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【全国百强校】广东省广州市执信中学2016届高三上学期期末考试数学(理)试题


2015-2016 学 年 度 第 一 学 期

高三级数学(理)期末考试试卷
本试卷分选择题和非选择题两部分满分为 150 分.考试用时 120 分钟 一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的。 )
2 2 1.命题“若 a ? b ? 0 ,则 a ? 0 且 b ? 0 ”的逆否命题 2 2 A.若 a ? b ? 0 ,则 a ? 0 且 b ? 0 2 2 B.若 a ? b ? 0 ,则 a ? 0 或 b ? 0

2 2 C.若 a ? 0 且 b ? 0 ,则 a ? b ? 0

2 2 D.若 a ? 0 或 b ? 0 ,则 a ? b ? 0

2.复数 z ?| A. 2 ? i

3 ?i ,则复数 z 的共轭复数为 | ?i ( i 为虚数单位) i
B. 2+i C. 4 ? i D. 4 ? i

3.函数 f ( x) ? 2sin(2 x ? ) 在区间 [0, ] 上的最小值为

?

?

3

4

A. ? 1

B. ?

3 2

C. ? 3

D. 1

4.数列 an 的前 n 项和为 Sn ? 2n2 ? 3n(n ? N ? ) ,若 p ? q ? 5 ,则 a p ? aq ? A.20 B.15 C.10 D. ? 5

?sin(? x 2 ), ? 1 ? x ? 0 5.已知函数 f ( x) ? ? ,实数 a 满足 f (1) ? f (a) ? 2 ,则 a 的所有可能值为 e x ?1 , x ? 0 ?
A. ?
2 2

B. 1 或 ?

2 2

C. 1

D. 1 或 ?

2 2 或 2 2

6.若函数 f ( x) ? (k ? 1)a x ? a? x (a ? 0 , 且a ? 1) 在 R 上既是奇函数,又是减函数,则 g ( x) ? log a ( x ? k ) 的 图象是 y y y y

2 1 O

x

2

1O

x

O

2 3

x

O

2 3
D.

x

A.

B.

C.

? x?0 4 ? 7.若不等式组 ? x ? 3 y ? 4 所表示的平面区域被直线 y ? kx ? 分为面积相等的两部分,则 k ? 3 ?3 x ? y ? 4 ?
A.

7 3

B.

3 7

C.

4 3

D.

3 4

8.等比数列 an ? 中, a1 ? 2, a8 ? 4 ,函数 f ( x) ? x( x ? a1 )( x ? a2 )?( x ? a8 ) ,则 f '(0) = A. 2 6 B. 29 C. 212 D. 215

?

第1页

共4页

9. 在二项式 ( x ?

1 2? x
4

) n 的展开式中, 前三项的系数成等差数列, 把展开式中所有的项重新排成一列,

有理项都互不相邻的概率为

5 1 1 1 B. C. D. 6 4 3 12 10.一个几何体的三视图如图所示,其中正视图是正三角形,则几何体的外接球的表面积为
A. A.

8? 3

B.

16? 3

C.

32? 3

D.

64? 3

11. 已知椭圆 C1 :

x2 y2 x2 ? y2 ? 1, 双曲线 C 2 : 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) , 若以 C1 的 a b 11

长轴为直径的圆与 C 2 的一条渐近线交于 A、B 两点,且 C1 与该渐近线的两交 点将线段 AB 三等分,则 C 2 的离心率为 A. 5 B. 5 C. 17 D.

2 17 7

uuu r uuu r 12.在 ? ABC 中, BC ? 5 , G 、 O 分别为 ? ABC 的重心和外心,且 OGgBC ? 5 ,则 ? ABC 是
A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.上述三种情况都有可能
开始

二、填空题: (本大题共 4 小题,每题 5 分,共 20 分) 13.执行如图所示的程序框图,若输出 x 的值为 23,则输入的 x 值为 ;
输入x
n ?1

