 cm 的学生占总数的百分比 5+8+10+22+33 为 =65%. 120

典 例 剖 析

规律总结: 频率分布表中的前两列数据题目已经给出,

即分组与每组所对应的频数.根据这些数,我们可求
每组所对应的频率,频率等于每组的频数与男孩总数 之商,画频率分布直方图,还需要一组数据,即频率/ 组距.频率分布直方图的纵轴上的数据,可先标出最 大值,为好计算也可标出比最大的频率 /组距还大一点
栏 目 链 接

的数,然后再依次平分即可,不要从最小开始标,那
样可能会要不断地接纵轴或画的纵轴太长需擦去,致 使整个图象比例不协调.

典 例 剖 析

? 变式训练

1.(2014· 南宁模拟)在学校开展的综合实践活动
中,某班进行了小制作评比,作品上交时间为 5月1日 至30日,评委会把同学们上交作品的件数按5天一组分 组统计,绘制了频率分布直方图 ( 如下图所示 ) .已知 从左到右各长方形的高的比为 2∶3∶4∶6∶4∶1 ,第 三组的频数为12,请解答下列问题:
栏 目 链 接

典 例 剖 析

(1)本次活动共有多少件产品参加评比? (2)哪组上交的作品数最多?有多少件? (3) 经过评比,第四组和第六组分别有 10 件、 2 件作品 获奖,问这两组中哪组获奖率较高?

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典 例 剖 析

解析: (1)依题意可知第三组的频率为
∵第三组的频数为 12,

4 1 = . 2+3+4+6+4+1 5

12 ∴本次活动的参评作品数为 =60(件). 1 5 (2)根据频率分布直方图可以看出第四组上交的作品数量最多, 6 共有 60× =18(件). 2+3+4+6+4+1 (3)第四组的获奖率是 10 5 = , 18 9

栏 目 链 接

典 例 剖 析

第六组上交的作品数量为 1 60× =3(件), 2+3+4+6+4+1 2 6 ∴第六组的获奖率为 = .显然第六组的获奖率较高. 3 9
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典 例 剖 析

题型二

频率分布折线图

例3已知50个数据的分组以及各组的频数如下:
153.5~155.5 2 161.5~163.5 10
栏 目 链 接

155.5~157.5 7 163.5~165.5
157.5~159.5 9 165.5~167.5

6
4

159.5~161.5 11 167.5~169.5
(1)列出频率分布表;

1

(2)画出频率分布直方图和频率分布折线图.

典 例 剖 析

分析: 此题按照频率分布直方图的绘制步骤解决即可.

解析:

(1)频率分布表如下:

栏 目 链 接

典 例 剖 析

分组 153.5~155.5 155.5~157.5 157.5~159.5 159.5~161.5 161.5~163.5 163.5~165.5

频数 2 7 9 11 10 6

频率 0.04 0.14 0.18 0.22 0.20 0.12
栏 目 链 接

165.5~167.5 167.5~169.5
合计

4 1 50

0.08 0.02 1.00

典 例 剖 析

(2)频率分布直方图和频率分布折线图如下图所示.

栏 目 链 接

规律总结:

连接频率分布直方图的各个小长方形

上边中点就得到频率分布折线图.

典 例 剖 析

? 变式训练

2 .为了检测某种产品的质量,抽取了一个容量为
100的样本,数据的分组如下:
栏 目 [10.75,10.85),3;[10.85,10.95),9;[10.95,11.05),13;链 接

[11.05 , 11.15) , 16 ; [11.15, 11.25) , 26; [11.25 , 11.35) ,

20; [11.35,11.45), 7;[11.45, 11.55),4; [11.55,11.65], 2. (1)列出频率分布表;

典 例 剖 析

(2)画出频率分布直方图以及频率分布折线图; (3) 根据上述图表,估计数据落在 [10.95 , 11.35) 范 围内的可能性是多大?
栏 目 链 接

典 例 剖 析

解析: (1)频率分布表如下: 分组 [10.75,10.85) [10.85,10.95) [10.95,11.05) 频数 3 9 13 频率 0.03 0.09 0.13

[11.05,11.15) [11.15,11.25) [11.25,11.35) [11.35,11.45) [11.45,11.55) [11.55,11.65] 合计

16 26 20 7 4 2 100

0.16 0.26 0.20 0.07 0.04 0.02 1.00

栏 目 链 接

典 例 剖 析

(2)频率分布直方图及频率分布折线图如图.

栏 目 链 接

(3)由上述图表可知,数据落在[10.95,11.35)范围内的 频率为0.13+0.16+0.26+0.20=0.75=75%,即数据落 在[10.95,11.35)范围内的可能性是75%.


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