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江苏省无锡市江阴二中、澄西中学联考2016届高三(上)第二次反馈数学试卷(解析版)


2015-2016 学年江苏省无锡市江阴二中、澄西中学联考高三(上)第二 次反馈数学试卷

一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,计 70 分) 1.若(1﹣i)2+a 为純虚数,则实数 a 的值为 .

2.为了抗震救灾,现要在学生人数比例为 2:3:5 的 A、B、C 三所高校中,用分层抽样方法抽取 n 名志愿者,若在 A 高校恰好抽出了 6 名志愿者,那么 n= .

3.如图是一个算法的伪代码,则输出 i 的值为

4.从 0,1,2,3 这四个数字中一次随机取两个数字,若用这两个数字组成无重复数字的两位数, 则所得两位数为偶数的概率是 .

5.已知集合 M={x|

≥1},集合 N={x∈N|2x+3>0},则(?RM)∩N=



6.△ ABC 中,若 sin(π﹣A)= ,tan(π+B)=

,则 cosC=



7.已知函数 f(x)=mx2+lnx﹣2x 在定义域内是增函数,则实数 m 范围为



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8.已知 A,B,F 分别是椭圆

的上、下顶点和右焦点,直线 AF 与椭圆的右准 .

线交于点 M,若直线 MB∥x 轴,则该椭圆的离心率 e=

9.函数 f(x)=(|x|﹣1)(x+a)为奇函数,则 f(x)的减区间为



10.如图,直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,AB=1,BC=2,AC= 点,则当 AM+MC1 最小时,△ AMC1 的面积为 .

,AA1=3,M 为线段 BB1 上的一动

11.如图,已知正方形 ABCD 的边长为 2,点 E 为 AB 的中点.以 A 为圆心,AE 为半径,作弧交 AD 于点 F.若 P 为劣弧 上的动点,则 的最小值为 .

12.已知函数 不同的交点,则实数 m 的取值范围为 .

若函数 f(x)的图象与 x 轴有且只有两个

13.在平面直角坐标系 xOy 中,过点 P(﹣5,a)作圆 x2+y2﹣2ax+2y﹣1=0 的两条切线,切点分别 为 M(x1,y1),N(x2,y2),且 + =0,则实数 a 的值为 .

14.设各项均为正整数的无穷等差数列{an},满足 a54=2014,且存在正整数 k,使 a1,a54,ak 成等 比数列,则公差 d 的所有可能取值之和为 .

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二、解答题(本大题共 6 小题,计 90 分) 15.已知向量 =( sin ,1), =(cos ,cos2 ). ﹣x)的值;

(Ⅰ)若 ? =1,求 cos(

(Ⅱ)记 f(x)= ? ,在△ ABC 中,A、B、C 的对边分别为 a、b、c,且满足(2a﹣c)cosB=bcosC, 求函数 f(A)的取值范围.

16.如图,在多面体 ABCDEF 中,四边形 ABCD 是菱形,AC,BD 相交于点 O,EF∥AB,AB=2EF, 平面 BCF⊥平面 ABCD,BF=CF,点 G 为 BC 的中点. (1)求证:直线 OG∥平面 EFCD; (2)求证:直线 AC⊥平面 ODE.

17.强度分别为 a,b 的两个光源 A,B 间的距离为 d.已知照度与光的强度成正比,与光源距离的 k 为常数) P 点处总照度为 y. 平方成反比, 比例系数为 k (k>0, . 线段 AB 上有一点 P, 设 AP=x, 试 就 a=8,b=1,d=3 时回答下列问题.(注:P 点处的总照度为 P 受 A,B 光源的照度之和) (1)试将 y 表示成关于 x 的函数,并写出其定义域; (2)问:x 为何值时,P 点处的总照度最小?

18.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 E:

的离心率

,A1,A2

分别是椭圆 E 的左、右两个顶点,圆 A2 的半径为 a,过点 A1 作圆 A2 的切线,切点为 P,在 x 轴的 上方交椭圆 E 于点 Q. (1)求直线 OP 的方程; (2)求 的值;
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(3)设 a 为常数,过点 O 作两条互相垂直的直线,分别交椭圆于点 B、C,分别交圆 A 点 M、N, 记三角形 OBC 和三角形 OMN 的面积分别为 S1,S2.求 S1S2 的最大值.

19.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且对一切正整数 n 都有 (I)求证:an+1+an=4n+2; (II)求数列{an}的通项公式; (III)是否存在实数 a,使不等式 n 都成立?若存在,求出 a 的取值范围;若不存在,请说明理由.



对一切正整数

20.(2015 秋?盐城期中)已知函数 f(x)=lnx. (1)求函数 f(x)的图象在 x=1 处的切线方程; (2)若函数 y=f(x)+ 在[ ,+∞)上有两个不同的零点,求实数 k 的取值范围; 的

(3)是否存在实数 k,使得对任意的 x∈( ,+∞),都有函数 y=f(x)+ 的图象在 g(x)= 图象的下方;若存在,请求出最大整数 k 的值,若不存在,请说明理由(参考数据:ln2=0.6931,e =1.6487).

