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辽宁省实验中学分校2015-2016学年高二数学上学期期末考试试题 理


辽宁省实验中学分校 2015-2016 学年度上学期期末考试 理科数学 高二年级

本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分,全卷满分 150 分,考试时间 120 分钟。 第 I 卷(选择题 共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一个选项符合题目要求。 1.命题“ ?x 0 ? R , x 0 ? 1 ? 0 或 x 0 - x 0 ? 0 ”的否定形式是(
2

2


2

A. ?x 0 ? R , x 0 ? 1 ? 0 或 x 0 - x 0 ? 0 B. ?x 0 ? R , x 0 ? 1 ? 0 或 x 0 - x 0 ? 0 C. ?x 0 ? R , x 0 ? 1 ? 0 且 x 0 - x 0 ? 0 D. ?x 0 ? R , x 0 ? 1 ? 0 且 x 0 - x 0 ? 0 2.用反证法证明命题“若 a+b+c≥0,abc≤0,则 a、b、c 三个实数中最多有一个小于零” 的反设内 容为( ) A.a、b、c 三个实数中最多有一个不大于零 B.a、b、c 三个实数中最多有两个小于零 C.a、b、c 三个实数中至少有两个小于零 D.a、b、c 三个实数中至少有一个不大于零 3.如图,在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,异面直线 A1 D 与 D1C 所成 的角为 ( A. 30 C. 60
?

2

2

D1 A1 B1

C1

) B. 45
?

D
?

C B

D. 90

?

A

4.已知等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , a3 ? a8 ? 13 且 S7 ? 35 ,则 a7 ? ( A.11
2



B.10

C.9

D.8

5.抛物线 x ? 8 y 的焦点 F 的坐标是( ) A、 (?2, 0) B、 (2, 0) C、 (0, ?2) D、 (0, 2) )

6.“ a ? ?4 ”是“函数 f ( x) ? ax ? 3 在区间 ??1,1? 上存 在零点”的( A.充分不必要条件 C.充分必要条件
2

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

7.已知抛物线 C : y ? 8x 的焦点为 F ,准线为错误!未找到引用源。 , P 错误!未找到引 用源。是 l 错误!未找到引用源。上一点, Q 错误!未找到引用源。是直线 PF 错误!未找

1

, 到引用源。与 C 错误!未找到引用源。的一个交点,若 FP ? 4FQ 错误!未找到引用源。 则 QF 错误!未找到引用源。=( A. 错误!未找到引用源。 B 错误!未找到引用源。 ) C.3 D.2

8.数学归纳法证明 (n ? 1)(n ? 2) ??? (n ? n) ? 2n ?1? 3 ??? (2n ?1) (n ? N * ) 成立时,从

n ? k 到 n ? k ? 1 左边需增加的乘积因式是( ) 2k ? 1 A. 2(2k ? 1) B. C. 2k ? 1 k ?1
9.已知椭圆

D.

2k ? 3 k ?1

x 2 y2 ? ? 1 的左、右焦点分别为 F1 , F2 ,点 P 在椭圆上,若 P, F1 , F2 是一个 16 7
7 3 7 7 或 4 3 7 6

直角三角形的三个顶点,则点 P 到 x 轴的距离为 (A)

7 4

(B)

(C)

(D)

10.已知等差数列 ?a n ?的公差 d ? 0 ,且 a1 , a3 , a13 成等比数列,若 a1 ? 1 , S n 为数列 ?a n ? 的前 n 项和,则 A. 4

2 S n ? 16 的最小值为( an ? 3
B. 3 C. 2 3 ? 2



9 2 11.如图,在正四棱柱 ABC D-A1B1C1D1 中,AA1=2,AB=BC=1,动点 P,Q 分别在线段 C1D , AC 上,则线段 PQ 长度的最小值是( ).
D.

A.

2 3
2 3

B.

3 3 5 3

C.

D.

12.已知中心在 原点、焦点在 x 轴上的椭圆 C1 与双曲线 C2 有共同的焦点,设左右焦点分别 为 F1,F2,P 是 C1 与 C2 在第一象限的交点, ? PF1F2 是以 PF1 为底边的等腰三角形,若椭圆与 双曲线的离心率分别为 e1,e2,则 e1·e2 的取值范围是( ) (A)(

1 , +?) 9

(B)(

1 , +?) 5

(C)(

1 , +?) 3

(D)(0, +?)

第 II 卷(非选择题,共 90 分) 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在答题卡横线上。 13.数列 ?a n ?满足

1 1 ,则称数列 ?a n ?为调和数列,记 ? ? d (n ? N ? , d 为常数) an ?1 an

2

数列 ?

?1 ? ? 为调和数列,且 x1 ? x2 ? ? ? x20 ? 200, 则 x5 ? x16 ? ___________. ? xn ?

