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2014年普通高等学校招生全国统一考试数学理科试卷及答案


2014 年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学

注意事项:

1. 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答题前,考生务必将自己的姓名、准考 证号填写在答题卡上. 2.回答第Ⅰ卷时,选出每个小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用 橡皮搽干净后,再选涂其他答案标号,写在本试卷上无效. 3. 回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上,答在本试题上无效. 4. 考试结束,将本试题和答题卡一并交回.

第Ⅰ卷

一.选择题:共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的一项。

1.已知集合 A={ x | x ? 2 x ? 3 ? 0 },B={ x |-2≤ x <2=,则 A ? B =
2

A .[-2,-1]

B .[-1,2)

C .[-1,1]

D .[1,2)

2.

(1 ? i )3 = (1 ? i ) 2
B .1 ? i

A .1 ? i

C . ?1 ? i

D . ?1 ? i

3.设函数 f ( x ) , g ( x) 的定义域都为 R,且 f ( x ) 时奇函数, g ( x) 是偶函数,则下列结论正确的是

A . f ( x) g ( x) 是偶函数

B .| f ( x) | g ( x) 是奇函数

C . f ( x) | g ( x) |是奇函数

D .| f ( x) g ( x) |是奇函数

4.已知 F 是双曲线 C : x2 ? my 2 ? 3m(m ? 0) 的一个焦点,则点 F 到 C 的一条渐近线的距离为

A. 3

B .3

C . 3m

D . 3m

5.4 位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动,则周六、周日都有同学参加公益活动的 概率

A.

1 8

B.

3 8

C.

5 8

D.

7 8

6.如图, 圆 O 的半径为 1, A 是圆上的定点, P 是圆上的动点, 角 x 的始边为射线 OA , 终边为射线 OP ,过点 P 作直线 OA 的垂线,垂足为 M ,将点 M 到直线 OP 的距 离表示为 x 的函数 f ( x ) ,则 y = f ( x ) 在[0, ? ]上的图像大致为

7.执行下图的程序框图,若输入的 a, b, k 分别为 1,2,3,则输出的 M =

A.

20 3

B.

16 5

C.

7 2

D.

15 8

8.设 ? ? (0,

?

1 ? sin ? ? ) , ? ? (0, ) ,且 tan ? ? ,则 2 2 cos ?

A . 3? ? ? ?

?
2

B . 2? ? ? ?

?
2

C . 3? ? ? ?

?
2

D . 2? ? ? ?

?
2

9.不等式组 ?

?x ? y ? 1 的解集记为 D .有下面四个命题: ?x ? 2 y ? 4

p1 : ?( x, y) ? D, x ? 2 y ? ?2 , p2 : ?( x, y) ? D, x ? 2 y ? 2 , P 3 : ?( x, y ) ? D, x ? 2 y ? 3 , p4 : ?( x, y) ? D, x ? 2 y ? ?1 .
其中真命题是

A . p2 , P 3

B . p1 , p4

C . p1 , p2

D . p1 , P 3

10.已知抛物线 C : y 2 ? 8x 的焦点为 F ,准线为 l , P 是 l 上一点, Q 是直线 PF 与 C 的一个焦点, 若 FP ? 4FQ ,则 | QF | =

A.

7 2

B.

5 2

C .3

D .2

11.已知函数 f ( x ) = ax ? 3x ? 1 ,
3 2

若 f ( x ) 存在唯一的零点 x0 ,且 x0 >0,则 a 的取值范围为

A .(2,+∞)

B .(-∞,-2)

C .(1,+∞)

D .(-∞,-1)

12.如图, 网格纸上小正方形的边长为 1, 粗实线画出的是某多面体的三视图, 则该多面体的个条棱中, 最长的棱的长度为

A .6 2

B .4 2

C .6

D .4

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两个部分。第(13)题-第(21)题为必考题,每个考生都必须作答。第(22) 题-第(24)题为选考题,考生根据要求作答。

二.填空题:本大题共四小题,每小题5分。

13. ( x ? y)( x ? y)8 的展开式中 x 2 y 2 的系数为

.(用数字填写答案)

14.甲、乙、丙三位同学被问到是否去过 A,B,C 三个城市时,

甲说:我去过的城市比乙多,但没去过 B 城市;

乙说:我没去过 C 城市;

丙说:我们三人去过同一个城市.