附加题 21.已知矩阵 M=[ ]的一个特征值是 3,求直线 x﹣2y﹣3=0 在 M 作用下的直线方程.

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22.已知曲线 C1 的参数方程为

(α 为参数).在平面直角坐标系中,以坐标原点为极 )=2 .求 C1 与

点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为 ρcos(θ+ C2 交点的极坐标,其中 ρ≥0,0≤θ<2π.

23.已知某校有甲乙两个兴趣小组,其中甲组有 2 名男生、3 名女生,乙组有 3 名男生,1 名女生, 学校计划从两兴趣小组中随机各选 2 名成员参加某项活动. (1)求选出的 4 名选手中恰好有一名女生的选派方法数; (2)记 X 为选出的 4 名选手中女选手的人数,求 X 的概率分布和数学期望.

24.已知(1+

)n 展开式的各项依次记为 a1(x),a2(x),a3(x)…an(x),an+1(x).设 F

(x)=a1(x)+2a2(x)+2a2(x)+3a3(x)…+nan(x)+(n+1)an+1(x). (1)若 a1(x),a2(x),a3(x)的系数依次成等差数列,求 n 的值; (2)求证:对任意 x1,x2∈[0,2],恒有|F(x1)﹣F(x2)|≤2n﹣1(n+2)﹣1.

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2015-2016 学年江苏省无锡市江阴二中、澄西中学联考高三 (上)第二次反馈数学试卷
参考答案与试题解析

一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,计 70 分) 1.若(1﹣i)2+a 为純虚数,则实数 a 的值为 0 . 【考点】复数的基本概念. 【专题】计算题;方程思想;数学模型法;数系的扩充和复数. 【分析】利用复数代数形式的乘法运算化简,由实部等于 0 求得 a 值. 【解答】解:∵(1﹣i)2+a=a﹣2i 为纯虚数, ∴a=0. 故答案为:0. 【点评】本题考查复数的基本概念,考查复数是纯虚数的条件,是基础题.

2.为了抗震救灾,现要在学生人数比例为 2:3:5 的 A、B、C 三所高校中,用分层抽样方法抽取 n 名志愿者,若在 A 高校恰好抽出了 6 名志愿者,那么 n= 30 . 【考点】分层抽样方法. 【分析】学生人数比例为 2:3:5,用分层抽样方法抽取 n 名志愿者,每个个体被抽到的概率相等, A 高校恰好抽出了 6 名志愿者,则每份有 3 人,10 份共有 30 人 【解答】解:∵学生人数比例为 2:3:5, A 高校恰好抽出了 6 名志愿者, ∴n= =30,

故答案为:30. 【点评】一般地,在抽样时,将总体分成互不交叉的层,然后按照一定的比例,从各层独立地抽取 一定数量的个体,将各层取出的个体合在一起作为样本.这样使得样本更具有代表性.

3.如图是一个算法的伪代码,则输出 i 的值为 5

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【考点】伪代码. 【专题】计算题;图表型;运动思想;试验法;算法和程序框图. 【分析】模拟执行程序,依次写出每次循环得到的 S,i 的值,当 S=0 时不满足条件 S≥2,退出循环, 输出 i 的值为 5. 【解答】解:模拟执行程序,可得 S=10,i=1 满足条件 S≥2,S=9,i=2 满足条件 S≥2,S=7,i=3 满足条件 S≥2,S=4,i=4 满足条件 S≥2,S=0,i=5 不满足条件 S≥2,退出循环,输出 i 的值为 5. 故答案为:5. 【点评】本题考查了当型循环结构的程序语句,根据算法的流程判断算法的功能是解题的关键,属 于基础题.

4.从 0,1,2,3 这四个数字中一次随机取两个数字,若用这两个数字组成无重复数字的两位数, 则所得两位数为偶数的概率是 .

【考点】古典概型及其概率计算公式. 【专题】概率与统计. 【分析】从 0,1,2,3 这四个数字中一次随机取两个数字组成无重复数字的两位数,分为两类:若 取出的数字不含 0 和取出的两个数字中有一个为 0,利用排列和组合的计算公式分别计算出两位数 的个数和偶数的公式,再利用古典概型的概率计算公式即可得出. 【解答】解:从 0,1,2,3 这四个数字中一次随机取两个数字组成无重复数字的两位数,分为两类: 若取出的数字不含 0,共组成 =6 个两位数,其中 2 为个位的两位数有
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=2 个;

若取出的两个数字中有一个为 0,则 0 只能放在个位上,可组成 由上可得所得两位数的个数为 6+3=9 个,其中偶数个数为 2+3=5. 故所得两位数为偶数的概率 P= . 故答案为 .

=3 个两位数,且都是偶数.