14.面积为 S 的平面凸四边形的第 i 条边的边长记为 ai (i ? 1, 2,3, 4) ,此四边形内任一点 P 到 第 i 条 边 的 距 离 记 为 hi (i ? 1, 2,3, 4) , 若

a1 a a a ? 2 ? 3 ? 4 k ?, 则 1 2 3 4

2S h1 ? 2 h2 ? 3 h3 ? 4 h4 ? . 类比以上性质,体积为 V 的三棱锥的第 i 个面的面积记为 k

Si (i ? 1, 2,3, 4) , 此 三 棱 锥 内 任 一 点 Q 到 第 i 个 面 的 距 离 记 为 Hi (i ? 1, 2,3, 4) , 若
S1 S 2 S3 S ? ? ? 4 ?K 1 2 3 4
, 则

H1 ? 2

H2 ? 3

H3 ? 4 等 H 4

于 . 15.如图,PD 垂直于正方形 ABCD 所在平面,AB=2,E 为 PB 的中点, cos〈 DP , AE 〉=

??? ?

??? ?

3 ,若以 DA,DC,DP 所在直线分别为 x,y,z 3

轴建立空间直角坐标系,则点 E 的坐标为________.

16.平面直角坐标系 xoy 中,双曲线 C1 :
2

x2 y 2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的 a 2 b2
的垂心为 C2 的焦点, 则 C1

A B 渐近线与抛物线 C2 : x ? 2 py ? p ? 0? 交于点 O, A, B , 若 ?O

的离心率为 . 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 10 分)已知抛物线 y ? 2px(p ? 0) 焦点为 F,抛物线上横坐标为
2

1 的 2

点到抛物线顶点的距离与其到准线的距离相等. (1)求抛物线的方程; (2)设过点 P(6,0) 的直线 l 与抛物线交于 A,B 两点,若以 AB 为直径的圆过点 F,求直线 l 的方程.

18. (本小题满分 12 分)已知 等差数列 ?an ? 首项 a1 ? 1 ,公差为 d ,且数列 2 为 4 的等比数列, ( 1)求 d ; (2)求数列 ?an ? 的通项公式 an 及前 n 项和 Sn ;

? ? 是公比
an

3

(3)求数列 {

1 } 的前 n 项和 Tn . an ? an ?1

19. (本小题满分 12 分)如图,ABCD 是块矩形硬纸板,其中 AB=2AD,AD= 2 ,E 为 DC 的中点,将它沿 AE 折成直二面角 D-AE-B.

(1)求证:AD⊥平面 BDE; (2)求二面角 B-AD-E 的余弦值.

20. (本小题满分 12 分)已知数列 ?an ? 中, a1 ? 1, an ?1 ?

an (n ? N * ) an ? 3

(1)求证: ?

?1

1? ? ? 是等比数列,并求 ?an ? 的通项公式 an ; ? an 2 ?
n ? an ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn . 2n

n (2)数列 ?bn ? 满足 bn ? (3 ? 1) ?

21. (本小题满分 12 分)如图,在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AA1C1C 是边长 为 4 的正方形,平面 ABC⊥平面 AA1C1C,AB=3,BC=5. (1)求直线 B1C1 与平面 A1BC1 所成角的正弦值; (2)在线段 BC1 上确定一点 D,使得 AD⊥A1B,并求

BD 的值. BC1

x2 y 2 ? 3? 22. (本小题满分 12 分)如图,已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 )经过点 ? ?1, ? , a b ? 2?
1 ,直线 l 的方程为 x ? 4 . 2 (1)求椭圆 C 的标准方程; (2) ?? 是经过椭圆右焦点 F 的 任一弦(不经过点 ? ) , 设直线 ?? 与 l 相交于点 ? ,记 ?? , ?? , ?? 的斜率分
离心率 e ?

4

别为 k1 , k2 , k3 ,问:是否存在常数 ? ,使得 k1 ? k2 ? ?k3 ?若存在,求出 ? 的值;若不 存在,说明理由.

5

高二试题理 科数学答案 1.D 2.C 3.C 4.D 5.D 6.A 7.C 8.A 9.C 10.A 11.C 12.C 13.20 15.(1,1,1)
2

14.

3V K 3 16. 2

17. (1) y ? 4 x ; (2) l : 2 x ? y ? 12 ? 0 试题解析: (1)抛物线上横坐标为

1 1 2 的点纵坐标 y0 ? p ,到原点的距离 p ? , 2 4



p?

1 1 p ? ? , 4 2 2
2

解得 p ? 2 ,抛物线的方程为: y ? 4 x . (2)由题意可知,直线 l 不垂直于 y 轴, 可设直线 l : x ? my ? 6 , 则由 ?