由此可判断乙去过的城市为

.

15.已知 A,B,C 是圆 O 上的三点,若 AO ?

1 ( AB ? AC ) ,则 AB 与 AC 的夹角为 2

.

16.已知 a, b, c 分别为 ?ABC 的三个内角 A, B, C 的对边, a =2,且

(2 ? b)(sin A ? sin B) ? (c ? b)sin C ,则 ?ABC 面积的最大值为

.

三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。

17.(本小题满分 12 分)已知数列{ an }的前 n 项和为 Sn , a1 =1, an ? 0 , an an?1 ? ? Sn ?1,其中 ? 为

常数.

(Ⅰ)证明: an? 2 ? an ? ? ;

(Ⅱ)是否存在 ? ,使得{ an }为等差数列?并说明理由.

18. (本小题满分 12 分)从某企业的某种产品中抽取 500 件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量 结果得如下频率分布直方图:

(Ⅰ)求这 500 件产品质量指标值的样本平均数 x 和样本方差 s (同一组数据用该区间的中点值作代 表) ;本文来自有途高考网 http://gaokao.ccutu.com

2

(Ⅱ)由频率分布直方图可以认为,这种产品的质量指标值 Z 服从正态分布 N (?, ? ) ,其中 ? 近似
2

为样本平均数 x , ? 近似为样本方差 s 2 .
2

(i)利用该正态分布,求 P(187.8 ? Z ? 212.2) ;

(ii)某用户从该企业购买了 100 件这种产品,记 X 表示这 100 件产品中质量指标值为于区间 (187.8,212.2)的产品件数,利用(i)的结果,求 EX .

附: 150 ≈12.2.
2 若 Z ~ N (?, ? ) ,则 P( ? ? ? ? Z ? ? ? ? ) =0.6826, P(? ? 2? ? Z ? ? ? 2? ) =0.9544.

19. (本小题满分 12 分)如图三棱锥 ABC ? A1B1C1 中,侧面 BB1C1C 为菱形, AB ? B1C .

(Ⅰ) 证明: AC ? AB1 ;

(Ⅱ) 若 AC ? AB1 ,?CBB1 ? 60o , AB=Bc, 求二面角 A ? A 1B 1 ? C1 的余弦值. 20. (本小题满分 12 分) 已知点 A (0,-2) , 椭圆 E :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 a 2 b2

3 2 3 , F 是椭圆的焦点,直线 AF 的斜率为 , O 为坐标原点. 2 3
(Ⅰ)求 E 的方程;有图高考网

(Ⅱ)设过点 A 的直线 l 与 E 相交于 P, Q 两点,当 ?OPQ 的面积最大时,求 l 的方程.

be x ?1 21. (本小题满分 12 分)设函数 f ( x0 ? ae ln x ? ,曲线 y ? f ( x) 在点(1, f (1) 处的切线为 x
x

y ? e( x ? 1) ? 2 . (Ⅰ)求 a , b ; (Ⅱ)证明: f ( x) ? 1 .

请考生从第(22) 、 (23) 、 (24)三题中任选一题作答。注意:只能做所选定的题目。如果多做,则按 所做的第一个题目计分,作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的 方框涂黑。

22.(本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲

如图,四边形 ABCD 是⊙O 的内接四边形,AB 的延长线与 DC 的延长 线交于点 E,且 CB=CE

.(Ⅰ)证明:∠D=∠E;

(Ⅱ)设 AD 不是⊙O 的直径,AD 的中点为 M,且 MB=MC,证明:△ADE 为等边三角形.

