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培优专题12


平行四边形的性质和判定
第一部分:知识点回顾
知识点 1 平行四边形的定义: 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。记作“□ABCD” 。 知识点 2 平行四边形的性质: 边:对边平行且相等。 角:对角相等,邻角互补。 对角线:对角线互相平分。 1、 (2010?苏州) 如图, 在平行四边形 ABCD 中, E 是 AD 边上的中点. 若∠ABE=∠EBC, AB=2, 则平行四边形 ABCD 的周长是 .
B C A D

2、如图所示,平行四边形 ABCD 的周长是 18cm,对角线 AC、BD 相交于点 O,若△AOD 与△ AOB 的周长差是 5cm,则边 AB 的长是 cm.

知识点 3

平行四边形的判定:

边:两组对边分别平行的四边形是平行四边形。 两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 角:两组对角分别相等的四边形是平行四边形。 对角线:对角线互相平分的四边形是平行四边形。 、 1、 (2011?郴州) 如图, 下列四组条件中. 不能判定四边形 ABCD 是平行四边形的是 ( A.AB=DC,AD=BC B.AB∥DC,AD∥BC C.AB∥DC,AD=BC D.AB∥DC,AB=DC )

2、(2011?泰州)四边形 ABCD 中,对角线 AC、BD 相交于点 O,给出下列四组条件: ①AB∥CD, AD∥BC; ②AB=CD, AD=BC; ③AO=CO, BO=DO; ④AB∥CD, AD=BC. 其 中一定能判断这个四边形是平行四边形的条件共有( ) A.1 组 B.2 组 C.3 组 D.4 组

知识点 4 两条平行线的距离。 定义:在两条平行线中,一条直线上的任意一点到另一条直线的距离,叫做这两条平行线 的距离。 性质:两平行线间距离处处相等。 已知如图直线 m∥n,A、B 为直线 n 上两点,C、D 为直线 m 上两点,BC 与 AD 交于点 O,则 图中面积相等的三角形有( ) A.1 对 B.2 对 C.3 对 D.4 对

知识点 5 三角形的中位线 定义:连接三角形两边中点的线段是三角形的中位线。 性质:三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半。 (2012?德阳)点 D、E 分别是△ABC 的边 AB、AC 的中点,连接 DE,若 DE=5,则 BC=

第二部分:例题剖析
已知:如图,E、F 是平行四边形 ABCD 对角线 AC 上两点,且 AE=CF。求证:四边形 BFDE A D 是平行四边形。
E B F C

第三部分:典型例题
例 1、如图, E,F 是平行四边形 ABCD 的对角线 AC 上的点, CE ? AF .

请你猜想: BE 与 DF 有怎样的位置 关系和数量 关系?并对你的猜想加以证明。 .. .. 猜想: 证明:
A E F B C D

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【变式练习 1】已知,在□ABCD 中,点 E、F 分别在 AD、CB 的延长线上,且∠1=∠2,DF

交 AB 于 G,BE 交 CD 于 H。求证:EH=FG。
E D 2 1 A G F B H C

【变式练习 2】如图, 在

ABCD 中, E、F、 G、 H 分别是各边上的点, 且 AE=CF,BG=DH。 求证:EF 与 GH 互相平分。

例 2、已知如图,O 为平行四边形 ABCD 的对角线 AC 的中点,EF 经过点 O,且与 AB 交于 E,

与 CD 交于 F。求证:四边形 AECF 是平行四边形。

【变式练习】如图,在

ABCD 中, AE=CF, M、 N 分别 ED、 FB 的中点. 求证: 四边形 ENFM

是平行四边形.
A E
M

D

F

B

N

C

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例 3:如图,点 E、F、G、H 分别是四边形 ABCD 的四边中点,求证四边形 EFGH 是平行四边 形。
D H A E G

B

F

C

【变式练习】如图:点 E、F、G、H 分别是线段 AB、BC、CD、AD 的中点,则四边形 EFGH 是

什么图形?并说明理由。
D E H A

G

B

F

C

第四部分:思维误区
误区一:不能正确地理解平行四边形的判定方法 例:下列能判定四边形是平行四边形的条件是( ) A、一组对边平行,另一组对边相等 B、一组对边平行,一组对角相等 C、一组对边平行,一组邻角互补 D、一组对边相等,一组邻角相等 误区二:不注意分类 在□ABCD 中,AE 平分∠DAB,交 BC 于 E,将 BC 分为 5 和 4 两部分,求平行四边形的周长。

