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9-立体几何解答题1


全国名校高考专题训练
优学教育 张凤勇
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09 立体几何
三、解答题(第一部分)
1、(广东省广州执信中学、中山纪念中学、深圳外国语学校三 校 期 末 联 考 ) ( 本 小 题 满 分 12 分 ) 如 图 , 直 四 棱 柱 ABCD—A1B1C1D1 的高为 3,底面是边长为 4 且∠DAB=60°的菱 形,AC∩BD=O,A1C1∩B1D1=O1,E 是 O1A 的中点. (1)求二面角 O1-BC-D 的大小; (2)求点 E 到平面 O1BC 的距离. 解法一: (1)过 O 作 OF⊥BC 于 F,连接 O1F, ∵OO1⊥面 AC,∴BC⊥O1F, ∴∠O1FO 是二面角 O1-BC-D 的平面角,………………3 分 ∵OB=2,∠OBF=60°,∴OF=错误!未找到引用源。. 在 Rt△O1OF 在,tan∠O1FO=错误!未找到引用源。 ∴∠O1FO=60° 即二面角 O1—BC—D 为 60°………………6 分 (2)在△O1AC 中,OE 是△O1AC 的中位线,∴OE∥O1C ∴OE∥O1BC,∵BC⊥面 O1OF,∴面 O1BC⊥面 O1OF,交线 O1F. 过 O 作 OH⊥O1F 于 H,则 OH 是点 O 到面 O1BC 的距离,………………10 分 ∴OH=错误! 未找到引用源。 ∴点 E 到面 O1BC 的距离等于错误! 未找到引用源。 ……………… 错误!未找到引用源。 12 分 解法二: (1)∵OO1⊥平面 AC, ∴OO1⊥OA,OO1⊥OB,又 OA⊥OB,………………2 分 建立如图所示的空间直角坐标系(如图) ∵底面 ABCD 是边长为 4,∠DAB=60°的菱形, ∴OA=2 错误!未找到引用源。 ,OB=2, 则 A(2 错误!未找到引用源。 ,0,0) ,B(0,2,0) ,C(-2 错误!未找到引用源。 ,0,0) , O1(0,0,3)………………3 分 设平面 O1BC 的法向量为错误!未找到引用源。=(x,y,z) ,
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错误!未找到引用源。

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优学教育 张凤勇 则错误!未找到引用源。⊥错误!未找到引用源。 ,错误!未找到引用源。⊥错误!未 找到引用源。 , ∴错误!未找到引用源。 ,则 z=2,则 x=-错误!未找到引用源。 ,y=3, ∴错误!未找到引用源。=(-错误!未找到引用源。 ,3,2) ,而平面 AC 的法向量错误! 未找到引用源。=(0,0,3)………………5 分 ∴cos<错误!未找到引用源。 ,错误!未找到引用源。>=错误!未找到引用源。 , 设 O1-BC-D 的平面角为 α, ∴cosα=错误!未找到引用源。∴α=60°. 故二面角 O1-BC-D 为 60°. ………………6 分 (2)设点 E 到平面 O1BC 的距离为 d, ∵E 是 O1A 的中点,∴错误!未找到引用源。=(-错误!未找到引用源。 ,0,错误! 未找到引用源。 ) ,………………9 分 则 d=错误! 未找到引用源。 ∴点 E 到面 O1BC 的距离等于错误! 未找到引用源。 。 …………… 12 分 2、 (江苏省启东中学 2008 年高三综合测试一)如图在三棱锥 S 错误!未找到引用源。中错误! 未找到引用源。 ,错误!未找到引用源。 ,错误!未找到引用源。 ,错误!未找到引用源。 , S 错误!未找到引用源。 。 (1)证明错误!未找到引用源。 。 (2)求侧面错误!未找到引用源。与底面错误!未找到引用源。所成二面角的大小。 (3)求异面直线 SC 与 AB 所成角的大小。 解: (1)∵∠SAB=∠SCA=900 错误!未找到引用源。 (2)错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 (3)错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 3、(江苏省启东中学高三综合测试二)在Rt△ABC中,∠ACB=30°,∠B=90°,D为AC中点,E 为BD的中点,AE的延长线交 BC于F,将△ABD沿BD折起,二面角A-BD-C大小记 为θ . (Ⅰ)求证:面AEF⊥面BCD; (Ⅱ)θ 为何值时,AB⊥CD. 解: (Ⅰ)证明:在Rt△ABC中,∠C=30°,D为AC A C B

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优学教育 张凤勇 的中点,则△ABD是等边三角形 又E是BD的中点,∵BD⊥AE,BD⊥EF,折起后,AE∩EF=E,∴BD⊥面AEF ∵BD错误!未找到引用源。面BCD,∴面AEF⊥面BCD (Ⅱ)解:过A作AP⊥面BCD于P,则P在FE的延长线上,设BP与CD相交于Q, 令AB=1,则△ABD是边长为1的等边三角形,若AB⊥CD,则BQ⊥CD 错误!未找到引用源。 由于∠AEF=θ 就是二面角A-BD-C的平面角, 错误!未找到引用源。 4、(江苏省启东中学高三综合测试三)如图,在斜三棱柱 ABC-A1B1C1 中,侧面 AA1B1B⊥底面 ABC,侧棱 AA1 与底面 ABC 成 60?的角,AA1=2,底面 ABC 是边长为 2 的正三角形,其重心为 G 点,E 是线段 BC1 上一点,且 BE=错误!未找到引用源。BC1。 (1)求证:GE∥侧面 AA1B1B; A1 (2)求平面 B1GE 与底面民 ABC 所成锐二面角的大小。 C1

B1

E 答案: (1)略; (2)arctan 错误!未找到引用源。 (arccos 错误!未找 A 到引用源。) 5、(江苏省启东中学高三综合测试四)如图, 正方形 ABCD 和 ABEF 的 边长均为 1,且它们所在的平面互相垂直,G 为 BC 的中点. (Ⅰ)求点 G 到平面 ADE 的距离; (Ⅱ)求二面角错误!未找到引用源。的正切值. E 解: (Ⅰ)∵BC∥AD, AD 错误!未找到引用源。面 ADE, ∴点 G 到平面 ADE 的距离即点 B 到平面 ADE 的距离. 连 BF 交 AE 于 H,则 BF⊥AE,又 BF⊥AD. ∴BH 即点 B 到平面 ADE 的距离. B F 在 Rt△ABE 中,错误!未找到引用源。 . ∴点 G 到平面 ADE 的距离为错误!未找到引用源。 . (Ⅱ)过点 B 作 BN⊥DG 于点 N,连 EN, E 由三垂线定理知 EN⊥DN. H A ∴错误!未找到引用源。为二面角错误!未找到引用源。 的平面角. G B 在 Rt△BNG 中,错误!未找到引用源。 ∴错误!未找到引用源。 则 Rt△EBN 中,错误!未找到引用源。 所以二面角错误!未找到引用源。的正切值为错误!未找到引用源。 . G C B

F

A G C

D

O D C

6、(安徽省皖南八校 2008 届高三第一次联考)如图,已知错误!未找到引用源。 面错误!未找到引用源。 ,错误!未找到引用源。 , 错误!未找到引用源。 ;




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B C

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优学教育 张凤勇 (1)在面错误!未找到引用源。上找一点M,使错误!未找到引用源。面错误!未找到 引用源。 。 (2)求由面错误!未找到引用源。与面错误!未找到引用源。所成角的二面角的正切 解: (1)M 为 PC 的中点,设 PD 中点为 N, 则 MN=错误!未找到引用源。CD,且 MN//错误!未找到引用源。CD,∴MN=AB, MN//AB ∴ABMN 为平行四边形,∴BM//AN, 又PA=AD,∠PAD=90 ∴AN⊥PD, 又CD⊥AN,∴AN⊥面PCD,∴BM⊥面PCD, (1) 延长CB交DA于E, ∵AB=错误!未找到引用源。CD。AB//错误!未找到引用源。CD ∴AE=AD=PA,∴PD⊥PE 又∴PE⊥CD,∴PE⊥面PCD, ∴∠CPD为二面角C-PE-D的平面角;PD=错误!未找到引用源。AD, CD=2AD; ∴tan∠CPD=错误!未找到引用源。 7、已知斜三棱柱错误!未找到引用源。 ,错误!未找到引用源。 ,错 误!未找到引用源。 ,错误!未找到引用源。在底面错误!未找 到引用源。上的射影恰为错误!未找到引用源。的中点错误!未 找到引用源。 ,又知错误!未找到引用源。 。 (I)求证:错误!未找到引用源。平面错误!未找到引用源。 ; (II)求错误!未找到引用源。到平面错误!未找到引用源。的距 离; (III)求二面角错误!未找到引用源。的大小。 解: (I)因为错误!未找到引用源。平面错误!未找到引用源。 , 所以平面错误!未找到引用源。平面错误!未找到引用源。 , 又错误! 未找到引用源。 , 所以错误! 未找到引用源。 平面错误! 未找到引用源。 , 得错误!未找到引用源。 ,又错误!未找到引用源。 所以错误!未找到引用源。平面错误!未找到引用 源。 ;……………4 分
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B C