【点评】熟练掌握分类讨论的思想方法、古典概型的概率计算公式、排列与组合的计算公式及其意 义是解题的关键.注意数字 0 不能放在首位.

5.已知集合 M={x|

≥1},集合 N={x∈N|2x+3>0},则(?RM)∩N=

{0,1} .

【考点】交、并、补集的混合运算. 【专题】计算题;集合思想;数学模型法;集合. 【分析】求解分式不等式化简 M,求其补集,求解一元一次不等式化简 N,然后利用交集运算得答 案. 【解答】解:由 ∴M={x| ≥1,得 ﹣1≥0,即 ,解得 x>1.

≥1}=(1,+∞),则?RM=(﹣∞,1]; },

又 N={x∈N|2x+3>0}={x∈N|x ∴(?RM)∩N={0,1}. 故答案为:{0,1}.

【点评】本题考查分式不等式的解法,考查了交、并、补集的混合运算,是基础的计算题.

6.△ ABC 中,若 sin(π﹣A)= ,tan(π+B)= 【考点】两角和与差的正弦函数. 【专题】三角函数的求值.

,则 cosC=



sinB 和 cosB, =sinAsinB 【分析】 由同角三角函数的基本关系可 sinA 和 cosA, 而 cosC=﹣cos (A+B) ﹣cosAcosB,代值计算可得. 【解答】解:由题意可得 sin(π﹣A)=sinA= , ∴cosA=± =± ,
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又可得 tan(π+B)=tanB= ∴sinB= ,cosB= .

当 cosA= 时,cosC=﹣cos(A+B) =sinAsinB﹣cosAcosB = ﹣ = ,π), , ),

当 cosA=﹣ 时,A∈( 由 tanB= >1 可得 B∈(

此时两角之和就大于 π 了,应舍去, 故答案为: 【点评】本题考查三角函数公式的应用,涉及同角三角函数的基本关系,属基础题.

7.已知函数 f(x)=mx2+lnx﹣2x 在定义域内是增函数,则实数 m 范围为 【考点】函数单调性的性质. 【专题】计算题.



【分析】求出 f′(x)=2mx+ ﹣2,因为函数在定义域内是增函数,即要说明 f′(x)大于等于 0,分 离参数求最值,即可得到 m 的范围. 【解答】解:求导函数,可得 f′(x)=2mx+ ﹣2,x>0, 函数 f(x)=mx2+lnx﹣2x 在定义域内是增函数,所以 f′(x)≥0 成立, 所以 2mx+ ﹣2≥0,x>0 时恒成立, 所以 所以﹣2m≤﹣1 所以 m≥ 时,函数 f(x)在定义域内是增函数. 故答案为 . ,

【点评】考查学生利用导数研究函数单调性的能力,会找函数单调时自变量的取值范围,属于基础 题
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8.已知 A,B,F 分别是椭圆

的上、下顶点和右焦点,直线 AF 与椭圆的右

准线交于点 M,若直线 MB∥x 轴,则该椭圆的离心率 e= 【考点】椭圆的应用;椭圆的简单性质. 【专题】计算题. 【分析】由题意可知, 出 ,



,再由 A,F,M 三点共线可知

从而推

,由此能够导出该椭圆的离心率. ,

【解答】解:由题意可知,A(0,b),F(c,0),M

, ∵A,F,M 三点共线, ∴ ∴ ∴ 答案: , . . ,



【点评】本题考查椭圆的离心率,解题时要灵活运用公式,恰当进行等价转化.

9.函数 f(x)=(|x|﹣1)(x+a)为奇函数,则 f(x)的减区间为 【考点】奇偶性与单调性的综合. 【专题】计算题;函数的性质及应用.

[﹣

]



【分析】利用函数 f(x)=(|x|﹣1)(x+a)为奇函数,确定 a 的值,再将函数写出分段函数,即可 求得结论. 【解答】解:∵函数 f(x)=(|x|﹣1)(x+a)为奇函数, ∴f(0)=0,即﹣a=0,∴a=0

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∴f(x)=(|x|﹣1)x=

∴f(x)的减区间为[﹣ 故答案为:[﹣ ]

]

【点评】本题考查函数的单调性与奇偶性的结合,确定函数的解析式是关键.

10.如图,直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,AB=1,BC=2,AC= 点,则当 AM+MC1 最小时,△ AMC1 的面积为 .

,AA1=3,M 为线段 BB1 上的一动

【考点】多面体和旋转体表面上的最短距离问题. 【专题】空间位置关系与距离. 【分析】先将直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 沿棱 BB1 展开成平面连接 AC1,与 BB1 的交点即为满足 AM+MC1 最小时的点 M, 由此可以求得△ AMC1 的三边长,再由余弦定理求出其中一角,由面积公式求出面积 【解答】解:将直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 沿棱 BB1 展开成平面连接 AC1,与 BB1 的交点即为满足 AM+MC1 最小时的点 M, 由于 AB=1,BC=2,AA1=3,再结合棱柱的性质,可得 BM= AA1=1,故 B1M=2 由图形及棱柱的性质,可得 AM= 故 sin∠AMC1= 故答案为: ,AC1= ×2 ,MC1=2 × = ,cos∠AMC1= , =﹣ .