14.四个命题: ①从匀速传递的产品生产流水线上,质检员每 10 分钟从中抽取一件产品进行 某项指标检测,这样的抽样是分层抽样; ②两个随机变量的线性相关性越强,相关系数的绝对值越接近于 1; ③某项测量结果 ? 服从正态分布 N (1,? 2 ) , P (? ? 5) ? 0.81,则 P (? ? ?3) ? 0.19 ; ④对于两个分类变量 X 与 Y 的随机变量 K 的观测值 k 来说, k 越小, 判断“X 与 Y 有关系”的把握程度越大。 以上命题中其中真命题的个数为 ; 15.已知 An (an , bn )(n ? N * ) 是曲线 C : y ? e x 上的点,设 A1 (0,1) , 曲线 C 在 An 处的切线交 x 轴于点 (an ?1 ,0) ,则数列 {bn } 的通项公式是 bn =
2

n ? n ?1 x ? 2x ? 1

n≤ 3




输出x

结束



16.函数 y ? f ( x ) 定义在 R 单调递减且 f (0) ? 0 ,对任意实数 m 、 n ,恒有 f (m ? n) ? f (m ) ? f (n) ,
2 2 集合 A ? {( x, y) f ( x ) ? f ( y ) ? f (1)} , B ? {( x, y) f (ax ? y ? 2) ? 1, a ? R} ,若 A I B ? ? ,则 a 的取

值范围是


第2页 共4页

三、解答题: (本大题共 6 小题,共 70 分)

17.设 △ ABC 的内角 A 、 B 、 C 所对的边分别为 a 、 b 、 c ,且 a cos B ? 3 , b sin A ? 4 . (Ⅰ)求 tan B 及边长 a 的值; (Ⅱ)若 △ ABC 的面积 S ? 10 ,求 △ ABC 的周长 l . 18.如图所示,在四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,底面 ABCD 是梯形, AD ∥ BC ,侧面 ABB1 A1 为菱形,

?DAB ? ?DAA1
(Ⅰ)求证: A1 B ? AD ; (Ⅱ)若 AD ? AB ? 2 BC , ?A1 AB ? 60? ,点 D 在平面 ABB1 A1 上的射影恰为线段 A1 B 的中点,求平 面 DCC1 D1 与平面 ABB1 A1 所成锐二面角的余弦值.

19.心理学家分析发现视觉和空间能力与性别有关,某数学兴趣小组为了验证这个结论,从兴趣小组中 按分层抽样的方法抽取 50 名同学(男 30 女 20) ,给所有同学几何题和代数题各一题,让各位同学自由 选择一道题进行解答,选题情况如下表(单位:人) 几何题 男同学 女同学 总计 22 8 30 代数题 8 12 20 总计 30 20 50

(Ⅰ)能否据此判断有 97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关? (Ⅱ)经过多次测试后,甲每次解答一道几何题所用的时间在 5—7 分钟,乙每次解答一道几何题所用 的时间在 6—8 分钟,现甲、乙各解同一道几何题,求乙比甲先解答完的概率; (Ⅲ)现从选择做几何题的 8 名女生中任意抽取两人对她们的答题情况进行全程研究,记甲、乙两女生 被抽到的人数为 X,求 X 的分布列及数学期望. 附表及公式:

P ( K 2 ? k0 )
k0
K2 ?

0.15 2.072

0.10 2.706

0.05 3.841

0.025 5.024

0.010 6.635

0.005 7.879

0.001 10.828

n(ad ? bc )2 (a ? b)(c ? d )(a ? c )(b ? d )

20.已知圆 F1 : ( x ? 1)2 ? y 2 ? r 2 与 F2 : ( x ? 1)2 ? y 2 ? (4 ? r )2 (0 ? r ? 4) 的公共点的轨迹为曲线 E
第3页 共4页

(Ⅰ)求 E 的方程; (Ⅱ) 如图, 动直线 l : y ? kx ? m 与椭圆 E 有且仅有一个公共点, 点 M, N 是直线 l 上的两点, 且 F1 M ? l ,

F2 N ? l ,求四边形 F1 MNF2 面积 S 的最大值.

21.已知 f ( x) ? x ln x ? ax , g (x) ? ?x 2 ? 2
? ?) ,f ( x) …g ( x) 恒成立,求实数 a 的取值范围; (Ⅰ)对一切 x ? (0 , m ? 3](m ? 0) 上的最值; (Ⅱ)当 a ? ?1 时,求函数 f ( x) 在区间 [m ,

(Ⅲ)证明:对一切 x ? (0 ,? ?) ,都有 ln x ? 1 ?