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优学教育 张凤勇 (II)因为错误!未找到引用源。 ,所以四边形错误!未找到引用源。为 菱形, 故错误!未找到引用源。 ,又错误!未找到引用源。为错误!未找到引用源。中点,知 错误!未找到引用源。 。 取错误!未找到引用源。中点错误!未找到引用源。 ,则错误!未找到引用源。平面错 误!未找到引用源。 ,从而面错误!未找到引用源。面错误!未找到引用源。 , 过错误!未找到引用源。作错误!未找到引用源。于错误!未找到引用源。 ,则错误! 未找到引用源。面错误!未找到引用源。 , 在错误!未找到引用源。中,错误!未找到引用源。 ,故错误!未找到引用源。 , 即错误!未找到引用源。到平面错误!未找到引用源。的距离为错误!未找到引用源。 。 (III)过错误!未找到引用源。作错误!未找到引用源。于错误!未找到引用源。 ,连 错误!未找到引用源。 ,则错误!未找到引用源。 , 从而错误!未找到引用源。为二面角错误!未找到引用源。的平面角, 在错误!未找到引用源。中,错误!未找到引用源。 ,所以错误!未找到引用源。 , 在错误!未找到引用源。中,错误!未找到引用源。 , 故二面角错误!未找到引用源。的大小为错误!未找到引用源。 。……………12 分 解法 2: (I)如图,取错误!未找到引用源。的中点错误!未找到引用源。 ,则错误! 未找到引用源。 ,因为错误!未找到引用源。 , 所以错误!未找到引用源。 ,又错误!未找到引用源。平面错误!未找到引用源。 , 以错误!未找到引用源。为错误!未找到引用源。轴建立空间坐标系, 则错误!未找到引用源。 ,错误!未找到引用源。 ,错误!未找到引用源。 , 错误!未找到引用源。 ,错误!未找到引用源。 , 错误!未找到引用源。 ,错误!未找到引用源。 , 错误!未找到引用源。 ,由错误!未找到引用源。 ,知错误!未找到引用源。 , 又错误!未找到引用源。 ,从而错误!未找到引用源。 平面错误!未找到引用 源。 ;……………4 分 (II)由错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。 ,得错误!未找到引用源。 。 设平面错误! 未找到引用源。 的法向量为错误! 未找到引用源。 , 错误! 未找到引用源。 , 错误!未找到引用源。 ,所以 错误!未找到引用源。 ,设错误!未找到引用源。 ,则错误!未找到引用源。 所以点错误!未找到引用源。到平面错误!未找到引用源。的距离错误!未找到引用 源。错误!未找到引用源。 。……………8 分 (III)再设平面错误!未找到引用源。的法向量为错误!未找到引用源。 ,错误!未找 到引用源。 ,错误!未找到引用源。 , 所以 错误!未找到引用源。 ,设错误!未找到引用源。 ,则错误!未找到引用源。 , 故错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。 ,根据法向量的方向, 可知二面角错误!未找到引用源。的大小为错误!未找到引用源。 。 8、(四川省成都市新都一中高 2008 级一诊适应性测试)如图,直三棱柱 ABC—A1B1C1 中, 3 AB=AC=AA1=a,且∠CAB=90°,三棱锥 P-ABC 中,P∈平面 BB1C1C,且 PB=PC= 2 a . (1)求直线 PA 与平面 ABC 所成角的正切值 (2)求证:PB//平面 AB1C
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优学教育 张凤勇 (3)求二面角 A-PB-C 的大小. 解: (1)取错误!未找到引用源。的中点错误!未找到引用源。 ,连错误!未找到引用源。 , 错误!未找到引用源。 , 错误!未找到引用源。 ,错误!未找到引用源。面错误!未找到引用源。面错误!未找 到引用源。 , 错误!未找到引用源。面错误!未找到引用源。 ,错误!未找到引用源。是直线错误! 未找到引用源。与面错误!未找到引用源。所成的角, 在错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。中,错误!未找到引用源。 , 错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。中,错误!未找到引用源。 , 错误!未找到引用源。 (2)由(1)知错误!未找到引用源。 ,错误!未找到引用源。 ,错误!未找到引用源。 , 又错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 ,错误!未找到引用源。 ,错误!未找到引用源。 , 错误!未找到引用源。面错误!未找到引用源。 ,错误!未找到引用源。面错误!未找 到引用源。 ,错误!未找到引用源。面错误!未找到引用源。 (3)由(1)知 AM⊥面 CPB,由三垂线定理可知 AH⊥PB,在面 PBC 中过 M 作 MH⊥PB, 垂足为 H,连接 AH,则∠AHM 为二面角 A-PB-C 的平面角……10 分 在 RtΔAHM 中,tan∠AHM=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。,∴∠AHM=错误! 未找到引用源。 9、(四川省成都市一诊)如图,四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥平面 ABCD,PA=AB=BC=2,E 为 PA 的中点,过 E 作平行于底面的平面 EFGH,分别与另外三条侧棱相交于点 F、G、H. 已 知底面 ABCD 为直角梯形,AD∥BC,AB⊥AD,∠BCD=135°. (1) 求异面直线 AF 与 BG 所成的角的大小; (2) 求平面 APB 与平面 CPD 所成的锐二面角的大小. 解:由题意可知:AP、AD、AB 两两垂直,可建立空间直角坐标系 A-xyz 由平面几何知识知:AD=4,D(0,4,0),B(2,0,0), C(2,2,0),P(0,0,2),E(0,0,1),F(1,0,1),G(1,1,1) (1)=(1,0,1),=(-1,1,1) ∴· =0 π ∴AF 与 BG 所成角为2 (2)可证明 AD⊥平面 APB ∴平面 APB 的法向量为 n=(0,1,0) 设平面 CPD 的法向量为 m=(1,y,z)
?y=1 由错误!未找到引用源。 ? ? ?z=2 6

……2 分

……4 分

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优学教育 张凤勇 故 m=(1,1,2) m· n 6 ∵cos<m,n>=|m|· = |n| 6 6 ∴平面 APB 与平面 CPD 所成的锐二面角的大小为 arccos 6 10、(四川省成都市新都一中高 2008 级 12 月月考)如图,已知四棱锥 P—ABCD 的底面是直 角梯形,∠ABC=∠BCD=90°, AB=BC=PB=PC=2CD=2,侧面 PBC⊥底面 ABCD,O 是 BC 中点,AO 交 BD 于 E. (1)求证:PA⊥BD; (2)求二面角 P-DC-B 的大小; D (3)求证:平面 PAD⊥平面 PAB. E 本题考查空间直线与平面、平面与平面的位置关系,二面角, 空间想想能力,以及综合解题能力 方法一:(1)证明:错误!未找到引用源。 A B 又错误!未找到引用源。平面错误!未找到引用源。平面 ABCD 平面错误!未找到引用源。平面 ABCD=BC,错误!未找到引用源。平面 ABCD ……2 分 在梯形 ABCD 中,可得错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 ,即错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。在平面 ABCD 内的射影为 AO,错误!未找到引用源。 ……4 分 (2)解:错误!未找到引用源。 ,且平面错误!未找到引用源。平面 ABCD ∴DC⊥平面 PBC 错误!未找到引用源。平面 PBC,错误!未找到引用源。 ∴∠PCB 为二面角 P—DC—B 的平面角 … … 6 分 ∵△PBC 是等边三角形,∴∠PCB=60°,即二面角 P—DC—B 的大小为 60° ……8 分 (3)证明:取 PB 的中点 N,连结 CN 错误!未找到引用源。 ∵PC=BC,∴CN⊥PB ① 错误!未找到引用源。 ,且平面错误!未找到引用源。平面 ABCD 错误!未找到引用源。平面 PBC ……………10 分 错误!未找到引用源。平面 PAB 错误!未找到引用源。平面错误!未找到引用源。 平面 PAB ② 由①、②知 CN⊥平面 PAB 连结 DM、MN,则由 MN∥AB∥CD 1 MN= AB=CD,得四边形 MNCD 为平行四边形 2 ∴CN∥DM ∴DM⊥平面 PAB 错误!未找到引用源。 ∵DM? 平面 PAD 错误!未找到引用源。平面 PAD⊥平面 PAB ………………12 分 方法二:取 BC 的中点 O,因为△PBC 是等边三角形, 由侧面 PBC⊥底面 ABCD 得 PO⊥底面 ABCD ……1 分 以 BC 中点 O 为原点,以 BC 所在直线为 x 轴,过点 O 与 AB 平行的直线为 y 轴,建立如图所示的空间直角坐标系 P

C O

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优学教育 张凤勇 O—xyz……2 分 (1)证明:∵CD=1,则在直角梯形中,错误!未找到引用源。 在等边三角形 PBC 中,错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。 ,即错误!未找到引用源。 … … 4 分 (2)解:取 PC 中点 N,则错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。平面 PDC,显然错误!未找到引用源。 ,且错误!未找到引用源。 平面 ABCD 错误!未找到引用源。所夹角等于所求二面角的平面角 … … 6 分 错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。二面角错误!未找到引用源。的大 小为错误!未找到引用源。 ……8 分 (3)证明:取 PA 的中点 M,连结 DM,则 M 的坐标为错误!未找到引用源。 又错误!未找到引用源。 ……10 分 错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。即错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。平面 PAB,错误!未找到引用源。平面错误!未找到引用源。平面 PAB. 11、 (安徽省淮南市 2008 届高三第一次模拟考试)如图,正三棱柱 ABC-A1B1C1 的底面边长 是 2,D 是侧棱 CC1 的中点,直线 AD 与侧面 BB1C1C 所成的角为 45°. A1 A (1)求此正三棱柱的侧棱长; (2)求二面角 A-BD-C 的大小; (3)求点 C 到平面 ABD 的距离.
B
C

