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高一数学-2015-2016学年高一上学期期中考试数学试题


高一上学期数学期中考试试卷
2015-11-5 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案直接填空在答题卡相应 ..... 位置上 ,在本试卷上作答一律无效. ... 1.已知集合 M ? ?1,2,3,4,5,6?, N ? {x | ?2 ? x ? 5, x ?Z},则集合 M ? N = .

3 lg 25 ? 2log2 3 ? lg 2 2 =________________ 4 3.函数 y ? log 1 (3x ? 2) 的定义域是
2、
2

. .(填写序号)

4.下列各组函数中,是同一个函数的有 ①y ? x与y ? ③y?

x2 x

② y ? x 2 与 y ? ( x ? 1) 2 ④ y ? x 与 y ? 3 x3

x 2 与 y ?| x |

5. 已知集合 A ? {?1,1} , B ? {x | m x ? 1} ,且 A ? B ? A ,则 m 的值为_______. 6. 设 f 是从集合 A ? ? 则满足 f (1) ? f (2) ? 4 的所有映 1,2?到集合 B ? ?0,1,2,3,4?的映射, 射的个数为
3 2

个.

7.若函数 f(x)=x +x -2x-2 的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算,参考数据如下 表: f(1)=- 2 f(1.25)=-0.984 f(1.438)=0.165
3 2

f(1.5)=0.625 f(1.375)=-0.260 f(1.4065)=-0.052

那么方程 x +x -2x-2=0 的一个近似根(精确到 0.1)为 8.幂函数的图象过点(2,

1 ),则它的单调递增区间是________________. 4
(按从小到大的顺序).

9.设 a ? log4 3, b ? log0.3 4 , c ? 0.3?2 , 则 a,b,c 的大小关系是 10.函数 y ? x ? 1 ? x 的值域为 . . .

11. 函数 y ? log0.5 ( x2 ? x ? 2) 的单调递增区间是
x x 12.若方程 9 ? a ? 3 ? 4 ? 0 有解,则 a 的取值范围是

1

13 、 已 知 f ( x) ? ? 是 .

x? 4 a x ,? 1 ?( 3a ? 1)
x ?a , x ? 1

是 (??, ??) 上 的 减 函 数 , 那 么 a 的 取 值 范 围

14、 已知函数 f ? x ? ? x , 则方程 f ?x ? ? g ?x ? ? 1 有

且当 x<0 时,g ?x ? ? x( x ? 1), g ? x ? 是定义在 R 上的奇函数, 个实根.

二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分,请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文 字说明、证明或演算步骤. 15、(本小题满分 14 分) 已知集合 A ? ?x | 2 ? x ? 8? , B ? ?x |1 ? x ? 6? , C ? ?x | x ? a? , U ? R. (1)求 A ? B ; (2)求(C U A) ? B ; (3)如果 A ? C ? ? ,求 a 的取值范围。

16. (本题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? a (1)求 a 的值; (2)求函数 f ( x) ? a2 x ? a x?2 ? 8; x ?[?2,1] 的值域.
x ?1

( x ? 0) 的图像经过点(2, ),其中 a ? 0, a ? 1 .

1 2

17. (本小题满分 14 分) 已知 f ( x) ? log a ( x ? 1) ? loga (1 ? x)

(a>0且a ? 1)

(1)求 f(x)的定义域.(2)判断 f(x)的奇偶性,并给出证明. (3)当 a>1 时,求使 f ( x)>0 的 x 取值范围.

18. (本小题满分 16 分) 市场营销人员对过去几年某商品的价格及销售数量的关系作数据分析, 发现有如下规律: 该 商品的价格每上涨 x%( x ? 0 ),销售数量就减少 kx%(其中 k 为常数).目前,该商品定价为 a 元,统计其销售数量为 b 个. (1) 当k ?

1 时, 该商品的价格上涨多少, 就能使销售总金额 y 达到最大, 最大值为多少? 2
2

(2)在(1)的条件下,求当 x ? ?0, m? 时使 y ? ? ab,

? ?

9 ? ab 的 m 的范围; 8 ? ?

(3)求 k 的取值范围,使得在适当 的涨价过程中,销售总金额 y 能不断增加. ..

