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2014届湖北省武穴中学高三11月月考数学试题(文科)


湖北省武穴中学 2014 届高三 11 月份月考 数学试题(文科)
命题人:朱建军 审题人:王崛
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 在每小题给出的四个 选项中,只有一项是符合题目要求的.)
1.已知全集 U ? R ,集合 A ? x 1 ? x ? 4 , B ? x x ? 2 ,则 A ? CU B ? ( A.

x 1 ? x ? 2

?

?

?

?



?

?

B.

? x 2 ? x ? 4?
1 x

C. )

?x 1 ? x ? 2?
2

D.

? x x ? 2?

2.下列函数中,在定义域内是增函数的是( A. y ? ( )

1 2

x

B. y ? ?

C. y ? x

D. y ? lg x

3.下面是关于复数 z ?

2 (其中 i 是虚数单位)的四个命题 1? i
p3 : z 的共轭复数为 1 ? i
p4 : z 的虚部为 ?i

p1 : z ? 1
其中真命题为( A. p2 , p3

p2 : z 2 ? ?2i
) B.

p1 , p2


C.

p2 , p4

D. p3 , p4

4. 已知 sin10? ? k ,则 sin 70? ? ( A. 1 ? k 2 B. 1 ? 2k 2

C. 2k 2 ? 2 )

D. 1 ? 2k 2

5.设 a ? ( )0.3 , b ? ( )0.2 , c ? log 1
2

4 5

5 4

5 , 则 a, b, c 的大小关系是( 4
C. b ? a ? c

A. a ? b ? c 6. 将函数 y ? sin(2 x ?

?
3

B. c ? b ? a

D. b ? c ? a

) 的图象先向左平移

? 个单位长度, 然后将所有点的横坐标变为原来的 2 倍 6
) C. y ? sin( x ?

(纵坐标不变) ,则所得到的图象对应函数解析式为( A. y ? ? cos x B. y ? sin x

) D. y ? sin 4 x 6 7.已知两座灯塔 A、B 与 C 的距离都是 a,灯塔 A 在 C 的北偏东 20° ,灯塔 B 在 C 的南偏东 40° ,则 灯塔 A 与灯塔 B 的距离为( ) A. 3a B. a C. 2a D.2a
8.在 ?ABC 中, M 是 BC 的中点, AM ? 1 ,点 P 在 AM 上且满足 AM ? 2PM ,则

?

???? ?

???? ?

??? ??? ??? ? ? ? PA?( PB ? PC ) 的值是(


·1·

A.

1 2

B.

4 9

C. ?

4 9

D. ?

1 2

2 9.设函数 f ?( x) ? x ? 3x ? 4, 则 y ? f ( x ? 1) 的单调减区间(

) D. (?

A. (-4,1)

B. (?3,2)

C. (? , ??)

3 2

1 ,??) 2

10.在实数集 R 中定义一种运算“*”,对任意给定的 a,b∈R,a*b 为惟一确定的实数,且具有性质: ①对任意 a,b∈R,a*b=b*a; ②对任意 a∈R,a*0=a;

1 ③对任意 a,b∈R,(a*b)*c=c*(ab)+(a*c)+(c*b)-2c.关于函数 f(x)=(3x)* 的性质,有如下说 3x 1 法:①函数 f(x)的最小值为 3;②函数 f(x)为奇函数;③函数 f(x)的单调递增区间为(-∞,- ), 3 1 ( ,+∞).其中所有正确说法的个数为( 3 A.0 B.1 ) C.2 D.3

二、填空题(本大题共 7 小题,每小题 5 分,共 35 分。 ) 11.命题“对任意的 x ?R , x3 ? x 2 ? 1≤ 0 ”的否定是


12.已知角 ? 的顶点在坐标原点,始边与 x 轴正半轴重合,终边在直线 2 x ? y ? 0 上,则

? 3? ? sin ? ? ? ? ? cos ?? ? ? ? ? 2 ? = ?? ? sin ? ? ? ? ? sin ?? ? ? ? ?2 ?