23. (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程

已知曲线 C :

?x ? 2 ? t x2 y 2 ( t 为参数). ? ? 1 ,直线 l : ? 4 9 ? y ? 2 ? 2t

(Ⅰ)写出曲线 C 的参数方程,直线 l 的普通方程;

(Ⅱ)过曲线 C 上任一点 P 作与 l 夹角为 30 的直线,交 l 于点 A ,求 | PA | 的最大值与最小值.

o

24. (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲

若 a ? 0, b ? 0 ,且

1 1 ? ? ab . a b

(Ⅰ) 求 a ? b 的最小值;
3 3

(Ⅱ)是否存在 a , b ,使得 2a ? 3b ? 6 ?并说明理由.

2014 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学试题答案(B 卷)
一选择题 1. A 7 .D 二填空题 13.-20 三解答题 17.解: (I)由题设, 两式相减的 14.A 15.90 度 16. 2.D 8. C 3.C 9. B 4.A 10.B 5.D 11.C 6.C 12.B

=bSn-1, =b

=bSn-1

由于 ,所以 ( )由题设,由(I)知 解得 b=4 故 ,由此可得 { }是首项为 1,公差为 4 的等差数列,

{ }是首项为 3,公差为 4 的等差数列, 所以 因此存在 b=4,使得数列为等差数列

=4n-1

(18)解 (I)收取产品的质量指标值的样本平均数 a 和样本方差 b 分别是 a=200 b=150 ( )由上诉可此,Z~N(200,165),从而 P(187.8<Z<212.2)=P(200-12.2<Z200+12.2)=0.6826 一件产品的质量指标值位于区间(187.8,212.2)的概率为 0.6826 依题意可知 X~B(100,0.6826),所以 EX=100
(19)解: (I) 连结 BC1 ,交 B1C 于点 O,连结 AO。因为侧面 BB1C1C 为菱形,所以 B1C ? BC1 ,且 O 为 B1C 及 BC1 的中点。 又 AB ? B1C ,所以 B1C ? 平面 ABO,由于 AO ? 平面 ABO,故 B1C ? AO 又 B1O ? CO ,故 AC= AB1 , 又因为 AB=BC,所以 ?BOA ? ?BOC 。 故 OA ? OB ,从而 OA、OB、 OB1 两两相互垂直。 以 O 为坐标原点, 建立如图所示的空间指教坐标系 O-xyz. OB 的方向为 x 轴正方向,OB 为单位长, ……6 分 (II)因为 AC ? AB1 ,且 O 为 B1C 的中点,所以 AO=CO。

3 3 (1,0,0) B , ), B10 , ( 0 , ) 3 3 3 3 3 3 3 , ? ) , A1B1 ? AB ? (1,0, ? ) , B1C1 ? BC ? (1, 0, ? ) C(0, ? , 0) , AB1 ? (0, 3 3 3 3 3
因为 ?CBB1 ? 60 , 所以 ?CBB1 为等边三角角, 又 AB=BC, 则 A (0,0,



设 n ? (x, y, z) 式平面 A 1 AB 的法向量,则

? ? n ? AB1 ? 0 即 ? n ? A B ? 0 ? ? 1 1
? 3 3 y? z?0 ? ? 3 3 ? ? x? 3 z ?0 ? 3 ?

所以,取 n=(1, 3 , 3 ) 设 m 是平面 A1B1C1 的法向量,则 ? 同理可取 m=(1,- 3 , 3 ) 则 cos n

? ? m ? AB1 ? 0 ? ?m ? B1C1 ? 0

m =

m?n 1 ? nm 7
1 7

所以,所求角 A-A2B2-C1 的余弦值为 (20)解: (1)设 F(C,0),由条件知, 又

2 2 3 ? ,得c ? 3 c 3

c 3 ? , 所以 a ? 2, b2 ? a 2 ? c 2 ? 1 a 2 x2 ? y ?1 故 E 的方程为 4

故设 l:y=kx-2,P(x1,x2) x2 将 y=kx-2 代入 +y2=1 得 4 2 (1+4k )x2-16kx+12=0 当 ? ? 16(4k ? 3) >0,即 k 2 >
2