1 2 成立. ? e x ?1 e2 x

请考生从第(22) 、 (23) 、 (24)三题中任选一题作答。注意:如果多做,则按所做的第一个题目计分。 22.选修 4-1:几何证明选讲 CA ? CB , ? O 交直线 OB 于点 E 、 D ,其中 D 如图,直线 AB 经过 ? O 上的点 C ,并且 OA ? OB , 在线段 OB 上. 连结 EC ,CD. (Ⅰ)证明:直线 AB 是 ? O 的切线; (Ⅱ)若 tan ?CED ?

1 , ? O 的半径为 3,求 OA 的长. 2

23.选修 4-4:坐标系与参数方程 已知曲线 C 的极坐标方程是 ? ? 2cos ? ,以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为 x 轴的正半轴,

? 3 x? t?m ? ? 2 建立平面直角坐标系,直线 L 的参数方程是 ? ( t 为参数) . ? y ? 1t ? ? 2
(Ⅰ)求曲线 C 的直角坐标方程和直线 L 的普通方程; (Ⅱ)设点 P(m,0) ,若直线 L 与曲线 C 交于 A, B 两点,且 PA ? PB ? 1 ,求实数 m 的值. 24.选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ? | x ? 3 | . (Ⅰ)若不等式 f ( x ? 1) ? f ( x) ? a 的解集为空集,求实数 a 的取值范围;
| b |? 3 , 且 a ? 0 ,判断 (Ⅱ)若 | a |? 1,

f (ab) b 与 f ( ) 的大小,并说明理由. |a| a

第4页

共4页

参考答案 一、选择题: DBCAB AACDD 二、填空题: 13、2; 14、2; 15、 e1? n ; 16、 ? 3 ? a ? 3 AB

三、解答题: 17、解析: (Ⅰ)由 a cos B ? 3 , b sin A ? 4 ,两式相除,有

3 a cos B a cos B b cos B 1 4 B ? 3, 故 c o s B ? 0, 则 , 所 以 t a nB ? , 又 a c o s ? ? ? ? ? ? 4 b sin A sin A b sin B b tan B 3

3 cos B ? ,所以 a ? 5 . 5
(Ⅱ)由(Ⅰ)知 sin B ?

??6 分

4 1 ,由 S ? ac sin B ,得到 c ? 5 .由 b2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B ,得 b ? 2 5 , 5 2
??12 分

故 l ? 5 ? 5 ? 2 5 ? 10 ? 2 5 ,即 △ ABC 的周长为 10 ? 2 5 .

18



第5页

共4页

20



第6页

共4页

2 … g (x ) 21 、 解析 : (Ⅰ )对 一切 x ? (0,? ?), f (x ) 恒 成 立, 即 x ln x ? ax …? x ? 2 恒 成立 . 也就 是

2 2 a ? ln x ? x ? 在 x ? (0 ,? ?) 上恒成立.令 F ( x) ? ln x ? x ? ,则 x x

F ?( x) ?

1 2 x2 ? x ? 2 ( x ? 2)( x ? 1) 1) 时, F ?( x) ? 0 , x ? (1,? ?) 时, F ?( x) ? 0 . 因此 . x ? (0 , ?1? 2 ? ? x x x2 x2
??4 分

F ( x) 在 x ? 1 处取极小值,也是最小值,即 F ( x)min ? F (1) ? 3 ,所以 a ? 3 .

(Ⅱ)当 a ? ?1 时, f ( x) ? x ln x ? x ,f ?( x) ? ln x ? 2 ,由 f ?( x) ? 0 得 x ? 当0?m?

1 . e2

1 1 1 1 时, 在 x ? [m , 2 ) 上 f ?( x) ? 0 , 在 x?( 2 , m ?3 ] 上 f ?( x) ? 0 . 因此 f ( x) 在 x ? 2 处取 2 e e e e
故 f ( x)min ? f (

得 极 小 值 , 也 是 最 小 值 .

1 1 )?? 2 2 e e

.

) 由 于 f ( m?

m( l ? n m

?1 ,)

0

f (m ? 3) ? (m ? 3)[ln(m ? 3) ? 1] ? 0 ,因此 f ( x)max ? f (m ? 3) ? (m ? 3)[ln(m ? 3) ? 1] .