? ? ? ? ? ? ? 13.设向量 a , b 满足 a ? 2 5 , b ? (2,1) ,且 a 与 b 的方向相反,则 a 的坐标为
14.化简: log 25 625 ? lg 15.函数 f ( x) ?



1 ? ln e ? 21?log2 3 = 100




2x ? 1 的定义域为 log 2 x
4 2

, 16.已知曲线 y ? x ? ax ? 1在点 ? -1 a ? 2 ? 处切线的斜率为8,a =

.

17.已知函数 f ( x) 满足:①对任意 x ? 0, ?) ( ? ,恒有 f (2 x) ? 2 f ( x) ;②当 x ? ?1, 2? 时,

f ( x) ? 2 ? x .则(Ⅰ) f (4) ?

(Ⅱ)方程 f ( x) ?
·2·

1 的最小正数解为 5

.

三、解答题(本大题共 5 小题,共 65 分,请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文 ....... 字说明、证明过程或演算步骤. )
18. (本小题 12 分) 已知 p : 1 ?

x ?1 ? 2 ,q : x 2 ? 4 x ? 4 ? m 2 ? 0 ? m ? 0 ? ,若 ?p 是 ?q 的充分而不必要条件,求 3

实数 m 的取值范围.

19. (本小题 12 分) 已知函数 f ?x ? ? 2 cos
2

x x x ? 2 sin cos ? b , 2 2 2

(Ⅰ)求函数 f (x) 的单调递增区间;

(Ⅱ)当 x ? ?0, ? ? 时,函数 f (x) 的最小值是 3,求 b 的值.

20.(本小题 13 分)

在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,点(a,b)在 直线 x(sin A-sin B)+ysin B=csin C 上.
(Ⅰ)求角 C 的值; (Ⅱ)若 a +b =6(a+b)-18,求△ABC 的面积.
·3·
2 2

21.(本小题 14 分) 某市居民自来水收费标准如下:每户每月用水量不超过 4 吨, 每吨为 1.80 元,当用水量超过 4 吨时, 超过的部分按每吨 3.00 元收费,已知某个月甲,乙两户共交水费 y 元,并且该月甲,乙两户的用水 量分别为 5x,3x 吨。 (Ⅰ)求 y 关于 x 的函数解析式 (Ⅱ)若该月甲,乙两户共交水费 26.40 元,分别求出该月甲,乙两户的用水量和水费

22.(本小题 14 分) 已知函数 f ( x) ? ? x ? 2 ln x .
2

(Ⅰ)求函数 f (x) 的最大值; (Ⅱ)若函数 f (x) 与 g ( x) ? x ? ①求实数 a 的值; ②若对于 ?x1 , x2 ? ? ,3? ( e 为自然对数的底数) ,不等式 e 实数 k 的取值范围.
·4·

a 有相同极值点, x

?1 ? ? ?

f ( x1 ) ? g ( x2 ) ? 1 恒成立,求 k ?1

湖北省武穴中学 2014 届高三 11 月份月考 数学试题(文科)参考答案
一、选择题 CDABC 二、填空题 BADBB

?x ? R, x3 ? x 2 ? 1 ? 0

2

? ?4 ,? 2 ?

13 2

? 0 , 1? ?

( 1 ,? ) ?6 ?

0;

3 10

三、解答题
18. (本小题 12 分) 解:解:由 x 2 ? 4 x ? 4 ? m2 ≤ 0 得 2 ? m ≤ x ≤ 2 ? m ? m ? 0 ? ??????3 分.

x x 2 ? 所以“ ?q ” A ? ? ? R ? ? m x ?或 m2m ? , 0 :

?.

由 1?

x ?1 ≤ 2 得 ?2 ≤ x ≤10 ????????????????6 分 3
1x 或 0 ? ? 2

x x 所以“ ?p ” B ? ? ? R ? :

?.

由 ?p 是 ?q 的充分而不必要条件知 ? B ? A ???????????8 分
? m ? 0, ? ? ? 2 ? m ≥ ?2, 0 ? m ≤ 4 ? ? 2 ? m ≤ 10. ?

故 m 的取值范围为 0 ? m ≤ 4 ????????????????12 分
19. (本小题 12 分)

·5·

解: (Ⅰ) f ( x) ? cos x ? 1 ? sin x ? b ?