19.(本小题满分 16 分) 设函数 f ( x) ? ka x ? a ? x (a ? 0且a ? 1, k ? R) , f ( x) 是定义域为 R 的奇函数. (1)求 k 的值, (2)判断并证明 当 a ? 1 时,函数 f ( x) 在 R 上的单调性; .. (3)已知 a ? 3 ,若 f (3x) ? ? ? f ( x) 对于 x ? [1,2] 时恒成立.请求出最大的整数 .....? .

20. (本题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ? x | 2a ? x | ?2 x , a ? R . (1)若 a ? 0 ,判断函数 y ? f ( x) 的奇偶性,并加以证明; (2)若函数 f ( x) 在 R 上是增函数,求实数 a 的取值范围; ( 3)若存在实数 a ? ? ?2, 2? , 使得关于 x 的方程 f ( x) ? tf (2a ) ? 0 有三个不相等的实数 根,求实数 t 的取值范围.

3

一、填空题: 1、 ?1,2,3,4? 2、 3、 ? ,1?

?2 ? ?3 ?

4、③④

5、0,1,-1 10、 ??,1

6、5
11、 ? ??, ?1? 二、解答题: 15、

7、1.4
12、 ? ??, ?4?

8、(-∞,0)
?1 1 ? 13、 ? , ? ?6 3 ?

9、b<a<c

?

?

14、2

.解: (1) A ? B ? ?x |1 ? x ? 8?
(2) ? U A ? B ? ?x |1 ? x ? 2? . (3)A ? C ? ? , ? a ? 8 .

?

?

1 ,……………………………6 分 2 1 1 (2)因为 x ? [ ?2,1] ,所以 ( ) x ?[ ,4] ,…………………8 分 2 2 1 1 1 f ( x) ? [( ) x ]2 ? 4( ) x ? 8 ? [( ) x ? 2]2 ? 4 …………………10 分 2 2 2 1 当 ( ) x ? 4 即 x ? ?2 时, f ( x)max ? 8 ,…………………12 分 2 1 当 ( ) x ? 2 即 x ? ?1 时, f ( x)min ? 4 …………………14 分 2
16、 (1)可求得 a ?

17、 (1) ?1 ? x ? 1 …………………………………4 分 (2)奇函数…………………………………………5 分 (3) 0 ? x ? 1 ………………………………………5 分

18、.解:依题意,价格上涨 x%后,销售总金额为:

y ? a(1 ? x % )b(1 ? kx % ) =
(1)当 k ?

ab [?kx 2 ? 100(1 ? k ) x ? 10000] 10000

…………3 分

1 时 2 ab 1 y? (? x 2 ? 50 x ? 10000 ) 10000 2
4

…………4 分

? x ? 50 ,即商品价格上涨 50%时

…………5 分

9 y 最大为 ab 8
答:商品价格上涨 50%时,销售的总金额达到最大,最大值为 ab . (2)在(1)的条件下,当 y ? ? ab, 由图像可知, m ? ?50,100?

9 8

…………7 分

? ?

9 ? ab 时, 8 ? ?
…………11 分

ab [?kx 2 ? 100(1 ? k ) x ? 10000] , 10000 50(1 ? k ) 此二次函数开口向下,对称轴为 x ? , k
(3)因为 y ? 在适当涨价过程中,销售总金额不断增加,即要求此函数当自变量 x 在 {x | x ? 0} 的一个子 集中增大时, y 也增大,所以

50(1 ? k ) ? 0 ,解之得 0 ? k ? 1 . k
…………16 分

答:当 0 ? k ? 1 时,可在适当涨价过程中,销售总金额不断增加.

19、 (1)? f ( x) ? ka x ? a x 是定义域为 R 上的奇函数, ? f (0) ? 0 ,得 k ? 1 .

f ( x) ? a x ? a ? x , f (? x) ? a ? x ? a x ? ? f ( x) ,即 f ( x) 是 R 上的奇函数…5 分
(2) 设 x2 ? x1 ,则 f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? a x2 ?