误区三:错误地运用条件 如图,已知□ABCD 中,过对角线的交点 O 的直线交 AD、CB 的延长线于 E 和 F,证明:DE =BF

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第五部分:巩固练习

A组
1、在 ABCD 中, ?A : ?B ? 2 : 7 ,则 ?C ? ____° 2、已知 ABCD 的周长为 30cm, AB : BC ? 2 : 3 ,则 AB ? ____cm。 3、 已知四边形 ABCD 中, AB∥DC, 则可以添加条件____________________, 使四边形 ABCD 是平行四边形。(图形中不再添加辅助线)
O B 的周长为_______, 4、 □ABCD 中, AC、 BD 相交于点 O,AB ? 8, AC ? 12, BD ? 20 , 则 ?A
?AOB 的面积为_______。 5、在下列给出的条件中,不能判定四边形 ABCD 为平行四边形的是(



A.AB 平行且等于 CD C. AB ? AD, BC ? CD

B. ?A ? ?C, ?B ? ?D D. OA ? OC , OB ?
1 BD 2

6、能判别一个四边形是平行四边形的条件是( A.一组对边相等,另一组对边平行 C.一组对角相等,一组邻角互补 7、平行四边形不具有的性质是( A.对边平行 B.对边相等 ) 。



B.一组对边平行,一组对角互补 D.一组对角互补,另一组对角相等

C.对角线互相垂直 ) 。

D.对角线互相平分

8、□ABCD 中,∠A:∠B:∠C:∠D 的值可以是( A.1:2:3:4 B.1:2:2:1

C.2:2:1:1

D.2:1:2:1 )

9、如图,DE 是△ABC 的中位线,若 BC 的长为 3cm,则 DE 的长是( A.2cm B.1.5cm C.1.2cm D.1cm

10、若□ABCD 的∠BAD 的平分线交 BC 于 E,且 AE=BE,则∠BCD 等于( A.30° B.60° C.90° D.120°

) 。

11、如图,平行四边形 ABCD 中,AE 平分∠DAB,∠B=100° ,则∠DEA 等于( A.100° B.80° C.60° D.40°



12、顺次连接任意四边形四边中点所得的四边形一定是( ) A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.正方形 13、 (2010?毕节地区)如图,已知:平行四边形 ABCD 中,∠BCD 的平分线 CE 交边 AD 于 E,
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∠ABC 的平分线 BG 交 CE 于 F,交 AD 于 G.求证:AE=DG.

14、已知:如图,△ABC,BD 平分∠ABC,DE∥BC,EF∥BC,求证:BE=CF。

15、已知:如图,平行四边形 ABCD 中,点 E、F 分别在 CD、AB 上 DF∥BE,EF 交 BD 于点 O. 求证:EO=OF.

16、如图,在四边形 ABCD 中,AD∥BC,OE=OF,OA=OC.求证:四边形 ABCD 是平行 四边形.
D E

C

O

A

F

B

B组
1、如图所示,在?ABCD 中,AB=5,AD=8,DE 平分∠ADC,则 BE=

2、(2011?聊城)如图,在平行四边形 ABCD 中,AC、BD 相交于点 O,点 E 是 AB 的中 点.若 OE=3cm,则 AD 的长是 cm.

3、从平行四边形的一个锐角的顶点做两条高线,如果这两条高线的夹角是 135°,这个平
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行四边形的锐角的度数是



4 、如图, P 是四边形 ABCD 的 DC 边上的一个动点,当四边形 ABCD 满足条件 时,△PBA 的面积始终保持不变。 (注:只需填上你认为正确的一种条件即可,不必考 虑所有可能的情形)

5、如图, ABCD 中,AE⊥BD,∠EAD=60°,AE=2cm, AC+BD=14cm,则△OBC 的周长是____ ___cm. 6、如图,□ABCD 中,EF 过对角线的交点 O,AB=4,AD=3,OF=1.3,则四边形 BCEF 的周长为( )

A.8.3

B.9.6

C.12.6

D.13.6

7、如图,四边形 ABCD 是平行四边形,BE∥DF,且分别交对角线 AC 于点 E、F, 连接 ED,BF. 求证:∠1=∠2
A E 1 2 F B C D

8、如图,点 A、D、B、E 在同一直线上,AD=BE,AC=DF,AC∥DF,请从图中找出一个与 ∠E 相等的角,并加以证明。(不再添加其他的字母与线段)

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9、已知: ABCD 中,直线 MN//AC,分别交 DA 延长线于 M,DC 延长线于 N,AB 于 P,BC 于 Q。 求证:PM=QN。
M A D P