2 sin(x ?

?
4

) ? b ? 1??????????2 分

? 2k? ?

?
2

? x?

?
4
? ?

? 2k? ?

?
2

即 f (x) 的单调递增区间为 ?2k? ?

3? ?? ,2k? ? ? , k ? Z ???????????6 分 4 4?

注意:结果没写成区间形式扣 1 分,没写 k ? Z 扣 1 分 (Ⅱ) f ( x) ?

2 sin(x ?
??

?
4

) ?1? b

?

?
4

? x?

?

5 ? ? 4 4

2 ?? ? ? sin? x ? ? ? 1 ?????????????????8 分 2 4? ?

? 2? ? f ( x) min ? 2 ? ? ? 2 ? ? 1 ? b ? 3 ?????????????????10 分 ? ? ?

? b ? 3 ?????????????????????????????12 分
20. (本小题 13 分) 解: (Ⅰ)由题意得 a(sin A-sin B)+bsin B=csin C?????????2 分

由正弦定理,得 a(a-b)+b2=c2,即 a2+b2-c2=ab?????4 分 由余弦定理,得 cos C= a2+b2-c2 1 2ab =2,??????????6 分

π 结合 0<C<π,得 C=3.?????????????????7 分
注意:没写 0<C<π 扣 1 分 (Ⅱ)由 a +b =6(a+b)-18,得(a-3) +(b-3) =0,
2 2 2 2

从而得 a=b=3????????????????????10 分 1 π 9 3 所以△ABC 的面积 S=2×32×sin 3= 4 .??????????13 分
21. (本小题 14 分) 解: (Ⅰ)由题意得: ①当甲的用水量不超过 4 吨时,即 5x ? 4 ,此时乙的用水量一定不超过 4 吨

? y ? (5x ? 3x) ?1.8 ? 14.4 x ????????????2 分
②当甲的用水量超过 4 吨,乙的用水量不超过 4 吨时,即 5x ? 4 且 3x ? 4
·6·

? y ? 3x ?1.8 ? 4 ?1.8 ? 3 ? (5x ? 4) ? 20.4 x ? 4.8 ????????4 分
③当乙的用水量超过 4 吨时,即 3x ? 4 ,此时甲的用水量一定超过 4 吨

? y ? 4 ?1.8 ? 3 ? (5x ? 4) ? 4 ?1.8 ? 3 ? (3x ? 4) ? 24 x ? 9.6 ????6 分
综上所述:

4 ? ?14.4 x, 0 ? x ? 5 ? 4 4 ? y ? ?20.4 x ? 4.8, ? x ? ????????????????????????7 分 5 3 ? 4 ? ?24 x ? 9.6, x ? 3 ?

(Ⅱ)由(Ⅰ)知函数 y ? f ( x) 在各段区间上均为单调递增 当 x ? ?0, ? 时, y ? f ( ) ? 11.52 ? 26.4 ??????????8 分 5 ? 5? 当 x??

? 4?

4

4 ? 4 4? , ? 时, y ? f ( ) ? 22.4 ? 26.4 ??????????9 分 3 ? 5 3?

当 x ??

?4 ? , ?? ? 时,令 24x ? 9.6 ? 26.4 ,解得 x ? 1.5 ????????10 分 ?3 ?

则 5 x ? 7.5, s1 ? 4 ?1.8 ? (7.5 ? 4) ? 3 ? 17.70 ????????12 分

3x ? 4 . 5 2 ? ?4 1 . 8 ? 4 .? ?4 ) 3 8 . 7 0 s, ? ( 5 ??????14 分
答:甲户用水量为 7.5 吨,付水费 17.70 元; 乙户用水量为 4.5 吨,付水费 8.70 元。 注意:没作答扣 1 分 22. (本小题 14 分) 解: (Ⅰ) f ? ? x ? ? ?2 x ?

2 ? x ? 1?? x ? 1? 2 ?? ? x ? 0 ? ???????????1 分 x x
? f ? ? x ? ? 0, ? x?0
得 x ? 1.

由?