1 1 1 ? (a x1 ? x1 ) ? (a x2 ? a x1 )(1 ? x2 x1 ) , x2 a a a a

? a ? 1 ,? a x2 ? a x1 ,? f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 0 , ? f ( x) 在 R 上为增函数…10 分
(3 由题意,即 3 ? 3
3x ?3 x

? ? (3x ? 3? x ) ,在 x ?[1,2] 时恒成立
8 80 ] 3 9

令 t ? 3x ? 3? x , x ?[1,2] ,则 t ? [ , 则 (3 ? 3 )(3 ? 1 ? 3
x 2x ?x ?2 x

) ? ? (3x ? 3? x ),x ?[1,2] 恒成立

8 80 ] 恒成立………………………………………13 分 3 9 8 80 91 8 ? ? t 2 ? 3 , t ? [ , ] 恒成立,当 t ? 时, (t 2 ? 3) min ? 3 3 9 9 91 ? ? ? ,则 ? 的最大整数为 10………………………………………………16 分 9
2 即为 t (t ? 3) ? ? ? t , t ? [ ,

20、解: (1)函数 y ? f ( x) 为奇函数.

5

当 a ? 0 时, f ( x) ? x | x | ?2 x , x ? R , ∴ f (? x) ? ? x | ? x | ?2 x ? ? x | x | ?2 x ? ? f ( x) ∴函数 y ? f ( x) 为奇函数; (2) f ( x) ? ? ……………3 分

? x 2 ? (2 ? 2a) x
2

( x ? 2a ) ,当 x ? 2a 时, y ? f ( x) 的对称轴为: x ? a ? 1 ; ? x ? (2 ? 2 a ) x ( x ? 2 a ) ?

当 x ? 2a 时, y ? f ( x) 的对称轴为: x ? a ? 1 ;∴当 a ? 1 ? 2a ? a ? 1 时, y ? f ( x) 在 R 上是增函数,即 ?1 ? a ? 1 时,函数 y ? f ( x) 在 R 上是增函数; (3)方程 f ( x) ? tf (2a) ? 0 的解即为方程 f ( x) ? tf (2a) 的解. ①当 ?1 ? a ? 1 时,函数 y ? f ( x) 在 R 上是增函数,∴关于 x 的方程 f ( x) ? tf (2a) 不可能 有三个不相等的实数根; 9分 ………………7 分

②当 a ? 1 时,即 2a ? a ? 1 ? a ? 1 ,∴ y ? f ( x) 在 (??, a ? 1) 上单调增,在 ( a ? 1, 2a ) 上 单 调 减 , 在 (2a , ?? ) 上 单 调 增 , ∴ 当 f (2a) ? tf (2a) ? f (a ? 1) 时 , 关 于 x 的 方 程

f ( x) ? tf (2 a) 有 三 个 不 相 等 的 实 数 根 ; 即 4a ? t ? 4a ? (a ? 1) 2 , ∵ a ? 1 ∴

1 1 (a ? ? 2) . 4 a 1 1 设 h(a ) ? (a ? ? 2) ,∵存在 a ? ? ?2, 2? , 使得关于 x 的方程 f ( x) ? tf (2a) 有三个不相等 4 a 1 1 的实数根, ∴ 1 ? t ? h(a) max ,又可证 h(a ) ? (a ? ? 2) 在 (1, 2] 上单调增 4 a 9 9 ∴ h(a) max ? ∴ 1 ? t ? ;………………12 分 8 8 1? t ?
③当 a ? ?1 时,即 2a ? a ? 1 ? a ? 1 ,∴ y ? f ( x) 在 (??, 2a) 上单调增,在 (2a, a ? 1) 上单 调减,在 (a ? 1, ??) 上单调增, ∴当 f (a ? 1) ? tf (2a) ? f (2a) 时,关于 x 的方程 f ( x) ? tf (2a) 有三个不相等的实数根; 即 ?(a ? 1)2 ? t ? 4a ? 4a ,∵ a ? ?1 ∴ 1 ? t ? ?

1 1 1 1 (a ? ? 2) ,设 g (a ) ? ? (a ? ? 2) 4 a 4 a

∵存在 a ? ? ?2, 2? , 使得关于 x 的方程 f ( x) ? tf (2a) 有三个不相等的实数根,

6

∴ 1 ? t ? g (a) max ,又可证 g (a ) ? ?

9 1 1 (a ? ? 2) 在 [?2, ?1) 上单调减∴ g (a ) max ? 8 4 a
………………15 分 ………………16 分

9 ; 8 9 综上: 1 ? t ? . 8
∴1 ? t ?

7

8


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