,△ AMC1 的面积为 ×

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【点评】本题考查棱柱的特征,求解本题的关键是根据棱柱的结构特征及其棱长等求出三角形的边 长,再由面积公式求面积,本题代数与几何相结合,综合性强,解题时要注意运算准确,正确认识 图形中的位置关系.

11.如图,已知正方形 ABCD 的边长为 2,点 E 为 AB 的中点.以 A 为圆心,AE 为半径,作弧交 AD 于点 F.若 P 为劣弧 上的动点,则 的最小值为 5﹣2 .

【考点】平面向量数量积的运算. 【专题】平面向量及应用. AD 分别为 x, y 轴, sinθ) 【分析】 首先以 A 为原点, 直线 AB, 建立平面直角坐标系, 可设 P (cosθ, , 从而可表示出 2 sin(θ+φ),从而可求出 的最小值. ,根据两角和的正弦公式即可得到 =5﹣

【解答】解:如图,以 A 为原点,边 AB,AD 所在直线为 x,y 轴建立平面直角坐标系,则:

A(0,0),C(2,2),D(0,2),设 P(cosθ,

sinθ); ∴ =(2﹣cosθ)(﹣cosθ)+(2﹣sinθ)2 =5﹣2(cosθ+2sinθ)= ∴sin(θ+φ)=1 时, sin(θ+φ),tanφ= ; 取最小值 .
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?(﹣cosθ,2﹣sinθ)

故答案为:5﹣2



【点评】考查建立平面直角坐标系,利用向量的坐标解决向量问题的方法,由点的坐标求向量坐标, 以及数量积的坐标运算,两角和的正弦公式.

12.已知函数 不同的交点,则实数 m 的取值范围为 (﹣5,0) .

若函数 f(x)的图象与 x 轴有且只有两个

【考点】利用导数研究函数的极值;根的存在性及根的个数判断. 【专题】计算题;函数的性质及应用;导数的综合应用. 【分析】由分段函数知,分段讨论函数的单调性,从而求导可知 f(x)在[0,1]上是增函数,从而 化为函数 f(x)在[0,1]与(1,+∞)上各有一个零点;从而求实数 m 的取值范围. 【解答】解:当 0≤x≤1 时, f(x)=2x3+3x2+m, f′(x)=6x2+6x=6x(x+1)≥0; 故 f(x)在[0,1]上是增函数, 故若使函数 f(x)的图象与 x 轴有且只有两个不同的交点, 则函数 f(x)在[0,1]与(1,+∞)上各有一个零点; 故 m<0, 故 解得,m∈(﹣5,0); 故答案为:(﹣5,0). 【点评】本题考查了导数的综合应用及分段函数的应用,属于中档题. ,

13.在平面直角坐标系 xOy 中,过点 P(﹣5,a)作圆 x2+y2﹣2ax+2y﹣1=0 的两条切线,切点分别 为 M(x1,y1),N(x2,y2),且 【考点】圆的切线方程. 【专题】计算题;直线与圆. + =0,则实数 a 的值为 3 或﹣2 .

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【分析】两者的和实质上是一个斜率与另一个斜率的倒数和,进而可得两斜率乘积为﹣1,可得 P, Q,R,T 共线,即可求出实数 a 的值. 【解答】解:设 MN 中点为 Q(x0,y0),T(1,0),圆心 R(a,﹣1), 根据对称性,MN⊥PR, = = = ,

∵kMN=



+

=0

∴kMN?kTQ=﹣1, ∴MN⊥TQ, ∴P,Q,R,T 共线, ∴kPT=kRT, 即 ,

∴a2﹣a﹣6=0, ∴a=3 或﹣2. 故答案为:3 或﹣2. 【点评】本题考查实数 a 的值,考查直线与圆的位置关系,考查学生分析解决问题的能力,属于中 档题.

14.设各项均为正整数的无穷等差数列{an},满足 a54=2014,且存在正整数 k,使 a1,a54,ak 成等 比数列,则公差 d 的所有可能取值之和为 92 . 【考点】等比数列的性质;等差数列的性质. 【专题】计算题;等差数列与等比数列. 【分析】由 a54=2014,可得 a1+53d=2014,即 +d=38,d>0,且为正整数,可得 a1 是 53 的倍数,

a1,a54,ak 成等比数列,则 a542=a1ak=2×2×19×19×53×53,分类讨论,可得结论. 【解答】解:∵a54=2014,∴a1+53d=2014, ∴ +d=38,d>0,且为正整数,

∴a1 是 53 的倍数, ∵a1,a54,ak 成等比数列,
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∴a542=a1ak=2×2×19×19×53×53 (1)若 a1=53,53+53d=2014,d=37, (2)若 a1=2×53,106+53d=2014,d=36, (3)若 a1=4×53,212+53d=2014,d=34,ak=19×19×53=4×53+34(k﹣1),k 不是整数,舍去 (4)a1=1007,1007+53d=2014,53d=1007,d=19 ∴公差 d 的所有可能取值之和为 37+36+19=92. 故答案为:92. 【点评】本题考查等比数列的性质,考查分类讨论的数学思想,确定 a1 是 53 的倍数是关键.