4分

? y2 ? 4x ? x ? my ? 6

,可得: y ? 4my ? 24 ? 0 ,
2

6分

设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 ?

? y1 ? y2 ? 4m , ? y1 y2 ? ?24
??? ? ??? ?

因为以 AB 为直径的圆过点 F,所以 FA ? FB ,即 FA ? FB ? 0 , 8 分 可得: ( x1 ?1)( x2 ?1) ? y1 y2 ? 0 , ∴ ( x1 ?1)( x2 ?1) ? y1 y2 ? (1 ? m2 ) y1 y2 ? 5m( y1 ? y2 ) ? 25

? ?24(1 ? m2 ) ? 20m2 ? 25 ? 0 ,
1 , 2 1 ∴直线 l : x ? ? y ? 6 ,即 l : 2 x ? y ? 12 ? 0 . 2
解得: m ? ?

10 分

18. (1) d ? 2 (2) an ? 1 ? 2(n ?1) ? 2n ?1 , Sn ? n2 (3)
a

n 2n ? 1

解: (1)∵数列 {an } 是公差为 d 的等差数列,数列 {2 n } 是公比为 4 的等比数列,

6

所以

2an?1 ? 2an?1 ?an ? 2d ? 4 ,求得 d ? 2 . 4 分 an 2
8分

(2)由此知 an ? 1 ? 2(n ?1) ? 2n ?1 , Sn ? n2 (3)令 bn ?

1 1 1 1 1 ? ? ( ? ) an ? an ?1 (2n ? 1) ? (2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1

10 分

则 Tn ? b 1 ?b2 ? b3 ? ? ? bn ?

? 1 1 ? 1 1 ?1 1? ?1 1? 1 ? ?( ? ) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2? ? 2n ? 1 2n ? 1 ? 1 3 ?3 5? ?5 7?
12 分

?? ?? ?? ?

1? 1 ? n ? ?1 ? ?? 2 ? 2n ? 1 ? 2 n ? 1
19. (1)见解析(2)

3 3

(1)由题设可知 AD⊥DE,取 AE 中点 O,连接 OD,BE.∵AD=DE= 2 ,∴OD⊥AE.又二面角

D-AE-B 为直二面角,∴OD⊥平面 ABCE.又 AE=BE=2,AB=2 2 ,∴AB2=AE2+BE2.∴AE⊥ BE.取 AB 中点 F,连接 OF,则 OF∥EB.∴OF⊥AE.以点 O 为原点,OA,OF,OD 分别为 x,y, z 轴建立空间直角坐标系(如图),

则 A(1,0,0),D(0,0,1),B(-1,2,0),E(-1,0,0), AD =(-1,0,1), BD =(1,-2,1),

????

??? ?

??? ? EB =(0,2,0),
设 n=(x1,y1,z1)是平面 BDE 的法向量,

??? ? ? ?n ? EB=0, ?2 y1 ? 0 则 ? ??? 即? 取 x1=1,则 z1=-1. ? ? ?n ? BD=0, ? x1 ? 2 y1 ? z1 ? 0
于是 n=(1,0,-1).∴n=- AD .∴n∥ AD .∴AD⊥平面 BDE. (2)设 m=(x2,y2,z2)是平面 ABD 的一个法向量, 则 m· BD =0, m· AD =0, ∴?

????

????

6分

??? ?

????

? x2-2 y2+z2=0, 取 x2=1, 则 y2=1, z2=1, 则 m=(1,1,1), ?-x2+z2=0.
7

??? ? ??? ? ??? ? 1 m ?OF 3 平面 ADE 的法向量 OF =(0,1,0).∴cos〈m,OF 〉= = .∴二面角 ??? ? = 3 1? 3 m OF
B-AD-E 的余弦值为

3 . 3

12 分

20. (1)证明祥见解析, an ?

2 4 ; (2) .? Tn? ? 3 ?1
n

n?2 2n ?1

试题解析: (1)证明:由 an ?1 ?

an (n ? N *) , an ? 3



1 a ?3 3 ? n ? ? 1, an ?1 an an

?

1 1 1 1 ? ? 3( ? ) an ?1 2 an 2

所以数列 ?

?1

1? 1 1 3 ? ? 是以 3 为公比,以 ( ? ) ? 为首项的等比数列, a1 2 2 ? an 2 ?
6分

从而

1 1 3 n ?1 2 ; ? ? ? 3 ? an ? n an 2 2 3 ?1
n 2 n ?1

(2) bn ?