当 m…

1 时, f ?( x ) … 0 ,因此 f ( x) 在 [m ,m ? 3] 上单调递增,故 f ( x)min ? f (m) ? m(ln m ? 1) , e2
第7页 共4页

f ( x)max ? f (m ? 3) ? (m ? 3)[ln(m ? 3) ? 1] .

??8 分

(Ⅲ)问题等价于证明 x ln x ? x ? 最小值是 ?

x e
x ?1

?

2 , x ? (0 ,? ?) . 由(Ⅱ)知 a ? ?1 时, f ( x) ? x ln x ? x 的 e2

1 1 x 2 1? x ,当且仅当 x ? 2 时取等号 . 设 G( x) ? x ?1 ? 2 ,x ? (0 , ? ?) ,则 G?( x) ? x ?1 ,易知 e2 e e e e 1 , 当 且 仅 当 x ? 1 时 取 到 . 从 而 可 知 对 一 切 x ? (0 ,? ?) , 都 有 e2

G( x)max ? G(1) ? ? ln x ? 1 ? 1
x ?1

2 . ??12 分 e e2 x 请考生在第 22、23、24 题任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分. 作答时请写清楚题号. (22)解析: (Ⅰ)证明:连结 OC . 因为 OA ? OB ,CA ? CB ,所以 OC ? AB. 又 OC 是圆 O 的半径,所 O 以 AB 是圆 的切线. ??5 分 (Ⅱ) 因为直线 AB 是 ? O 的切线, 所以 ?BCD ? ?E. 又 ?CBD ? ?EBC , 所以 △ BCD ∽△BEC . 则 ?
有 故

BC BD CD CD 1 B D C D , 又a 故 ? ? n t ?CED ? ? , ? BE BC EC EC 2 B C E C
(2 x)2 ? x( x ? 6)
O ? B

?

1 C ?x2 , C . 设 BD ? x , 则B 又B 2

x?2

2

B ? DB E ?

, 以


?O 3


D2 ?

3x 2 ? x 6 ?
D 5 ? B . ?

.0 解





BD ? 2

.



O ?A

??10 分

( 23 )解: ( 1 )曲线 C 的极坐标方程是 ? ? 2cos ? ,化为 ? 2 ? 2? cos? ,可得直角坐标方程:

x2 ? y 2 ? 2 x .
? 3 x? t?m ? ? 2 直线 L 的参数方程是 ? (t 为参数) ,消去参数 t 可得 x ? 3 y ? m .?(5 分) ? y ? 1t ? ? 2 ? 3 x? t ?m ? ? 2 2 2 (2)把 ? (t 为参数) ,代入方程: x ? y ? 2 x 化为: t 2 ? ( 3m ? 3)t ? m2 ? 2m ? 0 ,由 ? y ? 1t ? ? 2
△>0,解得 ?1 ? m ? 3 .∴ t1t2 ? m2 ? 2m .
2 ∵ | PA | ? | PB |? 1 ? t1t2 ,∴ m ? 2m ? 1 ,

解得 m ? 1 ? 2 .又满足△>0.∴实数 m ? 1 ? 2 .????(10 分) (24)解析: (Ⅰ)因为 f ( x ? 1) ? f ( x) ?| x ? 4 | ? | x ? 3 | ≥ | x ? 4 ? 3 ? x |? 1 ,不等式 f ( x ? 1) ? f ( x) ? a 的 1] . 解集为空集,则 1 …a 即可,所以实数 a 的取值范围是 (?? , ??5 分 f ( ab ) b f ( ab ) b ? f ( ), ? f ( ), (Ⅱ) 证明: 要证 只需证 | ab ? 3 | ? | b ? 3a | , 即证 (ab ? 3)2 ? (b ? 3a)2 , |a| a |a| a 又
(ab ? 3)2 ? (b ? 3a)2
2 2

? a 2b2 ? 9a 2 ? b2 ? 9

? (a2 ? 1)(b2 ? 9)
共4页

.

1? , | | 3 因 为 | a ? | ,b 所 以

(ab ? 3) ? (b ? 3a) ? 0 ,所以原不等式成立.
第8页

??10 分

第9页

共4页


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