二、解答题(本大题共 6 小题,计 90 分) 15.已知向量 =( sin ,1), =(cos ,cos2 ). ﹣x)的值;

(Ⅰ)若 ? =1,求 cos(

(Ⅱ)记 f(x)= ? ,在△ ABC 中,A、B、C 的对边分别为 a、b、c,且满足(2a﹣c)cosB=bcosC, 求函数 f(A)的取值范围. 【考点】数量积的坐标表达式;两角和与差的余弦函数;正弦定理. 【专题】平面向量及应用. 【分析】 (1)利用向量的数量积公式列出方程求出 求的式子的值. (2) 利用三角形中的正弦定理将等式中的边转化为角的正弦值,利用三角形的内角和为 180°化简等 式,求出角 B,求出角 A 的范围,求出三角函数值的范围. 【解答】解:(1) ∵ ,利用二倍角的余弦公式求出要

∴ ∵

(2)∵(2a﹣c)cosB=bcosC ∴2sinAcosB=sinCcosB+sinBcosC=sin(B+C)=sinA
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∵sinA>0 ∴cosB= ∵B∈(0,π), ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 【点评】本题考查向量的数量积公式、考查三角形的正弦定理、考查三角形的内角和为 180°、考查 利用三角函数的单调性求三角函数值的范围.

16.如图,在多面体 ABCDEF 中,四边形 ABCD 是菱形,AC,BD 相交于点 O,EF∥AB,AB=2EF, 平面 BCF⊥平面 ABCD,BF=CF,点 G 为 BC 的中点. (1)求证:直线 OG∥平面 EFCD; (2)求证:直线 AC⊥平面 ODE.

【考点】直线与平面平行的判定;直线与平面垂直的判定. 【专题】空间位置关系与距离. 【分析】(1)根据线线平行推出线面平行;(2)根据线面垂直的判定定理进行证明即可. 【解答】证明(1)∵四边形 ABCD 是菱形,AC∩BD=O,∴点 O 是 BD 的中点, ∵点 G 为 BC 的中点∴OG∥CD,… 又∵OG?平面 EFCD,CD?平面 EFCD,∴直线 OG∥平面 EFCD.…
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(2)∵BF=CF,点 G 为 BC 的中点,∴FG⊥BC, FG?平面 BCF, FG⊥BC∴FG⊥平面 ABCD, ∵平面 BCF⊥平面 ABCD, … 平面 BCF∩平面 ABCD=BC, ∵AC?平面 ABCD∴FG⊥AC, ∵ , ,∴OG∥EF,OG=EF,

∴四边形 EFGO 为平行四边形,∴FG∥EO,… ∵FG⊥AC,FG∥EO,∴AC⊥EO,∵四边形 ABCD 是菱形,∴AC⊥DO, ∵AC⊥EO,AC⊥DO,EO∩DO=O,EO、DO 在平面 ODE 内, ∴AC⊥平面 ODE.…

【点评】本题考查了线面平行,线面垂直的判定定理,本题属于中档题.

17.强度分别为 a,b 的两个光源 A,B 间的距离为 d.已知照度与光的强度成正比,与光源距离的 k 为常数) P 点处总照度为 y. 平方成反比, 比例系数为 k (k>0, . 线段 AB 上有一点 P, 设 AP=x, 试 就 a=8,b=1,d=3 时回答下列问题.(注:P 点处的总照度为 P 受 A,B 光源的照度之和) (1)试将 y 表示成关于 x 的函数,并写出其定义域; (2)问:x 为何值时,P 点处的总照度最小? 【考点】函数的最值及其几何意义;函数解析式的求解及常用方法. 【专题】函数思想;数学模型法;函数的性质及应用. 【分析】(1)先根据题意先表示出点 P 受光源 A 的照度和受光源 B 的照度再根据光源 A 与光源 B 在点 P 产生相等的照度建立方程,即可求点 P 的“总照度”I(x)的函数表达式; (2)利用导数先研究函数的极值,然后根据函数的单调性求出函数的最小值即可. 【解答】解:(1)由题意知,若 a=8,b=1,d=3,则点 P 受光源 A 的照度为 k? ,

受光源 B 的照度为 k?



点 P 的“总照度”I(x)=k?

+k?

,(0<x<3);
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(2)I′(x)=k?[﹣

+

]=k?