B1
D

C1

解: (Ⅰ)设正三棱柱错误!未找到引用源。—错误!未找到引用源。的侧棱长为错误! 未找到引用源。 .取错误!未找到引用源。中点错误!未找到引用源。 ,连错误!未找到引 用源。 . 错误!未找到引用源。是正三角形,错误!未找到引用源。 .
A1 A 又底面错误!未找到引用源。侧面错误!未找到引用源。 ,且交线为错误!未找到引 用源。 . H B1 I G B 错误!未找到引用源。侧面错误!未找到引用源。 .
E

F

D C 连错误!未找到引用源。 ,则直线错误!未找到引用源。与侧面错误!未找到引用源。

C1

所成的角
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优学教育 张凤勇 为错误!未找到引用源。 . 在错误!未找到引用源。中,错误!未找到引用源。 ,解得错误!未找到引用源。 . 错误!未找到引用源。此正三棱柱的侧棱长为错误!未找到引用 源。 . ……………………5 分 注:也可用向量法求侧棱长. (Ⅱ)解法 1:过错误!未找到引用源。作错误!未找到引用源。于错误!未找到引用源。 , 连错误!未找到引用源。 , 错误!未找到引用源。侧面错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。错误!未找到 引用源。 . 错误!未找到引用源。为二面角错误!未找到引用源。的平面角. 在错误!未找到引用源。中,错误!未找到引用源。 ,又 错误!未找到引用源。 , 错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。 . 又错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。在错误!未找到引用源。中,错误!未找到引用源。 . 故 二 面 角 错 误 ! 未 找 到 引 用 源 。 的 大 小 为 错 误 ! 未 找 到 引 用 源。 . …………………………10 分 解法 2: (向量法,见后) (Ⅲ)解法 1:由(Ⅱ)可知,错误!未找到引用源。平面错误!未找到引用源。,错误! 未找到引用源。平面错误!未找到引用源。平面错误!未找到引用源。 ,且交线为错误!未 找到引用源。 ,错误!未找到引用源。过错误!未找到引用源。作错误!未找到引用源。于 错误!未找到引用源。 ,则错误!未找到引用源。平面错误!未找到引用源。 . 在错误!未找到引用源。中,错误!未找到引用源。 . 错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。为错误!未找到引用源。中点,错误!未 找到引用源。点错误!未找到引用源。到平面错误!未找到引用源。的距离为错误!未找 到引用源。 . …………14 分 解法 2: (思路)取错误!未找到引用源。中点错误!未找到引用源。 ,连错误!未找到引 用源。和错误!未找到引用源。 ,由错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。 ,易得平 面错误!未找到引用源。平面错误!未找到引用源。 ,且交线为错误!未找到引用源。 .过 点错误!未找到引用源。作错误!未找到引用源。于错误!未找到引用源。 ,则错误!未找 到引用源。的长为点错误!未找到引用源。到平面错误!未找到引用源。的距离.
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优学教育 张凤勇 解法 3: (思路)等体积变换:由错误!未找到引用源。可求. 解法 4: (向量法,见后) 题(Ⅱ) 、 (Ⅲ)的向量解法: (Ⅱ)解法 2:如图,建立空间直角坐标系错误!未找到引用源。 . 则错误!未找到引用源。 .

A

z

A1

设错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。为平面错误!未找到引用源。的法向量.

B1 B 由错误!未找到引用源。 得错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。 .

x
错误!未找到引用源。取错误!未找到引用源。

o
C

D
y

C1

又平面错误!未找到引用源。的一个法向量错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。 . 结合图形可知,二面角错误!未找到引用源。的大小为错误!未找到引用 源。 . …………10 分 (Ⅲ)解法 4:由(Ⅱ)解法 2,错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。点错误!未找到引用源。到平面错误!未找到引用源。的距离错误! 未找到引用源。错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。 . 12、(安徽省巢湖市 2008 届高三第二次教学质量检测)如图,错误!未找到引用源。 、错 误!未找到引用源。分别是正四棱柱错误!未找到引用源。上、下底面的中心,错误!未 找到引用源。是错误!未找到引用源。的中点,错误!未找到引用源。. (Ⅰ)求证:错误!未找到引用源。∥平面错误!未找到引用源。 ; (Ⅱ)当错误!未找到引用源。时,求直线错误!未找到引用源。与平面错误!未找 D
1

C1 B1

到引用源。所成角的大小;
A

P

1 (Ⅲ) 当错误!未找到引用源。取何值时,错误!未找到引用源。在平面错误!未找到

引用源。内的射影恰好为错误!未找到引用源。的重心?

D O A E1 B

C

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优学教育 张凤勇 解法一: (Ⅰ) 过 P 作 MN∥B1C1, 分别交 A1B1、 D1C1 于 M、 N, 则 M、 N 分别为 A1B1、 D1C1 的中点,连 MB、NC,则四边形 BCNM 是平行四边形 …………… 2 分 ∵E、M 分别为 AB、A1B1 中点,∴A1E∥MB
D1

N
B1

C1

又 MB 错误!未找到引用源。平面 PBC,∴A1E∥平面 PBC。………… 4 分 P (Ⅱ) 过 A 作 AF⊥MB,垂足为 F,连 PF,
A1

M F
D O

∵BC⊥平面 ABB1A1,AF 错误!未找到引用源。平面 ABB1A1, ∴AF⊥BC, BC∩MB=B,∴AF⊥平面 PBC, ∴∠APF 就是直线 AP 与平面 PBC 所成的角,…… 7 分
A

C

E1

B

设 AA1=a,则 AB=错误!未找到引用源。a,AF=错误!未找到引用源。 ,AP=错误!未找 到引用源。 , sin∠APF=错误!未找到引用源。 。所以,直线 AP 与平面 PBC 所成的角是错误!未找到引 用源。 。 ………… 9 分

(Ⅲ)连 OP、OB、OC,则 OP⊥BC,由三垂线定理易得 OB⊥PC,OC⊥PB,所以 O 在 平面 PBC 中的射影是△PBC 的垂心,又 O 在平面 PBC 中的射影是△PBC 的重心,则△ PBC 为正三角形。即 PB=PC=BC,所以错误!未找到引用源。 。 反之,当 k=错误!未找到引用源。时,PA=AB=PB=PC=BC,所以三棱锥错误!未找到引 用源。为正三棱锥, ∴ O 心 在 平 面 PBC 内 的 射 影 为 错 误 ! 未 找 到 引 用 源 。 的 重 ………… 13 分 解法二:以点错误!未找到引用源。为原点,直线错误!未找到引用源。所在直线分别 为错误!未找到引用源。轴,建立如图所示的空间直角坐标系,不妨设错误!未找到引用 z 、错误! 源。 ,则得错误!未找到引用源。 、错误!未找到引用源。 、错误!未找到引用源。 未找到引用源。 、错误!未找到引用源。 ……………………2 分 (Ⅰ)由上得错误!未找到引用源。 、错误!未找到引用源。 、 A1 错误!未找到引用源。 ,设错误!未找到引用源。得 错误!未找到引用源。 解得错误!未找到引用源。 , ∴错误!未找到引用源。 x
A D O E1 B C D1 P B1 C1

y

错误!未找到引用源。 ,错误!未找到引用源。 ∴错误!未找到引用源。∥平面错误!未

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优学教育 张凤勇 找到引用源。 ………………4 分
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(Ⅱ)当错误!未找到引用源。时,由错误!未找到引用源。 、错误!未找到引用源。得错 误!未找到引用源。 、错误!未找到引用源。 、错误!未找到引用源。 设平面错误! 未找到引用源。 的法向量为错误! 未找到引用源。 , 则由错误! 未找到引用源。 , 得错误!未找到引用源。 ,错误!未找到引用源。…………7 分 错误!未找到引用源。 ,∴直线错误!未找到引用源。与平面错误!未找到引用源。所成 角的大小为错误!未找到引用源。. …………9 分 (Ⅲ) 由(Ⅰ)知错误!未找到引用源。的重心错误!未找到引用源。为错误!未找到引用源。 , 则错误!未找到引用源。 , 若错误!未找到引用源。在平面错误!未找到引用源。内的射影恰好为错误!未找到引用 源。的重心,则有错误!未找到引用源。 ,解得错误!未找到引用源。 ∴当错误!未找到引用源。时,错误!未找到引用源。在平面错误!未找到引用源。内的 射影恰好为错误!未找到引用源。的重心. 13 、 ( 北京市朝阳区 2008 年高三数学一模 ) 直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,∠ ACB=120°, AC=CB=A1A=1,D1 是 A1B1 上一动点(可 以与 A1 或 B1 重合) ,过 D1 和 C1C 的平面与 AB 交于 D. C1 (Ⅰ)证明 BC∥平面 AB1C1; A1 B1 (Ⅱ)若 D1 为 A1B1 的中点,求三棱 D1 锥 B1-C1AD1 的体积错误!未找到引用源。 ; (Ⅲ)求二面角 D1-AC1-C 的取值范围. 方法 1: C (Ⅰ)证明:依条件有 CB∥C1B1, C1 又 C1B1 错误!未找到引用源。平面 A B1C1, D B AA CB 平面 A B1C1, 1 B1 错误!未找到引用源。 D1 所以 CB∥平面 A B1C1.…………………3 分 C (Ⅱ)解: 因为 D 为 AB 的中点, 依条件可知 C1D⊥A1B1. D B A 所以错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。 =错误!未找到引用源。×C1D1×(错误!未找到引用源。×A1A×D1B1) = 错误!未找到引用源。×错误!未找到引用源。×(错误!未找到引用源。×1×错误! 未找到引用源。)=错误!未找到引用源。.………………………………………………………7 分

