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三角函数例题


3.1.1 两角差的余弦公式 题型一:正用公式 例 1.利用差角公式求 cos15 . 例 2.已知 sin ? ?
?

4 5 ?? ? , ? ? ? , ? ? , cos ? ? ? , ? 是第三象限角,求 cos ?? ? ? ? 的值. 5 13 ?2 ?

练习:课本 P T2、T3、T4 . 127 题型二:逆

用公式 例 3. (1)求 cos80°cos35°+sin80°?sin35°的值. (2)求 sin13°sin43°+sin77°sin47°的值. 练习:cos(α-35° cos(25° )· +α)+sin(α-35° )sin(25° +α). 题型三:角的拆分 例 4.已知锐角 α,β 满足 cosα= 3 ,cos(α+β)=- 5 ,求 cosβ 的值
5 13

例 1.已知 sin 30 ? ? ?
?

?

?

3 , 5

常见的角的变换有:α=(α+β)-β,β=(α+β)-α,2β=(α+β)-(α-β),2α=(α+β)+(α-β)等. 练习(1)cos(α+β)= 4 ,cos(α-β)=- 4 , 3π <α+β<2π, π <α-β<π,求 cos2β.
5 6 5 5 2 2

(2)已知 cos(α+ π )= 3 ,α 为锐角,求 cosα 的值. 书本 P T4、T5 137 3.1.2 两角和与差的正弦、余弦正切公式 题型一:正用公式

3 ? ? , 60 ? ? ? 150 ,求 cos ? . 5 1 11 例 2.已知 ? , ? 都是锐角, cos ? ? , cos ?? ? ? ? ? ? ,求 cos ? . 7 14
例 1.已知 sin 30 ? ? ?
?

?

?

例 3.已知 tan ?? ? ? ? ? 3 , tan ?? ? ? ? ? 5 ,求 tan 2? , tan 2? . 练习 1.已知

?
2

? ? ?? ?

3? 3 12 , cos ?? ? ? ? ? ? , cos ?? ? ? ? ? ,求 cos2 ?,cos2 ? . 4 5 13

2. 已 知

?
4

?? ?

3? ? ?? ? 3 ? 3? ? 5 , 0?? ? , cos ? ? ? ? ? , sin ? , 求 ???? 4 4 ?4 ? 5 ? 4 ? 13

sin ?? ? ? ? .

类型二:正切公式的变形应用 例 1. tan 20 ? tan 40 ? 3 tan 20 tan 40 .
0 0 0 0

例 2. ? ? ? ?

?
4

,求 ?1 ? tan ? ??1 ? tan ? ? .

例 3.在 ?ABC 中,求证 tan A ? tan B ? tan C

? tan A tan B tan C

类型三:三角公式的灵活应用 例 1. cos ? ? cos ? ?

1 1 , sin ? ? sin ? ? ,求 cos ?? ? ? ? . 2 3 1 . 2

练习: sin ? ? sin ? ? sin ? ? 0 , cos ? ? cos ? ? cos ? ? 0 ,求证: cos ?? ? ? ? ? ? 例 2. cos ?? ? ? ? ?

1 3 , cos ?? ? ? ? ? ,求 tan ? tan ? 的值. 5 5

3.1.3 二倍角公式 类型一:辅助角公式及和差、二倍角公式的结合 1.求下列函数的周期及最值. (1) f ? x ? =sin x ? 2sin x cos x ? 3cos x
2 2

(2) f ? x ? ? cos4 x ? 2 3 sin x cos x ? sin 4 x 类型二:求值 1. 已知 sin 2? ?

1 ?? ? ? , ? ? ? , ? ,求 cos ? ? sin ? . 4 ?4 2?

2. 已知 ? ? ?

3 ? ? ? ? 5? ? cos , tan . , ? , cos ? ? ? ,求 sin , 3? 5 2 2 2 ? 2 ?

5 ,求 sin 2? 的值. 9 ? ? 1 练习: (1)已知 sin - cos ? , ? 为第二象限角,求 sin ? 的值. 2 2 5
3.已知 sin ? ? cos ? ?
4 4

(2)已知 ? ? ?

3 7 ?? ? ? ,求 sin ? . , ? , sin 2? ? 8 ?4 2?
3 4 4 ,求 sin ? ? cos ? 的值. 5

(3)已知 cos 2? ?

类型三:化简. (1) 1 ? sin ? ? 1 ? sin ? ,? ? ? 0,

? ?? ? ? 2?

(2)

1 1 1 1 ? 3? ? ? ? cos ? , ? ? ? , 2? ? 2 2 2 2 ? 2 ?
1 ? sin ? ? cos ? 1 ? sin ? ? cos ?

练习: (1)化简

类型三:求值 (1)

1 3 ? sin 50? cos50?
? ?

练习:教材 146 页第 5 题 (2) tan 20 ? 4sin 20
? ?

(3) cos 20 cos 40 cos80

?

3.2 简单的三角恒等变换

1 1.(1) sin ? cos ? ? ?sin ?? ? ? ? ? sin ?? ? ? ? ? ? 2? ? ?? ? ?? cos (2) sin ? ? sin ? ? 2sin 2 2
练习:课后练习 2、3 2.证明: (1) sin 3? ? 3sin ? ? 4sin ? ;
3

练习: cos3? ? 4cos ? ? 3cos ? (教材 138 页 BT1)
3

(2) 3 ? cos 4? ? 4cos ? ? 8sin ?
4

练习: 3 ? cos 4? ? cos 2? ? 8cos ?
4

(3)

tan ? tan 2? ?? ? ? 3 ? sin 2 ? ? cos2 ? ? ? 2sin ? 2? ? ? tan 2? ? tan ? 3? ?
sin ? 2? ? ? ? sin ? ? 2cos ?? ? ? ? ? sin ? sin ?
3

(4)

3. 如图,已知 OPQ 是半径为 1,圆心角为 π 的扇形,C 为扇形弧上的一动点,ABCD 是扇形的内 接矩形,记∠COP=α,求当 α 为何值时矩形 ABCD 面积最大,并求这个最大面积.


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