3 8k ? 2 4k 2 ? 3 时, x1.2 = 4 4k 2 ? 1

4 k 2 ? 1* 4k 2 ? 3 4k 2 ? 1 2 又点 O 到直线 PQ 的距离 d= 。所以 ?OPQ 的面积 k 2 ?1
从而 |PQ|= k 2 ?1 | x1 ? x2 |=

s

opq

1 4 4k 2 ? 3 ? d .| PQ |? 2 4k 2 ? 1
2

………………..9 分

4t 4 ? t ?4 t? 4 t 4 7 因为 t+ ≥4.当且仅当 t=2,即 k= ? 时等号成立,且满足 ? ﹥0. t 2 所以,△OPQ 的面积最大时,l 的方程为 ………………….12 分
设 4k 2 ? 3 ? t ,则 t﹥0, s?opq ? (21)解: (I)函数 f(x)的定义域为 ? 0, ??? ,f’(x)= ae ln x ?
x

由题意可得 f(1)=2

,f’(1)=e

a x b x ?1 b x ?1 ? ? e , x e x2 e x

故 a=1,b=2………………5 分
2 x ?1 2 ?x ,从而 f(x)>1 等价于 xlnx> xe ? . e x e 设函数 g(x)=xlnx,则 g’(x)=1+lnx 1 1 所以当 x ? (0, ) 时,g’(x)<0;当 x ? ( , ?? )时,g’(x)>0. e e 1 1 故 g(x)在(0, )单调递减,在( ,+ ? )单调递增,从而 g(x)在 (0, ??) 的最小 e e 1 1 值为 g( )=- ……………8 分 e e 2 ?x ?x 设函数 h(x)= xe ? ,则 h’(x)= e (1 ? x) . e 所以当 x ? (0,1) 时,h’(x)>0;当 x ? (1, ??) 时,h’(x)<0. ) 的最大值为 h(1) 故 h(1)在(0,1)单调递增,在 (1, ??) 单调递减,从而 h(x)在 (0, ?? 1 = ? e 综上,当 x>0 时,g(x)>h(x) ,即 f(X)>1……………………….12 分

(II)由(I)知,f(x)= e ln x ?

x

(22)解: (I)由题设知 A,B,C,D 四点共圆,所以 ? D= ? CBE 由已知得 ? CBE= ? E,故 ? D= ? E……5 分 (II)设 BC 的中点为 N,连结 MN,则由 MB=MC 知 MN⊥BC,故 O 在直线 MN 上。 又 AD 不是 O 的直径,M 为 AD 的中点,故 OM⊥AD,即 MN⊥AD 所以 AD//BC,故 ? A= ? CBE 又 ? CBE= ? E,故 ? A= ? E。由(I)知, ? D= ? E,所以 ? ADE 为等边三角形。 (23)解:

? x ? 2 cos ? , (I)曲线 C 的参数方程为 ? ( ? 为参数) y ? 3sin ? , ? 直线 l 的普通方程为 2x+y-6=0 (II)曲线 C 上任意一点 P( 2 cos ? , 3sin ? )到 l 的距离为 5 d? 4cos ? ? 3sin ? ? 6 5 4 d 2 5 则 PA ? ? 5sin ?? ? ? ? ? 6 ,其中 ? 为锐角,且 tan ? = 0 3 sin 30 5 2 5 当 sin ?? ? ? ? =-1 时, PA 取得最大值,最大值为 5 2 5 当 sin ?? ? ? ? =1 时, PA 取得最小值,最小值为 5
(24)解: (I)由 ab ?
1 1 2 ? ? ,得 ab ? 2,且当 a=b= 2 时等号成立 a b ab

故 a3 +b3 ? 2 a3b3 ? 4 2,且当a=b= 2时等号成立 所以 a 3 +b3 的最小值为 4 2 (II)由(I)知,2a+3b ? 2 6 ab ? 4 3 由于 4 3 >6,从而不存在 a,b,使得 2a+3b=6


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