? f ? ? x ? ? 0, ? x?0

得 0 ? x ? 1 ;由 ?

·7·

? f ? x ? 在 ? 0,1? 上为增函数,在 ?1, ?? ? 上为减函数????????????3 分

?函数 f ? x ? 的最大值为 f ?1? ? ?1 ???????????????????4 分
(Ⅱ)? g ? x ? ? x ?

a a ,? g ? ? x ? ? 1 ? 2 . x x

①由(1)知, x ? 1 是函数 f ? x ? 的极值点, 又? 函数 f ? x ? 与 g ? x ? ? x ?

a 有相同极值点,? x ? 1 是函数 g ? x ? 的极值点, x

? g ? ?1? ? 1 ? a ? 0 ,解得 a ? 1 ????????????????????5 分
经验证,当 a ? 1 时,函数 g ? x ? 在 x ? 1 时取到极小值,符合题意.???????6 分 ②? f ? ? ? ?

?1? ?e?

1 ? 2, f ?1? ? ?1, f ? 3? ? ?9 ? 2 ln 3 , e2

易知 ?9 ? 2ln 3 ? ?

1 ?1? ? 2 ? ?1 ,即 f ? 3? ? f ? ? ? f ?1? . 2 e ?e?

?1 ? ??x1 ? ? ,3? , f ? x1 ?min ? f ? 3? ? ?9 ? 2 ln 3, f ? x1 ?max ? f ?1? ? ?1 ?e ?
由①知 g ? x ? ? x ?

1 1 ,? g ? ? x ? ? 1 ? 2 . x x

当 x ? ? ,1? 时, g ? ? x ? ? 0 ;当 x ? ?1,3? 时, g ? ? x ? ? 0 . 故 g ? x ? 在 ? ,1? 上为减函数,在 ?1, 3? 上为增函数.

?1 ? ?e ?

?1 ? ?e ?

1 10 1 1 10 ?1? ?1? ? g ? ? ? e ? , g ?1? ? 2, g ? 3? ? 3 ? ? ,而 2 ? e ? ? ,? g ?1? ? g ? ? ? g ? 3? . e 3 e 3 3 ?e? ?e?

10 ?1 ? ??x2 ? ? ,3? , g ? x2 ?min ? g ?1? ? 2, g ? x2 ?max ? g ? 3? ? . 3 ?e ?

f ? x1 ? ? g ? x2 ? ?1 ? ?1 恒 成 立 1? 当 k ? 1 ? 0 , 即 k ? 1 时 , 对 于 ?x1 , x2 ? ? ,3? , 不 等 式 ?e ? k ?1
? k ? 1 ? ? f ? x1 ? ? g ? x2 ? ? max ? k ? ? f ? x1 ? ? g ? x2 ? ? max ? 1 . ? ? ? ?
·8·

? f ? x1 ? ? g ? x2 ? ? f ?1? ? g ?1? ? ?1 ? 2 ? ?3 ,

? k ? ?3 ? 1 ? ?2, 又? k ? 1,? k ? 1 . ??????????????9 分
f ? x1 ? ? g ? x2 ? ?1 ? ?1 恒 成 立 2? 当 k ? 1 ? 0 , 即 k ? 1 时 , 对 于 ?x1 , x2 ? ? ,3? , 不 等 式 ?e ? k ?1
? k ? 1 ? ? f ? x1 ? ? g ? x2 ? ? min ? k ? ? f ? x1 ? ? g ? x2 ? ? min ? 1 . ? ? ? ?

? f ? x1 ? ? g ? x2 ? ? f ? 3? ? g ? 3? ? ?9 ? 2ln 3 ?
?k ? ?

10 37 ? ? ? 2ln 3 , 3 3

34 34 ? 2ln 3, 又? k ? 1,? k ? ? ? 2ln 3 .???????????????13 分 3 3
? ? 34 ? ? 2 ln 3? ? ?1, ?? ? ??????????14 分 3 ?

综上,所求实数 k 的取值范围为 ? ??, ?

注意:②结果错,但求出 f ( x1 ) 最值, g ( x2 ) 最值的酌情给分,没综合扣 1 分

·9·


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