B

Q N

C

10、 如图, 在平行四边形 ABCD 中, AD=2AB, M 是 AD 的中点, CE⊥AB 于 E, 如果∠CEM=40°, 则∠DME 的度数是多少度。

11、如图,在四边形 ABCD 中,AB=CD,E、F 分别是 BC、AD 的中点,连接 EF 并延长,分别 与 BA、CD 的延长线交于点 M、N,则∠BME=∠CNE(不必证明) (温馨提示:在图(1)中,连接 BD,取 BD 的中点 H,连接 HE、HF,根据三角形中位线定 理,证明 HE=HF,从而∠1=∠2,再利用平行线的性质,可证明∠BME=∠CNE) (1)如图(2) ,在四边形 ADBC 中,AB 与 CD 相交于点 O,AB=CD,E、F 分别是 BC、AD 的 中点,连接 EF,分别交 CD、BA 于点 M、N,判断△OMN 的形状,请直接写出结论. (2)如图(3)中,在△ABC 中,AC>AB,D 点在 AC 上,AB=CD,E、F 分别是 BC、AD 的中 点,连接 EF 并延长,与 BA 的延长线交于点 G,若∠EFC=60°,连接 GD,判断△AGD 形 状并证明.
M N A F 1 H 2 B E ?图( 1 ) C
D A C O

G A

D

F M N E

F B

D

图(2)

B

图(3) E

C

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第六部分:中考体验
1、 (2011.广州)已知□ABCD 的周长为 32,AB=4,则 BC=( A. 4 B. 121 C. 24 D. 28 )

2、 (2009·桂林)如图,在平行四边形 ABCD 中,AC、BD 为对角线,BC=6, BC 边上的高为

4,则图中阴影部分的面积为( A、3 B、6 C、12

) D、24

3、(2009?茂名)杨伯家小院子的四棵小树 E、F、G、H 刚好在其梯形院子 ABCD 各边的中 点上, 若在四边形 EFGH 种上小草, 则这块草地的形状是 ( ) A.平行四边形 B.矩形 C.正方形 D.菱形

4、 (浙江金华)国家级历史文化名城——金华,风光秀丽,花木葱茏.某广场上一个形状 是平行四边形的花坛(如图 2) ,分别种有红、黄、蓝、绿、橙、紫 6 种颜色的花.如果 有 AB//EF//DC,BC//GH//AD,那么下列说法中错误的是( ) A.红花、绿花种植面积一定相等 B.紫花、橙花种植面积一定相等 C.红花、蓝花种植面积一定相等 D.蓝花、黄花种植面积一定相等 5. (2009 广州)如图 6,在 ABCD 中,AB=6,AD=9,∠BAD 的平分线交 BC 于点 E,

交 DC 的延长线于点 F,BG⊥AE,垂足为 G,BG= 4 2 ,则Δ CEF 的周长为( (A)8 ) (C)10 (D)11.5

(B)9.5

6、 (福建龙岩)如图(3) ,在□ABCD 中,E、F 分别为 AD、BC 边上的一点,若再增加一 个条件_____________,就可推得 BE = DF.

7. (陕西) 已知□ABCD 的周长为 32cm, ∠ABC 的角平分线交边 AD 所在直线于点 E,且 AE:ED=3:2,则 AB=______________. 8、(2012?怀化)如图,在?ABCD 中,AD=8,点 E、F 分别是 BD、CD 的中点,则 EF=

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9、(2011?临沂)如图,?ABCD,E 是 BA 延长线上一点,AB=AE,连接 CE 交 AD 于点 F,若 CF 平分∠BCD,AB=3,则 BC 的长为

10、 (2012·广东)已知:如图,在四边形 ABCD 中,AB∥CD,对角线 AC、BD 相交于 点 O,BO = DO。 求证:四边形 ABCD 是平行四边形。
A O B
题 15 图

D

C

11、 (2009·广州)如图 9,在Δ ABC 中,D、E、F 分别为边 AB、BC、 CA 的中点。证明:四边形 DECF 是平行四边形。

12、 (2010·广东)如图,分别以 Rt ?ABC 的直角边 AC 及斜边 AB 向外作等边 ?ACD ,等边 ?ABE .已知∠BAC=30°,EF⊥AB,垂足为 F,连结 DF. ⑴试说明 AC=EF; ⑵求证:四边形 ADFE 是平行四边形.

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13、 (2008?娄底)如图,在平行四边形 ABCD 中,点 E 是边 AD 的中点,BE 的延长线与 CD 的延长线相交于点 F. (1)求证:△ABE≌△DFE; (2)试连接 BD、AF,判断四边形 ABDF 的形状,并证明你的结论.

14、 (2006?长春)如图,在平行四边形 ABCD 中,E 为 BC 边上一点,且 AB=AE. (1)求证:△ABC≌△EAD; (2)若 AE 平分∠DAB,∠EAC=25°,求∠AED 的度数.

15、(2011?厦门)如图,在四边形 ABCD 中,∠BAC=∠ACD=90°,∠B=∠D. (1)求证:四边形 ABCD 是平行四边形; 1 (2)若 AB=3cm,BC=5cm,AE= AB,点 P 从 B 点出发,以 1cm/s 的速度沿 BC→CD→DA 运 3 动至 A 点停止,则从运动开始经过多少时间,△BEP 为等腰三角形?

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