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优学教育 张凤勇 (Ⅲ)解: 因为 D1 是 A1B1 上一动点, 所以当 D1 与 A1 重合时,二面角 D1AC1-C 的大小为π ; ……………………………………………………………9 分 F 当 D1 与 B1 重合时, E C1 如图,分别延长 A1C1 和 AC1, 过 B1 作 B1E⊥A1C1 延长于 E, A1 B1(D1) 依条件可知平面 A1B1C1⊥平面 ACC1A1, 所以 B1E⊥平面 ACC1A1. C 过点 E 作 EF⊥A1C1,垂直为 F. 连结 FB1, 所以 FB1⊥A1C1. A B(D) 所以∠B1FE 是所求二面角的平面角. ……………………………………………11 分 容易求出 B1E=错误!未找到引用源。 ,FE=错误!未找到引用源。. 所以 tan∠B1FE=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。. 所以∠B1FE= arctan 错误!未找到引用源。. (或 arccos 错误!未找到引用源。 ) 所以二面角 D1-AC1-C 的取值范围是[arctan 错误!未找到引用源。 , π] (或[arccos 错误! 未找到引用源。 ,π ]).……13 分 方法 2:

z

(Ⅰ) , (Ⅱ)略 C1 (Ⅲ)解: A1 如图建立空间直角坐标系,则有 B1(D1) A(1,0,0),B1(-错误!未找到引用源。 ,错误!未找到引用源。 ,1), C1(0,0,1). 因为 D1 是 A1B1 上一动点, C 所以当 D1 与 A1 重合时,二面角 D1-AC1-C 的大小为π ;……………………………………………………………9 分 B(D) A 当 D1 与 B1 重合时, x y 显然向量 n =(0,1,0)是平面 A
1

CC1A1 的一个法向量. 因为错误!未找到引用源。=(1,0,-1), 错误!未找到引用源。=(-错误!未找到引用源。 ,错误!未找到引用源。 ,1), 设平面 C1AB1 的法向量是 n2=(x,y,z), 由错误!未找到引用源。· n2=0,错误!未找到引用源。· n2=0,解得平面 C1AB1 的一个 法向量 n2=(1,错误!未找到引用源。 ,1). 因为 n1· n2=错误!未找到引用源。 ,| n1|=1,| n2|=错误!未找到引用源。 , 设二面角 B1-AC1-C 的大小为 β, 所以 cosβ=错误!未找到引用源。. 即 β=arccos 错误!未找到引用源。. 所以二面角 D1-AC1-C 的取值范围是[arccos 错误!未找到引用源。 ,π ](或[arctan 错误!未 找到引用源。 ,π ]).
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优学教育 张凤勇 14、 (北京市崇文区 2008 年高三统一练习一)如图, 在直三棱柱 ABC—A1B1C1 中, ∠ABC=90°, AB=BC=AA1=2,D 是 AB 的中点. (I)求 AC1 与平面 B1BCC1 所成角的正切值; (II)求证:AC1∥平面 B1DC; (III) 已知 E 是 A1B1 的中点, 点 P 为一动点,记 PB1=x. 点 P 从 E 出发, 沿着三棱柱的棱, 按照 E→A1→A 的路线运动到点 A, 求这一过程中三棱锥 P—BCC1 的体积表达式 V 错误!未找到引用源。 (x).

解: (I)∵直三棱柱 ABC—A1B1C1,∴B1B⊥面 ABC, ∴B1B⊥AB. 又∵AB⊥BC,∴AB⊥面 BCC1B1.…………2 分 错误!未找到引用源。 连结 BC1,则∠AC1B 为 AC1 与平面 B1BCC1 所成角.……3 分 依题设知,BC1=2 错误!未找到引用源。 ,在 Rt△ABC1 中, 错误!未找到引用源。…………5 分 (II)如图,连结 DF,在△ABC1 中,∵D、F 分别为 AB、BC1, 的中点, ∴DF∥AC1,又∵DF 错误!未找到引用源。平面 B1DC,AC1 错误!未找到引用源。平面 B1DC, ∴AC1∥平面 B1DC.………………………………10 分 (III)PB1=x,错误!未找到引用源。 当点 P 从 E 点出发到 A1 点, 即错误! 未找到引用源。 时, 由 (1) 同理可证 PB1⊥面 BB1C1C, 错误!未找到引用源。 当点 P 从 A1 点运动到 A 点,即错误!未找到引用源。时,错误!未找到引用源。. ∴三棱锥 P—BCC1 的体积表达式错误!未找到引用源。 15、 (北京市东城区 2008 年高三综合练习一) 如图, 在直三棱柱 ABC—A1B1C1 中, ∠BAC=90°, AB=BB1,直线 B1C 与平面 ABC 成 30°角. 错误!未找到引用源。 (I)求证:平面 B1AC⊥平面 ABB1A1; (II)求直线 A1C 与平面 B1AC 所成角的正弦值; (III)求二面角 B—B1C—A 的大小. 解法一: (I)证明:由直三棱柱性质,B1B⊥平面 ABC, ∴B1B⊥AC, 又 BA⊥AC,B1B∩BA=B, ∴AC⊥平面 ABB1A1, 又 AC 错误!未找到引用源。平面 B1AC, ∴平面 B1AC⊥平面 ABB1A1. …………4 分 (II)解:过 A1 做 A1M⊥B1A1,垂足为 M,连结 CM, ∵平面 B1AC⊥平面 ABB1A,且平面 B1AC∩平面 ABB1A1=B1A, ∴A1M⊥平面 B1AC. ∴∠A1CM 为直线 A1C 与平面 B1AC 所成的角, 错误!未找到引用源。 ∵直线 B1C 与平面 ABC 成 30°角,
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优学教育 张凤勇 ∴∠B1CB=30°. 设 AB=BB1=a,可得 B1C=2a,BC=错误!未找到引用源。 , 错误!未找到引用源。 ∴直线 A1C 与平面 B1AC 所成角的正弦值为错误!未找到引用源。 …………9 分 (III)解:过 A 做 AN⊥BC,垂足为 N,过 N 做 NO⊥B1C,垂足为 O,连结 AO, 由 AN⊥BC,可得 AN⊥平面 BCC1B1,由三垂线定理,可知 AO⊥B1C, ∴∠AON 为二面角 B—B1C—A 的平面角, 错误!未找到引用源。 ∴二面角 B—B1C—A 的大小为错误!未找到引用源。 …………14 分 解法二: 错误!未找到引用源。 (I)证明:同解法一. …………4 分 (II)解:建立如图的空间直角坐标系 A—xyz, ∵直线 B1C 与平面 ABC 成 30°角, ∴∠B1CB=30°. 设 AB=B1B=1, 错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 ∴直线 A1C 与平面 B1AC 所成角的正弦值为错误!未找到引用源。 …………9 分 (III)解:设错误!未找到引用源。为平面 BCC1B1 的一个法向量, 错误!未找到引用源。 ∴二面角 B—B1C—A 的大小为错误!未找到引用源。 16、(北京市东城区 2008 年高三综合练习二)如图,在四棱锥 P—ABCD 中,平面 PAB⊥平面 ABCD,底面 ABCD 是边长为 2 的正方形,△PAB 错误!未找到引用源。 为等边三角形. (1)求 PC 与平面 ABCD 所成角的大小; (2)求二面角 B—AC—P 的大小; (3)求点 A 到平面 PCD 的距离.

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解法二: (1)解:同解法一………………5 分 错误!未找到引用源。 (2)解:建立如图的空间直角坐标系 O—xyz, 则 A(-1,0,0) ,B(1,0,0) , 则 P(0,0,错误!未找到引用源。 ) ,C(1,2, 0) 设错误! 未找到引用源。 为平面 PAC 的一个法向 量, 则错误!未找到引用源。 又错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。令 z=1,得错误!未找到引用源。 得错误!未找到引用源。 又错误!未找到引用源。是平面 ABC 的一个法向量, 设二面角 B—AC—P 的大小为错误!未找到引用源。 ,
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优学教育 张凤勇 则错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。………………10 分 (3)解:设错误!未找到引用源。为平面 PCD 的一个法向量. 则错误!未找到引用源。 由 D(-1,2,0) ,可知错误!未找到引用源。 ) , 错误!未找到引用源。可得 a=0,令错误!未找到引用源。 ,则 c=2. 得错误!未找到引用源。 , 设点 A 到平面 PCD 的距离为 d,则错误!未找到引用源。 ∴点 A 到平面 PCD 的距离为错误!未找到引用源。 17、(北京市丰台区 2008 年 4 月高三统一练习一)已知如图(1),正三角形 ABC 的边 长为 2a,CD 是 AB 边上的高,E、F 分别是 AC 和 BC 边上的点,且满足错 A 误! 未找到引用源。 , 现将△ABC 沿 CD 翻折成直二面角 A-DC-B,如图 (2) . E C D (Ⅰ) 试判断翻折后直线 AB 与平面 DEF 的位置关系,并说明理由; F ( Ⅱ ) 求 二 面 角 B-AC-D 的 大 小 ; B 图(1) (Ⅲ) 若异面直线 AB 与 DE 所成角的余弦值为错误!未找到引用源。 ,求 k 的值. 解:(Ⅰ) AB∥平面 DEF. 在△ABC 中, A ∵ E、F 分别是 AC、BC 上的点,且满足错误!未找到引用源。 , E ∴ AB∥EF. 图(2) C D F DEF, ∵ AB 错误!未找到引用源。平面 DEF,EF 错误!未找到引用源。平面 B ∴ AB∥平面 DEF. …………… 3 分 A G (Ⅱ)过 D 点作 DG⊥AC 于 G,连结 BG, E ∵ AD⊥CD, BD⊥CD, C ∴ ∠ADB 是二面角 A-CD-B 的平面角. D F ∴ ∠ADB=错误!未找到引用源。, 即 BD⊥AD. B ∴ BD⊥平面 ADC. ∴ BD⊥AC. ∴ AC⊥平面 BGD. ∴ BG⊥AC . ∴ ∠BGD 是二面角 B-AC-D 的平面角. ……………………………… 5 分 在 ADC 中,AD=a, DC=错误!未找到引用源。, AC=2a, ∴ 错误!未找到引用源。. 在 Rt△BDG 中,错误!未找到引用源。. ∴ 错误!未找到引用源。. 即二面角 B-AC-D 的大小为错误! 未找到引用源。 .………………………………… 8分 (Ⅲ)∵ AB∥EF, ∴ ∠DEF(或其补角)是异面直线 AB 与 DE 所成的角.… 9 分 ∵ 错误!未找到引用源。 ,∴ 错误!未找到引用源。. 又 DC=错误!未找到引用源。, 错误!未找到引用源。 , ∴错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 ………………… 11 分 ∴ 错误!未找到引用源。. 1 ∴ 错误!未找到引用源。. 解得 k=2. 18、(北京市海淀区 2008 年高三统一练习一)如图,四棱锥 错误!未找到引用源。中,错误!未找到引用源。⊥底面错误!未 找到引用源。 , 错误! 未找到引用源。 ⊥错误! 未找到引用源。 . 底 面错误!未找到引用源。为梯形,错误!未找到引用源。 ,错误!