令 I′(x)=0,解得:x=2, 列表: x I′(x) I(x) (0,2) ﹣ 减 2 0 极小值 (2,3) + 增

因此,当 x=2 时,P 处的总照度最小且为 3k. 【点评】本题主要考查了函数模型的选择与应用,同时考查了函数的最值的求解,导数法求函数最 值是常用的方法,属于中档题.

18.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 E:

的离心率

,A1,

A2 分别是椭圆 E 的左、右两个顶点,圆 A2 的半径为 a,过点 A1 作圆 A2 的切线,切点为 P,在 x 轴 的上方交椭圆 E 于点 Q. (1)求直线 OP 的方程; (2)求 的值;

(3)设 a 为常数,过点 O 作两条互相垂直的直线,分别交椭圆于点 B、C,分别交圆 A 点 M、N, 记三角形 OBC 和三角形 OMN 的面积分别为 S1,S2.求 S1S2 的最大值.

【考点】直线与圆锥曲线的关系;直线的一般式方程. 【专题】综合题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】(1)连结 A2P,则 A2P⊥A1P,且 A2P=a,根据已知条件可判断△ OPA2 为正三角形,从而 可得 OP 斜率、直线 OP 方程;

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(2)由(1)可得直线 A2P 的方程和 A1P 的方程,联立两方程可得 P 点横坐标,由离心率可化简椭 圆方程,联立 A1P 的方程与椭圆方程可得 Q 点横坐标,而 即可求得比值; (3)设 OM 的方程为 y=kx(k>0),代入椭圆方程可得 B 点坐标,由两点间距离公式可得 OB, 用 代替上面的 k 可得 OC,同理可得 OM,ON,根据三角形面积公式可表示出 S1?S2,变形后用 = ,把各点横坐标代入上式

基本不等式可其最大值; 【解答】解:(1)连结 A2P,则 A2P⊥A1P,且 A2P=a, 又 A1A2=2a,所以∠A1A2P=60°. 又 A2P=A2O,所以△ OPA2 为正三角形, 所以∠POA2=60°, 所以直线 OP 的方程为 . ①,A1P 的方程为 ②,

(2)由(1)知,直线 A2P 的方程为 联立①②解得 因为 ,即 . ,所以 , ,

故椭圆 E 的方程为





解得



所以

=

= .

(3)不妨设 OM 的方程为 y=kx(k>0),

联立方程组

解得



所以


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代替上面的 k,得



同理可得,





所以



因为 当且仅当 k=1 时等号成立, 所以 S1?S2 的最大值为 .



【点评】本题考查直线与圆锥曲线的位置关系、直线方程及圆的方程,考查学生的运算能力,考查 学生综合运用知识分析问题解决问题的能力,能力要求较高.

19.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且对一切正整数 n 都有 (I)求证:an+1+an=4n+2; (II)求数列{an}的通项公式; (III)是否存在实数 a,使不等式 数 n 都成立?若存在,求出 a 的取值范围;若不存在,请说明理由. 【考点】数列与不等式的综合;等差数列的通项公式;等差关系的确定. 【专题】综合题. 【分析】(I)由 ,知



对一切正整

,由此能够导出 . (II)在 中,令 n=1,得 a1=2,代入(I)得 a2=4.由 an+1+an=4n+2,知

an+2+an+1=4n+6,故 an+2﹣an=4,由此能导出数列{an}的通项公式是 an=2n.

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(III)



等价于

,令 f(n)

= 意,并能求出其取值范围. 【解答】解:(I)∵ ∴ = ∴ 即 (II)在 , , . 中,

,则 f(n)>0,由此能够导出存在实数 a,符合题



令 n=1,得 a1=2,代入(I)得 a2=4. ∵an+1+an=4n+2,∴an+2+an+1=4n+6, 两式相减,得:an+2﹣an=4, ∴数列{an}的偶数项 a2,a4,a6,…,a26,…依次构成一个等差数列, 且公差为 d=4, ∴当 n 为偶数时, = ,

当 n 为奇数时,n+1 为偶数,由上式及(I)知: an=4n+2﹣an+1=4n+2﹣2(n+1)=2n, ∴数列{an}的通项公式是 an=2n. (III) < ,

等价于



令 f(n)= 则由(II)知 f(n)>0,
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=

=

=



∴f(n+1)<f(n),即 f(n)的值随 n 的增大而减小, ∴n∈N*时,f(n)的最大值为 ,若存在实数 a,符合题意,

则必有:







它等价于 解得 ,或 ,



因此,存在实数 a,符合题意, 其取值范围为 .

【点评】本题考查数列和不等式的综合应用,考查运算求解能力,推理论证能力;考查化归与转化 思想.对数学思维的要求比较高,有一定的探索性.综合性强,难度大,是高考的重点.解题时要 认真审题,仔细解答.