Tn ? 1 ? Tn 2 Tn 2

1 1 1 1 1 ? 2 ? 1 ? 3 ? 2 ? ? ? (n ? 1) ? n ? 2 ? n ? n ?1 0 2 2 2 2 2 1 1 1 1 ?1 ? 1 ? 2 ? 2 ? ? ? (n ? 1) ? n ?1 ? n ? n , 两式相减得 2 2 2 2 1 1 1 1 1 n?2 ? 0 ? 1 ? 2 ? ? ? n ?1 ? n ? n ? 2 ? n 2 2 2 2 2 2 n?2 2n ?1
12 分

? Tn ? 4 ?

21.(1)

BD 9 12 ? (2) 25 BC1 25

试题解析:(1)∵AA1C1C 为正方形,∴AA1⊥AC. ∵平面 ABC⊥平面 AA1C1C, ∴AA1⊥平面 ABC, ∴AA1⊥AC,AA1⊥AB. 由已知 AB=3,BC=5,AC=4,∴AB⊥AC. 如图,以 A 为原点建立空间直角坐标系 A-xyz,

8

则 B(0,3,0),A1(0,0,4),B1(0,3,4),C1(4,0,4), ∴A 1B =(0,3,-4), AC 1 1 =(4,0,0), B 1C1 =(4,-3,0). 设平面 A1BC1 的法向量为 n=(x,y,z),则

????

???? ?

???? ?

???? ? ?n ? A1 B ? 0 ?3 y ? 4 z ? 0 即? ? ????? ? ?n ? A1C1 ? 0 ?4 x ? 0

令 z=3,则 x=0,y=4,∴n=(0,4,3). 设直线 B1C1 与平面 A1BC1 所成的角为 θ ,则

???? ? ???? ? B1C1 ? n 3 ? 4 12 sinθ =|cos< B1C1 ,n>|= ???? = . ? = 5 ? 5 25 B1C1 n
12 . 6分 25 ???? ? ??? ? (2)设 D(x,y,z)是 线段 BC1 上一点,且 BD =λ BC1 (λ ∈[0,1]),
故直线 B1C1 与平面 A1BC1 所成角的正弦值为 ∴(x,y-3,z)=λ (4,-3,4), ∴x=4λ ,y=3-3λ ,z=4λ , ∴ AD =(4λ ,3-3λ ,4λ ). 又A 1B =(0,3,-4), 由 AD · A 1B =0,得 3(3-3λ )-4×4λ =0, 即 9-25λ =0,解得 λ =

????

????
????

????

9 ∈[0,1]. 25

故在线段 BC1 上存在点 D,使得 AD⊥A1B. 此时

BD 9 =λ = . 25 BC1

12 分

22. (1)

x2 y 2 (2)存在常数 ? ? 2 符合题意. ? ?1; 4 3

9

1 9 ? 3? 试题解析:解: (Ⅰ)由点 P ?1, ? 在 椭圆上得, 2 ? 2 ? 1 ,① a 4b ? 2?

又e ?

1 c 1 ,所以 ? ,② 2 a 2
x2 y 2 ? ?1. 4 3
4分

由①②得 c2 ? 1, a2 ? 4, b2 ? 3 ,故椭圆 C 的方程为 (Ⅱ)假设存在常数 ? ,使得 k1 ? k2 ? ? k3 , 由题意可设 AB 的斜率为k, 则直线 AB 的方程为 y ? k ( x ? 1) ,③ 代入椭圆方程

x2 y 2 ? ?1, 4 3
6分

并整理得 (4k 2 ? 3) x2 ? 8k 2 x ? 4(k 2 ? 3) ? 0 , 设 A( x1,y1 ),B( x2,y2 ) ,则有 x1 ? x2 ? 在方程③中,令
y1 ?

8k 2 4(k 2 ? 3) ,④ , x x ? 1 2 4k 2 ? 3 4k 2 ? 3 得, M (4,3k ) ,

3 3 3 y2 ? 3k ? 2 2 2 ?k?1. ,k2 ? , k3 ? 从而 k1 ? 4 ? 1 2 x1 ? 1 x2 ? 1

又因为 A,F,B 共线,则有 k ? k AF ? kBF , 即有
y1 y ? 2 ?k, x1 ? 1 x2 ? 1

3 3 y2 ? 2? 2 ? y1 ? y2 ? 3 ? 1 ? 1 ? 所以 k1 ? k2 ? ? ? x1 ? 1 x2 ? 1 x1 ? 1 x2 ? 1 2 ? x1 ? 1 x2 ? 1 ? y1 ?
x1 ? x2 ? 2 3 = 2k ? ? ,⑤ 2 x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 1

8k 2 ?2 3 1 4k 2 ? 3 ? 2k ? 1 ,又 k3 ? k ? , 将④代入⑤得 k1 ? k2 ? 2k ? ? 2 2 8k 2 4(k ? 3) 2 ? 2 ?1 2 4k ? 3 4k ? 3

所以 k1 ? k2 ? 2k3 , 故存在常数 ? ? 2 符合题意. 12 分

10


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