A D B

E F

P

E
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A
D C

B

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优学教育 张凤勇 未找到引用源。.错误!未找到引用源。 ,点错误!未找到引用源。在棱错误!未找到引用源。 上,且错误!未找到引用源。 . (Ⅰ)求证:平面错误!未找到引用源。⊥平面错误!未找到引用源。 ; (Ⅱ)求证:错误!未找到引用源。∥平面错误!未找到引用源。 ; (Ⅲ)求二面角错误!未找到引用源。的大小. 证明: (Ⅰ)∵PA⊥底面 ABCD, ∴错误!未找到引用源。 . P 又 AB⊥BC,错误!未找到引用源。 , ∴ 错 误 ! 未 找 到 引 用 源。 ⊥平 面错 误 ! 未 找 到 引 用 源。 . 2分 又错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。平面错 A 误!未找到引用源。 , ∴平面错误!未找到引用源。⊥平面错误!未找到引用 M 源。 . 4分 D (Ⅱ)∵PA⊥底面 ABCD, ∴AC 为 PC 在平面 ABCD 内的射影. 又∵PC⊥AD, ∴AC⊥AD. 在梯形错误!未找到引用源。中,由 AB⊥BC,AB=BC,得错误!未找到引用源。 , ∴错误!未找到引用源。 . P 又 AC⊥AD,故错误!未找到引用源。为等腰直角三角形. ∴错误!未找到引用源。 . 连接错误!未找到引用源。 ,交错误!未找到引用源。于点错 N 误!未找到引用源。 ,则错误!未找到引用源。 7分 H 在错误!未找到引用源。中,错误!未找到引用源。 , E ∴错误!未找到引用源。 C B 又 PD 错误!未找到引用源。平面 EAC,EM 错误!未找到引 用源。平面 EAC, ∴PD∥平面 EAC. 9分 (Ⅲ)在等腰直角错误!未找到引用源。中,取错误!未找到引用源。中点错误!未 找到引用源。 ,连结错误!未找到引用源。 ,则错误!未找到引用源。 . ∵平面错误!未找到引用源。⊥平面错误!未找到引用源。 ,且平面错误!未找 到引用源。错误!未找到引用源。平面错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。 , ∴错误!未找到引用源。 . 在平面错误!未找到引用源。内,过错误!未找到引用源。作错误!未找到引 用源。直线错误!未找到引用源。于错误!未找到引用源。 ,连结错误!未找到引用源。 , 由于错误!未找到引用源。是错误!未找到引用源。在平面错误!未找到引用源。内 的射影,故错误!未找到引用源。 . ∴ 错 误 ! 未 找 到 引 用 源 。 就 是 二 面 角 A—CE—P 的 平 面 角. 12 分 在错误!未找到引用源。中,设错误!未找到引用源。 ,则错误!未找到引用源。 , 错误!未找到引用源。 ,错误!未找到引用源。 ,错误!未找到引用源。 , 由错误!未找到引用源。 ,错误!未找到引用源。可知:错误!未找到引用源。 ∽错误!未找到引用源。 ,
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N H E B

C

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优学教育 张凤勇 ∴错误!未找到引用源。 代入解得:错误!未找到引用源。 . 在错误!未找到引用源。中,错误!未找到引用源。 ,∴错误!未找到引用 源。 . 13 分 即二面角 A—CE—P 的大小为错误! 未找到引用源。 . 14 分 解法二: (Ⅱ)以错误!未找到引用源。为原点,错误!未找到引用源。所在直线分别为错误! 未找到引用源。轴、错误!未找到引用源。轴,如图建立空间直角坐标系. 设错误!未找到引用源。 ,则错误!未找到引用源。 ,错误!未找到引用源。 ,错 误!未找到引用源。 ,错误!未找到引用源。 ,错误!未找到引用源。. 5分 设错误!未找到引用源。 ,则 错误!未找到引用源。 , 错误!未找到引用源。 , ∴错误!未找到引用源。 ,解得:错误!未找 到引用源。 . 错误!未找到引用源。 . 连结错误!未找到引用源。 ,交错误!未找到 引用源。于点错误!未找到引用源。 , 则错误!未找到引用源。.7 分 在错误!未找到引用源。中,错误!未找到引 用源。 , ∴错误!未找到引用源。 . 又 PD 错误!未找到引用源。平面 EAC,EM 错误!未找到引用源。平面 EAC, ∴PD∥平面 EAC. 9分 (Ⅲ)设错误!未找到引用源。为平面错误!未找到引用源。的一个法向量,则错误!未 找到引用源。 , ∴错误!未找到引用源。 解得: 错误! 未找到引用源。 , ∴错误! 未找到引用源。 . 11 分 设错误!未找到引用源。为平面错误!未找到引用源。的一个法向量,则错误!未 找到引用源。 , 又错误!未找到引用源。 ,错误!未找到引用源。 ,∴错误!未找到引用源。 解 得 : 错 误 ! 未 找 到 引 用 源 。, ∴ 错 误 ! 未 找 到 引 用 源。 . 12 分 错误!未找到引用源。 . 13 分 ∴二面角 A—CE—P 的大小为错误!未找到引用源。 . 19、(北京市十一学校 2008 届高三数学练习题)如图,在正四棱锥错误! P 未找到引用源。中,错误!未找到引用源。,点错误!未找到引用源。在棱 错误!未找到引用源。上. (Ⅰ)问点错误!未找到引用源。在何处时,错误!未找到引用源。 ,并 加以证明; D (Ⅱ)当错误! 未找到引用源。 时,求点错误! 未找到引用源。 到平面错误!
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E C

A

B

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优学教育 张凤勇 未找到引用源。的距离; (Ⅲ)求二面角错误!未找到引用源。的大小. 解法一: (Ⅰ)当 E 为 PC 中点时,错误!未找到引用源。 .………2 分 连接 AC,且错误!未找到引用源。 ,由于四边形 ABCD 为正方形, ∴O 为 AC 的中点,又 E 为中点, ∴OE 为△ACP 的中位线, ∴错误!未找到引用源。 ,又错误!未找到引用源。 , ∴错误!未找到引用源。………………………5 分 (Ⅱ) 点错误!未找到引用源。到平面错误!未找到引用源。的距 离等于点错误!未找到引用源。到平面错误!未找到引用源。 在正△DPC 和正△BPC 中,由于 E 为 PC 中点, ∴PC⊥DE,PC⊥BE ,又错误!未找到引用源。 , ∴错误!未找到引用源。 ,PE 即为所求,错误!未找到引用源。 ∴点错误!未找到引用源。到平面错误!未找到引用源。的距离 为错误!未找到引用源。 .………………………9 分 (Ⅲ)连接 PO,则错误!未找到引用源。 , ∴错误!未找到引用源。 ,又 BO⊥AC, ∴错误!未找到引用源。