20.(2015 秋?盐城期中)已知函数 f(x)=lnx. (1)求函数 f(x)的图象在 x=1 处的切线方程; (2)若函数 y=f(x)+ 在[ ,+∞)上有两个不同的零点,求实数 k 的取值范围;
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(3)是否存在实数 k,使得对任意的 x∈( ,+∞),都有函数 y=f(x)+ 的图象在 g(x)= 图象的下方;若存在,请求出最大整数 k 的值,若不存在,请说明理由(参考数据:ln2=0.6931,e =1.6487). 【考点】利用导数研究函数的极值;利用导数研究曲线上某点切线方程. 【专题】导数的综合应用. 【分析】(1)求函数的导数,利用导数的几何意义进行求解. (2)利用参数分离法转化为两个函数有两个不同的交点即可. (3)y=f(x)+ 的图象在 g(x)=



的图象的下方,等价为对任意的 x∈( ,+∞),f(x)+ ﹣

<0 恒成立,利用参数分离法,结合函数的单调性和导数之间的关系进行期间即可. 【解答】解:(1)函数的定义域为(0,+∞), 则 f′(x)= ,则 f′(1)=1,且 f(1)=ln1=0, 即切点坐标为(1,0), 则函数 f(x)的图象在 x=1 处的切线方程为 y﹣0=x﹣1,即 y=x﹣1. (2)y=f(x)+ =lnx+ , 若函数 y=f(x)+ 在[ ,+∞)上有两个不同的零点, ,+∞)上有两个不同的根,

则函数 y=f(x)+ =0,即 lnx+ =0 在[ 即 =﹣lnx,则 k=﹣xlnx, 设 y=g(x)=﹣xlnx, 则 g′(x)=﹣(lnx+x? )=﹣1﹣lnx,

由 g′(x)<0 得﹣1﹣lnx<0 得 lnx>﹣1, 即 x> ,此时函数 g(x)单调递减, 由 g′(x)>0 得﹣1﹣lnx>0 得 lnx<﹣1, 即 当 x= ≤x< ,此时函数 g(x)单调递增,即当 x= 时,函数取得极大值为 g( )=﹣ ?ln = , 时,g( )=﹣ ?ln = ,

作出 g(x)的对应图象,若 y=k 与 g(x)有两个不同的交点,
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≤k< . 的图象的下方,

(3)若对任意的 x∈( ,+∞),都有函数 y=f(x)+ 的图象在 g(x)= 即对任意的 x∈( ,+∞),f(x)+ ﹣ 即 lnx+ ﹣ 即 < <0 恒成立, <0 恒成立,

﹣lnx,

则 k<ex﹣xlnx, 设 h(x)=ex﹣xlnx,则 h′(x)=ex﹣1﹣lnx, h′′(x)=ex﹣ , 设 h′′(x)=ex﹣ 的零点为 x0, 则当 <x<x0 时,h′′(x)<0 时,函数为减函数, 当 x>x0 时,h′′(x)>0,即 h′(x)为增函数, 即当 x=x0 时函数 h′(x)取得极小值同时也是最小值, h′(x)最小为 h′(x0)= ﹣1﹣lnx0>e ﹣1﹣ln =e ﹣1+ln2=0.6931+1.6487﹣1>0,

即 h′(x)>0 此时函数 h(x)在( ,+∞)上为增函数, 则 h(x)>h( )=e 即 k<2.04455. ∴最大的整数 k=2. ﹣ ln =e + ln2=1.648+ 0.6931=1.648+0.39655=2.04455.

【点评】本题主要考查函数单调性和导数的关系,以及导数几何意义,不等式恒成立问题,利用参 数分离法,以及构造函数是解决本题的关键.综合性较强,难度较大.

附加题

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21.已知矩阵 M=[

]的一个特征值是 3,求直线 x﹣2y﹣3=0 在 M 作用下的直线方程.

【考点】特征值、特征向量的应用. 【专题】计算题. 【分析】根据矩阵 M=[ ]的一个特征值是 3 可求出 a 的值,然后设直线 x﹣2y﹣3=0 上任意一点

(x,y)在 M 作用下对应的点为(x′,y′),根据矩阵变换特点,写出两对坐标之间的关系,把已 知的点的坐标用未知的坐标表示,代入已知直线的方程,得到结果. 【解答】解:因为矩阵 M=[ ]的一个特征值是 3

设 f(λ)=

=(λ﹣2)(λ﹣a)﹣1=0

则(3﹣2)(λ﹣a)﹣1=0,解得 a=2 ∴M=[ ]

设直线 x﹣2y﹣3=0 上任意一点(x,y)在 M 作用下对应的点为(x′,y′), 则有[ ] = ,整理得



代入 x﹣2y﹣3=0,整理得 4x′﹣5y′﹣9=0

故所求直线方程为 4x﹣5y﹣9=0 【点评】本题主要考查了特征值、特征向量的应用以及矩阵的变换,是一个基础题,本题解题的关 键是得到两个点的坐标之间的关系,注意数字的运算.