P E F D O A B C

过点错误!未找到引用源。作错误!未找到引用源。 ,垂足为错误!未找到引用源。 ,连 接错误!未找到引用源。. 由三垂线定理得错误!未找到引用源。. 错误! 未找到引用源。 为二面角错误! 未找到引用源。 的平面角. ……………………… 12 分 在错误!未找到引用源。中,错误!未找到引用源。 ,错误!未找到引用源。. 又错误!未找到引用源。 , 错误!未找到引用源。 故二面角错误!未找到引用源。 的正弦值为错误!未找到引用源。. 故错误!未找到引用源。. ……………………………………14 分 解法二: (Ⅱ)作错误!未找到引用源。,依题意错误!未找到引用源。是正方形错误!未找到引用源。 的中心,如图建立空间坐标系. 则错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。 , 错误!未找到引用源。 ,错误!未找 到引用源。错误!未找到引用源。 . ∴错误!未找到引用源。 ,错误!未找到引用源。 , 错误!未找到引用源。 ,错误!未找到引用源。 设面错误!未找到引用源。的法向量为错误! 未找到引用源。 P 错误!未找到引用源。 错误!未找到引用 源。, ……………… 7 分 E 点错误!未找到引用源。到平面错误!未找到引 F 用 源 。 的 距 离 为 错 误 ! 未 找 到 引 用 D C 源。. ………………9 分 O (Ⅲ)设二面角错误! 未找到引用源。 的平面角 A B 为错误!未找到引用源。 ,平面错误!未找到引用
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优学教育 张凤勇 源。的法向量为错误!未找到引用源。. 设平面错误!未找到引用源。的法向量为错误!未找到引用源。, 错误!未找到引用 源。.………12 分 错误!未找到引用源。. 错误!未找到引用源。 20、(北京市西城区 2008 年 4 月高三抽样测试)如图,在三棱锥错误!未找到引用源。 中,错误!未找到引用源。 ,错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 ,平面错误!未找到引用源。平面错误!未 找到引用源。. (Ⅰ)求证:错误!未找到引用源。 ; (Ⅱ)求二面角错误!未找到引用源。的大小; (Ⅲ)求异面直线错误!未找到引用源。和错误!未找到引 用源。所成角的大小. 解法一: (Ⅰ)证明: 错误!未找到引用源。 平面错误!未找到引用源。平面错误!未找 到引用源。 ,平面错误!未找到引用源。平面错误!未找到引用源。 , 且错误!未找到引用源。 , 源。. ………….. 2 分 错误!未找到引用

错误!未找到引用源。平面 错误!未找到引用源。 , 错误!未找 到引用源。. 又错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。. (Ⅱ)解: 作错误!未找到引用源。于点错误!未找到引用源。 ,错误!未找到引用源。于点错误!未 找到引用源。 ,连结错误!未找到引用源。. 错误!未找到引用源。 平面错误!未找到引用源。平面错误!未找到引用源。 , 误!未找到引用源。 , 根据三垂线定理得 错误!未找到引用源。 , 错 误 ! 未 找 到 引 用 源 。 是 二 面 角 错 误 ! 未 找 到 引 用 源 。 的 平 面 角. 设错误!未找到引用源。 , ………….. 6 分 错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。. 错 ………….. 4 分

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优学教育 张凤勇 错误!未找到引用源。 , 错误!未找到引用源。 , 错误!未找到引用源。 , ………….. 8 分

即 二 面 角 错 误 ! 未 找 到 引 用 源 。 的 大 小 是 错 误 ! 未 找 到 引 用 源。. (Ⅲ)解: 在底面错误!未找到引用源。内分别过错误!未找到引用源。作错误!未找到引用源。的 平行线,交于点错误!未找到引用源。 , 连结错误!未找到引用源。. 则错误!未找到引用源。是异面直线错误!未找到引用源。和 错误!未找到引用源。所成的角或其补角. ….. 11 分 错误!未找到引用源。 , 错误!未找到引用源。 , 错误!未找到引用源。 , 错误!未找到引用源。. 易知底面错误!未找到引用源。为矩形,从而错误!未找到引用源。 ,错误!未找到引用源。 在 错 误 ! 未 找 到 引 用 源 。 中 , 错 误 ! 未 找 到 引 用 源。 , ………….. 13 分 错误!未找到引用源。 异面直线错误!未找到引用源。和错误!未找到引用源。所成角 的大小为错误!未找到引用源。. ………….. 14 分 解法二: 作错误!未找到引用源。于点错误!未找到引用源。 , 错误!未找到引用源。 平面错误!未找到引用源。平面错误! 未找到引用源。 , 错误!未找到引用源。平面错误!未找到引用源。. 过点错误!未找到引用源。作错误!未找到引用源。的平行 线,交错误!未找到引用源。于点错误!未找到引用源。. 如图,以错误!未找到引用源。为原点,直线错误!未找到引 用源。分别为错误!未找到引用源。轴, 错误!未找到引用源。轴,错误!未找到引用源。轴,建立空间直角坐标系 . 分 错误!未找到引用源。. 错误!未找到引用源。. 错误!未找到引用源。 , 错误!未找到引用源。.
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………….. 9 分

………….. 2

错误!未找到引用源。

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优学教育 张凤勇 错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。 (Ⅰ)证明: 错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。. 又错误!未找到引用源。 错 误 ! 未 找 到 引 用 源 。 错 误 ! 未 找 到 引 用 ………….. 4 分

源。. (Ⅱ)解:

………….. 7 分

作错误!未找到引用源。于点错误!未找到引用源。 ,连结错误!未找到引用源。. 错误!未找到引用源。平面错误!未找到引用源。 , 根据三垂线定理得 错误!未找到引用 源。 , 错 误 ! 未 找 到 引 用 源 。 是 二 面 角 错 误 ! 未 找 到 引 用 源 。 的 平 面 角. ………….. 8 分

在错误!未找到引用源。中, 错误!未找到引用源。 , 错误!未找到引用源。 从而错误!未找到引用源。 , 错误!未找到引用源。 ,

………….. 10 分

即 二 面 角 错 误 ! 未 找 到 引 用 源 。 的 大 小 是 错 误 ! 未 找 到 引 用 源。. (Ⅲ)解: 错误!未找到引用源。 , 错误!未找到引用源。 , 错误!未找到引用源。 异面直线错误!未找到引用源。和错误!未找到引用源。所 ………….. 11 分

成角的大小为错误!未找到引用源。. 21、 (北京市西城区 2008 年 5 月高三抽样测试)如图, 在正四棱柱 ABCD—A1B1C1D1 中, AA1= 错误!未找到引用源。 ,AB=1,E 是 DD1 的中点。 (Ⅰ)求直线 B1D 和平面 A1ADD1 所成角的大小; (Ⅱ)求证:B1D⊥AE; (Ⅲ)求二面角 C—AE—D 的大小。

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22、(北京市宣武区 2008 年高三综合练习一)如图,三棱锥 P-ABC 中,PC 错误!未找到引用 源。平面 ABC,PC=AC=2, AB=BC,D 是 PB 上一点,且 CD 错误!未找到引用源。平面 PAB (1)求证:AB 错误!未找到引用源。平面 PCB; P (2)求异面直线 AP 与 BC 所成角的大小; (3)求二面角 C-PA-B 的大小的余弦值。 解法一: (1)错误!未找到引用源。 PC 错误!未找到引用源。 平面 ABC,AB 错误!未找到引用源。平面 ABC, 错误!未找到引用源。PC 错误!未找到引用源。AB, 错误!未找到引用源。CD 错误!未找到引用源。平面 PAB,AB D 错误!未找到引用源。平面 PAB,
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B C A