22.已知曲线 C1 的参数方程为

(α 为参数).在平面直角坐标系中,以坐标原点为 )=2 .求 C1

极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为 ρcos(θ+ 与 C2 交点的极坐标,其中 ρ≥0,0≤θ<2π. 【考点】简单曲线的极坐标方程;参数方程化成普通方程. 【专题】坐标系和参数方程.

【分析】运用同角的平方关系,可得 C1 的普通方程,由 x=ρcosθ,y=ρsinθ,可得曲线 C2 的直角坐 标方程,联立方程组,可得交点,再由直角坐标和极坐标的关系,即可得到所求点的极坐标.

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【解答】解:将

消去参数 α,得(x﹣2)2+y2=4,

所以 C1 的普通方程为:x2+y2﹣4x=0. 由 ρcos(θ+ )=2 ,即为 (ρcosθ﹣ρsinθ)=2 ,

则曲线 C2 的极坐标方程化为直角坐标方程得:x﹣y﹣4=0. 由 ,解得 或 ,

所以 C1 与 C2 交点的极坐标分别为(4,0)或(2



).

【点评】本题考查参数方程,极坐标方程和普通方程的互化,同时考查曲线交点的求法,考查运算 能力,属于基础题.

23.已知某校有甲乙两个兴趣小组,其中甲组有 2 名男生、3 名女生,乙组有 3 名男生,1 名女生, 学校计划从两兴趣小组中随机各选 2 名成员参加某项活动. (1)求选出的 4 名选手中恰好有一名女生的选派方法数; (2)记 X 为选出的 4 名选手中女选手的人数,求 X 的概率分布和数学期望. 【考点】离散型随机变量的期望与方差;离散型随机变量及其分布列;计数原理的应用. 【专题】转化思想;综合法;概率与统计. 【分析】(1)分这名女生来自甲组、来自乙组两种情况,求出好有一名女生的选派方法数. (2)X 的可能取值为 0,1,2,3,再求出 X 取每个值的概率,可得 X 的概率分布和数学期望. 【解答】(1)选出的 4 名选手中恰好有一名女生的选派方法数为 ? ? + ? ? =21 种.

(2)X 的可能取值为 0,1,2,3.





,P(X=2)=1﹣P(X=0)﹣P(X=1)﹣P(X=3)= 率分布为: X P
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,故 X 的概

0

1

2

3

. 【点评】本题主要考查排列组合问题,离散型随机变量的分布列与期望,属于中档题.

24.已知(1+

)n 展开式的各项依次记为 a1(x),a2(x),a3(x)…an(x),an+1(x).设 F

(x)=a1(x)+2a2(x)+2a2(x)+3a3(x)…+nan(x)+(n+1)an+1(x). (1)若 a1(x),a2(x),a3(x)的系数依次成等差数列,求 n 的值; (2)求证:对任意 x1,x2∈[0,2],恒有|F(x1)﹣F(x2)|≤2n﹣1(n+2)﹣1. 【考点】二项式定理;等差数列的性质. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】(1)由题意可得 ak(x)= ? ,求得 a1(x),a2(x),a3(x)的系数,

根据前三项的系数成等差数列求得 n 的值. ═ (2) 由F (x) 的解析式求得 F (2) +2 +3 +…+ (n+1) , 设 Sn= +2 +3 + …+ (n+1)

,利用二项式系数的性质求得 Sn=(n+2)?2n﹣2.再利用导数可得 F(x)在[0,2]上是增函数可 得对任意 x1,x2∈[0,2],恒有|F(x1)﹣F(x2)|≤F(2)﹣F(0)=2n﹣1(n+2)﹣1. 【解答】解:(1)由题意可得 ak(x)= 故 a1(x),a2(x),a3(x)的系数依次为 再由 2× =1+ ,解得 n=8. ? =1, ,k=1、2、3,…n+1, ? = , = .

(2)∵F(x)=a1(x)+2a2(x)+2a2(x)+3a3(x)…+nan(x)+(n+1)an+1(x) = +2 ?( +2 +3 )+3 +3 ? +(n+1) . +n + +…+3 + +2 +…+ + . ? ,

∴F(2)= 设 Sn= +2

+…+(n+1)

+…+(n+1) =

,则有 Sn=(n+1)

把以上 2 个式子相加,并利用 ∴Sn=(n+2)?2n﹣1.

可得 2Sn=(n+2)[

]=(n+2)?2n,

当 x∈[0,2]时,由于 F′(x)>0,∴F(x)在[0,2]上是增函数,故对任意 x1,x2∈[0,2], 恒有|F(x1)﹣F(x2)|≤F(2)﹣F(0)=2n﹣1(n+2)﹣1,命题得证.

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【点评】本题主要考查等差数列的性质,二项式定理的应用,二项式系数的性质,利用导数研究函 数的单调性,根据函数的 单调性求函数的值域,属于中档题.

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