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优学教育 张凤勇 错误!未找到引用源。CD 错误!未找到引用源。AB。又错误!未找到引用源。 , 错误!未找到引用源。AB 错误!未找到引用源。平面 PCB (2)过点 A 作 AF//BC,且 AF=BC,连结 PF、FC, 则错误!未找到引用源。为异面直线 PA 与 BC 所成的角。 由(1)可得 AB 错误!未找到引用源。BC,错误!未找到引用源。CF 错误!未找到引用 源。AF, 有三垂线定理,得 PF 错误!未找到引用源。AF,则 AF=CF=错误!未找到引用源。 , PF=错误!未找到引用源。 。 在 Rt 错误!未找到引用源。中,错误!未找到引用源。 , 错 误 ! 未 找 到 引 用 源 。 异 面 直 线 PA 与 BC 所 成 的 角 为 错 误 ! 未 找 到 引 用 源。 ………………………………………… 8 分 (3)取 AP 的中点 E,连结 CE、DE 错误!未找到引用源。PC=AC=2,错误!未找到引用源。CE 错误!未找到引用源。PA,CE= 错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。CD 错误!未找到引用源。平面 PAB,由三垂线定理的逆定理,得 DE 错误!未找到引用源。PA, 错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。为二面角 C-PA-B 的平面角 由(1)AB 错误!未找到引用源。平面 PCB ,又错误!未找到引用源。AB=BC,可得 BC= 错 误!未找到引用源。 在 Rt 错误!未找到引用源。中,PB=错误!未找到引用源。 ,CD=错误!未找到引用源。 在 Rt 错误!未找到引用源。中,错误!未找到引用源。 错 误 ! 未 找 到 引 用 源 。 二 面 角 C-PA-B 大 小 的 余 弦 值 为 错 误 ! 未 找 到 引 用 源。 ……………………………………..13 分 解法二: (1)同解法一 ………………………………………………………4 分 (2)由(1)AB 错误!未找到引用源。平面 PCB ,错误!未找到引用源。PC=AC=2, 又错误!未找到引用源。AB=BC, 可求得 BC= 错误!未找到引用源。 以 B 为原点,如图建立空间直角坐标系, 则 A(0,错误!未找到引用源。 ,0) ,B(0,0,0) , C(错误!未找到引用源。 ,0,0) P(错误!未找到引用源。 ,0,2) 错误!未找到引用源。=(错误!未找到引用源。 ,-错误!未找到引用源。 ,2) ,错误!未找 到引用源。=(错误!未找到引用源。 ,0,0) 则错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。错误!未找到引用 源。+0+0=2 错误!未找到引用源。 错 误 ! 未 找 到 引 用 源 。 异 面 直 线 AP 与 BC 所 成 的 角 为 错 误 ! 未 找 到 引 用 源。………………………………………………8 分 (3)设平面 PAB 的法向量为 m=(x,y,z) 错误!未找到引用源。=(0,-错误!未找到引用源。 ,0) ,错误!未找到引用源。=(错误! 未找到引用源。 ,-错误!未找到引用源。 ,0) 则错误!未找到引用源。 ,即,得 m=(错误!未找到引用源。 ,0,-1) 设平面 PAC 的法向量为 n=(x,y,z) 错误!未找到引用源。=(0,0,-2) ,错误!未找到引用源。=(错误!未找到引用源。 ,错误!未找到引用源。 ,0) ,则错误!未找到引用源。 ,即错误!未找到引用源。 得 n=(1,1,0)
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优学教育 张凤勇 Cos<m,n>=错误!未找到引用源。 3 错误!未找到引用源。二面角 C-PA-B 大小的余弦值为 3 23、(北京市宣武区 2008 年高三综合练习二)如图所示,正三棱柱错误!未找到引用源。 的底面边长是 2,侧棱长是 3,D 是 AC 的中点。 (1)求证:错误!未找到引用源。平面错误!未找到引用源。 ; C1 (2)求二面角错误!未找到引用源。的大小; (3)求直线错误!未找到引用源。与平面错误!未找到引用源。 A1 所成的角的正弦值。 解法一: (1)设错误!未找到引用源。与错误!未找到引用源。相交 于点 P,连接 PD,则 P 为错误!未找到引用源。中点, 错误!未找到引用源。D 为 AC 中点,错误!未找到引用源。PD//错 C 误!未找到引用源。 。 又错误!未找到引用源。PD 错误!未找到引用源。平面错误!未找 D 到引用源。D,错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。//平 A 面错误!未找到引用源。D ……………………………………… 4 分 (2)错误!未找到引用源。正三棱住错误!未找到引用源。 , C1 错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。底面 ABC。 又错误!未找到引用源。BD 错误!未找到引用源。AC 错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。错误!未找 A1 B1 到引用源。BD 错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。就是二面角错 M P 误!未找到引用源。的平面角。 C 错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。=错误!未找到 引用源。 ,AD=错误!未找到引用源。AC=1 D 错误!未找到引用源。tan 错误!未找到引用源。=错误! A B 未找到引用源。 错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。, 即二面角错误!未 找到引用源。的大小是错误!未找到引用源。 ………………………………… 8 分 (3)由(2)作 AM 错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。 ,M 为垂足。 错误!未找到引用源。BD 错误!未找到引用源。AC,平面错误!未找到引用源。错误!未 找到引用源。平面 ABC,平面错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。平面 ABC=AC 错误!未找到引用源。BD 错误!未找到引用源。平面错误!未找到引用源。 , 错误!未找到引用源。AM 错误!未找到引用源。平面错误!未找到引用源。 , 错误!未找到引用源。BD 错误!未找到引用源。AM 错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。BD = D 错误!未找到引用源。AM 错误!未找到引用源。平面错误!未找到引用源。 ,连接 MP,则 错误!未找到引用源。就是直线错误!未找到引用源。与平面错误!未找到引用源。D 所成 的角。 错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。 ,AD=1,错误!未找 到引用源。在 Rt 错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。D 中,错误!未找到引用源。 =错误!未找到引用源。 , 错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。 ,错误!未找到引用源。 。 错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。
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B1

B

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优学教育 张凤勇 错误!未找到引用源。直线错误!未找到引用源。与平面错误!未找到引用源。D 所成的角 的正弦值为错误!未找到引用源。 解法二: (1)同解法一 (2)如图建立空间直角坐标系, 则 D(0,0,0) ,A(1,0,0) ,错误!未找到引用源。 (1,0,错误!未找到引用源。 ) ,B (0,错误!未找到引用源。 ,0) ,错误!未找到引用源。 (0,错误!未找到引用源。 ,错误! z 未找到引用源。 ) 错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。=(-1,错误!未找到引 用源。 , C1 -错误!未找到引用源。 ) ,错误!未找到引用源。=(-1,0,-错误!未 找 到 引用源。 ) A1 B1 设平面错误!未找到引用源。的法向量为 n=(x,y,z) 则 n 错误!未找到引用源。 n 错误!未找到引用源。 C 则有错误!未找到引用源。 ,得 n=(错误!未找到引用源。 ,0, 1) D A B 由题意,知错误!未找到引用源。 =(0,0,错误!未找 x 到引用源。 )是平面 ABD 的一个法向量。 设 n 与错误!未找到引用源。所成角为错误!未找到引用源。 , 则错误!未找到引用源。 , 错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。二面角错误!未找到引用源。的大小是错误!未找到引用 源。………………………………… 8 分

y

(3)由已知,得错误!未找到引用源。=(-1,错误!未找到引用源。 ,错误!未找到引用 源。 ) ,n=(错误!未找到引用源。 ,0,1) 则错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。直线错误!未找到引用源。与平面错误!未找到引用源。D 所成的角的正弦值为错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 24、(四川省成都市高 2008 届毕业班摸底测试)如图,在直三棱柱 ABC—A1B1C1 中,已知 AB=BC=1,∠ABC=90°,AA1=错误!未找到引用源。 ,D、E 分别为 BB1、AC 的中点。 (Ⅰ)求二面角 A1—AD—C1 的大小; (Ⅱ)若错误!未找到引用源。 ,求证:BE//平面 AC1D。 (Ⅰ)以 BA 所在的直线为 x 轴、BC 所在直线为 y 轴、BB1 所在直线为 z 轴,建 立空间直角坐标系错误!未找到引用源。 。∵错误!未找到引用源。 则 A(1,0,0) ,A1(1,0,3) ,C1(0,1,3) , D(0,0,2) 错误!未找到引用源。 ∴错误!未找到引用源。 ……2 分 设平面 AC1D 的法向量为 n=(x,y,z) ,则由 错误!未找到引用源。 ∴平面 AC1D 的法向量为 n=(2,-1,1) …………2 分 又平面 A1AD 的法向量为 m=(0,1,0) …………1 分 ∵错误!未找到引用源。 ,
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优学教育 张凤勇 又由图形可知,所求二面角为锐角 ∴二面角 A1—AD—C1 的大小为 arccos 错误!未找到引用源。. …………2 分 (Ⅱ)作 EF//CC1 交 AC1 于点 F,连结 DF。 ∵错误!未找到引用源。 又 EF//BD, ∴四边形 EFDB 为平行四边形,∴DF//BE。 而 DF 错误!未找到引用源。平面 AC1D,BE 错误!未找到引用源。平面 AC1D, ∴BE//平面 AC1D。 …………5 分) [注:也可证错误!未找到引用源。] 25、 (东北区三省四市 2008 年第一次联合考试)如图, 三棱锥 P-ABC 中, PC⊥平面 ABC, PC=AC=2,AB=BC,D 是 PB 上一点, 且 CD⊥平面 PAB。 (1)求证:AB⊥平面 PCB (2)求二面角 C-PA-B 的大小。 解(1)错误!未找到引用源。

错误!未找到引用源。 (2)解法一: 取 AP 的中点 E,连续 CE、DE

PC ? AC ? 2,? CE ? PA, CE ? 2. CD ? 平面PAB, 由三垂线定理的逆定理,得DE ? PA。 ??CED为二面角C-PA-B的平面角 由( 1)AB ? 平面PCB, ? AB ? BC, 又 AB=BC,AC=2,求得BC= 2

在Rt?PCB中,PB= PC2+BC2= 6
CD= PC ? BC 2 ? 2 2 = = PB 6 3
CD 2 ? CE 6 6 3

在Rt?CDE中, sin ?CED ?

? 二面角C-PA-B大小为 arcsin
(2)解法二:

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优学教育 张凤勇 错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。

错误!未找到引用源。

错误!未找到引用源。 26、(东北三校 2008 年高三第一次联考)如图,正三棱柱错误!未找到引用源。的所有 棱长都为 4,D 为 CC1 中点. 错 A (Ⅰ)求证:错误!未找到引用源。 ; 误 (Ⅱ)求二面角错误!未找到引用源。的大小. ! 错 解法一: (Ⅰ)取 BC 中点 O,连结 AO. 未 C D 误 错误!未找到引用源。为正三角形,错误!未找到引用源。 .……3分 找 错 ! 连结错误!未找到引用源。 ,在正方形错误!未找到引用源。中,错误!未找到引用源。 到 B 误引 ! 未 错误!未找到引用源。分别为 未用 找 找 错误!未找到引用源。的中点, 到源 引 到 由正方形性质知错误!未找到引用源。 , 用。 引 错误!未找到引用源。 .………5分 源。用 又在正方形错误!未找到引用源。中,错误!未找到引用源。 , 源 错误!未找到引用源。平面错误!未找到引用源。 .……6分 。 (Ⅱ)设 AB1 与 A1B 交于点错误!未找到引用源。 ,在平面错误!未找到引用源。 1BD 中, 作错误!未找到引用源。于错误!未找到引用源。 ,连结错误!未找到引用源。 ,由(Ⅰ) 得错误!未找到引用源。 .错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。为二面角错误!未找到引用源。的平面角.………9分 在错误!未找到引用源。中,由等面积法可求得错误!未找到引用源。 ,………10分 又错误!未找到引用源。 ,错误!未找到引用源。 . 所以二面角错误!未找到引用源。的大小为错误!未找到引用源。 .……12分 解法二: (Ⅰ)取错误!未找到引用源。中点错误!未找到引用源。 ,连结错误!未找 到引用源。 . 取错误!未找到引用源。中点错误!未找到引用源。 ,以错误!未找到引用源。为原点, 如图建立空间直角坐标系错误!未找到引用源。 , 则错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 ……3 分

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优学教育 张凤勇 错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 ,错误!未找到引用源。 . 错误!未找到引用源。平面错误!未找到引用源。 .………6分 (Ⅱ)设平面错误!未找到引用源。的法向量为错误!未找到引用源。 .错误!未找到引 用源。 . 错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 令错误!未找到引用源。得错误!未找到引用源。为平面错误!未找到引用源。的一 个法向量.……9分 由(Ⅰ)错误!未找到引用源。为平面错误!未找到引用源。的法向量.……10分 错误!未找到引用源。 .错误!未找到引用源。所以二面角错误!未找到引用源。的大小为 错误!未找到引用源。 . 27、(东北师大附中高 2008 届第四次摸底考试)如图,在长方体错误!未找到引用源。中, 错误!未找到引用源。 ,点错误!未找到引用源。在棱错误!未找到引用源。上移动. (1)求证:错误!未找到引用源。 ; (2)错误!未找到引用源。为错误!未找到引用源。中点时,求点错误!未找到引用 源。到平面 错误!未找到引用源。的距离; (3)错误!未找到引用源。等于何值时,二面角错误!未找到引用源。的大小是错误! 未找到引用源。 . 解: (1)由于 错误!未找到引用源。 ,错误!未找到引用源。 ,根据三垂线定理, 得错误!未找到引用源。 . (4 分) (2)设错误!未找到引用源。到平面错误!未找到引用源。的距离为错误!未找到引用 源。 . 在错误!未找到引用源。中,错误!未找到引用源。 ,错误!未找到引用源。 ,错误! 未找到引用源。 , 而错误!未找到引用源。 ,错误!未找到引用源。 ,得错误!未找到引用源。 . (8 分) (3)过错误!未找到引用源。作错误!未找到引用源。于错误!未找到引用源。 ,连接 错误!未找到引用源。 ,则错误!未找到引用源。 . 错误!未找到引用源。为二面角错误!未找到引用源。的平面角.设错误!未找到引 用源。则错误!未找到引用源。 在错误!未找到引用源。中,错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。 ,得错误! 未找到引用源。 . 由于错误! 未找到引用源。 , 即错误! 未找到引用源。 , 解得错误! 未找到引用源。 . 因此,当错误!未找到引用源。时,二面角错误!未找到引用源。的大小为错误!未找 到引用源。 . 28、(本小题满分 12 分) 如图,正三棱柱 ABC—A1B1C1 中,D 是 BC 的中点,AA1=AB=1. (I)求证:A1C//平面 AB1D; (II)求二面角 B—AB1—D 的大小; (III)求点 C 到平面 AB1D 的距离. 【解】解法一(I)证明: 连接 A1B,设 A1B∩AB1 = E,连接 DE. ∵ABC—A1B1C1 是正三棱柱,且 AA1 = AB, ∴四边形 A1ABB1 是正方形, ∴E 是 A1B 的中点, 又 D 是 BC 的中点, ∴DE∥A1C. ………………………… 3 分 ∵DE 错误!未找到引用源。平面 AB1D,A1C 错误!未找到引用源。平面 AB1D, ∴A1C∥平面 AB1D. ……………………4 分
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优学教育 张凤勇 (II)解:在面 ABC 内作 DF⊥AB 于点 F,在面 A1ABB1 内作 FG⊥AB1 于点 G,连接 DG. ∵平面 A1ABB1⊥平面 ABC, ∴DF⊥平面 A1ABB1, ∴FG 是 DG 在平面 A1ABB1 上的射影, ∵FG⊥AB1, ∴DG⊥AB1 ∴∠FGD 是二面角 B—AB1—D 的平面角 …………………………6 分 设 A1A = AB = 1,在正△ABC 中,DF=错误!未找到引用源。 在△ABE 中,错误!未找到引用源。 ,在 Rt△DFG 中,错误!未找到引用源。 , 所以,二面角 B—AB1—D 的大小为错误!未找到引用源。 …………………………8 分 (III)解:∵平面 B1BCC1⊥平面 ABC,且 AD⊥BC, ∴AD⊥平面 B1BCC1, 又 AD 错误! 未找到引用源。 平面 AB1D, ∴平面 B1BCC1⊥平面 AB1D. 在平面 B1BCC1 内作 CH⊥B1D 交 B1D 的延长线于点 H, 则 CH 的长度就是点 C 到平面 AB1D 的距离. ……………………………10 分 由△CDH∽△B1DB,得错误!未找到引用源。 即点 C 到平面 AB1D 的距离是错误!未找到引用源。 ……………………………………12 分 解法二: 建立空间直角坐标系 D—xyz,如图, (I)证明: 连接 A1B,设 A1B∩AB1 = E,连接 DE. 设 A1A = AB = 1, 则错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 …………………………3 分 错误!未找到引用源。 , 错误!未找到引用源。 ……………………………………4 分 (II)解:错误!未找到引用源。 , 错误!未找到引用源。 , 设错误!未找到引用源。是平面 AB1D 的法向量,则错误!未找到引用源。 , 故错误!未找到引用源。 ; 同理,可求得平面 AB1B 的法向量是错误!未找到引用源。 ……………………6 分 设二面角 B—AB1—D 的大小为 θ,错误!未找到引用源。 , ∴二面角 B—AB1—D 的大小为错误!未找到引用源。 …………………………8 分 (III)解由(II)得平面 AB1D 的法向量为错误!未找到引用源。 , 取其单位法向量错误!未找到引用源。 ∴点 C 到平面 AB1D 的距离错误!未找到引用源。 29、(福建省莆田一中 2007~2008 学年上学期期末考试卷)如图所示,等腰 △ABC 的底边 AB=6 错误!未找到引用源。,高 CD=3,点 E 是线段 BD 上异于 点 B、D 的动点.点 F 在 BC 边上,且 EF⊥AB.现沿 EF 将△BEF 折起到△PEF 的 位置,使 PE⊥AE.记错误!未找到引用源。 V(x)表示四棱锥 P-ACFE 的体积. (1)求 V(x)的表达式; (2)当 x 为何值时,V(x)取得最大值? (3)当 V(x)取得最大值时,求异面直线 AC 与 PF 所成角的余弦值。 解: (1)错误!未找到引用源。即错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。; (2)错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。时,错误!未找到引用源。 错误!未找到

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优学教育 张凤勇 引用源。时,错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。时错误!未找到引用源。取得最大值. (3)以 E 为空间坐标原点,直线 EF 为错误!未找到引用源。轴,直 线 EB 为错误!未找到引用源。轴,直线 EP 为错误!未找到引用 源。轴建立空间直角坐标系,则错误!未找到引用源。; 错误!未找到引用源。,设异面直线 AC 与 PF 夹角是错误! 未找到引用源。 错误!未找到引用源。 30、 (福建省泉州一中高 2008 届第一次模拟检测)如图, 平面 PAD ⊥平面 ABCD, ABCD 为正方形,△PAD 是直角三角形,且 PA=AD=2,E、F、G 分别是线段 PA、PD、CD 的中点. (1)求证:PB∥面 EFG; 1 (2)求异面直线 EG 与 BD 所成的角; , (3)在线段 CD 上是否存在一点 Q,使得 A 点到平面 3 EFQ 的距离为 0.8,若存在,求出 CQ 的值; , 若不存在,请说明理由. 5

z P

A C x F

D

E

B y

∴PB∥平面 EFG. (2)解:取 BC 的中点 M,连结 GM、AM、EM,则 GM//BD, ∴∠EGM(或其补角)就是异面直线 EG 与 BD 错误!未找到引用源。 所成的角. 在 Rt△MAE 中, 错误!未找到引用源。 , 同理错误!未找到引用源。 , 又 GM=错误!未找到引用源。 , ∴在△MGE 中, 错误!未找到引用源。 故异面直线 EG 与 BD 所成的角为 arccos 错误!未找到引用源。 , (3)假设在线段 CD 上存在一点 Q 满足题设条件, 过点 Q 作 QR⊥AB 于 R,连结 RE,则 OR∥AD, ∵ABCD 是正方形,△PAD 是直角三角形,且 PA=AD=2, ∴AD⊥AB,AD⊥PA. 又 AB∩PA=A, ∴AD⊥平面 PAB. 又∵E,F 分别是 PA,PD 中点, ∴EF∥AD,∴EF⊥平面 PAB.
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优学教育 张凤勇 又 EF 错误!未找到引用源。面 EFQ, ∴面 EFQ⊥面 PAB. 过 A 作 AT⊥ER 于 T,则 AT⊥平面 EFQ, ∴AT 就是点 A 到平面 EFQ 的距离. 设错误!未找到引用源。 , 在错误!未找到引用源。 , 解得错误!未找到引用源。 故存在点 Q,当 CQ=错误!未找到引用源。时,点 A 到平面 EFQ 的距离为 0.8. 解法二:建立如图所示的空间直角坐标系 A-xyz, 则 A(0,0,0) ,B(2,0,0) ,C(2,2,0) ,D(0,2,0) , P(0,0,2) ,E(0,0,1) ,F(0,1,1) ,G(1,2,0). 错误!未找到引用源。 (1)证明:错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 …………………………1 分 设错误!未找到引用源。 , 即错误!未找到引用源。 , 错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 ……………2 分 错误!未找到引用源。 , ∴PB∥平面 EFG. …………………………………………………………………… 3 分 (2)解:∵错误!未找到引用源。,…………………………………………4 分 错误!未找到引用源。

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